Álgebra de Banach

Em matemática, análise especialmente funcional, Álgebra de Banach, nomeado após Stefan Banach, é uma álgebra associativa ANão. A. sobre os números reais ou complexos (ou sobre um campo normático completo não arqueu) que ao mesmo tempo é também um espaço Banach, ou seja, um espaço normático que está completo na métrica induzida pela norma. A norma é necessária para satisfazer

‖ ‖ xSim.‖ ‖ ≤ ≤ ‖ ‖ x‖ ‖ ‖ ‖ Sim.‖ ‖ para todosx,Sim.∈ ∈ A.{displaystyle |x,y| leq |x|,|y|quad {text{ para all }}x,yin A.}

Isso garante que a operação de multiplicação seja contínua.

Uma álgebra de Banach é chamada unitário se tem um elemento de identidade para a multiplicação cuja norma é 1,- Sim. e Comutação se sua multiplicação é comutativa. Qualquer álgebra de Banach ANão. A. (se tiver um elemento de identidade ou não) pode ser incorporado isometricamente em uma álgebra de Banach unital AeNão. A_{e}} para formar um ideal fechado de AeNão. A_{e}}. Muitas vezes alguém assume a priori que a álgebra em consideração é unital: para um pode desenvolver grande parte da teoria, considerando AeNão. A_{e}} e depois aplicar o resultado na álgebra original. No entanto, este não é o caso o tempo todo. Por exemplo, não se pode definir todas as funções trigonométricas em uma álgebra de Banach sem identidade.

A teoria das álgebras de Banach reais pode ser muito diferente da teoria das álgebras de Banach complexas. Por exemplo, o espectro de um elemento de uma álgebra de Banach complexa não trivial nunca pode estar vazio, enquanto em uma álgebra de Banach real pode estar vazio para alguns elementos.

Álgebras de banach também podem ser definidas sobre campos de pNão.- Números ádicos. Isto faz parte de pNão.Análise adódica.

Exemplos

O exemplo prototípico de uma álgebra de Banach é C0(X)(X)}, o espaço de (complexo-valorizado) funções contínuas em um espaço localmente compacto (Hausdorff) que desaparece no infinito. C0(X)(X)} é unital se e somente se X- Sim. é compacto. A conjugação complexa é uma involução, C0(X)(X)} é de fato uma C*-algebra. Mais geralmente, cada C*-algebra é uma álgebra Banach por definição.

• O conjunto de números reais (ou complexos) é uma álgebra de Banach com norma dada pelo valor absoluto.
• O conjunto de todos real ou complexo nNão.- por...nNão. matrizes torna-se uma álgebra Banach unital se nós equipá-lo com uma norma de matriz sub-multiplicativa.
• Pegue o espaço Banach Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} (ou Cn{displaystyle mathbb {C} ^{n}}) com norma ‖ ‖ x‖ ‖ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =máx.|xEu...|{displaystyle |x|=max _{}|x_{i}|} e definir componente de multiplicação no sentido: (x1,...... ,xn)(Sim.1,...... ,Sim.n)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(x1Sim.1,...... ,xnSim.n).{displaystyle left(x_{1},ldotsx_{n}right)left(y_{1},ldotsy_{n}right)=left(x_{1}y_{1},ldotsx_{n}y_{n}right).}}
• As quaternions formam uma álgebra real de Banach 4-dimensional, com a norma sendo dada pelo valor absoluto de quaternions.
• A álgebra de todas as funções de valores reais ou complexos delimitadas definidas em algum conjunto (com multiplicação pontual e a norma supremum) é uma álgebra de Banach unital.
• A álgebra de todas as funções contínuas de valor real ou complexo limitado em algum espaço localmente compacto (novamente com operações pontuais e norma suremum) é uma álgebra de Banach.
• A álgebra de todos os operadores lineares contínuos em um espaço Banach ENão. (com composição funcional como multiplicação e a norma do operador como norma) é uma álgebra de Banach unital. O conjunto de todos os operadores compactos ENão. é uma álgebra de Banach e ideal fechado. É sem identidade se Não.⁡ ⁡ E= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∞ ∞ .{displaystyle dim E=infty.}
• Se GNão. G. é um grupo topológico Hausdorff localmente compacto e μ μ - Sim. é a sua Haar medida, então o espaço Banach L1(G)(G)} de todos μ μ - Sim.- funções integradas em GNão. G. torna-se uma álgebra de Banach sob a convolução xSim.(g)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =∫ ∫ x(h)Sim.(h- Sim. - Sim. 1g)Dμ μ (h){displaystyle xy(g)=int x(h)yleft(h^{-1}gright)dmu (h)} para x,Sim.∈ ∈ L1(G).(G). ?
• Álgebra uniforme: Uma álgebra de Banach que é uma subalgebra da álgebra complexa C(X){displaystyle C(X)} com a norma do supremum e que contém as constantes e separa os pontos de X- Sim. (que deve ser um espaço Hausdorff compacto).
• Álgebra natural da função de Banach: Uma álgebra uniforme de cujos personagens são avaliações em pontos de X.Sim.
• C*-algebra: Uma álgebra de Banach que é uma *-subalgebra fechada da álgebra de operadores limitados em algum espaço de Hilbert.
• Medir álgebra: Uma álgebra de Banach composta por todas as medidas de Radon em algum grupo localmente compacto, onde o produto de duas medidas é dado pela convolução de medidas.
• A álgebra dos quaternions H. H. H.{displaystyle mathbb {H} } } é uma álgebra de Banach real, mas não é uma álgebra complexa (e, portanto, não uma álgebra de Banach complexa) pela simples razão de que o centro das quaternions é os números reais, que não podem conter uma cópia dos números complexos.
• Uma álgebra afinóide é um certo tipo de álgebra de Banach sobre um campo não-arquideico. Álgebras afinóides são os blocos básicos de construção em geometria analítica rígida.

Propriedades

Várias funções elementares que são definidas via séries de potências podem ser definidas em qualquer álgebra de Banach unitária; exemplos incluem a função exponencial e as funções trigonométricas e, mais geralmente, qualquer função inteira. (Em particular, o mapa exponencial pode ser usado para definir grupos de índices abstratos.) A fórmula para a série geométrica permanece válida em álgebras de Banach unitárias gerais. O teorema binomial também vale para dois elementos comutantes de uma álgebra de Banach.

O conjunto de elementos invertíveis em qualquer álgebra de Banach unitário é um conjunto aberto, e a operação de inversão neste conjunto é contínua (e, portanto, é um homeomorfismo), de modo que forma um grupo topológico sob multiplicação.

Se uma álgebra de Banach tem unidade 1,{displaystyle mathbf {1}} então 1{displaystyle mathbf] Não. não pode ser um comutador; isto é, xSim.- Sim. - Sim. Sim.x≠ ≠ 1{displaystyle xy-yxneq mathbf] Não.para qualquer x,Sim.∈ ∈ A.{displaystyle x,yin A.} Isso é porque xSim.Não. e Sim.x- Sim. ter o mesmo espectro, exceto possivelmente 0.Não. O quê?

As várias álgebras de funções dadas nos exemplos acima têm propriedades muito diferentes dos exemplos padrão de álgebras, como os reais. Por exemplo:

• Cada álgebra de Banach real que é uma álgebra de divisão é isomorfo para os reais, os complexos, ou as quaternions. Assim, a única álgebra de Banach complexa que é uma álgebra de divisão é os complexos. (Isso é conhecido como o teorema de Gelfand-Mazur.)
• Cada álgebra banach real unital sem divisores zero, e em que cada ideal principal é fechado, é isomorfo para os reais, os complexos, ou as quaternions.
• Todas as álgebras universais do Banach comutativas reais com nenhum divisor zero são isomórficas para os números reais ou complexos.
• Todas as álgebras universais de Banach (possivelmente com zero divisores) são de dimensão finita.
• Elementos permanentes nas álgebras de Banach são divisores topológicos de zero, ou seja, considerando extensões BNão. de álgebras de Banach ANão. A. alguns elementos que são singulares na álgebra dada ANão. A. tem um elemento inverso multiplicativo em uma extensão de álgebra de Banach B.Não. B. Divisores teológicos de zero em ANão. A. são permanentemente singulares em qualquer extensão Banach BNão. de A.Não. A.

Teoria espectral

Álgebras de Banach Unital sobre o campo complexo fornecem um ambiente geral para desenvolver a teoria espectral. O espectro de um elemento x∈ ∈ A,{displaystyle xin A,} denotado por σ σ (x)(x)}, consiste em todos aqueles escalares complexos λ λ - Sim. tal que x- Sim. - Sim. λ λ 1{displaystyle x-lambda mathbf] Não. não é invertível A.Não. A. O espectro de qualquer elemento xNão. é um subconjunto fechado do disco fechado em C{displaystyle mathbb {C} } } com raio ‖ ‖ x‖ ‖ {displaystyle |x|}} e centro 0,Não. e assim é compacto. Além disso, o espectro σ σ (x)(x)} de um elemento xNão. é não vazio e satisfaz a fórmula de raio espectral:

Vamos.(|λ λ |:λ λ ∈ ∈ σ σ (x)?= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Limpar.n→ → ∞ ∞ ‖ ‖ xn‖ ‖ 1/n.{displaystyle sup{|lambda |:lambda in sigma (x)}=lim _{nto infty }|x^{n}|^{1/n}.}

Conduzido x∈ ∈ A,{displaystyle xin A,} o cálculo funcional holomórfico permite definir f(x)∈ ∈ A{displaystyle f(x)in A} para qualquer função fNão. holomorfo em um bairro de σ σ (x).(x)} Além disso, o teorema de mapeamento espectral detém:

σ σ (f(x))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =f(σ σ (x)).{displaystyle sigma (f(x)))=f(sigma (x)). ?

Quando a álgebra de Banach ANão. A. é a álgebra L(X)(X)} de operadores lineares limitados em um espaço Banach complexo X- Sim. (por exemplo, a álgebra de matrizes quadradas), a noção do espectro em ANão. A. coincide com o habitual na teoria do operador. Para f∈ ∈ C(X){displaystyle fin C(X)} (com um espaço Hausdorff compacto X- Sim.), vê-se que:

σ σ (f)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(f()):)∈ ∈ X?.{displaystyle sigma (f)={f(t):tin X}.}

A norma de um elemento normal xNão. de uma C*-algebra coincide com seu raio espectral. Isso generaliza um fato análogo para operadores normais.

Vamos. ANão. A. ser uma álgebra de Banach unital complexa em que cada elemento não-zero xNão. é invertível (uma álgebra de divisão). Para cada um∈ ∈ A,{displaystyle ain A,} há λ λ ∈ ∈ C{displaystyle lambda in mathbb Não. tal que um- Sim. - Sim. λ λ 1{displaystyle a-lambda mathbf] Não. não é invertível (porque o espectro de umNão. não está vazio) daí um= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =λ λ 1:{displaystyle a=lambda mathbf] Não. esta álgebra ANão. A. é naturalmente isomorfo para C{displaystyle mathbb {C} } } (o caso complexo do teorema de Gelfand-Mazur).

Ideais e personagens

Vamos. ANão. A. ser um unital Comutação A álgebra de Banach sobre C.{displaystyle mathbb {C}.} Desde então ANão. A. é então um anel comutativo com unidade, cada elemento não invertível de ANão. A. pertence a algum ideal máximo de A.Não. A. Desde um ideal maximal m{displaystyle {mathfrak {m}}} em ANão. A. está fechado, A/m{displaystyle A/{mathfrak {m}}} é uma álgebra de Banach que é um campo, e segue do teorema de Gelfand-Mazur que há uma bijeção entre o conjunto de todos os ideais máximos de ANão. A. e o conjunto ? ? (A)(A)} de todos os homomorfismos nonzero de ANão. A. para C.{displaystyle mathbb {C}.} O conjunto ? ? (A)(A)} é chamado de "espaço de estrutura" ou "espaço de caracteres" de A,Não. A, e seus membros "caracteres".

Um personagem χ χ - Sim. é um funcional linear em ANão. A. que é ao mesmo tempo multiplicativo, χ χ (umb))= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =χ χ (um)χ χ (b)),{displaystyle chi (ab)=chi (a)chi (b),} e satisfaz χ χ (1)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =1.{displaystyle chi (mathbf {1})=1.} Cada personagem é automaticamente contínuo ANão. A. para C,{displaystyle mathbb {C}} uma vez que o kernel de um personagem é um ideal máximo, que é fechado. Além disso, a norma (ou seja, a norma do operador) de um personagem é uma. Equipado com a topologia da convergência pontual em ANão. A. (isto é, a topologia induzida pela topologia fraca) A∗ ∗ Não. A^{*}}), o espaço de caracteres, ? ? (A),(A),} é um espaço compacto Hausdorff.

Para qualquer x∈ ∈ A,{displaystyle xin A,}

σ σ (x)= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =σ σ (x^ ^ ){displaystyle sigma (x)=sigma ({hat {x}})}

x^ ^ (x)

xNão.

x^ ^ (x)

? ? (A)(A)}

C{displaystyle mathbb {C} } }

x^ ^ (χ χ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =χ χ (x).{displaystyle {hat {x}}(chi)=chi (x).}

x^ ^ ,{displaystyle {hat {x}},}

C(? ? (A))(A)}

? ? (A).(A). ?

σ σ (x^ ^ )= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =(χ χ (x):χ χ ∈ ∈ ? ? (A)?.{displaystyle sigma ({hat {x}})={chi (x):chi in Delta (A)}.}

Como uma álgebra, uma álgebra banca comutativa unitária é semisimple (isto é, seu radical Jacobson é zero) se e somente se sua representação Gelfand tem kernel trivial. Um exemplo importante de tal álgebra é uma C*-algebra comutativa. Na verdade, quando ANão. A. é uma C*-algebra unital comutativa, a representação Gelfand é então um isométrico *-isomorfismo entre ANão. A. e C(? ? (A)).{displaystyle C(Delta (A)). ?

Banach *-álgebras

Um Banach *-algebra ANão. A. é uma álgebra de Banach sobre o campo de números complexos, juntamente com um mapa ∗ ∗ :A→ → ANão. A Ato A} que tem as seguintes propriedades:

1. (x∗ ∗ )∗ ∗ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x{displaystyle left(x^{*}right)^{*}=x} para todos x∈ ∈ A{displaystyle xin A} (então o mapa é uma involução).
2. (x+Sim.)∗ ∗ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =x∗ ∗ +Sim.∗ ∗ (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}} para todos x,Sim.∈ ∈ A.{displaystyle x,yin A.}
3. (λ λ x)∗ ∗ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =λ λ ? ? x∗ ∗ (lambda x)^{*}={bar {lambda }}x^{*}} para todos λ λ ∈ ∈ C{displaystyle lambda in mathbb Não. e cada x∈ ∈ A;{displaystyle xin A;} Aqui, λ λ ? ? Não.) denota o complexo conjugado de λ λ .{displaystyle lambda.}
4. (xSim.)∗ ∗ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Sim.∗ ∗ x∗ ∗ (xy)^{*}=y^{*}x^{*}} para todos x,Sim.∈ ∈ A.{displaystyle x,yin A.}

Em outras palavras, um Banach *-algebra é uma álgebra de Banach sobre C{displaystyle mathbb {C} } } que também é uma *-algebra.

Na maioria dos exemplos naturais, também se tem que a involução é isométrica, ou seja,

‖ ‖ x∗ ∗ ‖ ‖ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =‖ ‖ x‖ ‖ para todosx∈ ∈ A.{displaystyle |x^{*}|=|x|quad {text{ para todos }}xin A.

Um Banach *-algebra satisfazendo ‖ ‖ x∗ ∗ x‖ ‖ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =‖ ‖ x∗ ∗ ‖ ‖ ‖ ‖ x‖ ‖ {displaystyle |x^{*}x|=|x^{*}||x|} é uma C*-algebra.