Alexandre Grothendieck

Alexander Grothendieck (Pronúncia de Alemão: []alɛˈksand] ˈʁradoːtn]diːk] (Ouça.); Francês:- Não.; 28 de março de 1928 - 13 de novembro de 2014) foi um matemático francês que se tornou a figura principal na criação da geometria algébrica moderna. Sua pesquisa estendeu o escopo do campo e acrescentou elementos de álgebra comutativa, álgebra homológica, teoria de folha e teoria da categoria para seus fundamentos, enquanto sua perspectiva "relativa" levou a avanços revolucionários em muitas áreas da matemática pura. Ele é considerado por muitos como o maior matemático do século XX.

Grothendieck iniciou sua carreira produtiva e pública como matemático em 1949. Em 1958, foi nomeado professor pesquisador no Institut des hautes études scientifiques (IHÉS) e lá permaneceu até 1970, quando, movido por convicções pessoais e políticas, ele saiu após uma disputa sobre o financiamento militar. Ele recebeu a Medalha Fields em 1966 por avanços em geometria algébrica, álgebra homológica e teoria K. Mais tarde, tornou-se professor na Universidade de Montpellier e, embora ainda produzisse trabalhos matemáticos relevantes, afastou-se da comunidade matemática e dedicou-se a atividades políticas e religiosas (primeiro o budismo e depois uma visão mais cristã). Em 1991, mudou-se para o vilarejo francês de Lasserre, nos Pirineus, onde viveu recluso, ainda trabalhando incansavelmente em matemática e em seus pensamentos filosóficos e religiosos até sua morte em 2014.

Vida

Família e infância

Grothendieck nasceu em Berlim, filho de pais anarquistas. Seu pai, Alexander "Sascha" Schapiro (também conhecido como Alexander Tanaroff), tinha raízes judaicas hassídicas e havia sido preso na Rússia antes de se mudar para a Alemanha em 1922, enquanto sua mãe, Johanna "Hanka" Grothendieck, veio de uma família alemã protestante em Hamburgo e trabalhou como jornalista. Quando adolescentes, seus pais romperam com suas origens iniciais. Na época de seu nascimento, a mãe de Grothendieck era casada com o jornalista Johannes Raddatz e, inicialmente, seu nome de nascimento foi registrado como "Alexander Raddatz". Esse casamento foi dissolvido em 1929 e Schapiro reconheceu sua paternidade, mas nunca se casou com Hanka Grothendieck. Grothendieck tinha um irmão materno, sua meia-irmã Maidi.

Grothendieck viveu com seus pais em Berlim até o final de 1933, quando seu pai se mudou para Paris para fugir do nazismo. Sua mãe seguiu logo depois. Grothendieck foi deixado aos cuidados de Wilhelm Heydorn, um pastor luterano e professor em Hamburgo. Segundo Winfried Scharlau, nessa época, seus pais participaram da Guerra Civil Espanhola como auxiliares não combatentes. No entanto, outros afirmam que Schapiro lutou na milícia anarquista.

Segunda Guerra Mundial

Em maio de 1939, Grothendieck foi colocado em um trem em Hamburgo para a França. Pouco depois, seu pai foi internado em Le Vernet. Ele e sua mãe foram internados em vários campos de 1940 a 1942 como "estrangeiros perigosos indesejáveis". O primeiro acampamento foi o Rieucros Camp, onde sua mãe contraiu a tuberculose que acabaria por causar sua morte em 1957. Enquanto estava lá, Grothendieck conseguiu frequentar a escola local, em Mendel. Certa vez, ele conseguiu escapar do acampamento, com a intenção de assassinar Hitler. Mais tarde, sua mãe Hanka foi transferida para o campo de internamento de Gurs pelo restante da Segunda Guerra Mundial. Grothendieck foi autorizado a viver separado de sua mãe.

Na aldeia de Le Chambon-sur-Lignon, ele foi abrigado e escondido em pensões ou pensões locais, embora ocasionalmente tivesse que se refugiar na floresta durante os ataques nazistas, sobrevivendo às vezes sem comida ou água por vários dias.

Seu pai foi preso sob a legislação antijudaica de Vichy e enviado para o campo de internamento de Drancy, e depois entregue pelo governo francês de Vichy aos alemães para ser enviado para ser assassinado no campo de concentração de Auschwitz em 1942.

Em Le Chambon, Grothendieck frequentou o Collège Cévenol (agora conhecido como Le Collège-Lycée Cévenol International), uma escola secundária única fundada em 1938 por pacifistas protestantes locais e ativistas anti-guerra. Muitas das crianças refugiadas escondidas em Le Chambon frequentaram o Collège Cévenol, e foi nessa escola que Grothendieck aparentemente ficou fascinado pela matemática.

Estudos e contacto com a matemática de investigação

Depois da guerra, o jovem Grothendieck estudou matemática na França, inicialmente na Universidade de Montpellier, onde a princípio não teve um bom desempenho, sendo reprovado em aulas como astronomia. Trabalhando por conta própria, ele redescobriu a medida de Lebesgue. Após três anos de estudos cada vez mais independentes lá, ele foi continuar seus estudos em Paris em 1948.

Inicialmente, Grothendieck participou do Seminário de Henri Cartan na École Normale Supérieure, mas não tinha o conhecimento necessário para seguir o seminário de alta potência. Seguindo o conselho de Cartan e André Weil, ele se mudou para a Universidade de Nancy, onde dois especialistas importantes trabalhavam na área de interesse de Grothendieck, espaços vetoriais topológicos: Jean Dieudonné e Laurent Schwartz. Este último havia ganhado recentemente uma Medalha Fields. Ele mostrou a seu novo aluno seu último trabalho; terminou com uma lista de 14 questões abertas, relevantes para espaços localmente convexos. Grothendieck introduziu novos métodos matemáticos que lhe permitiram resolver todos esses problemas em poucos meses.

Em Nancy, ele escreveu sua dissertação com esses dois professores sobre análise funcional, de 1950 a 1953. Nessa época, ele era um dos principais especialistas na teoria dos espaços vetoriais topológicos. Em 1953 mudou-se para a Universidade de São Paulo no Brasil, onde imigrou por meio de um passaporte Nansen, visto que havia se recusado a obter a nacionalidade francesa (pois isso implicaria o serviço militar contra suas condenações). Permaneceu em São Paulo (além de uma longa visita à França de outubro de 1953 a março de 1954) até o final de 1954. Seus trabalhos publicados desde a passagem pelo Brasil ainda estão na teoria dos espaços vetoriais topológicos; é lá que ele completou seu último grande trabalho sobre esse tópico (sobre a teoria "métrica" dos espaços de Banach).

Grothendieck mudou-se para Lawrence, Kansas, no início de 1955, e lá deixou seu antigo assunto de lado para trabalhar em topologia algébrica e álgebra homológica, e cada vez mais em geometria algébrica. Foi em Lawrence que Grothendieck desenvolveu sua teoria das categorias abelianas e a reformulação da cohomologia de feixes com base nelas, levando ao muito influente "Tôhoku paper".

Em 1957, ele foi convidado a visitar Harvard por Oscar Zariski, mas a oferta fracassou quando ele se recusou a assinar uma promessa de não trabalhar para derrubar o governo dos Estados Unidos - uma posição que, ele foi avisado, poderia ter conquistado ele na prisão. A perspectiva da prisão não o preocupava, desde que pudesse ter acesso aos livros.

Comparando Grothendieck durante seus anos em Nancy com os alunos treinados na École Normale Supérieure da época (Pierre Samuel, Roger Godement, René Thom, Jacques Dixmier, Jean Cerf, Yvonne Bruhat, Jean-Pierre Serre e Bernard Malgrange), Leila Schneps disse:

Ele era tão completamente desconhecido para este grupo e para seus professores, veio de um fundo tão privado e caótico, e foi, em comparação com eles, tão ignorante no início de sua carreira de pesquisa, que sua ascensão fulgurante ao estrelato súbito é tudo mais incrível; bastante original na história da matemática.

Seus primeiros trabalhos sobre espaços vetoriais topológicos em 1953 foram aplicados com sucesso à física e à ciência da computação, culminando em uma relação entre a desigualdade de Grothendieck e o paradoxo de Einstein-Podolsky-Rosen na física quântica.

Anos IHÉS

Em 1958, Grothendieck foi instalado no Institut des hautes études scientifiques (IHÉS), um novo instituto de pesquisa com financiamento privado que, na verdade, havia sido criado para Jean Dieudonné e Grothendieck. Grothendieck atraiu a atenção por uma atividade intensa e altamente produtiva de seminários lá (grupos de trabalho de facto esboçando em trabalhos fundamentais alguns dos mais hábeis franceses e outros matemáticos da geração mais jovem). Grothendieck praticamente cessou a publicação de artigos por meio da rota convencional de periódicos eruditos. Ele foi, no entanto, capaz de desempenhar um papel dominante na matemática por aproximadamente uma década, reunindo uma escola forte.

Oficialmente nessa época, teve como alunos Michel Demazure (que trabalhou no SGA3, em esquemas de grupo), Luc Illusie (complexo cotangente), Michel Raynaud, Jean-Louis Verdier (co-fundador da teoria das categorias derivadas), e Pierre Deligne. Colaboradores nos projetos SGA também incluíram Michael Artin (étale cohomology), Nick Katz (teoria da monodromia e lápis Lefschetz). Jean Giraud também desenvolveu extensões da teoria torsor da cohomologia nonabeliana. Muitos outros, como David Mumford, Robin Hartshorne, Barry Mazur e C.P. Ramanujam também estavam envolvidos.

"Era de Ouro"

O trabalho de Alexander Grothendieck durante o que é descrito como a "Era de Ouro" período no IHÉS estabeleceu vários temas unificadores em geometria algébrica, teoria dos números, topologia, teoria das categorias e análise complexa. Sua primeira descoberta (pré-IHÉS) em geometria algébrica foi o teorema de Grothendieck–Hirzebruch–Riemann–Roch, uma generalização do teorema de Hirzebruch–Riemann–Roch provado algebricamente; neste contexto ele também introduziu a teoria K. Então, seguindo o programa que delineou em sua palestra no Congresso Internacional de Matemáticos de 1958, ele introduziu a teoria dos esquemas, desenvolvendo-a em detalhes em seu Éléments de géométrie algébrique (EGA) e fornecendo os novos fundamentos mais flexíveis e gerais para a geometria algébrica que foi adotada no campo desde então. Ele passou a introduzir a teoria de esquemas de cohomologia étale, fornecendo as ferramentas-chave para provar as conjecturas de Weil, bem como a cohomologia cristalina e a cohomologia algébrica de Rham para complementá-la. Intimamente ligado a essas teorias de cohomologia, ele originou a teoria do topos como uma generalização da topologia (relevante também na lógica categórica). Ele também forneceu uma definição algébrica de grupos fundamentais de esquemas e, mais geralmente, as principais estruturas de uma teoria categórica de Galois. Como estrutura para sua teoria da dualidade coerente, ele também introduziu categorias derivadas, que foram desenvolvidas por Verdier.

Os resultados de seu trabalho sobre esses e outros tópicos foram publicados no EGA e de forma menos polida nas notas do Séminaire de géométrie algébrique ( SGA) que dirigiu no IHÉS.

Ativismo político

As visões políticas de Grothendieck eram radicais e pacifistas. Ele se opôs fortemente à intervenção dos Estados Unidos no Vietnã e ao expansionismo militar soviético. Para protestar contra a Guerra do Vietnã, ele deu palestras sobre a teoria das categorias nas florestas ao redor de Hanói enquanto a cidade era bombardeada. Em 1966, ele se recusou a comparecer ao Congresso Internacional de Matemáticos (ICM) em Moscou, onde receberia a Medalha Fields. Ele se aposentou da vida científica por volta de 1970, depois de saber que o IHÉS era parcialmente financiado pelos militares. Ele voltou à academia alguns anos depois como professor na Universidade de Montpellier.

Embora a questão do financiamento militar tenha sido talvez a explicação mais óbvia para a saída de Grothendieck do IHÉS, aqueles que o conheceram dizem que as causas da ruptura foram mais profundas. Pierre Cartier, um visiteur de longue durée ("convidado de longo prazo") do IHÉS, escreveu um artigo sobre Grothendieck para um volume especial publicado por ocasião do IHÉS's quadragésimo aniversário. Nessa publicação, Cartier observa que, como filho de um anarquista antimilitar e alguém que cresceu entre os desprivilegiados, Grothendieck sempre teve uma profunda compaixão pelos pobres e oprimidos. Como Cartier coloca, Grothendieck encontrou Bures-sur-Yvette como "une cage dorée" ("uma gaiola dourada"). Enquanto Grothendieck estava no IHÉS, a oposição à Guerra do Vietnã estava esquentando, e Cartier sugere que isso também reforçou a aversão de Grothendieck por ter se tornado um mandarim do mundo científico. Além disso, depois de vários anos no IHÉS, Grothendieck parecia buscar novos interesses intelectuais. No final dos anos 1960, ele começou a se interessar por áreas científicas fora da matemática. David Ruelle, físico que ingressou no corpo docente do IHÉS em 1964, disse que Grothendieck veio conversar com ele algumas vezes sobre física. A biologia interessou Grothendieck muito mais do que a física, e ele organizou alguns seminários sobre tópicos biológicos.

Em 1970, Grothendieck, com dois outros matemáticos, Claude Chevalley e Pierre Samuel, criou um grupo político intitulado Survivre—o nome posteriormente alterado para Survivre et vivre. O grupo publicou um boletim e se dedicou a questões antimilitares e ecológicas. Também desenvolveu fortes críticas ao uso indiscriminado da ciência e da tecnologia. Grothendieck dedicou os três anos seguintes a esse grupo e atuou como editor principal de seu boletim.

Embora Grothendieck continuasse com investigações matemáticas, sua carreira matemática padrão terminou quando ele deixou o IHÉS. Depois de deixar o IHÉS, Grothendieck tornou-se professor temporário no Collège de France por dois anos. Ele então se tornou professor na Universidade de Montpellier, onde se tornou cada vez mais distante da comunidade matemática. Ele se aposentou formalmente em 1988, alguns anos depois de ter aceitado um cargo de pesquisador no CNRS.

Manuscritos escritos na década de 1980

Embora não publicasse pesquisas matemáticas de maneira convencional durante a década de 1980, ele produziu vários manuscritos influentes com distribuição limitada, com conteúdo matemático e biográfico.

Produzido durante 1980 e 1981, La Longue Marche à travers la théorie de Galois (A longa marcha pela teoria de Galois) é um manuscrito manuscrito de 1600 páginas contendo muitos dos as ideias que levaram ao programa Esquisse d'un. Também inclui um estudo da teoria de Teichmüller.

Em 1983, estimulado pela correspondência com Ronald Brown e Tim Porter na Universidade de Bangor, Grothendieck escreveu um manuscrito de 600 páginas intitulado Pursuing Stacks. Tudo começou com uma carta endereçada a Daniel Quillen. Esta carta e partes sucessivas foram distribuídas de Bangor (ver Links externos abaixo). Dentro deles, de maneira informal, semelhante a um diário, Grothendieck explicou e desenvolveu suas ideias sobre a relação entre a teoria da homotopia algébrica e a geometria algébrica e as perspectivas de uma teoria não comutativa de pilhas. O manuscrito, que está sendo editado para publicação por G. Maltsiniotis, posteriormente deu origem a outra de suas obras monumentais, Les Dérivateurs. Escrito em 1991, esta última obra de aproximadamente 2.000 páginas desenvolveu ainda mais as ideias homotópicas iniciadas em Pursuing Stacks. Grande parte desse trabalho antecipou o desenvolvimento subsequente durante meados da década de 1990 da teoria da homotopia motívica de Fabien Morel e Vladimir Voevodsky.

Em 1984, Grothendieck escreveu a proposta Esquisse d'un Programme ("Esboço de um programa") para uma posição no Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS). Ele descreve novas ideias para estudar o espaço de módulos de curvas complexas. Embora Grothendieck nunca tenha publicado seu trabalho nesta área, a proposta inspirou outros matemáticos a trabalhar na área, tornando-se a fonte da teoria dessin d'enfant e da geometria Anabeliana. Mais tarde, foi publicado em dois volumes e intitulado Geometric Galois Actions (Cambridge University Press, 1997).

Durante esse período, Grothendieck também deu seu consentimento para publicar alguns de seus rascunhos para EGA em teoremas do tipo Bertini (EGA V, publicado no Ulam Quarterly em 1992–1993 e posteriormente disponibilizado no site Grothendieck Circle em 2004).

No manuscrito autobiográfico de 1.000 páginas, Récoltes et semailles (1986), Grothendieck descreve sua abordagem da matemática e suas experiências na comunidade matemática, uma comunidade que inicialmente o aceitou de forma aberta e acolhedora. maneira, mas que ele progressivamente percebeu ser governado pela competição e pelo status. Ele reclama do que viu como o "enterro" de seu trabalho e traição por seus ex-alunos e colegas depois que ele deixou a comunidade. A obra Récoltes et semailles já está disponível na internet no original francês, e uma tradução para o inglês está em andamento. Uma tradução japonesa em quatro volumes foi concluída por Tsuji Yuichi, um amigo de Grothendieck do período Survivre, e seus três primeiros volumes foram publicados entre 1989 e 1993, enquanto o quarto volume está concluído, mas nunca foi publicado. Grothendieck ajudou com a tradução e escreveu um prefácio para ela. Partes de Récoltes et semailles foram traduzidas para o espanhol, bem como para uma tradução russa publicada em Moscou. O original francês foi finalmente publicado em dois volumes em janeiro de 2022, com textos adicionais de pessoas de várias profissões que discutem certos aspectos do livro.

Em 1988, Grothendieck recusou o Prêmio Crafoord com uma carta aberta à mídia. Ele escreveu que ele e outros matemáticos estabelecidos não precisavam de apoio financeiro adicional e criticou o que considerava o declínio da ética da comunidade científica, caracterizado pelo roubo científico absoluto que ele acreditava ter se tornado comum e tolerado. A carta também expressava sua crença de que eventos totalmente imprevistos antes do final do século levariam a um colapso sem precedentes da civilização. Grothendieck acrescentou, no entanto, que suas opiniões "de forma alguma foram uma crítica aos objetivos da Royal Academy na administração de seus fundos". e acrescentou: "Lamento o inconveniente que minha recusa em aceitar o prêmio Crafoord possa ter causado a você e à Royal Academy."

La Clef des Songes, um manuscrito de 315 páginas escrito em 1987, é o relato de Grothendieck sobre como sua consideração sobre a fonte dos sonhos o levou a concluir que existe uma divindade. Como parte das notas deste manuscrito, Grothendieck descreveu a vida e o trabalho de 18 "mutantes", pessoas que ele admirava como visionários muito à frente de seu tempo e anunciando uma nova era. O único matemático em sua lista era Bernhard Riemann. Influenciado pela mística católica Marthe Robin, que afirmava ter sobrevivido apenas com a Santa Eucaristia, Grothendieck quase morreu de fome em 1988. Sua crescente preocupação com questões espirituais também ficou evidente em uma carta intitulada Lettre de la Bonne Nouvelle enviado a 250 amigos em janeiro de 1990. Nela, ele descrevia seus encontros com uma divindade e anunciava que uma "Nova Era" começaria em 14 de outubro de 1996.

O Grothendieck Festschrift, publicado em 1990, era uma coleção de três volumes de trabalhos de pesquisa para marcar seu sexagésimo aniversário em 1988.

Mais de 20.000 páginas dos escritos matemáticos e outros de Grothendieck estão guardadas na Universidade de Montpellier e permanecem inéditas. Eles foram digitalizados para preservação e estão disponíveis gratuitamente em acesso aberto através do portal Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck.

Aposentadoria em reclusão e morte

Em 1991, Grothendieck mudou-se para um novo endereço que não compartilhava com seus contatos anteriores na comunidade matemática. Muito poucas pessoas o visitaram depois. Os aldeões locais ajudaram a sustentá-lo com uma dieta mais variada depois que ele tentou viver com uma base de sopa de dente-de-leão. Em algum momento, Leila Schneps e Pierre Lochak o localizaram e trocaram uma breve correspondência. Assim, eles se tornaram "os últimos membros do estabelecimento matemático a entrar em contato com ele". Após sua morte, foi revelado que ele morava sozinho em uma casa em Lasserre, Ariège, uma pequena aldeia no sopé dos Pirinéus.

Em janeiro de 2010, Grothendieck escreveu a carta intitulada "Declaration d'intention de non-publication" para Luc Illusie, alegando que todos os materiais publicados em sua ausência foram publicados sem sua permissão. Ele pediu que nenhuma de suas obras fosse reproduzida total ou parcialmente e que as cópias dessa obra fossem retiradas das bibliotecas. Ele caracterizou um site dedicado ao seu trabalho como "uma abominação". Seu ditame pode ter sido revertido em 2010.

Em 13 de novembro de 2014, aos 86 anos, Grothendieck morreu no hospital de Saint-Girons, Ariège.

Cidadania

Grothendieck nasceu em Weimar, Alemanha. Em 1938, aos dez anos, mudou-se para a França como refugiado. Os registros de sua nacionalidade foram destruídos na queda da Alemanha nazista em 1945 e ele não solicitou a cidadania francesa após a guerra. Assim, ele se tornou um apátrida pelo menos durante a maior parte de sua vida profissional e viajou com um passaporte Nansen. Parte de sua relutância em manter a nacionalidade francesa é atribuída ao não desejo de servir nas forças armadas francesas, principalmente devido à Guerra da Argélia (1954-62). Ele acabou solicitando a cidadania francesa no início dos anos 1980, depois de ter passado da idade que o isentava do serviço militar.

Família

Grothendieck era muito próximo de sua mãe, a quem dedicou sua dissertação. Ela morreu em 1957 de tuberculose contraída em campos de deslocados.

Ele teve cinco filhos: um filho com sua senhoria durante seu tempo em Nancy; três filhos, Johanna (1959), Alexander (1961) e Mathieu (1965) com sua esposa Mirille Dufour; e um filho com Justine Skalba, com quem viveu em uma comuna no início dos anos 1970.

Trabalho matemático

O trabalho matemático inicial de Grothendieck foi em análise funcional. Entre 1949 e 1953 desenvolveu a sua tese de doutoramento nesta matéria em Nancy, orientado por Jean Dieudonné e Laurent Schwartz. Suas principais contribuições incluem produtos de tensores topológicos de espaços vetoriais topológicos, a teoria dos espaços nucleares como base para distribuições de Schwartz e a aplicação de espaços Lp no estudo de mapas lineares entre espaços vetoriais topológicos. Em poucos anos, ele se tornou uma das principais autoridades nessa área de análise funcional - a ponto de Dieudonné comparar seu impacto nesse campo ao de Banach.

É, no entanto, na geometria algébrica e campos relacionados onde Grothendieck fez seu trabalho mais importante e influente. Aproximadamente a partir de 1955, ele começou a trabalhar na teoria dos feixes e na álgebra homológica, produzindo o influente "Tôhoku paper" (Sur quelques points d'algèbre homologique, publicado no Tohoku Mathematical Journal em 1957), onde ele introduziu categorias abelianas e aplicou sua teoria para mostrar que a cohomologia de feixe pode ser definida como certos funtores derivados neste contexto.

Os métodos homológicos e a teoria dos feixes já haviam sido introduzidos na geometria algébrica por Jean-Pierre Serre e outros, depois que os feixes foram definidos por Jean Leray. Grothendieck os levou a um nível mais alto de abstração e os transformou em um princípio organizador chave de sua teoria. Ele desviou a atenção do estudo de variedades individuais para seu ponto de vista relativo (pares de variedades relacionadas por um morfismo), permitindo uma ampla generalização de muitos teoremas clássicos. A primeira grande aplicação foi a versão relativa do teorema de Serre mostrando que a cohomologia de um feixe coerente em uma variedade completa é de dimensão finita; O teorema de Grothendieck mostra que as imagens diretas superiores de feixes coerentes sob um mapa próprio são coerentes; isso se reduz ao teorema de Serre sobre um espaço de um ponto.

Em 1956, ele aplicou o mesmo pensamento ao teorema de Riemann-Roch, que recentemente havia sido generalizado para qualquer dimensão por Hirzebruch. O teorema Grothendieck–Riemann–Roch foi anunciado por Grothendieck no Mathematische Arbeitstagung inicial em Bonn, em 1957. Ele apareceu impresso em um artigo escrito por Armand Borel com Serre. Este resultado foi seu primeiro trabalho em geometria algébrica. Grothendieck passou a planejar e executar um programa para reconstruir os fundamentos da geometria algébrica, que na época estavam em estado de fluxo e em discussão no seminário de Claude Chevalley. Ele delineou seu programa em sua palestra no Congresso Internacional de Matemáticos de 1958.

Seu trabalho fundamental sobre geometria algébrica está em um nível mais alto de abstração do que todas as versões anteriores. Ele adaptou o uso de pontos genéricos não fechados, o que levou à teoria dos esquemas. Grothendieck também foi pioneiro no uso sistemático de nilpotentes. Como 'funções' estes podem assumir apenas o valor 0, mas carregam informações infinitesimais, em configurações puramente algébricas. A sua teoria dos esquemas consolidou-se como o melhor fundamento universal para este campo, tanto pela sua expressividade como pela sua profundidade técnica. Nesse cenário, pode-se usar geometria birracional, técnicas da teoria dos números, teoria de Galois, álgebra comutativa e análogos próximos dos métodos da topologia algébrica, tudo de forma integrada.

Grothendieck é conhecido por seu domínio de abordagens abstratas da matemática e seu perfeccionismo em questões de formulação e apresentação. Relativamente pouco de seu trabalho depois de 1960 foi publicado pela rota convencional do jornal erudito, circulando inicialmente em volumes duplicados de notas de seminário; sua influência foi em grande parte pessoal. Sua influência se estendeu a muitos outros ramos da matemática, por exemplo, a teoria contemporânea dos módulos D. Embora elogiado como "o Einstein da matemática", seu trabalho também provocou reações adversas, com muitos matemáticos buscando áreas e problemas mais concretos.

EGA, SGA, FGA

A maior parte da obra publicada de Grothendieck está reunida nos monumentais, mas incompletos, Éléments de géométrie algébrique (EGA) e Séminaire de géométrie algébrique (SGA). A coleção Fondements de la Géometrie Algébrique (FGA), que reúne palestras proferidas no Séminaire Bourbaki, também contém material importante.

O trabalho de Grothendieck inclui a invenção das teorias de cohomologia étale e l-ádica, que explicam uma observação feita por André Weil que defendia uma conexão entre as características topológicas de uma variedade e suas propriedades diofantinas (teóricas dos números). Por exemplo, o número de soluções de uma equação sobre um corpo finito reflete a natureza topológica de suas soluções sobre os números complexos. Weil percebeu que, para provar tal conexão, era necessária uma nova teoria de cohomologia, mas nem ele nem nenhum outro especialista viu como fazer isso até que tal teoria fosse expressa por Grothendieck.

Este programa culminou nas provas das conjecturas de Weil, a última das quais foi resolvida pelo aluno de Grothendieck, Pierre Deligne, no início dos anos 1970, depois que Grothendieck se afastou amplamente da matemática.

Principais contribuições matemáticas

Na retrospectiva Récoltes et Semailles de Grothendieck, ele identificou doze de suas contribuições que ele acreditava serem qualificadas como "grandes ideias". Em ordem cronológica, são eles:

1. Produtos tensores teológicos e espaços nucleares
2. dualidade "continua" e "discreto" (categorias derivadas, "seis operações")
3. Yoga do teorema de Grothendieck–Riemann–Roch K-teoria relação com a teoria da interseção
4. Esquemas
5. Topoi
6. Étale cohomology and l-adic cohomology
7. Motivos e o grupo de Galois motivic (Grothendieck ∞-categorias)
8. Cristais e cohomologia cristalina, ioga de "de coeficientes de Rham", "coeficientes quentes"...
9. "Algebra teológica": ∞-stacks, derivadores; formalismo cohomológico de topoi como inspiração para uma nova álgebra homotópica
10. Topologia de Tame
11. Yoga da geometria algébrica anabelia, teoria Galois-Teichmüller
12. Ponto de vista "esquemático" ou "aritmético" para poliedros regulares e configurações regulares de todos os tipos

Aqui, o termo yoga denota uma espécie de "meta-teoria" que pode ser usado heuristicamente; Michel Raynaud escreve os outros termos "fio de Ariadne" e "filosofia" como equivalentes efetivos.

Grothendieck escreveu que, desses temas, o maior em escopo era o topoi, pois eles sintetizavam geometria algébrica, topologia e aritmética. O tema mais amplamente desenvolvido foi o dos esquemas, que eram o framework "por excelência" para oito dos outros temas (todos menos 1, 5 e 12). Grothendieck escreveu que o primeiro e o último temas, produtos de tensores topológicos e configurações regulares, eram de tamanho mais modesto do que os outros. Os produtos tensoriais topológicos desempenharam o papel de ferramenta e não de fonte de inspiração para desenvolvimentos posteriores; mas ele esperava que as configurações regulares não pudessem ser esgotadas durante a vida de um matemático que se dedicasse a isso. Ele acreditava que os temas mais profundos eram motivos, geometria anabeliana e teoria de Galois-Teichmüller.

Influência

Grothendieck é considerado por muitos como o maior matemático do século XX. Em um obituário, David Mumford e John Tate escreveram:

Embora a matemática se tornou cada vez mais abstrata e geral ao longo do século XX, foi Alexander Grothendieck que foi o maior mestre desta tendência. Sua habilidade única era eliminar todas as hipóteses desnecessárias e penetrar em uma área tão profundamente que seus padrões internos no nível mais abstrato se revelaram – e então, como um mágico, mostrar como a solução de problemas antigos caiu de maneiras diretas agora que sua natureza real tinha sido revelada.

Na década de 1970, o trabalho de Grothendieck era visto como influente, não apenas na geometria algébrica e nos campos aliados da teoria dos feixes e da álgebra homológica, mas também influenciou a lógica, no campo da lógica categórica.

Geometria

Grothendieck abordou a geometria algébrica esclarecendo os fundamentos do campo e desenvolvendo ferramentas matemáticas destinadas a provar várias conjecturas notáveis. A geometria algébrica significa tradicionalmente a compreensão de objetos geométricos, como curvas e superfícies algébricas, por meio do estudo das equações algébricas desses objetos. As propriedades das equações algébricas são, por sua vez, estudadas usando as técnicas da teoria dos anéis. Nesta abordagem, as propriedades de um objeto geométrico estão relacionadas às propriedades de um anel associado. O espaço (por exemplo, real, complexo ou projetivo) no qual o objeto é definido é extrínseco ao objeto, enquanto o anel é intrínseco.

Grothendieck lançou uma nova base para a geometria algébrica, tornando os espaços intrínsecos ("espectros") e os anéis associados os principais objetos de estudo. Para tanto, desenvolveu a teoria dos esquemas que informalmente podem ser pensados como espaços topológicos nos quais um anel comutativo está associado a cada subconjunto aberto do espaço. Os esquemas tornaram-se os objetos básicos de estudo para os praticantes da geometria algébrica moderna. Seu uso como base permitiu que a geometria absorvesse avanços técnicos de outros campos.

Sua generalização do teorema clássico de Riemann-Roch relacionou propriedades topológicas de curvas algébricas complexas à sua estrutura algébrica e agora leva seu nome, sendo chamado de "o teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch". As ferramentas que ele desenvolveu para provar esse teorema iniciaram o estudo da K-teoria algébrica e topológica, que explora as propriedades topológicas de objetos associando-os a anéis. Após contato direto com as ideias de Grothendieck no Bonn Arbeitstagung, a teoria K topológica foi fundada por Michael Atiyah e Friedrich Hirzebruch.

Teorias de cohomologia

A construção de Grothendieck de novas teorias de cohomologia, que usam técnicas algébricas para estudar objetos topológicos, influenciou o desenvolvimento da teoria algébrica dos números, topologia algébrica e teoria da representação. Como parte desse projeto, sua criação da teoria dos topos, uma generalização teórica da categoria da topologia de pontos, influenciou os campos da teoria dos conjuntos e da lógica matemática.

As conjecturas de Weil foram formuladas no final da década de 1940 como um conjunto de problemas matemáticos em geometria aritmética. Eles descrevem propriedades de invariantes analíticos, chamados de funções zeta locais, do número de pontos em uma curva algébrica ou variedade de dimensão superior. A descoberta de Grothendieck da cohomologia ℓ-adic étale, o primeiro exemplo de uma teoria de cohomologia de Weil, abriu o caminho para uma prova das conjecturas de Weil, finalmente concluída na década de 1970 por seu aluno Pierre Deligne. A abordagem em larga escala de Grothendieck foi chamada de "programa visionário". A cohomologia ℓ-ádica tornou-se então uma ferramenta fundamental para os teóricos dos números, com aplicações no programa de Langlands.

A teoria conjectural dos motivos de Grothendieck pretendia ser a teoria "ℓ-ádica" teoria, mas sem a escolha de "ℓ", um número primo. Ele não forneceu a rota pretendida para as conjecturas de Weil, mas esteve por trás dos desenvolvimentos modernos na teoria K algébrica, na teoria da homotopia motívica e na integração motívica. Esta teoria, o trabalho de Daniel Quillen e a teoria das classes de Chern de Grothendieck, são considerados o pano de fundo da teoria do cobordismo algébrico, outro análogo algébrico das ideias topológicas.

Teoria da categoria

A ênfase de Grothendieck no papel das propriedades universais em estruturas matemáticas variadas trouxe a teoria das categorias para o mainstream como um princípio organizador para a matemática em geral. Entre seus usos, a teoria das categorias cria uma linguagem comum para descrever estruturas e técnicas semelhantes vistas em muitos sistemas matemáticos diferentes. Sua noção de categoria abeliana é agora o objeto básico de estudo da álgebra homológica. O surgimento de uma disciplina matemática separada da teoria das categorias foi atribuído à influência de Grothendieck, embora não intencional.

Na cultura popular

O romance Coronel Lágrimas (Coronel Lágrimas em inglês, disponível pela Restless Books) do escritor porto-riquenho-costa-riquenho Carlos Fonseca é um romance semibiográfico sobre Grothendieck.

A banda Stone Hill All Stars tem uma música com o nome de Alexander Grothendieck.

No romance Quando deixamos de entender o mundo, Benjamin Labatut dedica um capítulo à história de Grothendieck.

No romance The Passenger e sua sequência Stella Maris de Cormac McCarthy, um dos personagens principais é um estudante de Grothendieck.

Publicações

• Grothendieck, Alexander (1955). "Produz Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Topological Tensor Products and Nuclear Spaces]. Memórias da American Mathematical Society Series (em francês). Providência: American Mathematical Society. 16.ISBN 978-0-8218-1216-7. MR 0075539. OCLC 1315788.
• Grothendieck, Alexander (1973). Espaços de vetores teológicos. Traduzido por Chaljub, Orlando. Nova Iorque: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.

Fontes e leitura adicional