Wronskiano

En las matemáticas de una matriz cuadrada, el wronskiano (o wrońskiano) es un determinante introducido por Józef Hoene-Wroński (1812). Se utiliza en el estudio de ecuaciones diferenciales, donde a veces puede mostrar la independencia lineal de un conjunto de soluciones.

Definición

El Wronskian de dos funciones diferentes f y g es W()f,g)=fg.− − gf.{displaystyle W(f,g)=fg'-gf'}.

Más generalmente, para n funciones de valor real o complejo f₁,..., f_n, que son n – 1 tiempos diferentes en un intervalo I, el Wronskian W()f1,...... ,fn){displaystyle W(f_{1},ldotsf_{n}} es una función en x▪ ▪ I{displaystyle xin I} definidas por

W()f1,...... ,fn)()x)=Det[f1()x)f2()x)⋯ ⋯ fn()x)f1.()x)f2.()x)⋯ ⋯ fn.()x)⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ f1()n− − 1)()x)f2()n− − 1)()x)⋯ ⋯ fn()n− − 1)()x)].{cH00} {cH00}cH00} {cH00}cH00}cH00} {cH00}ccH00}cdotcdotcdot}cdotcdot}cdotcdotcdotcdot}cdotcdotcdot}cdotcdot}cdotcdotcdotcdotcdot}

Este es el determinante de la matriz construida colocando las funciones en la primera fila, los primeros derivados de las funciones en la segunda fila, y así sucesivamente a través de la ()n− − 1)T{displaystyle (n-1)} {text{th}} derivado, formando así una matriz cuadrada.

Cuando las funciones f_i son soluciones de una ecuación diferencial lineal, el Wronskiano se puede encontrar explícitamente usando Abel& #39;s identidad, incluso si las funciones f_i no se conocen explícitamente. (Vea abajo.)

El wronskiano y la independencia lineal

Si las funciones f_i son linealmente dependientes, entonces también lo son las columnas del Wronskiano (dado que la diferenciación es una operación lineal), y el wronskiano se desvanece. Por tanto, se puede demostrar que un conjunto de funciones diferenciables es linealmente independiente en un intervalo mostrando que su Wronskiano no se anula de forma idéntica. Sin embargo, puede desaparecer en puntos aislados.

Un concepto erróneo común es que W = 0 en todas partes implica una dependencia lineal, pero Peano (1889) señaló que las funciones x² y |x| · x tienen derivadas continuas y su wronskiano se desvanece en todas partes, sin embargo, no son linealmente dependientes en ningún entorno de 0. Hay varias condiciones adicionales que se combinan con la desaparición del Wronskiano en un intervalo para implicar una dependencia lineal.

• Maxime Bôcher observó que si las funciones son analíticas, entonces la desaparición del Wronskian en un intervalo implica que son linealmente dependientes.
• Bôcher (1901) dio varias otras condiciones para la desaparición del Wronskian para implicar dependencia lineal; por ejemplo, si el Wronskian de n funciones es idénticamente cero y n Wronskians of n – 1 de ellos no todos desaparecen en ningún momento, entonces las funciones son linealmente dependientes.
• Wolsson (1989a) dio una condición más general que junto con la desaparición del Wronskian implica dependencia lineal.

Sobre campos de característica positiva p el wronskiano puede desaparecer incluso para polinomios linealmente independientes; por ejemplo, el wronskiano de x^p y 1 es idénticamente 0.

Aplicación a ecuaciones diferenciales lineales

En general, para un n{displaystyle n}ecuación diferencial lineal, si ()n− − 1){displaystyle (n-1)} las soluciones son conocidas, la última se puede determinar utilizando el Wronskian.

Consider the second order differential equation in Lagrange 's notation:

Sí..=a()x)Sí..+b()x)Sí.{displaystyle y'=a(x)y'+b(x)y}

a()x){displaystyle a(x)}

b()x){displaystyle b(x)}

Sí.1,Sí.2{displaystyle Y...

W()x)=Sí.1Sí.2.− − Sí.2Sí.1.{displaystyle W(x)=y_{2}-y_{2}y_{1}}

Entonces diferenciando W()x){displaystyle W(x)} y utilizando el hecho de que Sí.i{displaystyle Y... obedecer la ecuación diferencial anterior muestra que

W.()x)=aW()x){displaystyle W'(x)=aW(x)}

Por lo tanto, el Wronskiano obedece a una ecuación diferencial simple de primer orden y se puede resolver exactamente:

W()x)=CeA()x){displaystyle W(x)=C~e^{A(x)}

A.()x)=a()x){displaystyle A'(x)=a(x)}

C{displaystyle C}

Ahora supongamos que conocemos una de las soluciones, digamos Sí.2{displaystyle y_{2}. Entonces, por la definición del Wronskian, Sí.1{displaystyle Y... obedece una ecuación diferencial de primer orden:

Sí.1.− − Sí.2.Sí.2Sí.1=− − W()x)/Sí.2{displaystyle Y... {fnMicrosoft Sans Serif}

El método se generaliza fácilmente a ecuaciones de orden superior.

Wronskians generalizadas

Para funciones n de varias variables, un wronskiano generalizado es un determinante de un n por n con entradas D _i(f_j) (con 0 ≤ i < n), donde cada D_i es un operador diferencial parcial lineal de coeficiente constante de orden i. Si las funciones son linealmente dependientes, todos los Wronskianos generalizados desaparecen. Como en el caso de una sola variable, lo contrario no es cierto en general: si todos los wronskianos generalizados desaparecen, esto no implica que las funciones sean linealmente dependientes. Sin embargo, lo contrario es cierto en muchos casos especiales. Por ejemplo, si las funciones son polinomios y todos los wronskianos generalizados desaparecen, entonces las funciones son linealmente dependientes. Roth utilizó este resultado sobre los wronskianos generalizados en su demostración del teorema de Roth. Para condiciones más generales bajo las cuales lo contrario es válido ver Wolsson (1989b).

Historia

El wronskiano fue presentado por Józef Hoene-Wroński (1812) y Thomas Muir le dio su nombre actual (1882, Capítulo XVIII).