Ação de grupo

O grupo cíclico C₃ consistindo das rotações por 0°, 120° e 240° atua no conjunto dos três vértices.

Em matemática, uma ação de grupo em um espaço é um homomorfismo de grupo de um determinado grupo no grupo de transformações do espaço. Da mesma forma, uma ação de grupo em uma estrutura matemática é um homomorfismo de grupo de um grupo no grupo de automorfismo da estrutura. Diz-se que o grupo atua no espaço ou estrutura. Se um grupo atua sobre uma estrutura, geralmente também atuará sobre objetos construídos a partir dessa estrutura. Por exemplo, o grupo de isometrias euclidianas atua no espaço euclidiano e também nas figuras nele desenhadas. Por exemplo, ele atua no conjunto de todos os triângulos. Da mesma forma, o grupo de simetrias de um poliedro atua nos vértices, arestas e faces do poliedro.

Uma ação de grupo em um espaço vetorial é chamada de representação do grupo. No caso de um espaço vetorial de dimensão finita, permite identificar muitos grupos com subgrupos de GL(n, K), o grupo das matrizes invertíveis de dimensão n sobre um campo K.

O grupo simétrico S_n atua em qualquer conjunto com n elementos permutando os elementos do conjunto. Embora o grupo de todas as permutações de um conjunto dependa formalmente do conjunto, o conceito de ação de grupo permite considerar um único grupo para estudar as permutações de todos os conjuntos com a mesma cardinalidade.

Definição

Ação de grupo à esquerda

Se G for um grupo com elemento de identidade e, e X é um conjunto, então um (esquerda) ação de grupo α de G em X é uma função

${displaystyle alpha colon Gtimes Xto X,}$

que satisfaz os dois axiomas a seguir:

Identidade:	$(e,x)=x}$
Compatibilidade:	${displaystyle alpha left(g,alpha left(h,xright)right)=alpha left(gh,xright)}$

(com α(g, x) geralmente abreviado para gx ou g ⋅ x quando a ação sendo considerado é claro a partir do contexto):

Identidade:	$- Sim.$
Compatibilidade:	$(hcdot x)=(gh)cdot x}$

para todos os g e h em G e todos os x em X.

Diz-se que o grupo G age sobre X (da esquerda). Um conjunto X junto com uma ação de G é chamado de (esquerda) G-conjunto.

Desses dois axiomas, segue-se que para qualquer g em G, a função de X para si mesma que mapeia x a g ⋅ x é uma bijeção, com bijeção inversa o mapa correspondente para g⁻¹. Portanto, pode-se definir de forma equivalente uma ação de grupo de G em X como um homomorfismo de grupo de G no grupo simétrico Sym(X) de todas as bijeções de X para si mesmo.

Ação de grupo correta

Da mesma forma, uma ação de grupo à direita de G em X é uma função

${displaystyle alpha colon Xtimes Gto X,}$

que satisfaz os axiomas análogos:

Identidade:	$(x,e)=x}$
Compatibilidade:	${displaystyle alpha left(alpha left(x,gright),hright)=alpha left(x,ghright)}$

(com α(x, g) geralmente abreviado para xg ou x ⋅ g quando a ação sendo considerado está claro no contexto)

Identidade:	$- Sim.$
Compatibilidade:	$(xcdot g)cdot h=xcdot (gh)}$

para todos os g e h em G e todos os x em X.

A diferença entre as ações esquerda e direita está na ordem em que um produto gh age em x. Para uma ação à esquerda, h atua primeiro, seguido por g segundo. Para uma ação correta, g age primeiro, seguido por h segundo. Por causa da fórmula (gh)⁻¹ = h⁻¹< i>g⁻¹, uma ação à esquerda pode ser construída a partir de uma ação à direita compondo com a operação inversa do grupo. Além disso, uma ação correta de um grupo G em X pode ser considerado como uma ação esquerda de seu grupo oposto G^op em X.

Assim, para estabelecer as propriedades gerais das ações do grupo, basta considerar apenas as ações à esquerda. No entanto, há casos em que isso não é possível. Por exemplo, a multiplicação de um grupo induz uma ação à esquerda e uma ação à direita no próprio grupo — multiplicação à esquerda e à direita, respectivamente.

Propriedades notáveis de ações

Vamos. $Não. G.$ ser um grupo agindo em um conjunto $- Sim.$. A ação é chamada fiel ou eficaz se $- Sim.$ para todos ${displaystyle xin X}$ implica que $Não. g=e_{G}}$. Equivalentemente, o morfismo de $Não. G.$ ao grupo de bijeções de $- Sim.$ correspondente à ação é injetável.

A ação é chamada grátis (ou semiregular ou ponto fixo livre) se a declaração $- Sim.$ para alguns ${displaystyle xin X}$ já implica que $Não. g=e_{G}}$. Em outras palavras, nenhum elemento não trivial $Não. G.$ corrige um ponto de $- Sim.$. Esta é uma propriedade muito mais forte do que a fidelidade.

Por exemplo, a ação de qualquer grupo em si mesmo pela multiplicação esquerda é livre. Esta observação implica o teorema de Cayley que qualquer grupo pode ser incorporado em um grupo simétrico (que é infinito quando o grupo é). Um grupo finito pode atuar fielmente em um conjunto de tamanho muito menor do que sua cardinalidade (embora tal ação não possa ser livre). Por exemplo, o abeliano 2-grupo $(mathbb {Z} /2mathbb {Z})^{n}}$ (de cardinalidade) ${displaystyle 2^{n}}$) actua fielmente num conjunto de dimensões $Não.$. Este não é sempre o caso, por exemplo, o grupo cíclico ${displaystyle mathbb {Z} /2^{n}mathbb Não.$ não pode agir fielmente em um conjunto de tamanho menor do que ${displaystyle 2^{n}}$.

Em geral, o menor conjunto em que uma ação fiel pode ser definida pode variar muito para grupos do mesmo tamanho. Por exemplo, três grupos de tamanho 120 são o grupo simétrico $Não. S_{5}}$, o grupo icosahedral ${displaystyle A_{5}times mathbb {Z} /2mathbb Não.$ e o grupo cíclico ${displaystyle mathbb {Z} /120mathbb Não.$. Os menores conjuntos em que as ações fiéis podem ser definidas para esses grupos são de tamanho 5, 12 e 16 respectivamente.

Propriedades de transitividade

A acção $Não. G.$ sobre $- Sim.$ é chamado transitório se para qualquer dois pontos ${displaystyle x,yin X}$ existe uma $- Não.$ assim $- Sim.$.

A ação é simplesmente transitório (ou nitidamente transitivoou regular) se for transitivo e livre. Isso significa que dado ${displaystyle x,yin X}$ o elemento $Não.$ na definição de transitividade é única. Se $- Sim.$ é acionado simplesmente transitivamente por um grupo $Não. G.$ então é chamado de espaço homogêneo principal para $Não. G.$ ou um $Não. G.$-tor.

Para um inteiro ${displaystyle ngeq 1}$, a acção é $Não.$- Transitório se $- Sim.$ pelo menos $Não.$ elementos, e para qualquer par de $Não.$- tuplas $(x_{1},ldotsx_{n}),(y_{1},ldotsy_{n})in X^{n}}$ com entradas distintas em pares (que é ${displaystyle x_{i}not =x_{j}}$, ${displaystyle y_{i}not =y_{j}}$ quando $- Sim.$) existe uma $- Não.$ tal que ${displaystyle gcdot x_{i}=y_{i}}$ para $- Sim.$. Em outras palavras, a ação no subconjunto de $Não. X^{n}}$ de tuplas sem entradas repetidas é transitivo. Para $Não.$ isto é frequentemente chamado duplo, respectivamente triplo, transitividade. A classe de grupos 2-transitivos (isto é, subgrupos de um grupo simétrico finito cuja ação é 2-transitiva) e, mais geralmente, os grupos transitivos multiplicam-se bem estudados na teoria do grupo finito.

Uma ação é agudamente $Não.$- Transitório quando a ação em tuplas sem entradas repetidas em $Não. X^{n}}$ é nitidamente transitivo.

Exemplos

A ação do grupo simétrico $- Sim.$ é transitivo, na verdade $Não.$-transitivo para qualquer $Não.$ até à cardinalidade de $- Sim.$. Se $- Sim.$ tem cardinalidade $Não.$ a ação do grupo alternado é $(n-2)}$-transitivo, mas não $(n-1)}$- Transitivo.

A ação do grupo linear geral de um espaço vetorial $Não.$ no conjunto ${displaystyle Vsetminus {0}}$ de vetores não-zero é transitivo, mas não 2-transitivo (semelhantemente para a ação do grupo linear especial se a dimensão de $Não.$ é pelo menos 2). A ação do grupo ortogonal de um espaço euclidiano não é transitiva em vetores nonzero, mas está na esfera unitária.

Ações primitivas

A acção $Não. G.$ sobre $- Sim.$ é chamado primitiva se não houver partição de $- Sim.$ preservado por todos os elementos de $Não. G.$ além das partições triviais (a partição em uma única peça e sua dupla, a partição em singletons).

Propriedades topológicas

Assuma que $- Sim.$ é um espaço topológico e a ação de $Não. G.$ é por homeomorfismos.

A ação é vagando se todos ${displaystyle xin X}$ tem um bairro $Não.$ tal que há apenas finitamente muitos $- Não.$ com ${displaystyle gcdot Ucap Unot =emptyset }$.

Mais geralmente, um ponto ${displaystyle xin X}$ é chamado de ponto de descontinuidade para a ação de $Não. G.$ se houver um subconjunto aberto $Não. Uni x$ tal que há apenas finitamente muitos $- Não.$ com ${displaystyle gcdot Ucap Unot =emptyset }$. O domínio da descontinuidade da ação é o conjunto de todos os pontos de descontinuidade. Equivalentemente é o maior $Não. G.$- subconjunto aberto estável $Não. Omega subset X}$ tal que a ação de $Não. G.$ sobre $Não. - Sim.$ está vagando. Em um contexto dinâmico isto também é chamado vagando conjunto.

A ação é descontinuação adequada se para cada subconjunto compacto $Não. Ksubset X}$ há finitamente muitos $- Não.$ tal que ${displaystyle gcdot Kcap Knot =emptyset }$. Isto é estritamente mais forte do que vaguear; por exemplo, a ação de ${displaystyle mathbb {Z} } }$ sobre ${displaystyle mathbb {R} ^{2}setminus {0,0)}}$ por $(x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y) ?$ é vagando e livre, mas não adequadamente descontinuado.

A ação por deck transformações do grupo fundamental de um espaço localmente simplesmente conectado em um espaço de cobertura é vagando e livre. Tais ações podem ser caracterizadas pela seguinte propriedade: cada ${displaystyle xin X}$ tem um bairro $Não.$ tal que ${displaystyle gcdot Ucap U=emptyset }$ para todos ${displaystyle gin Gsetminus {e_{G}}}$. Ações com esta propriedade são às vezes chamadas livremente descontinuado, e o maior subconjunto em que a ação é livremente descontinua é então chamado de conjunto regular livre.

Uma ação de um grupo $Não. G.$ em um espaço localmente compacto $- Sim.$ é chamado cacau se houver um subconjunto compacto $Não. Asubset X}$ tal que $- Sim.$. Para uma ação adequadamente descontinuada, o cacau é equivalente à compactação do espaço quociente $- Sim.$.

Ações de grupos topológicos

Agora assuma. $Não. G.$ é um grupo topológico e $- Sim.$ um espaço topológico em que atua por homeomorfismos. A acção diz-se ser contínuo se o mapa $Não. Gtimes Xto X}$ é contínuo para a topologia do produto.

A acção diz-se ser apropriado se o mapa $Não. Gtimes Xto Xtimes X}$ definido por $(g,x)mapsto (x,gcdot x)}$ é apropriado. Isso significa que dado conjuntos compactos $- Sim.$ o conjunto de $- Não.$ tal que ${displaystyle gcdot Kcap K'not =emptyset }$ é compacto. Em particular, isso é equivalente à descontinuidade adequada quando $Não. G.$ é um grupo discreto.

É dito ser localmente livre se existe um bairro $Não.$ de $Não. e_{G}}$ tal que ${displaystyle gcdot xnot =x}$ para todos ${displaystyle xin X}$ e ${displaystyle gin Usetminus {e_{G}}}$.

A acção diz-se ser fortemente contínua se o mapa orbital ${displaystyle gmapsto gcdot x}$ é contínuo para cada ${displaystyle xin X}$. Contrariamente ao que o nome sugere, esta é uma propriedade mais fraca do que a continuidade da ação.

Se $Não. G.$ é um grupo de Lie e $- Sim.$ um coletor diferencial, então o subespaço de pontos lisos para a ação é o conjunto de pontos ${displaystyle xin X}$ tal que o mapa ${displaystyle xmapsto gcdot x}$ é suave. Há uma teoria bem desenvolvida de ações do grupo Lie, ou seja, ação que são suaves em todo o espaço.

Ações lineares

Se $Não.$ atua por transformações lineares em um módulo sobre um anel comutativo, a ação é considerada irredutível se não houver nenhum nonzero adequado $Não.$- submódulos invariáveis. É dito ser sem ser humano se decompõe como uma soma direta de ações irredutíveis.

Órbitas e estabilizadores

No composto de cinco tetrahedra, o grupo de simetria é o grupo (rotational) icosaedral Eu... da ordem 60, enquanto o estabilizador de um único tetraedro escolhido é o grupo tetraedral (rotational) T da ordem 12, e do espaço da órbita Eu.../T (de ordem 60/12 = 5) é naturalmente identificado com o 5 tetrahedra – o coset GT corresponde ao tetraedro ao qual g envia o tetraedro escolhido.

Considere um grupo G agindo em um conjunto X. O órbita de um elemento x em X é o conjunto de elementos em X a que x pode ser movido pelos elementos de G. A órbita de x é denotado por $Não. Gcdot x}$:

$$Não. Gcdot x={gcdot x:gin G}.}$$

As propriedades de definição de um grupo garantem que o conjunto de órbitas de (pontos x em) X sob a acção de G formar uma partição de X. A relação de equivalência associada é definida por dizer $- Sim.$ se e somente se houver um g em G com ${displaystyle gcdot x=y.}$ As órbitas são então as classes de equivalência sob esta relação; dois elementos x e Sim. são equivalentes se e somente se suas órbitas são iguais, isto é, $Não. Gcdot x=Gcdot y.}$

A ação do grupo é transitiva se e somente se tem exatamente uma órbita, ou seja, se existe x em X com $Não. Gcdot x=X.}$ Este é o caso se e somente se $- Sim.$ para Todos x em X (dado que) X é não vazio).

O conjunto de todas as órbitas de X sob a acção de G é escrito como X/G (ou, menos frequentemente: GX), e é chamado de - Sim. da ação. Em situações geométricas pode ser chamado de espaço de órbita, enquanto em situações algébricas pode ser chamado de espaço de moedasvariantese escrito $- Sim.$ em contraste com os invariantes (pontos fixos), denotados X^G: as moedasvariantes são um - Sim. enquanto as invariantes são subconjunto. A terminologia e notação coinvariantes são usadas particularmente na cohomologia do grupo e na homologia do grupo, que usam a mesma convenção sobrescrita/subscrita.

Subconjuntos invariantes

Se Y é um subconjunto de X, então $Não. Gcdot Y$ denota o conjunto ${displaystyle {gcdot y:gin G{text{ e }}yin Sim.$ O subconjunto Y é dito para ser invariante sob G se $- Sim.$ (que é equivalente a $Não. Gcdot Ysubseq Sim.$). Nesse caso, G também opera em Y restringindo a acção a Y. O subconjunto Y é chamado fixo em G se $- Sim.$ para todos g em G e todos Sim. em Y. Cada subconjunto que é fixado em G também é invariante sob G, mas não inversamente.

Toda órbita é um subconjunto invariante de X no qual G atua transitivamente. Por outro lado, qualquer subconjunto invariante de X é uma união de órbitas. A ação de G sobre X é transitiva se e somente se todos os elementos forem equivalentes, significando que existe apenas uma órbita.

A G-invariante elemento de X o ${displaystyle xin X}$ tal que $- Sim.$ para todos ${displaystyle gin G.}$ O conjunto de todos estes x é denotado $Não. X^{G}}$ e chamou o G-invariantes de X. Quando X é um módulo G, X^G é o grupo de cohomologia zero G com coeficientes em X, e os grupos de cohomologia mais elevados são os funtores derivados do functor do G-invariantes.

Pontos fixos e subgrupos estabilizadores

Conduzido g em G e x em X com ${displaystyle gcdot x=x,}$ é dito que "x é um ponto fixo de g"ou aquilo"g correções x". Para cada x em X, o subgrupo estabilizador de G com respeito a x (também chamado de Grupo isotropia ou pequeno grupo) é o conjunto de todos os elementos em G que corrigir x:

$$Não. G_{x}={gin G:gcdot x=x}.}$$

$Não. Gto operatorname {Sym} (X),}$

Vamos. x e Sim. ser dois elementos em Xe deixar $Não.$ ser um elemento de grupo tal que ${displaystyle y=gcdot x.}$ Em seguida, os dois grupos estabilizadores ${displaystyle G_{x}}$ e $Não. G_{y}}$ são relacionados por $Não. G_{y}=gG_{x}g^{-1}.}$ Prova: por definição, ${displaystyle hin G_{y}}$ se e somente se $(gcdot x)=gcdot x.}$ Aplicação ${displaystyle g^{-1}}$ a ambos os lados desta igualdade produz ${displaystyle left(g^{-1}hgright)cdot x=x;}$ Isso é, ${displaystyle g^{-1}hgin G_{x}.$ Uma inclusão oposta segue da mesma forma ao tomar ${displaystyle hin G_{x}}$ e suposição ${displaystyle x=g^{-1}cdot y.}$

O acima diz que os estabilizadores de elementos na mesma órbita são conjugados uns com os outros. Assim, para cada órbita, podemos associar uma classe conjugada de um subgrupo de G (isto é, o conjunto de todas as conjugações do subgrupo). Vamos. $(H)}$ denotar a classe conjugada de H. H. H.. Então a órbita O tem tipo $(H)}$ se o estabilizador ${displaystyle G_{x}}$ de alguns/qualquer x em O pertence a $(H)}$. Um tipo de órbita máxima é frequentemente chamado de um tipo de órbita principal.

Teorema do estabilizador de órbita e lema de Burnside

Orbits e estabilizadores estão intimamente relacionados. Para um fixo x em X, considerar o mapa ${displaystyle f:Gto X}$ por ${displaystyle gmapsto gcdot x.}$ Por definição a imagem $(G)}$ deste mapa é a órbita $Não. Gcdot x.}$ A condição para dois elementos ter a mesma imagem é

$${displaystyle f(g)=f(h)iff gcdot x=hcdot xiff g^{-1}hcdot x=xiff g^{-1}hin G_{x}iff hin gG_{x}.}$$

${displaystyle f(g)=f(h)}$

$Não.$

$Não.$

$Não. G_{x}.$

$({y})}$

${displaystyle G/G_{x}}$

$Não. Gcdot x,}$

${displaystyle gG_{x}mapsto gcdot x}$

Se G é finito, então o teorema do estabilizador de órbita, juntamente com o teorema de Lagrange, dá

$${displaystyle |Gcdot x|=[G,:,G_{x}]=|G|/|G_{x}|,}$$

Exemplo: Vamos. G ser um grupo de ordem principal p agindo em um conjunto X com k elementos. Uma vez que cada órbita tem 1 ou 1 p elementos, há pelo menos ${displaystyle k{bmod {p}}}$ órbitas de comprimento 1 que são G-elementos invariantes.

Esse resultado é especialmente útil, pois pode ser empregado para contar argumentos (normalmente em situações em que X também é finito).

Gráfico cúbico com vértices rotulados

Example: We can use the orbit-stabilizer theorem to count the automorphisms of a graph. Consider the cubical graph as pictured, and let G denote its automorphism group. Then G acts on the set of vertices {1, 2,..., 8}, and this action is transitive as can be seen by composing rotations about the center of the cube. Thus, by the orbit-stabilizer theorem, ${displaystyle |G|=|Gcdot 1||G_{1}|=8|G_{1}|.}$ Applying the theorem now to the stabilizer ${displaystyle G_{1},}$ we can obtain ${displaystyle |G_{1}|=|(G_{1})cdot 2||(G_{1})_{2}|.}$ Any element of G that fixes 1 must send 2 to either 2, 4, or 5. As an example of such automorphisms consider the rotation around the diagonal axis through 1 and 7 by ${displaystyle 2pi /3}$ which permutes 2,4,5 and 3,6,8, and fixes 1 and 7. Thus, ${displaystyle left|(G_{1})cdot 2right|=3.}$ Applying the theorem a third time gives ${displaystyle |left(G_{1}right)_{2}|=|left(left(G_{1}right)_{2}right)cdot 3||left(left(G_{1}right)_{2}right)_{3}|.}$ Any element of G that fixes 1 and 2 must send 3 to either 3 or 6. Reflecting the cube at the plane through 1,2,7 and 8 is such an automorphism sending 3 to 6, thus ${displaystyle left|left(left(G_{1}right)_{2}right)cdot 3right|=2}$. One also sees that ${displaystyle left(left(G_{1}right)_{2}right)_{3}}$ consists only of the identity automorphism, as any element of G fixing 1, 2 and 3 must also fix all other vertices, since they are determined by their adjacency to 1, 2 and 3. Combining the preceding calculations, we can now obtain ${displaystyle |G|=8cdot 3cdot 2cdot 1=48.}$

Um resultado intimamente relacionado ao teorema do estabilizador de órbita é o lema de Burnside:

$$|X/G|={frac {1}{|G|}}sum _{gin G}|X^{g}|,}$$

onde X^g é o conjunto de pontos fixados por g. Este resultado é útil principalmente quando G e X são finitos, quando pode ser interpretado da seguinte forma: o número de órbitas é igual ao número médio de pontos fixados por grupo elemento.

Fixando um grupo G, o conjunto de diferenças formais de conjuntos G finitos forma um anel denominado anel de Burnside de G, onde a adição corresponde à união disjunta e a multiplicação ao produto cartesiano.

Exemplos

• The trivial action of any group G on any set X is defined by g⋅x = x for all g in G and all x in X; that is, every group element induces the identity permutation on X.
• In every group G, left multiplication is an action of G on G: g⋅x = gx for all g, x in G. This action is free and transitive (regular), and forms the basis of a rapid proof of Cayley's theorem - that every group is isomorphic to a subgroup of the symmetric group of permutations of the set G.
• In every group G with subgroup H, left multiplication is an action of G on the set of cosets G/H: g⋅aH = gaH for all g,a in G. In particular if H contains no nontrivial normal subgroups of G this induces an isomorphism from G to a subgroup of the permutation group of degree [G: H].
• In every group G, conjugation is an action of G on G: g⋅x = gxg⁻¹. An exponential notation is commonly used for the right-action variant: x^g = g⁻¹xg; it satisfies (x^g)^h = x^gh.
• In every group G with subgroup H, conjugation is an action of G on conjugates of H: g⋅K = gKg⁻¹ for all g in G and K conjugates of H.
• An action of ${displaystyle mathbb {Z} }$ on a set X uniquely determines and is determined by an automorphism of X, given by the action of 1. Similarly, an action of ${displaystyle mathbb {Z} /2mathbb {Z} }$ on X is equivalent to the data of an involution of X.
• The symmetric group S_n and its subgroups act on the set { 1, …, n } by permuting its elements
• The symmetry group of a polyhedron acts on the set of vertices of that polyhedron. It also acts on the set of faces or the set of edges of the polyhedron.
• The symmetry group of any geometrical object acts on the set of points of that object.
• The automorphism group of a vector space (or graph, or group, or ring...) acts on the vector space (or set of vertices of the graph, or group, or ring...).
• The general linear group GL(n, K) and its subgroups, particularly its Lie subgroups (including the special linear group SL(n, K), orthogonal group O(n, K), special orthogonal group SO(n, K), and symplectic group Sp(n, K)) are Lie groups that act on the vector space Kⁿ. The group operations are given by multiplying the matrices from the groups with the vectors from Kⁿ.
• The general linear group GL(n, Z) acts on Zⁿ by natural matrix action. The orbits of its action are classified by the greatest common divisor of coordinates of the vector in Zⁿ.
• The affine group acts transitively on the points of an affine space, and the subgroup V of the affine group (that is, a vector space) has transitive and free (that is, regular) action on these points; indeed this can be used to give a definition of an affine space.
• The projective linear group PGL(n + 1, K) and its subgroups, particularly its Lie subgroups, which are Lie groups that act on the projective space Pⁿ(K). This is a quotient of the action of the general linear group on projective space. Particularly notable is PGL(2, K), the symmetries of the projective line, which is sharply 3-transitive, preserving the cross ratio; the Möbius group PGL(2, C) is of particular interest.
• The isometries of the plane act on the set of 2D images and patterns, such as wallpaper patterns. The definition can be made more precise by specifying what is meant by image or pattern, for example, a function of position with values in a set of colors. Isometries are in fact one example of affine group (action).
• The sets acted on by a group G comprise the category of G-sets in which the objects are G-sets and the morphisms are G-set homomorphisms: functions f: X → Y such that g⋅(f(x)) = f(g⋅x) for every g in G.
• The Galois group of a field extension L/K acts on the field L but has only a trivial action on elements of the subfield K. Subgroups of Gal(L/K) correspond to subfields of L that contain K, that is, intermediate field extensions between L and K.
• The additive group of the real numbers (R, +) acts on the phase space of "well-behaved" systems in classical mechanics (and in more general dynamical systems) by time translation: if t is in R and x is in the phase space, then x describes a state of the system, and t + x is defined to be the state of the system t seconds later if t is positive or −t seconds ago if t is negative.
• The additive group of the real numbers (R, +) acts on the set of real functions of a real variable in various ways, with (t⋅f)(x) equal to, for example, f(x + t), f(x) + t, f(xe^t), f(x)e^t, f(x + t)e^t, or f(xe^t) + t, but not f(xe^t + t).
• Given a group action of G on X, we can define an induced action of G on the power set of X, by setting g⋅U = {g⋅u: u ∈ U} for every subset U of X and every g in G. This is useful, for instance, in studying the action of the large Mathieu group on a 24-set and in studying symmetry in certain models of finite geometries.
• The quaternions with norm 1 (the versors), as a multiplicative group, act on R³: for any such quaternion z = cos α/2 + v sin α/2, the mapping f(x) = zxz^∗ is a counterclockwise rotation through an angle α about an axis given by a unit vector v; z is the same rotation; see quaternions and spatial rotation. Note that this is not a faithful action because the quaternion −1 leaves all points where they were, as does the quaternion 1.
• Given left G-sets ${displaystyle X,Y}$, there is a left G-set ${displaystyle Y^{X}}$ whose elements are G-equivariant maps ${displaystyle alpha:Xtimes Gto Y}$, and with left G-action given by ${displaystyle gcdot alpha =alpha circ (id_{X}times -g)}$ (where "${displaystyle -g}$" indicates right multiplication by ${displaystyle g}$). This G-set has the property that its fixed points correspond to equivariant maps ${displaystyle Xto Y}$; more generally, it is an exponential object in the category of G-sets.

Ações de grupo e grupóides

A noção de ação de grupo pode ser codificada pelo grupo de ação ${displaystyle G'=Gltimes X}$ associado à ação do grupo. Os estabilizadores da ação são os grupos de vértices do groupoid e as órbitas da ação são seus componentes.

Morfismos e isomorfismos entre conjuntos G

Se X e Y são dois conjuntos G, um morfismo de X para Y é uma função f: X → Y tal que f(g⋅x) = g⋅< i>f(x) para todo g em G e todo x em X. Morfismos de conjuntos G também são chamados de mapas equivalentes ou G-maps.

A composição de dois morfismos é novamente um morfismo. Se um morfismo f é bijetivo, então seu inverso também é um morfismo. Neste caso, f é chamado de isomorfismo, e os dois conjuntos G X e Y são chamados isomorfos; para todos os propósitos práticos, conjuntos G isomórficos são indistinguíveis.

Alguns exemplos de isomorfismos:

• Cada regular G ação é isomorfo para a ação G sobre G dada pela multiplicação esquerda.
• Cada livre G ação é isomorfo G × S, onde S é um conjunto e G actos G × S pela multiplicação esquerda na primeira coordenada. (S pode ser tomado para ser o conjunto de órbitas X/G.)
• Cada transitório G ação é isomorfo para a multiplicação esquerda por G no conjunto de conjuntos esquerdos de alguns subgrupos H. H. H. de G. (H. H. H. pode ser tomado para ser o grupo estabilizador de qualquer elemento do original G-set.)

Com essa noção de morfismo, a coleção de todos os conjuntos G forma uma categoria; essa categoria é um topos de Grothendieck (na verdade, assumindo uma metalógica clássica, esse topos será até booleano).

Variantes e generalizações

Também podemos considerar ações de monóides em conjuntos, usando os mesmos dois axiomas acima. No entanto, isso não define mapas bijetivos e relações de equivalência. Veja ação de semigrupo.

Em vez de ações em conjuntos, podemos definir ações de grupos e monóides em objetos de uma categoria arbitrária: comece com um objeto X de alguma categoria e, em seguida, defina uma ação em X como um homomorfismo monóide no monóide de endomorfismos de X. Se X tiver um conjunto subjacente, todas as definições e fatos declarados acima podem ser transferidos. Por exemplo, se tomarmos a categoria de espaços vetoriais, obteremos representações de grupo dessa maneira.

Podemos ver um grupo G como uma categoria com um único objeto no qual todo morfismo é invertível. Uma ação de grupo (à esquerda) nada mais é do que um functor (covariante) de G para a categoria de conjuntos, e uma representação de grupo é um functor de G para a categoria de espaços vetoriais. Um morfismo entre G-sets é então uma transformação natural entre os functores de ação de grupo. Em analogia, uma ação de um grupóide é um functor do grupóide para a categoria de conjuntos ou para alguma outra categoria.

Além de ações contínuas de grupos topológicos em espaços topológicos, muitas vezes também consideramos ações suaves de grupos de Lie em variedades suaves, ações regulares de grupos algébricos em variedades algébricas e ações de esquemas de grupos em esquemas. Todos esses são exemplos de objetos de grupo agindo sobre objetos de suas respectivas categorias.

Galeria

• 

  Orbito de um triângulo esférico fundamental (marcado em vermelho) sob ação do grupo octahedral completo.

• 

  Orbito de um triângulo esférico fundamental (marcado em vermelho) sob ação do grupo icosaedral completo.