William Kingdon Clifford
William Kingdon Clifford FRS (4 de mayo de 1845 – 3 marzo de 1879) fue un matemático y filósofo inglés. Sobre la base del trabajo de Hermann Grassmann, introdujo lo que ahora se denomina álgebra geométrica, un caso especial del álgebra de Clifford nombrada en su honor. Las operaciones del álgebra geométrica tienen el efecto de reflejar, rotar, trasladar y mapear los objetos geométricos que se están modelando a nuevas posiciones. Las álgebras de Clifford en general y el álgebra geométrica en particular han tenido una importancia cada vez mayor para la física matemática, la geometría y la computación. Clifford fue el primero en sugerir que la gravitación podría ser una manifestación de una geometría subyacente. En sus escritos filosóficos acuñó la expresión mind-stuff.
Biografía
Nacido en Exeter, William Clifford se mostró muy prometedor en la escuela. Luego pasó al King's College de Londres (a los 15 años) y al Trinity College de Cambridge, donde fue elegido miembro en 1868, después de ser segundo wrangler en 1867 y segundo premio Smith's. Ser segundo fue un destino que compartió con otros que se convirtieron en científicos famosos, incluidos William Thomson (Lord Kelvin) y James Clerk Maxwell. En 1870 formó parte de una expedición a Italia para observar el eclipse solar del 22 de diciembre de 1870. Durante ese viaje sobrevivió a un naufragio en la costa siciliana.
En 1871, fue nombrado profesor de matemáticas y mecánica en el University College London y en 1874 se convirtió en miembro de la Royal Society. También fue miembro de la Sociedad Matemática de Londres y de la Sociedad Metafísica.
Clifford se casó con Lucy Lane el 7 de abril de 1875, con quien tuvo dos hijos. Clifford disfrutó entreteniendo a los niños y escribió una colección de cuentos de hadas, The Little People.
Muerte y legado
En 1876, Clifford sufrió una avería, probablemente provocada por el exceso de trabajo. Enseñaba y administraba de día y escribía de noche. Unas vacaciones de medio año en Argelia y España le permitieron retomar sus funciones durante 18 meses, tras los cuales volvió a colapsar. Fue a la isla de Madeira para recuperarse, pero murió allí de tuberculosis a los pocos meses, dejando viuda con dos hijos.
Clifford y su esposa están enterrados en el cementerio Highgate de Londres, cerca de las tumbas de George Eliot y Herbert Spencer, justo al norte de la tumba de Karl Marx.
La revista académica Advances in Applied Clifford Algebras publica sobre el legado de Clifford en cinemática y álgebra abstracta.
Matemáticas
"Clifford estaba por encima de todo y antes de todo un geometro."
—Henry John Stephen Smith
El descubrimiento de la geometría no euclidiana abrió nuevas posibilidades en la geometría en la era de Clifford. Nació el campo de la geometría diferencial intrínseca, con el concepto de curvatura ampliamente aplicado al espacio mismo, así como a las líneas y superficies curvas. Clifford quedó muy impresionado por el ensayo de Bernhard Riemann de 1854 "Sobre las hipótesis que se encuentran en las bases de la geometría". En 1870, informó a la Sociedad Filosófica de Cambridge sobre los conceptos de espacio curvo de Riemann e incluyó especulaciones sobre la flexión del espacio por la gravedad. La traducción de Clifford del artículo de Riemann se publicó en Nature en 1873. Su informe en Cambridge, "On the Space-Theory of Matter", se publicó en 1876, anticipando la relatividad general de Albert Einstein por 40 años. Clifford elaboró la geometría del espacio elíptico como un espacio métrico no euclidiano. Ahora se dice que las curvas equidistantes en el espacio elíptico son paralelas de Clifford.
Los contemporáneos de Clifford lo consideraban agudo y original, ingenioso y cálido. A menudo trabajaba hasta altas horas de la noche, lo que puede haber acelerado su muerte. Publicó artículos sobre una variedad de temas que incluyen formas algebraicas y geometría proyectiva y el libro de texto Elements of Dynamic. Su aplicación de la teoría de grafos a la teoría de invariantes fue seguida por William Spottiswoode y Alfred Kempe.
Álgebras
En 1878, Clifford publicó un trabajo seminal, basado en el extenso álgebra de Grassmann. Había logrado unificar los cuaterniones, desarrollados por William Rowan Hamilton, con el producto exterior de Grassmann (también conocido como el producto exterior). Comprendió la naturaleza geométrica de la creación de Grassmann y que los cuaterniones encajaban perfectamente en el álgebra que Grassmann había desarrollado. Los versores en cuaterniones facilitan la representación de la rotación. Clifford sentó las bases para un producto geométrico, compuesto por la suma del producto interior y el producto exterior de Grassmann. El producto geométrico fue finalmente formalizado por el matemático húngaro Marcel Riesz. El producto interior equipa el álgebra geométrica con una métrica, incorporando completamente relaciones de distancia y ángulo para líneas, planos y volúmenes, mientras que el producto exterior proporciona a esos planos y volúmenes propiedades similares a las de un vector, incluido un sesgo direccional.
La combinación de los dos puso en juego la operación de división. Esto amplió enormemente nuestra comprensión cualitativa de cómo interactúan los objetos en el espacio. Fundamentalmente, también proporcionó los medios para calcular cuantitativamente las consecuencias espaciales de esas interacciones. El álgebra geométrica resultante, como él la llamó, finalmente logró el objetivo largamente buscado de crear un álgebra que refleje los movimientos y proyecciones de los objetos en un espacio tridimensional.
Además, el esquema algebraico de Clifford se extiende a dimensiones superiores. Las operaciones algebraicas tienen la misma forma simbólica que en 2 o 3 dimensiones. La importancia de las álgebras generales de Clifford ha crecido con el tiempo, mientras que sus clases de isomorfismos, como álgebras reales, se han identificado en otros sistemas matemáticos más allá de los cuaterniones.
Los reinos del análisis real y el análisis complejo se han expandido a través del álgebra H de cuaterniones, gracias a su noción de una esfera tridimensional incrustada en un espacio cuatridimensional. Los revisores de Quaternion, que habitan este 3-sphere, proporcionan una representación del grupo de rotación SO(3). Clifford señaló que las biquaterniones de Hamilton eran un producto tensor H⊗ ⊗ C{displaystyle Hotimes C} de álgebras conocidas, y propuesto en lugar de otros dos productos tensor de H: Clifford argumentó que los "scalars" tomados de los números complejos C en lugar de ser tomado de números split-complex D o de los números duales N. En términos de productos tensores, H⊗ ⊗ D{displaystyle Hotimes D} produce biquaternions split, mientras H⊗ ⊗ N{displaystyle Hotimes N} formas dual quaternions. El álgebra de cuaternones duales se utiliza para expresar desplazamiento de tornillo, un mapeo común en kinematics.
Filosofía
Como filósofo, el nombre de Clifford se asocia principalmente con dos frases de su invención, mind-stuff y el yo tribal. El primero simboliza su concepción metafísica, sugerida por su lectura de Baruch Spinoza, que Clifford (1878) definió así:
Ese elemento del cual, como hemos visto, incluso el sentimiento más simple es un complejo, llamaré "Mente-esposo". Una molécula en movimiento de la materia inorgánica no posee mente o conciencia; pero posee un pequeño pedazo de mente-costo. Cuando las moléculas se combinan tanto como para formar la película en el lado inferior de una medusa, los elementos de la mente-cosa que van junto con ellas se combinan tanto como para formar los débiles comienzos de la sensibilidad. Cuando las moléculas se combinan tanto como para formar el cerebro y el sistema nervioso de un vertebrado, los elementos correspondientes de la mente-estuff son tan combinados como para formar algún tipo de conciencia; es decir, los cambios en el complejo que tienen lugar al mismo tiempo se unen tanto que la repetición de uno implica la repetición del otro. Cuando la materia toma la forma compleja de un cerebro humano vivo, el cuerpo mental correspondiente toma la forma de una conciencia humana, teniendo inteligencia y volición.
—"Sobre la naturaleza de las cosas en los mismos" (1878)
Con respecto al concepto de Clifford, Sir Frederick Pollock escribió:
En pocas palabras, la concepción es que la mente es la única realidad final; no la mente como la conocemos en las formas complejas de sentimiento y pensamiento consciente, pero los elementos más simples de los cuales se construyen el pensamiento y el sentimiento. El elemento último hipotético de la mente, o el átomo de la mente, corresponde precisamente al átomo hipotético de la materia, siendo el hecho final del cual el átomo material es el fenómeno. La materia y el universo sensible son las relaciones entre organismos particulares, es decir, mente organizada en conciencia, y el resto del mundo. Esto conduce a resultados que en un sentido suelto y popular se llamarían materialistas. Pero la teoría debe, como teoría metafísica, ser considerada en el lado idealista. Hablar técnicamente, es un monismo idealista.
Yo tribal, por otro lado, da la clave de la visión ética de Clifford, que explica la conciencia y la ley moral por el desarrollo en cada individuo de un 'yo,' que prescribe la conducta conducente al bienestar de la 'tribu.' Gran parte de la prominencia contemporánea de Clifford se debió a su actitud hacia la religión. Animado por un intenso amor a su concepción de la verdad y devoción al deber público, libró la guerra contra los sistemas eclesiásticos que le parecían favorecer el oscurantismo y poner las pretensiones de la secta por encima de las de la sociedad humana. La alarma fue mayor, ya que la teología aún no estaba reconciliada con el darwinismo; y Clifford fue considerado como un peligroso campeón de las tendencias anti-espirituales entonces imputadas a la ciencia moderna. También se ha debatido hasta qué punto la doctrina de Clifford de la 'concomitancia' o 'paralelismo psicofísico' influyó en el modelo del sistema nervioso de John Hughlings Jackson y, a través de él, en el trabajo de Janet, Freud, Ribot y Ey.
Ética
En su ensayo de 1877, La ética de la creencia, Clifford argumenta que es inmoral creer cosas de las que uno carece de evidencia. Describe a un armador que planeaba enviar al mar un barco viejo y mal construido lleno de pasajeros. El armador tenía dudas que le sugirieron que el barco podría no estar en condiciones de navegar: "Estas dudas se apoderaron de su mente y lo hicieron infeliz." Consideró reparar el barco a pesar de que sería costoso. Por fin, "logró superar estos reflejos melancólicos". Observó partir el barco, "con el corazón alegre... y obtuvo el dinero del seguro cuando se hundió en medio del océano y no contó ninguna historia".
Clifford argumenta que el propietario del barco fue culpable de la muerte de los pasajeros a pesar de que creía sinceramente que el barco estaba en buenas condiciones: "[H] no tenía derecho a creer en las pruebas que había antes él." Además, sostiene que incluso en el caso de que el barco llegue con éxito a su destino, la decisión sigue siendo inmoral, porque la moralidad de la elección se define para siempre una vez que se hace la elección, y el resultado real, definido por la casualidad ciega, no es posible. no importa El armador no sería menos culpable: nunca se descubriría su fechoría, pero aún así no tenía derecho a tomar esa decisión dada la información de que disponía en ese momento.
Clifford concluye de forma célebre con lo que se conoce como el principio de Clifford: 'está mal siempre, en todas partes y para cualquiera, creer cualquier cosa con pruebas insuficientes'.
Como tal, argumenta en oposición directa a los pensadores religiosos para quienes la 'fe ciega' (es decir, creer en cosas a pesar de la falta de evidencia de ellas) era una virtud. Este artículo fue atacado por el filósofo pragmático William James en su "Will to Believe" conferencia. A menudo, estos dos trabajos se leen y publican juntos como piedras de toque para el debate sobre el evidencialismo, la fe y la creencia excesiva.
Premonición de la relatividad
Aunque Clifford nunca construyó una teoría completa del espacio-tiempo y la relatividad, hay algunas observaciones notables que hizo impresas que presagiaron estos conceptos modernos: En su libro Elements of Dynamic (1878), introdujo el "movimiento cuasi-armónico en una hipérbola". Escribió una expresión para una hipérbola unitaria parametrizada, que otros autores usaron más tarde como modelo para la velocidad relativista. En otro lugar afirma:
- La geometría de los rotores y motores... forma la base de toda la teoría moderna del reposo relativo (Estatico) y el movimiento relativo (Kinematic y Kinetic) de los sistemas invariables.
Este pasaje hace referencia a los bicuaterniones, aunque Clifford los convirtió en bicuaterniones divididos como su desarrollo independiente. El libro continúa con un capítulo "Sobre la flexión del espacio", la sustancia de la relatividad general. Clifford también discutió sus puntos de vista en On the Space-Theory of Matter en 1876.
En 1910, William Barrett Frankland citó la Teoría espacial de la materia en su libro sobre el paralelismo: "La audacia de esta especulación seguramente no tiene igual en la historia del pensamiento. Hasta el presente, sin embargo, presenta la apariencia de un vuelo icario." Años más tarde, después de que Albert Einstein avanzara en la relatividad general, varios autores señalaron que Clifford se había adelantado a Einstein. Hermann Weyl (1923), por ejemplo, mencionó a Clifford como uno de los que, como Bernhard Riemann, anticipó las ideas geométricas de la relatividad.
En 1940, Eric Temple Bell publicó El desarrollo de las matemáticas, en el que analiza la presciencia de Clifford sobre la relatividad:
- Bolder incluso que Riemann, Clifford confesó su creencia (1870) que la materia es sólo una manifestación de curvatura en un múltiple espacio-tiempo. Esta divinación embrionaria ha sido aclamada como una anticipación de la teoría relativista de Einstein (1915-16) del campo gravitacional. La teoría real, sin embargo, lleva pero leve parecido al credo bastante detallado de Clifford. Como regla, aquellos profetas matemáticos que nunca descienden a los detalles hacen los puntajes superiores. Casi cualquiera puede golpear el costado de un granero a cuarenta metros con una carga de dinero.
John Archibald Wheeler, durante el Congreso Internacional de Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia (CLMPS) de 1960 en Stanford, presentó su formulación geometrodinámica de la relatividad general acreditando a Clifford como el iniciador.
En La filosofía natural del tiempo (1961), Gerald James Whitrow recuerda la presciencia de Clifford, citándolo para describir la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker en cosmología.
Cornelius Lanczos (1970) resume las premoniciones de Clifford:
- [Él] con gran ingenio previó de manera cualitativa que la materia física podría concebirse como una onda curvada en un plano generalmente plano. Muchos de sus ingeniosos anzuelos fueron realizados más tarde en la teoría gravitacional de Einstein. Tales especulaciones fueron automáticamente prematuras y no pudieron llevar a nada constructivo sin un vínculo intermedio que exigió la extensión de la geometría tridimensional a la inclusión del tiempo. La teoría de los espacios curvados tenía que ser precedida por la realización de que el espacio y el tiempo forman una sola entidad cuatridimensional.
Del mismo modo, Banesh Hoffmann (1973) escribe:
- Riemann, y más específicamente Clifford, conjetura que las fuerzas y la materia pueden ser irregularidades locales en la curvatura del espacio, y en esto fueron notablemente proféticos, aunque por sus dolores fueron despedidos en el momento como visionarios.
En 1990, Ruth Farwell y Christopher Knee examinaron el registro de reconocimiento de la previsión de Clifford. Concluyen que "fue Clifford, no Riemann, quien anticipó algunas de las ideas conceptuales de la Relatividad General". Para explicar la falta de reconocimiento de la presciencia de Clifford, señalan que era un experto en geometría métrica, y que "la geometría métrica era demasiado desafiante para la epistemología ortodoxa como para seguirla". En 1992, Farwell y Knee continuaron su estudio de Clifford y Riemann:
[Ellos] sostienen que una vez que se habían utilizado tensores en la teoría de la relatividad general, el marco existía en el que se podía desarrollar una perspectiva geométrica en la física y permitía redescubrir las complejas concepciones geométricas de Riemann y Clifford.
Escritos seleccionados
- 1872. Sobre los objetivos e instrumentos del pensamiento científico, 524-41.
- 1876 [1870]. En la teoría espacial de la materia.
- 1877. "La ética de la creencia". Examen contemporáneo 29:289.
- 1878. Elementos de dinámica: una introducción al estudio de la moción y el descanso en cuerpos sólidos y fluidos.
- Libro I: "Traducciones"
- Libro II: "Rotaciones"
- Libro III: "Strains"
- 1878. "Aplicaciones del álgebra Extensiva de Grassmann." American Journal of Mathematics 1(4):353.
- 1879: Ver y pensar—incluye cuatro conferencias de ciencias populares:
- "El ojo y el cerebro"
- "El ojo y la mirada"
- "El cerebro y el pensamiento"
- "De Fronteras en General"
- 1879. Conferencias y Ensayos I ' II, con una introducción de Sir Frederick Pollock.
- 1881. " fragmentos matemáticos" (facsimiles).
- 1882. Papeles matemáticos, editado por Robert Tucker, con una introducción de Henry J. S. Smith.
- 1885. El sentido común de las ciencias exactas, completado por Karl Pearson.
- 1887. Elementos de Dinámica 2.
1885 copia de "El sentido común de las ciencias exactas"
Título de una copia de 1885 de "El sentido común de las ciencias exactas"
Tabla de contenidos página para una copia de 1885 "El sentido común de las ciencias exactas"
Primera página de una copia de 1885 "El sentido común de las ciencias exactas"
Citas
"Yo... he aquí que en el mundo físico nada más ocurre sino esta variación [de la curvatura del espacio]."
—Papeles matemáticos (1882)
"No hay ningún descubridor científico, ningún poeta, ningún pintor, ningún músico, que no te diga que se encontró listo hizo su descubrimiento o poema o imagen, que vino a él desde fuera, y que no lo creó conscientemente desde dentro."
—"Algunas condiciones de desarrollo mental" (1882), conferencia a la Real Institución
"Siempre está mal, en todas partes, y para cualquiera, creer cualquier cosa sobre evidencia insuficiente."
—La ética de la creencia (1879) [1877]
"Si un hombre, sosteniendo una creencia que fue enseñado en la infancia o persuadido de después, se mantiene abajo y empuja cualquier duda que surge de ella en su mente, evita deliberadamente la lectura de libros y la compañía de hombres que lo cuestionan o lo discuten, y considera tan impío las preguntas que no se pueden hacer fácilmente sin perturbarla—la vida de ese hombre es un pecado largo contra la humanidad."
—La ética de la creencia (1879) [1877]
"No lo era, y fue concebido. Me encantó e hice un pequeño trabajo. No estoy y no me afligo."
—Epitaph