Yukawa potential

En física de partículas, atómica y de materia condensada, un potencial de Yukawa (también llamado potencial de Coulomb apantallado) es un potencial que lleva el nombre del físico japonés Hideki Yukawa. El potencial es de la forma:

VYukawa()r)=− − g2e− − α α mrr,{displaystyle ¿Qué?

Donde g{displaystyle g} es una constante de escalada de magnitud, es decir, la amplitud del potencial, m es la masa de la partícula, r es la distancia radial a la partícula, y α es otra constante de escalar, así que r.. 1α α m{displaystyle rapprox {tfrac} {1}{alpha m}} es el rango aproximado. El potencial aumenta monotonicamente r y es negativo, lo que implica que la fuerza es atractiva. En el sistema SI, la unidad del potencial de Yukawa es (1/metros).

El potencial de Coulomb del electromagnetismo es un ejemplo de potencial de Yukawa con el e− − α α mr{displaystyle e^{-alpha mr} factor igual a 1, en todas partes. Esto se puede interpretar como diciendo que la masa de fotones m es igual a 0. El foton es el carrier de fuerza entre las partículas que interactúan, cargadas.

En interacciones entre un campo mesón y un campo de fermión, la constante g{displaystyle g} es igual a la constante de acoplamiento de calibre entre esos campos. En el caso de la fuerza nuclear, los fermions serían un protón y otro protón o un neutron.

Historia

Antes del artículo de Hideki Yukawa de 1935, los físicos luchaban por explicar los resultados del modelo atómico de James Chadwick, que consistía en protones y neutrones cargados positivamente empaquetados dentro de un pequeño núcleo, con un radio en la superficie. orden de 10⁻¹⁴ metros. Los físicos sabían que las fuerzas electromagnéticas a estas longitudes harían que estos protones se repelieran entre sí y que el núcleo se desmoronara. De ahí surgió la motivación para seguir explicando las interacciones entre partículas elementales. En 1932, Werner Heisenberg propuso un "Platzwechsel" (migración) interacción entre neutrones y protones dentro del núcleo, en la que los neutrones eran partículas compuestas de protones y electrones. Estos neutrones compuestos emitirían electrones, creando una fuerza de atracción con los protones, y luego se convertirían en protones. Cuando, en 1933, en la Conferencia Solvay, Heisenberg propuso su interacción, los físicos sospecharon que podía ser de dos formas:

J()r)=ae− − broJ()r)=ae− − br2{displaystyle J(r)=ae^{-br}quad {textrm {or}quad J(r)=ae^{-br^{2}}

por su corto alcance. Sin embargo, hubo muchos problemas con su teoría. Es decir, es imposible que un electrón de espín 1/2 y un protón de espín 1/2 para sumar el giro de neutrones de 1/2. La forma en que Heisenberg trató este tema daría lugar a las ideas de isospin.

La idea de Heisenberg de una interacción de intercambio (en lugar de una fuerza de Coulomb) entre partículas dentro del núcleo llevó a Fermi a formular sus ideas sobre la desintegración beta en 1934. La interacción neutrón-protón de Fermi no se basó sobre la "migración" de neutrones y protones entre sí. En cambio, Fermi propuso la emisión y absorción de dos partículas ligeras: el neutrino y el electrón, en lugar de sólo el electrón (como en la teoría de Heisenberg). Mientras que la interacción de Fermi resolvió la cuestión de la conservación del momento lineal y angular, los físicos soviéticos Igor Tamm y Dmitri Ivanenko demostraron que la fuerza asociada con la emisión de neutrinos y electrones no era lo suficientemente fuerte como para unir los protones y neutrones en el núcleo..

En su documento de febrero de 1935, Hideki Yukawa combina tanto la idea de la interacción de corto alcance de Heisenberg como la idea de Fermi de una partícula de intercambio para solucionar el problema de la interacción de neutrones-protones. Dedujo un potencial que incluye un término de decadencia exponencial (e− − α α mr{displaystyle e^{-alpha mr}) y un término electromagnético (1/r{displaystyle 1/r}). En analogía con la teoría cuántica del campo, Yukawa sabía que el potencial y su campo correspondiente deben ser resultado de una partícula de intercambio. En el caso de QED, esta partícula de intercambio fue un fotón de 0 masa. En el caso de Yukawa, la partícula de intercambio tenía cierta masa, que estaba relacionada con el rango de interacción (debida por 1α α m{displaystyle {tfrac {}{alpha m}} {fnK}}}). Desde que se conocía el alcance de la fuerza nuclear, Yukawa utilizó su ecuación para predecir la masa de la partícula mediadora como aproximadamente 200 veces la masa del electrón. Los físicos llamaron a esta partícula el "meson", ya que su masa estaba en medio del protón y el electrón. El mesón de Yukawa fue encontrado en 1947, y llegó a ser conocido como el pión.

Relación con el potencial de Coulomb

Si la partícula no tiene masa (es decir, m = 0), entonces el potencial de Yukawa se reduce a un potencial de Coulomb y el rango es se dice que es infinito. De hecho, tenemos:

m=0⇒ ⇒ e− − α α mr=e0=1.{displaystyle m=0Rightarrow e^{-alpha - Sí.

En consecuencia, la ecuación

VYukawa()r)=− − g2e− − α α mrr{displaystyle V_{text{Yukawa}(r)=-g^{2};{frac {e^{-alpha - ¿Sí?

se simplifica a la forma del potencial de Coulomb

VCoulomb()r)=− − g21r.{displaystyle V_{text{Coulomb}(r)=-g^{2};{frac {1} {r}}

donde configuramos la constante de escala como:

g2=q1q24π π ε ε 0{displaystyle g^{2}={frac {q_{1}q_{2}{4pi} varepsilon ♪♪

En la Figura 2 se muestra una comparación de la fuerza potencial de largo alcance para Yukawa y Coulomb. Se puede ver que el potencial de Coulomb tiene efecto en una distancia mayor, mientras que el potencial de Yukawa se acerca a cero con bastante rapidez. Sin embargo, cualquier potencial de Yukawa o potencial de Coulomb es distinto de cero para cualquier r grande.

Transformada de Fourier

La forma más sencilla de entender que el potencial de Yukawa está asociado con un campo masivo es examinando su transformada de Fourier. Uno tiene

V()r)=− − g2()2π π )3∫ ∫ eik⋅ ⋅ r4π π k2+()α α m)2d3k{displaystyle V(mathbf {r})={frac {-g^{2}{(2pi)}}int e^{imathbf {kcdot r}{f} {fnK}} {f} {fnMitbf} {4pi}{2}+(alpha m)},mathrm {d} } {3}k}

donde la integral se realiza sobre todos los valores posibles del 3-vector momenta k. En esta forma, y establecer el factor de escalado a uno, α α =1{displaystyle alpha =1}, la fracción 4π π k2+m2{fnMicroc {4fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {ccfnMicrosoft} }{k^ {2}+m^{2}}} se ve como el propagador o la función de Green de la ecuación Klein-Gordon.

Amplitud de Feynman

El potencial de Yukawa puede derivarse como la amplitud de orden más baja de la interacción de un par de fermions. La interacción Yukawa acopla el campo de fermión ↑ ↑ ()x){displaystyle psi (x)} en el campo de los meson φ φ ()x){displaystyle phi (x)} con el término de acoplamiento

Lint()x)=g↑ ↑ ̄ ̄ ()x)φ φ ()x)↑ ↑ ()x).{displaystyle {mathcal {}_{mathrm {int}(x)=g~{overline {psi }(x)~phi (x)~psi (x)~}

La amplitud de dispersión para dos hurones, uno con impulso inicial p1{displaystyle P_{1} y el otro con impulso p2{displaystyle p_{2}, intercambio de un mesón con impulso k, es dado por el diagrama Feynman a la derecha.

Las reglas de Feynman para cada vértice asocian un factor de g{displaystyle g} con la amplitud; ya que este diagrama tiene dos vértices, la amplitud total tendrá un factor g2{displaystyle g^{2}. La línea en el medio, conectando las dos líneas de fermión, representa el intercambio de un mesón. La regla Feynman para un intercambio de partículas es utilizar el propagador; el propagador para un meson masivo es − − 4π π k2+m2{fnMicrosoft {fnfnfnfnfnMicrosoft {fnfnMicrosoft {fnfn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\\fnfn\fn\\\\\\fnfn\\fn\\fn\\\fn\\\fn\\\fn\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\fn\\\\\fn\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\ } {~k^{2}+m^{2}}}. Así, vemos que la amplitud de Feynman para este gráfico no es nada más que

V()k)=− − g24π π k2+m2.{displaystyle V(mathbf {k})=-g^{2}{frac {4pi} - Sí.

De la sección anterior, se ve que esta es la transformada de Fourier del potencial de Yukawa.

Valores propios de la ecuación de Schrödinger

La ecuación radial de Schrödinger con potencial de Yukawa se puede resolver perturbativamente. Usando la ecuación radial de Schrödinger en la forma

[d2dr2+k2− − l l ()l l +1)r2− − V()r)]Ψ Ψ ()l l ,k;r)=0,{displaystyle left[{frac {mathrm {d}{2}{mathrm {d} ¿Qué? {ell (ell +1)}{2}-V(r)right] Psi left(ellk;,rright)=0,}

y el potencial de Yukawa en la forma de poder expandido

V()r)=.. j=− − 1JUEGO JUEGO Mj+1()− − r)j,{displaystyle V(r)=sum _{j=-1}{infty }M_{j+1},(-r)^{j}}

y configuración K=jk{displaystyle K=jk!, se obtiene para el impulso angular l l {displaystyle ell } la expresión

l l +n+1=− − Δ Δ n()K)2K{displaystyle ell ¿Qué?

para SilencioKSilencio→ → JUEGO JUEGO {displaystyle Silenciosoto infty }, donde

Δ Δ n()K)=M0− − 12K2[n()n+1)M2+M0M1]− − 2n+14K3M0M2++18K4[3()n− − 1)n()n+1)()n+2)M4+2()3n2+3n− − 1)M3M0++6n()n+1)M2M1+2M2M02+3M12M0]++2n+18K5[3()n2+n− − 1)M4M0+3M3M02+n()n+1)M22+4M2M1M0]++O⁡ ⁡ ()1K7).{displaystyle {begin{aligned} Delta... {1}{,2K^{2}}{ Bigl. {,2n+1,} {4K^{3}},M_{0},M_{2}~+\\\\\\qquad qquad quad +{frac {1} {cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH0}cH00}cH00}cH0}cH0}cH0} {cH0}cH0}2} {cH00}cH0} {cH0} {cH00} {cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00} {cH00}cH00}ccH00}cH00}cccccH00}cH00}ccH00}cH00}ccH00}cH00}cH00}ccH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}ccH00}ccH00}cccH ~~+\\qquad qquad quad +{frac {,2n+1,} {,8K^{5},{,}, {cHFF} Bigl [},3(n^{2}+n-1),M_{4},M_{0}+3,M_{3},M_{0}{2}+n(n+1),M_{2}^{2}+4,M_{2},M_{1},M_{0},{0} ~~+\\qquad qquad quad +~operatorname {mathcal {O} {Bigl (fnMicroc) {1}{,K^{7},{Bigr)}~end{aligned}}}

Establecer todos los coeficientes Mj{displaystyle M_{j} excepto M0{displaystyle M_{0} igual a cero, se obtiene la expresión bien conocida del eigenvalu de Schrödinger para el potencial de Coulomb, y el número de quantum radial n{displaystyle ,n,} es un entero positivo o cero como consecuencia de las condiciones de límite que las funciones de onda del potencial de Coulomb tienen que satisfacer. En el caso del potencial de Yukawa la imposición de condiciones de límites es más complicada. Así en el caso Yukawa .. =n{displaystyle nu =n} es sólo una aproximación y el parámetro .. {displaystyle nu } que reemplaza al entero n es realmente una expansión asintotica como la anterior con primera aproximación el valor entero del caso Coulomb correspondiente. La expansión anterior para el impulso angular orbital o trayectoria Regge l l ()K){displaystyle ell (K)} puede ser revertido para obtener los eigenvalues de energía o equivalente SilencioKSilencio2{displaystyle {bigl Silencio}K{bigr Silencio}{2}. Uno obtiene:

SilencioKSilencio2=− − M1+14()l l +n+1)2{}M02− − 4n()n+1)()l l +n+1)2M2M0+4()2n+1)()l l +n+1)2M2M0++4()l l +n+1)4M03[3()n− − 1)n()n+1)()n+2+3)M4M0+− − 3n2()n+1)2M22+2()3n2+3n− − 1)M3M02+2M2M03]+− − 24()2n+1)()l l +n+1)5M04[()n2+n− − 1)M0M4+M03M3− − n()n+1)M22]+− − 4()l l +n+1)6M07[10()n− − 2)()n− − 1)n()n+1)()n+2)()n+3)M6M02++4M3M05+2()5n()n+1)()3n2+3n− − 10)+12)M5M03++2()6n2+6n− − 11)M4M04+2()9n2+9n− − 1)M22M03+− − 10n()n+1)()3n2+3n+2)M3M2M02+20n3()n+1)3M23+− − 30()n− − 1)n2()n+1)2()n+2)M4M2M0]+⋯ ⋯ }.{displaystyle {begin{aligned} Silencio ################## {1}{,4(ell +n+1)^{2},},{biggl ################################################################################################################################################################################################################################################################ {M_{2}{\;M_{0}}~+\\\\\fnMicrosoft {fnMicrosoft} {fnMicroc}, {fnMicrosoft Sans Serif} Bigl [},3(n-1)n(n+1)(n+2+3),M_{4},M_{0}~+\ qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad - ¿Qué?,M_{2}{2}+2(3n^{2}+3n-1),M_{3},M_{0}^{2}+2,M_{2},M_{0}{3},{0},{Bigr *~+\\quad -~24{frac {,(2n+1)(ell +n+1)^{5},}{M_{0} {4}},{\\\,{f}}} {fnfn}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}ccH00}cH003}cH00}cH0}cH00}cH00cH00cH00} +~4,M_{3},M_{0}{5}+2{Bigl (},5n(n+1)(3n^{2}+3n-10)+12,{Bigr)},M_{5},M_{0}^{3}~+\\\\\qquad qquad qquad qquad +~2(6n^{2}+6n-11),M_{4},M_{0}^{4}+2(9n^{2}+9n-1),M_{2}2}\,M_{0}{3}~+\ qquad qquad qquad -~10n(n+1)(3n^{2}+3n+2),M_{3},M_{2},M_{0}{2}+20n^{3}(n+1)^{3}3}, M_{2} {3}~+\qquad qquad qquad qquad -~30(n-1)n^{2}(n+1)^{2}(n+2),M_{4},M_{2},M_{0},{Bigr]}quad +quadcdots {cdotscdots}cdots}cdotscdotsc}c}c}cdotsc}c}ccdotsc}c}c}c}c}c}c}c}c}cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

La expansión asintotica anterior del impulso angular l l ()K){displaystyle ell (K)} en poderes descendientes de K{displaystyle K} también se puede derivar con el método WKB. En ese caso, sin embargo, como en el caso del Coulomb potencial la expresión l l ()l l +1){displaystyle ell (ell +1)} en el término centrífugo de la ecuación Schrödinger debe ser reemplazado por ()l l +12)2{displaystyle left(ell +{tfrac {1}{2}right)}{2}}}, como fue argumentado originalmente por Langer, la razón es que la singularidad es demasiado fuerte para una aplicación sin cambios del método WKB. Que este razonamiento es correcto sigue de la derivación WKB del resultado correcto en el caso Coulomb (con la corrección Langer), e incluso de la expansión anterior en el caso Yukawa con aproximaciones WKB de orden superior.

Sección transversal

Podemos calcular la sección transversal diferencial entre un protón o neutrón y el pión haciendo uso del potencial de Yukawa. Usamos la aproximación de Born, que nos dice que, en un potencial esféricamente simétrico, podemos aproximar la función de onda dispersada saliente como la suma de la función de onda plana entrante y una pequeña perturbación:

↑ ↑ ()r→ → ).. A[()eipr)+eiprrf()Silencio Silencio )]{displaystyle psi ({vec {r}})approx Aleft[(e^{ipr})+{frac {e^{ipr}}{r}f(theta)right}} {f}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}}}}} {

Donde p→ → =pz^ ^ {displaystyle {vec {p}=p{hat {z} es el impulso entrante de la partícula. La función f()Silencio Silencio ){displaystyle f(theta)} es dado por:

f()Silencio Silencio )=− − 2μ μ ▪ ▪ 2Silenciop→ → − − p→ → .Silencio∫ ∫ 0JUEGO JUEGO rV()r)pecado⁡ ⁡ ()Silenciop→ → − − p→ → .Silencior)dr{displaystyle f(theta)={frac {-2mu}{hbar ^{2}left forever{vec {p}-{vec {p} {fnh}},int _{0}{infty }r,V(r),sin left(left perpetua{vec {}-{vec {p}'right perpetuarright)~mathrm {d} r}

Donde p→ → .=pr^ ^ {fnK} es el impulso disperso de la partícula y μ μ {displaystyle mu } es la masa de las partículas entrantes (no confundirse con m,{displaystyle m,} la masa del pión). Calculamos f()Silencio Silencio ){displaystyle f(theta)} por conectarse VYukawa{displaystyle V_{text{Yukawa}}:

f()Silencio Silencio )=2μ μ ▪ ▪ 2Silenciop→ → − − p→ → .Silenciog2∫ ∫ 0JUEGO JUEGO e− − α α mrpecado⁡ ⁡ ()Silenciop→ → − − p→ → .Silencior)dr{displaystyle f(theta)={frac {2mu}{hbar ^{2}izquierda {p}-{vec {p} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f} {fnMicrosoft} {f}}fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}} {f}}f}f}}fnKf}f}f}}f}f}}f}}}}}f}f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}}}}f}f}f}f}f}}}}}f}}}}}}}}}f}}}}}f}f}f}f}}f}}}}}fn}f}f}}}}}f}}}}}f}}}}}}}} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {p}-{vec {p}'justo para siempre,rright),mathrm {d} r}

Evaluar la integral da

f()Silencio Silencio )=2μ μ g2▪ ▪ 2[()α α m)2+Silenciop→ → − − p→ → .Silencio2]{displaystyle f(theta)={2mu g^{2}{hbar ^{2},left[(alpha m)^{2}+left sometida{vec] {p}-{vec {p}'justo sobre la vida {2}}}}

La conservación de energía implica

Silenciop→ → Silencio=Silenciop→ → .Silencio=p{bigr}={bigr} {bigr}= {bigr}} {bigr} {bigr} {bigr}} {bigr}.

para que

Silenciop→ → − − p→ → .Silencio=2ppecado⁡ ⁡ ()12Silencio Silencio ){displaystyle lefttención{vec {p}-{vec {p}'right sobrevivir=2,p,sin left({tfrac {1}{2}}thetaright)~}

Conectándolo, obtenemos:

f()Silencio Silencio )=2μ μ g2▪ ▪ 2[()α α m)2+4p2pecado2⁡ ⁡ ()12Silencio Silencio )]{hbar ^{2}left[(alpha m)^{2}p,sin ^{2}left [{2}}theta]}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {Theta}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

We thugs get a differential cross section of:

dσ σ dΩ Ω =Silenciof()Silencio Silencio )Silencio2=4μ μ 2g4▪ ▪ 4[()α α m)2+4p2pecado2⁡ ⁡ ()12Silencio Silencio )]2{displaystyle {frac {mathrm {d}sigma}{mathrm {d} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft}fnMicroc {4mu ^{2} {4}}{4} {hbar ^{4}left[(alpha m)}{2}+4p}sin ^{2}left({2}{2}{2}{2}{}{2}{}{}}}}{}{}}}}}}}{}}}}}}}}}}}}}{2}}}}}}}}}}{}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Integrando, la sección transversal total es:

σ σ =∫ ∫ dσ σ dΩ Ω dΩ Ω =4μ μ 2g4▪ ▪ 4∫ ∫ 0π π 2π π pecado⁡ ⁡ ()Silencio Silencio )dSilencio Silencio [()α α m)2+4p2pecado2⁡ ⁡ ()12Silencio Silencio )]2=4μ μ 2g4▪ ▪ 44π π ()α α m)2[()α α m)2+4p2]{displaystyle sigma =int {frac {mathrm {d} sigma }{mathrm {d} ##### ########################################################################################################################################################################################################################################################### {fnK} {fnK} {fnK} {fnK}} {f}f}}f}} {f}} {fn} {f} {fnK}} {fnK}f} {f} {f}f}f}f}fnKf}} {f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnKf}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnKf}f}f}f}f}f}f}f}fnKfnKfnKf}f}fnKf}fnKf}}fnK