Zona

El área combinada de estas tres formas es aproximadamente 15.57 cuadrados.

Área es la cantidad que expresa la extensión de una región en el plano o en una superficie curva. El área de una región plana o área plana se refiere al área de una forma o lámina plana, mientras que el área superficial se refiere al área de una superficie abierta o el límite de una objeto tridimensional. El área puede entenderse como la cantidad de material con un espesor dado que sería necesario para realizar un modelo de la forma, o la cantidad de pintura necesaria para cubrir la superficie con una sola capa. Es el análogo bidimensional de la longitud de una curva (un concepto unidimensional) o el volumen de un sólido (un concepto tridimensional).

El área de una forma se puede medir comparando la forma con cuadrados de un tamaño fijo. En el Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad estándar de área es el metro cuadrado (escrito como m²), que es el área de un cuadrado cuyos lados miden un metro de largo. Una forma con un área de tres metros cuadrados tendría la misma área que tres de esos cuadrados. En matemáticas, se define que el cuadrado unitario tiene un área uno, y el área de cualquier otra forma o superficie es un número real adimensional.

Este cuadrado y este disco tienen el mismo área (ver: cubrir el círculo).

Existen varias fórmulas conocidas para las áreas de formas simples como triángulos, rectángulos y círculos. Usando estas fórmulas, el área de cualquier polígono se puede encontrar dividiendo el polígono en triángulos. Para formas con límite curvo, generalmente se requiere cálculo para calcular el área. De hecho, el problema de determinar el área de figuras planas fue una de las principales motivaciones para el desarrollo histórico del cálculo.

Para una forma sólida, como una esfera, un cono o un cilindro, el área de su superficie límite se denomina área de superficie. Los antiguos griegos calcularon las fórmulas para las áreas de superficie de formas simples, pero calcular el área de superficie de una forma más complicada generalmente requiere cálculo multivariable.

El área juega un papel importante en las matemáticas modernas. Además de su importancia obvia en geometría y cálculo, el área está relacionada con la definición de determinantes en álgebra lineal y es una propiedad básica de las superficies en geometría diferencial. En el análisis, el área de un subconjunto del plano se define utilizando la medida de Lebesgue, aunque no todos los subconjuntos se pueden medir. En general, el área en matemáticas superiores se ve como un caso especial de volumen para regiones bidimensionales.

El área se puede definir mediante el uso de axiomas, definiéndola como una función de una colección de ciertas figuras planas al conjunto de números reales. Se puede probar que tal función existe.

Definición formal

Un enfoque para definir qué se entiende por "área" es a través de axiomas. "Área" se puede definir como una función de una colección M de un tipo especial de figuras planas (denominadas conjuntos medibles) al conjunto de números reales, que satisface las siguientes propiedades:

• Para todos S dentro M, a()S) ≥ 0.
• Si S y T están dentro M entonces, así que S ∪ T y S ∩ T, y también a()S∪T) a()S) + a()T) − a()S ∩ T).
• Si S y T están dentro M con S ⊆ T entonces T − S está dentro M y a()T−S) a()T) − a()S).
• Si un conjunto S está dentro M y S es congruente con T entonces T también está M y a()S) a()T).
• Cada rectángulo R está dentro M. Si el rectángulo tiene longitud h y pan k entonces a()R) hk.
• Vamos Q se adjunta entre dos regiones escaleras S y T. Una región de paso se forma a partir de una unión finita de rectángulos adyacentes descansando en una base común, es decir. S ⊆ Q ⊆ T. Si hay un número único c tales que a()S≤ ≤ a()T) para todas esas regiones S y T, entonces a()Q) c.

Se puede probar que tal función de área realmente existe.

Unidades

Un cuadrante cuadrado hecho de tubo de PVC.

Cada unidad de longitud tiene una unidad de área correspondiente, a saber, el área de un cuadrado con la longitud de lado dada. Así, las áreas se pueden medir en metros cuadrados (m²), centímetros cuadrados (cm²), milímetros cuadrados (mm²), kilómetros cuadrados (km²), pies cuadrados (ft²), yardas cuadradas (yd²), millas cuadradas (mi²) sup>), y así sucesivamente. Algebraicamente, estas unidades se pueden considerar como los cuadrados de las unidades de longitud correspondientes.

La unidad de área del SI es el metro cuadrado, que se considera una unidad derivada del SI.

Conversiones

Aunque hay 10 mm en 1 cm, hay 100 mm² en 1 cm².

El cálculo del área de un cuadrado de 1 metro de largo y ancho sería:

1 metro × 1 metro = 1 m²

y así, un rectángulo con diferentes lados (por ejemplo, 3 metros de largo y 2 metros de ancho) tendría un área en unidades cuadradas que se puede calcular como:

3 metros × 2 metros = 6 m². Esto es equivalente a 6 millones de milímetros cuadrados. Otras conversiones útiles son:

• 1 kilómetro cuadrado = 1.000.000 metros cuadrados
• 1 metro cuadrado = 10.000 centímetros cuadrados = 1.000.000 milímetros cuadrados
• 1 centímetro cuadrado = 100 milímetros cuadrados.

Unidades no métricas

En unidades no métricas, la conversión entre dos unidades cuadradas es el cuadrado de la conversión entre las unidades de longitud correspondientes.

1 pie = 12 pulgadas,

la relación entre pies cuadrados y pulgadas cuadradas es

1 pie cuadrado = 144 pulgadas cuadradas,

donde 144 = 12² = 12 × 12. Del mismo modo:

• 1 patio cuadrado = 9 pies cuadrados
• 1 milla cuadrada = 3.097.600 metros cuadrados = 27.878.400 pies cuadrados

Además, los factores de conversión incluyen:

• 1 pulgada cuadrada = 6.4516 centímetros cuadrados
• 1 pie cuadrado = 0,09290304 metros cuadrados
• 1 patio cuadrado = 0.83612736 metros cuadrados
• 1 milla cuadrada = 2.589988110336 kilómetros cuadrados

Otras unidades incluyendo históricas

Hay varias otras unidades comunes para el área. El are era la unidad original de área en el sistema métrico, con:

• 1 son = 100 metros cuadrados

Aunque el área ha caído en desuso, la hectárea todavía se usa comúnmente para medir la tierra:

• 1 hectárea = 100 son = 10.000 metros cuadrados = 0,01 kilómetros cuadrados

Otras unidades métricas poco comunes de área incluyen la tétrada, la hectárea y la miríada.

El acre también se usa comúnmente para medir áreas de tierra, donde

• 1 acre = 4.840 metros cuadrados = 43.560 pies cuadrados.

Un acre es aproximadamente el 40 % de una hectárea.

En la escala atómica, el área se mide en unidades de graneros, de modo que:

• 1 granero = 10⁻²⁸ metros cuadrados.

El granero se usa comúnmente para describir el área transversal de interacción en la física nuclear.

En India,

• 20 dhurki = 1 dhur
• 20 dhur = 1 khatha
• 20 khata = 1 bigha
• 32 khata = 1 acre

Historia

Área del círculo

En el siglo V a. C., Hipócrates de Quíos fue el primero en demostrar que el área de un disco (la región encerrada por un círculo) es proporcional al cuadrado de su diámetro, como parte de su cuadratura de la luna de Hipócrates., pero no identificó la constante de proporcionalidad. Eudoxo de Cnido, también en el siglo V a. C., también descubrió que el área de un disco es proporcional a su radio al cuadrado.

Posteriormente, el Libro I de los Elementos de Euclides trató sobre la igualdad de áreas entre figuras bidimensionales. El matemático Arquímedes utilizó las herramientas de la geometría euclidiana para demostrar que el área dentro de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuya base tiene la longitud de la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio del círculo, en su libro Medidas de un círculo. (La circunferencia es 2πr, y el área de un triángulo es la mitad de la base por el altura, dando el área πr² para el disco). Arquímedes aproximó el valor de π (y por lo tanto el área de un círculo de radio unitario) con su método de duplicación, en el que inscribió un triángulo regular en un círculo y anotó su área, luego duplicó el número de lados para dar un hexágono regular, luego duplicó repetidamente el número de lados a medida que el área del polígono se acercaba más y más a la del círculo (e hizo lo mismo con los polígonos circunscritos).

El científico suizo Johann Heinrich Lambert demostró en 1761 que π, la relación entre el área de un círculo y su radio al cuadrado, es irracional, lo que significa que no es igual al cociente de dos números enteros cualesquiera. En 1794, el matemático francés Adrien-Marie Legendre demostró que π² es irracional; esto también prueba que π es irracional. En 1882, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que π es trascendental (no la solución de ninguna ecuación polinomial con coeficientes racionales), confirmando una conjetura hecha tanto por Legendre como por Euler.

Área del triángulo

Heron (o Hero) de Alejandría encontró lo que se conoce como la fórmula de Heron para el área de un triángulo en términos de sus lados, y se puede encontrar una prueba en su libro, Metrica, escrito alrededor del año 60 EC. Se ha sugerido que Arquímedes conocía la fórmula más de dos siglos antes, y dado que Metrica es una colección del conocimiento matemático disponible en el mundo antiguo, es posible que la fórmula sea anterior a la referencia dada en ese trabajo..

En 499 Aryabhata, un gran astrónomo y matemático de la era clásica de las matemáticas y la astronomía indias, expresó el área de un triángulo como la mitad de la base por la altura en Aryabhatiya (sección 2.6).

Los chinos, independientemente de los griegos, descubrieron una fórmula equivalente a la de Heron. Fue publicado en 1247 en Shushu Jiuzhang ("Tratado matemático en nueve secciones"), escrito por Qin Jiushao.

Área del cuadrilátero

En el siglo VII EC, Brahmagupta desarrolló una fórmula, ahora conocida como fórmula de Brahmagupta, para el área de un cuadrilátero cíclico (un cuadrilátero inscrito en un círculo) en términos de sus lados. En 1842, los matemáticos alemanes Carl Anton Bretschneider y Karl Georg Christian von Staudt encontraron de forma independiente una fórmula, conocida como fórmula de Bretschneider, para el área de cualquier cuadrilátero.

Área general del polígono

El desarrollo de las coordenadas cartesianas por parte de René Descartes en el siglo XVII permitió el desarrollo de la fórmula topográfica para el área de cualquier polígono con ubicaciones de vértices conocidas por Gauss en el siglo XIX.

Áreas determinadas usando cálculo

El desarrollo del cálculo integral a fines del siglo XVII proporcionó herramientas que posteriormente podrían usarse para calcular áreas más complicadas, como el área de una elipse y las áreas de superficie de varios objetos tridimensionales curvos.

Fórmulas de área

Fórmulas de polígonos

Para un polígono no autointersecante (simple), las coordenadas cartesianas ()xi,Sí.i){displaystyle (x_{i},y_{i}} ()i=0, 1,... n-1) de cuyo n vertices son conocidos, el área es dada por la fórmula del encuestador:

A=12Silencio.. i=0n− − 1()xiSí.i+1− − xi+1Sí.i)Silencio{displaystyle A={frac {1}{2}{ Biggl vert }sum ¿Por qué? Biggr vert }

donde cuando i=n-1, entonces i+1 se expresa como módulo n y así se refiere a 0.

Rectángulos

El área de este rectángulo es#.

La fórmula de área más básica es la fórmula para el área de un rectángulo. Dado un rectángulo con longitud l y ancho w, la fórmula para el área es:

A = # (rectángulo).

Es decir, el área del rectángulo es el largo multiplicado por el ancho. Como caso especial, como l = w en el caso de un cuadrado, el área de un cuadrado con lado de longitud s viene dado por la fórmula:

A = s² (cuatro).

La fórmula para el área de un rectángulo se deriva directamente de las propiedades básicas del área y, a veces, se toma como una definición o un axioma. Por otro lado, si la geometría se desarrolla antes que la aritmética, esta fórmula puede usarse para definir la multiplicación de números reales.

Disección, paralelogramos y triángulos

La mayoría de las otras fórmulas simples para el área se derivan del método de disección. Esto implica cortar una forma en pedazos, cuyas áreas deben sumar el área de la forma original.

Un diagrama que muestra cómo un paralelograma puede ser re-organizado en la forma de un rectángulo.

Por ejemplo, cualquier paralelogramo se puede subdividir en un trapezoide y un triángulo rectángulo, como se muestra en la figura de la izquierda. Si el triángulo se mueve al otro lado del trapezoide, la figura resultante es un rectángulo. De ello se deduce que el área del paralelogramo es igual al área del rectángulo:

A = bh (paralelograma).

Un paralelograma dividido en dos triángulos iguales.

Sin embargo, el mismo paralelogramo también se puede cortar a lo largo de una diagonal en dos triángulos congruentes, como se muestra en la figura de la derecha. De ello se deduce que el área de cada triángulo es la mitad del área del paralelogramo:

A=12bh{displaystyle A={frac} {2}bh} (triángulo).

Se pueden usar argumentos similares para encontrar fórmulas de área para el trapezoide, así como para polígonos más complicados.

Área de formas curvas

Círculos

Un círculo se puede dividir en sectores que reordenan para formar un paralelograma aproximado.

La fórmula para el área de un círculo (más propiamente llamada área encerrada por un círculo o área de un disco) se basa en un método similar. Dado un círculo de radio r, es posible dividir el círculo en sectores, como se muestra en la figura de la derecha. Cada sector tiene una forma aproximadamente triangular y los sectores se pueden reorganizar para formar un paralelogramo aproximado. La altura de este paralelogramo es r, y el ancho es la mitad de la circunferencia del círculo, o πr. Por lo tanto, el área total del círculo es πr²:

A = πr² (círculo).

Aunque la disección utilizada en esta fórmula es solo aproximada, el error se vuelve cada vez más pequeño a medida que el círculo se divide en más y más sectores. El límite de las áreas de los paralelogramos aproximados es exactamente πr², que es el área del círculo.

Este argumento es en realidad una simple aplicación de las ideas del cálculo. En la antigüedad, el método de agotamiento se usaba de manera similar para encontrar el área del círculo, y este método ahora se reconoce como un precursor del cálculo integral. Usando métodos modernos, el área de un círculo se puede calcular usando una integral definida:

A=2∫ ∫ − − rrr2− − x2dx=π π r2.{displaystyle A;=;2int ¿Qué? {cH00}-x^{2}},dx;=;.

Elipses

La fórmula del área encerrada por una elipse está relacionada con la fórmula de un círculo; para una elipse con ejes semi-mayor y semi-menor x y y la fórmula es:

A=π π xSí..{displaystyle A=pi xy.}

Área de superficie no plana

Los arquitectos mostraron que la superficie de una esfera es exactamente cuatro veces el área de un disco plano del mismo radio, y el volumen encerrado por la esfera es exactamente 2/3 del volumen de un cilindro de la misma altura y radio.

La mayoría de las fórmulas básicas para el área de superficie se pueden obtener cortando superficies y aplanándolas (ver: superficies desarrollables). Por ejemplo, si la superficie lateral de un cilindro (o cualquier prisma) se corta a lo largo, la superficie se puede aplanar en un rectángulo. De manera similar, si se hace un corte a lo largo del lado de un cono, la superficie lateral se puede aplanar en un sector de un círculo y calcular el área resultante.

La fórmula para el área de la superficie de una esfera es más difícil de obtener: debido a que una esfera tiene una curvatura gaussiana distinta de cero, no se puede aplanar. La fórmula para el área superficial de una esfera fue obtenida por primera vez por Arquímedes en su obra Sobre la esfera y el cilindro. La fórmula es:

A = 4πr² (sphere),

donde r es el radio de la esfera. Al igual que con la fórmula para el área de un círculo, cualquier derivación de esta fórmula utiliza inherentemente métodos similares al cálculo.

Fórmulas generales

Áreas de figuras bidimensionales

Área de triángulo A=b⋅ ⋅ h2{displaystyle A={tfrac {bcdot h}{2}}

• Un triángulo: 12Bh{displaystyle {tfrac}{2}} Bh! (donde) B es cualquier lado, y h es la distancia de la línea en la que B mentiras al otro vértice del triángulo). Esta fórmula se puede utilizar si la altura h es conocido. Si las longitudes de los tres lados son conocidos entonces Fórmula de Heron se puede utilizar: s()s− − a)()s− − b)()s− − c){fnMicrosoft Sans Serif}} Donde a, b, c son los lados del triángulo, y s=12()a+b+c){displaystyle s={tfrac {2}(a+b+c)} es la mitad de su perímetro. Si se da un ángulo y sus dos lados incluidos, el área es 12abpecado⁡ ⁡ ()C){displaystyle {tfrac}{2}absin(C)} Donde C es el ángulo dado y a y b son sus partes incluidas. Si el triángulo se grafica en un plano de coordenadas, una matriz se puede utilizar y se simplifica al valor absoluto de 12()x1Sí.2+x2Sí.3+x3Sí.1− − x2Sí.1− − x3Sí.2− − x1Sí.3){displaystyle {tfrac {1}{2} {2}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}. Esta fórmula también se conoce como la fórmula de calzado y es una manera fácil de resolver para el área de un triángulo de coordenadas sustituyendo los 3 puntos (x₁,y₁), (x₂,y₂), y (x₃,y₃). La fórmula de calzado también se puede utilizar para encontrar las áreas de otros polígonos cuando se conocen sus vértices. Otro enfoque para un triángulo de coordenadas es utilizar cálculo para encontrar el área.
• Un polígono simple construido en una cuadrícula de puntos de igual distancia (es decir, puntos con coordenadas enteros) tal que todos los vértices del polígono son puntos de rejilla: i+b2− − 1{displaystyle i+{frac {b}{2}-1}, donde i es el número de puntos de rejilla dentro del polígono y b es el número de puntos límite. Este resultado es conocido como teorema de Pick.

Área en cálculo

La integración se puede considerar como medición del área bajo una curva, definida por f()x), entre dos puntos (aquí a y b).

El área entre dos gráficos se puede evaluar calculando la diferencia entre las integrales de las dos funciones

• El área entre una curva de valor positivo y el eje horizontal, medido entre dos valores a y b (b se define como el mayor de los dos valores) en el eje horizontal, es dado por la integral a a b de la función que representa la curva:

A=∫ ∫ abf()x)dx.{displaystyle A=int _{a} {b}f(x),dx.}

• El área entre los gráficos de dos funciones es igual a la integral de una función, f()x), menos la parte integral de la otra función, g()x):

A=∫ ∫ ab()f()x)− − g()x))dx,{displaystyle A=int _{a}{b}(f(x)-g(x)),dx,} Donde f()x){displaystyle f(x)} es la curva con el mayor valor y.

• Un área atada por una función r=r()Silencio Silencio ){displaystyle r=r(theta)} expresado en coordenadas polares es:

A=12∫ ∫ r2dSilencio Silencio .{displaystyle A={1 over 2}int r^{2},dtheta.}

• El área encerrada por una curva paramétrica u→ → ()t)=()x()t),Sí.()t)){displaystyle {vec {}(t)=(x(t),y(t)} con puntos finales u→ → ()t0)=u→ → ()t1){displaystyle {vec {}(t_{0})={vec {u}(t_{1}}} es dado por la línea integrales:

∮ ∮ t0t1xSí.Í Í dt=− − ∮ ∮ t0t1Sí.xÍ Í dt=12∮ ∮ t0t1()xSí.Í Í − − Sí.xÍ Í )dt{displaystyle oint ¿Qué? {y},dt=-oint - Sí. {x},dt={1 over 2}oint ¿Qué?

o el z-componente de

12∮ ∮ t0t1u→ → × × u→ → Í Í dt.{displaystyle {1 over 2}oint ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif}

(Para más detalles, vea el cálculo del teorema de Green § Area.) Este es el principio del dispositivo mecánico del plano.

Área acotada entre dos funciones cuadráticas

Para encontrar el área acotada entre dos funciones cuadráticas, restamos una de la otra para escribir la diferencia como

f()x)− − g()x)=ax2+bx+c=a()x− − α α )()x− − β β ){displaystyle f(x)-g(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-alpha)(x-beta)}

donde f(x) es el límite superior cuadrático y g(x) es el límite inferior cuadrático ligado. Definir el discriminante de f(x)-g(x) como

Δ Δ =b2− − 4ac.{displaystyle Delta =b^{2}-4ac. }

Simplificando la fórmula integral entre los gráficos de dos funciones (como se indica en la sección anterior) y usando la fórmula de Vieta, podemos obtener

A=Δ Δ Δ Δ 6a2=a6()β β − − α α )3,aل ل 0.{displaystyle A={frac {Delta {sqrt {Delta {fnK} {f} {f}} {fn}} {fn}} {f}} {f}} {f}}} {fn}} {fn}} {fn}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}} {f} {f}}}}} {f}}} {f}}}}}}}}}}}} {f}}} {f}}}} {f} {f} {f}}} {f} {f}}}}}}} {f}}}}} {f}} {f}}}} {f} {f}}}}}} {f}} {f}}}}}} {f}}}} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { - 'alfa' 0.}

Lo anterior sigue siendo válido si una de las funciones delimitadoras es lineal en lugar de cuadrática.

Área de superficie de figuras tridimensionales

• Cono: π π r()r+r2+h2){displaystyle pi rleft(r+{sqrt {r^{2}+h^{2}}right)}, donde r es el radio de la base circular, y h es la altura. Eso también puede ser reescrito como π π r2+π π rl{displaystyle pi r^{2}+pi rl} o π π r()r+l){displaystyle pi r(r+l),!} Donde r es el radio y l es la altura inclinada del cono. π π r2{displaystyle pi r^{2} es el área base mientras π π rl{displaystyle pi rl} es la superficie lateral del cono.
• Cubo: 6s2{displaystyle 6s^{2}, donde s es la longitud de un borde.
• Cilindro: 2π π r()r+h){displaystyle 2pi r(r+h)}, donde r es el radio de una base y h es la altura. El 2π π r{displaystyle 2pi r} también puede ser reescrito como π π d{displaystyle pi d}, donde d es el diámetro.
• Prisma: 2B+Ph{displaystyle 2B+Ph}, donde B es el área de una base, P es el perímetro de una base, y h es la altura del prisma.
• pirámide: B+PL2{displaystyle B+{frac}{2}}, donde B es el área de la base, P es el perímetro de la base, y L es la longitud de la inclinación.
• El prisma rectangular: 2()l l w+l l h+wh){displaystyle 2(ell w+ell h+wh)}, donde l l {displaystyle ell } es la longitud, w es el ancho, y h es la altura.

Fórmula general para el área de superficie

La fórmula general para la superficie del gráfico de una función continuamente diferenciable z=f()x,Sí.),{displaystyle z=f(x,y),} Donde ()x,Sí.)▪ ▪ D⊂ ⊂ R2{displaystyle (x,y)in Dsubset mathbb {R} ^{2} y D{displaystyle D} es una región en el plano xy con el límite liso:

A=∫ ∫ D()∂ ∂ f∂ ∂ x)2+()∂ ∂ f∂ ∂ Sí.)2+1dxdSí..{fnMicrosoft Sans Serif}nMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {partial f}{partial x}}right)}w2}+left({frac {partial f}{right)}{2}+1}},dx,dy.}

Una fórmula aún más general para el área del gráfico de una superficie paramétrica en la forma vectorial r=r()u,v),{displaystyle mathbf {r} =mathbf {r} (u,v),} Donde r{displaystyle mathbf {r} es una función vectorial continuamente diferenciable ()u,v)▪ ▪ D⊂ ⊂ R2{displaystyle (u,v)in Dsubset mathbb {R} ^{2} es:

A=∫ ∫ DSilencio∂ ∂ r∂ ∂ u× × ∂ ∂ r∂ ∂ vSilenciodudv.{displaystyle A=iint _{D}left sometida{frac {partial mathbf {r}{partial u}}times {frac {partial mathbf {r}{partial v}right durable,du,dv.}

Lista de fórmulas

Fórmulas comunes adicionales para el área:

Forma	Formula	Variables
Rectángulo	A=ab{displaystyle A=ab
Triángulo	A=12bh{displaystyle A={frac {1} {2}bh,!}
Triángulo	A=12abpecado⁡ ⁡ ()γ γ ){displaystyle A={frac {2}absin(gamma),!}
Triángulo (La fórmula de Hierro)	A=s()s− − a)()s− − b)()s− − c){displaystyle A={sqrt {s-a)(s-b)},!}	s=12()a+b+c){displaystyle s={tfrac {2}(a+b+c)}
Triángulo Isosceles	A=c44a2− − c2{displaystyle A={frac {c}{4}{4} {4a}-c^{2}}} {c} {c}} {c}} {c}} {c}} {c}}}} {c} {c}}}} {c}}} {c}}} {c}}} {c}}}} {c}}}}} {c}} {c}}}}}}} {c}} {c}} {c}}}} {c} {c}}}}}} {c} {c}}} {c}} {c}}}}}}}}}} {c} {c}} {c} {c} {c} {c}}}}}}} {c} {c}}}}}}}} {c}}}} {c}}}}}}}}}}}}} {c}}} {c}}}}}}}}}
Triángulo ordinario (Triángulo equilateral)	A=34a2{displaystyle A={frac {cHFF} {3} {4}a^{2},!
Rhombus/Kite	A=12de{displaystyle A={frac {2}de}
Parallelograma	A=aha{displaystyle A=ah_{a},!
Trapezoide	A=()a+c)h2{displaystyle A={frac {c} {c},!}
Hexágono regular	A=323a2{displaystyle A={frac {3}{2}{sqrt {3}a^{2},!
Octagon ordinario	A=2()1+2)a2{displaystyle A=2(1+{2}a^{2},!}
Poligono regular ()n{displaystyle n} partes)	A=nar2=pr2{displaystyle A=n{2}}={frac} {pr}{2}} =14na2cot⁡ ⁡ ()π π n){displaystyle quad ={tfrac {1} {4}}na^{2}cot({tfrac {pi }{n}}} {}} {c}}}} =nr2#⁡ ⁡ ()π π n){displaystyle quad =nr^{2}tan({tfrac {pi}{n}}}} =14np2cot⁡ ⁡ ()π π n){displaystyle quad ={tfrac {1} {fn}p^{2}cot({tfrac {pi}{n}}}} {fn} =12nR2pecado⁡ ⁡ ()2π π n){displaystyle quad ={tfrac {1} {2}nR^{2}sin({tfrac {2pi}{n}),!}	p=na{displaystyle p=na} (perímetro) r=a2cot⁡ ⁡ ()π π n),{displaystyle r={tfrac {c}c}cc}}}}} a2=r#⁡ ⁡ ()π π n)=Rpecado⁡ ⁡ ()π π n){displaystyle {tfrac}=rtan({tfrac {fn}}=Rsin({tfrac {pi} {n}}} {fn}}} r:{displaystyle r:} radius incircle R:{displaystyle R: círculo radio
Circle	A=π π r2=π π d24{displaystyle A=pi ¿Qué? ♪♪ ()d=2r:{displaystyle d=2r:} diámetro)
Sector circular	A=Silencio Silencio 2r2=L⋅ ⋅ r2{displaystyle A={fractheta } {2}r^{2}={frac ¡Oh!
Ellipse	A=π π ab{displaystyle A=pi ab,!
Integral	A=∫ ∫ abf()x)dx,f()x)≥ ≥ 0{displaystyle A=int _{a}{b}f(x)mathrm {d} x, f(x)geq 0}
	Superficie
Sphere	A=4π π r2=π π d2{displaystyle A=4pi r^{2}=pi d^{2}
Cuboid	A=2()ab+ac+bc){displaystyle A=2(ab+ac+bc)}
Cilindro (incl. inferior y superior)	A=2π π r()r+h){displaystyle A=2pi r(r+h)}
Cone (incl. bottom)	A=π π r()r+r2+h2){displaystyle A=pi r(r+{sqrt {r^{2}+h^{2}}} }
Torus	A=4π π 2⋅ ⋅ R⋅ ⋅ r{displaystyle A=4pi ^{2}cdot Rcdot r}
Superficie de la revolución	A=2π π ∫ ∫ abf()x)1+[f.()x)]2dx{displaystyle A=2piint _{a}b}f(x){sqrt {1+left[f'(x)right]}mathrm {d} x} (rotación alrededor del eje x)

Los cálculos anteriores muestran cómo encontrar las áreas de muchas formas comunes.

Las áreas de los polígonos irregulares (y, por lo tanto, arbitrarios) se pueden calcular utilizando la fórmula "Surveyor's" (fórmula de cordón).

Relación del área al perímetro

La desigualdad isoperimétrica establece que, para una curva cerrada de longitud L (entonces la región que encierra tiene perímetro L) y para el área A de la región que encierra,

4π π A≤ ≤ L2,{displaystyle 4pi Aleq L^{2}

y la igualdad se cumple si y solo si la curva es un círculo. Así, un círculo tiene el área más grande de cualquier figura cerrada con un perímetro dado.

En el otro extremo, una figura con un perímetro dado L podría tener un área arbitrariamente pequeña, como lo ilustra un rombo que está "inclinado" arbitrariamente lejos de modo que dos de sus ángulos estén arbitrariamente cerca de 0° y los otros dos estén arbitrariamente cerca de 180°.

Para un círculo, la razón del área a la circunferencia (el término para el perímetro de un círculo) es igual a la mitad del radio r. Esto se puede ver en la fórmula del área πr² y la fórmula de la circunferencia 2πr.

El área de un polígono regular es la mitad de su perímetro por la apotema (donde la apotema es la distancia desde el centro hasta el punto más cercano de cualquier lado).

Fractales

Al duplicar las longitudes de los bordes de un polígono, se multiplica su área por cuatro, que es dos (la relación entre la longitud del lado nuevo y el antiguo) elevado a la potencia de dos (la dimensión del espacio en el que reside el polígono). Pero si las longitudes unidimensionales de un fractal dibujado en dos dimensiones se duplican, el contenido espacial del fractal se escala por una potencia de dos que no es necesariamente un número entero. Este poder se llama la dimensión fractal del fractal.

Bisectrices de área

Hay una infinidad de líneas que bisecan el área de un triángulo. Tres de ellos son las medianas del triángulo (que conectan los puntos medios de los lados con los vértices opuestos), y estos son concurrentes en el baricentro del triángulo; de hecho, son las únicas bisectrices de área que pasan por el centroide. Cualquier línea a través de un triángulo que divide tanto el área del triángulo como su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo (el centro de su incírculo). Hay uno, dos o tres de estos para cualquier triángulo dado.

Cualquier línea que pasa por el punto medio de un paralelogramo biseca el área.

Todas las bisectrices de área de un círculo u otra elipse pasan por el centro, y cualquier cuerda que pasa por el centro biseca el área. En el caso de un círculo son los diámetros del círculo.

Optimización

Dado un contorno de alambre, la superficie de menor área que abarca ("relleno") es una superficie mínima. Los ejemplos familiares incluyen pompas de jabón.

La cuestión del área de relleno del círculo de Riemann sigue abierta.

El círculo tiene el área más grande de cualquier objeto bidimensional que tenga el mismo perímetro.

Un polígono cíclico (uno inscrito en un círculo) tiene el área más grande de cualquier polígono con un número dado de lados de la misma longitud.

Una versión de la desigualdad isoperimétrica para triángulos establece que el triángulo de mayor área entre todos los que tienen un perímetro dado es equilátero.

El triángulo de mayor área de todos los inscritos en un círculo dado es equilátero; y el triángulo de menor área de todos los circunscritos a un círculo dado es equilátero.

La relación del área del incircle con el área de un triángulo equilátero, π π 33{fnMicroc {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMin }{3{sqrt {}}}, es más grande que el de cualquier triángulo no equilateral.

La relación del área a la plaza del perímetro de un triángulo equilátero, 1123,{displaystyle {frac {1}{12{sqrt {3}}}}} es más grande que eso para cualquier otro triángulo.