WVD Hodge
Sir William Vallance Douglas Hodge FRS FRSE (17 de junio 1903 – 7 de julio de 1975) fue un matemático británico, específicamente geómetra.
Su descubrimiento de relaciones topológicas de gran alcance entre la geometría algebraica y la geometría diferencial, un área ahora llamada teoría de Hodge y que pertenece más generalmente a las variedades de Kähler, ha sido una gran influencia en trabajos posteriores en geometría.
Vida y carrera
Hodge nació en Edimburgo en 1903, el hijo menor y segundo de tres hijos de Archibald James Hodge (1869-1938), un buscador de registros en el mercado inmobiliario y socio de la firma Douglas and Company, y su esposa, Jane (nacida en 1875), hija del propietario de una empresa de confitería William Vallance. Vivían en 1 Church Hill Place en el distrito de Morningside.
Asistió al George Watson's College y estudió en la Universidad de Edimburgo, donde se graduó con una maestría en 1923. Con la ayuda de E. T. Whittaker, cuyo hijo J. M. Whittaker era un amigo de la universidad, luego tomó los Cambridge Mathematical Tripos. En Cambridge cayó bajo la influencia del geómetra H. F. Baker. Obtuvo una licenciatura en Cambridge en 1925, recibió una maestría en 1930 y el título de Doctor en Ciencias (ScD) en 1950.
En 1926 asumió un puesto docente en la Universidad de Bristol y comenzó a trabajar en la interfaz entre la escuela italiana de geometría algebraica, en particular los problemas planteados por Francesco Severi, y los métodos topológicos de Solomon Lefschetz. Esto hizo su reputación, pero provocó cierto escepticismo inicial por parte de Lefschetz. Según las memorias de Atiyah, Lefschetz y Hodge se reunieron en 1931 en las habitaciones de Max Newman en Cambridge para tratar de resolver problemas. Al final Lefschetz quedó convencido. En 1928 fue elegido miembro de la Real Sociedad de Edimburgo. Sus proponentes fueron Sir Edmund Taylor Whittaker, Ralph Allan Sampson, Charles Glover Barkla y Sir Charles Galton Darwin. Recibió el premio Gunning Victoria Jubilee de la Sociedad para el período 1964 a 1968.
En 1930, Hodge recibió una beca de investigación en el St. John's College de Cambridge. Pasó el año 1931-2 en la Universidad de Princeton, donde estaba Lefschetz, visitando también a Oscar Zariski en la Universidad Johns Hopkins. En esta época también estaba asimilando el teorema de De Rham y definiendo la operación de la estrella de Hodge. Le permitiría definir formas armónicas y así refinar la teoría de De Rham.
A su regreso a Cambridge, le ofrecieron un puesto de profesor universitario en 1933. Se convirtió en profesor Lowndean de Astronomía y Geometría en Cambridge, cargo que ocupó de 1936 a 1970. Fue el primer director de DPMMS.
Fue Maestro del Pembroke College, Cambridge de 1958 a 1970, y vicepresidente de la Royal Society de 1959 a 1965. Fue nombrado caballero en 1959. Entre otros honores, recibió el Premio Adams en 1937 y el Premio Copley. Medalla de la Royal Society en 1974.
Murió en Cambridge el 7 de julio de 1975.
Trabajo
El teorema del índice de Hodge fue un resultado de la teoría de los números de intersección de curvas en una superficie algebraica: determina la firma de la forma cuadrática correspondiente. Este resultado fue buscado por la escuela italiana de geometría algebraica, pero fue demostrado por los métodos topológicos de Lefschetz.
La teoría y aplicaciones de las integrales armónicas resumió el desarrollo de Hodge durante la década de 1930 de su teoría general. Esto comienza con la existencia para cualquier métrica de Kähler de una teoría de los laplacianos; se aplica a una variedad algebraica V (se supone compleja, proyectiva y no singular) porque el espacio proyectivo mismo lleva dicha métrica. En términos de cohomología de De Rham, una clase de cohomología de grado k está representada por una forma k α en V(C). No existe un representante único; pero al introducir la idea de forma armónica (Hodge todavía las llama 'integrales'), que son soluciones de la ecuación de Laplace, se puede obtener α. Esto tiene la importante e inmediata consecuencia de dividirse.
- Hk()V()C), C)
en subespacios
- Hp,q
de acuerdo con el número p de diferenciales holomórficos dzi acuñados para formar α (el espacio cotangente siendo abarcado por el dzi y sus complejos conjugados). Las dimensiones de los subespacios son los números de Hodge.
Esta descomposición de Hodge se ha convertido en una herramienta fundamental. Las dimensiones hp,q no solo refinan los números de Betti, dividiéndolos en partes con significado geométrico identificable; pero la descomposición misma, como 'bandera' en un espacio vectorial complejo, tiene un significado en relación con problemas de módulos. En términos generales, la teoría de Hodge contribuye tanto a la clasificación discreta como a la continua de variedades algebraicas.
Los desarrollos posteriores de otros llevaron en particular a una idea de estructura mixta de Hodge en variedades singulares y a profundas analogías con la cohomología étale.
Conjetura de Hodge
La conjetura de Hodge sobre el factor 'medio' espacios Hp,p aún está sin resolver, en general. Es uno de los siete Problemas del Premio del Milenio creado por el Clay Mathematics Institute.
Exposición
Hodge también escribió, con Daniel Pedoe, una obra en tres volúmenes Métodos de geometría algebraica, sobre geometría algebraica clásica, con mucho contenido concreto, aunque ilustra lo que Élie Cartan llamó "la libertinaje". de índices' en su notación de componentes. Según Atiyah, esto tenía como objetivo actualizar y reemplazar los Principios de geometría de H. F. Baker.
Familia
En 1929 se casó con Kathleen Anne Cameron.
Publicaciones
- Hodge, W. V. D. (1941), The Theory and Applications of Harmonic Integrals, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35881-1, MR 0003947
- Hodge, W. V. D.; Pedoe, D. (1994) [1947], Métodos de geometría algebraica, Volumen I (Libro II), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46900-5
- Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel (1994) [1952], Métodos de geometría algebraica: Volumen 2 Book III: Teoría general de variedades algebraicas en espacio proyector. Libro IV: Cuádrices y variedades Grassmann., Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46901-2, MR 0048065
- Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel (1994) [1954], Métodos de geometría algebraica: Volumen 3, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46775-9