Vuelo Lévy

Un vuelo de Lévy es un paseo aleatorio en el que las longitudes de los pasos tienen una distribución estable, una distribución de probabilidad con colas pesadas. Cuando se define como una caminata en un espacio de dimensión mayor que uno, los pasos que se dan son en direcciones aleatorias isotrópicas. Investigadores posteriores han ampliado el uso del término "vuelo de Lévy" para incluir también casos en los que el paseo aleatorio tiene lugar en una cuadrícula discreta en lugar de en un espacio continuo.

El término "vuelo de Lévy" fue acuñado por Benoît Mandelbrot, quien lo utilizó para una definición específica de la distribución de tamaños de paso. Usó el término vuelo de Cauchy para el caso en que la distribución de tamaños de paso es una distribución de Cauchy, y vuelo de Rayleigh para cuando la distribución es una distribución normal (que no es una ejemplo de una distribución de probabilidad de cola pesada).

El caso particular para el que Mandelbrot usó el término "vuelo de Lévy" está definida por la función de supervivencia de la distribución de tamaños de paso, U, siendo

u)={begin{cases}1&: uPr()U■u)={}1:u.1,u− − D:u≥ ≥ 1.{displaystyle Pr(U confianzau)={begin{cases}1 ventaja:u^{-D} limitada: ugeq 1.end{cases}}u)={begin{cases}1&: u

Aquí D es un parámetro relacionado con la dimensión fractal y la distribución es un caso particular de la distribución de Pareto.

Propiedades

Los vuelos de Lévy son, por construcción, procesos de Markov. Para distribuciones generales del tamaño de paso, que satisfacen la condición de tipo potencia, la distancia desde el origen de la caminata aleatoria tiende, después de un gran número de pasos, a una distribución estable debido al teorema del límite central generalizado, lo que permite que muchos procesos ser modelado usando vuelos de Lévy.

Las densidades de probabilidad de las partículas que experimentan un vuelo de Levy se pueden modelar mediante una versión generalizada de la ecuación de Fokker-Planck, que suele utilizarse para modelar el movimiento browniano. La ecuación requiere el uso de derivadas fraccionarias. Para longitudes de salto que tienen una distribución de probabilidad simétrica, la ecuación toma una forma simple en términos de la derivada fraccionaria de Riesz. En una dimensión, la ecuación se lee como

∂ ∂ φ φ ()x,t)∂ ∂ t=− − ∂ ∂ ∂ ∂ xf()x,t)φ φ ()x,t)+γ γ ∂ ∂ α α φ φ ()x,t)∂ ∂ SilencioxSilencioα α {displaystyle {frac {partial varphi (x,t)}{partial t}=-{frac {partial }{partial x}}f(x,t)varphi (x,t)+gamma {frac {partial ^{alpha }varphi (x,t)}{partial Нелени вани ный } }

donde γ es una constante similar a la constante de difusión, α es el parámetro de estabilidad y f(x,t) es el potencial. La derivada de Riesz se puede entender en términos de su transformada de Fourier.

Fk[∂ ∂ α α φ φ ()x,t)∂ ∂ SilencioxSilencioα α ]=− − SilenciokSilencioα α Fk[φ φ ()x,t)]{displaystyle F_{k}left[{frac {partial ^{alpha }varphi (x,t)}{partial Неника } {alpha }}}right]=- perpetuak tolera^{alpha }F_{k}[varphi (x,t)}}}}

Esto se puede extender fácilmente a múltiples dimensiones.

Otra propiedad importante del vuelo de Lévy es la divergencia de las varianzas en todos los casos excepto en α = 2, es decir, movimiento browniano. En general, el momento fraccional θ de la distribución diverge si α ≤ θ. También,

<math alttext="{displaystyle leftlangle |x|^{theta }rightrangle propto t^{theta /alpha }quad {text{if }}theta .SilencioxSilencioSilencio Silencio .∝ ∝ tSilencio Silencio /α α siSilencio Silencio .α α .{fnMicrosoft Sans Serif}nMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}<img alt="{displaystyle leftlangle |x|^{theta }rightrangle propto t^{theta /alpha }quad {text{if }}theta

La escala exponencial de las longitudes de los pasos otorga a los vuelos de Lévy una propiedad invariante de escala y se utilizan para modelar datos que exhiben agrupamiento.

Aplicaciones

La definición de un vuelo de Lévy proviene de las matemáticas relacionadas con la teoría del caos y es útil en simulaciones y mediciones estocásticas para fenómenos naturales aleatorios o pseudoaleatorios. Los ejemplos incluyen análisis de datos de terremotos, matemáticas financieras, criptografía, análisis de señales, así como muchas aplicaciones en astronomía, biología y física.

Se ha descubierto que los saltos entre estados climáticos observados en el registro paleoclimático pueden describirse como un vuelo de Lévy o un proceso alfa estable Otra aplicación es la hipótesis de forrajeo en vuelo de Lévy. Cuando los tiburones y otros depredadores del océano no pueden encontrar comida, abandonan el movimiento browniano, el movimiento aleatorio que se ve en las moléculas de gas arremolinadas, por el vuelo de Lévy, una mezcla de trayectorias largas y movimientos aleatorios cortos que se encuentran en fluidos turbulentos. Los investigadores analizaron más de 12 millones de movimientos registrados durante 5700 días en 55 animales etiquetados con registradores de datos de 14 especies de depredadores oceánicos en los océanos Atlántico y Pacífico, incluidos tiburones sedosos, atunes de aleta amarilla, agujas azules y peces espada. Los datos mostraron que los vuelos de Lévy intercalados con el movimiento browniano pueden describir a los animales. patrones de caza Las aves y otros animales (incluidos los humanos) siguen caminos que han sido modelados utilizando el vuelo de Lévy (por ejemplo, cuando buscan comida). Aparentemente, los datos de vuelo biológico también pueden ser imitados por otros modelos, como caminatas aleatorias correlacionadas compuestas, que crecen a través de escalas para converger en caminatas de Lévy óptimas. Las caminatas brownianas compuestas se pueden ajustar con precisión a caminatas de Lévy teóricamente óptimas, pero no son tan eficientes como la búsqueda de Lévy en la mayoría de los tipos de paisajes, lo que sugiere que la presión de selección para las características de la caminata de Lévy es más probable que los patrones difusivos normales de múltiples escalas.

El enrutamiento eficiente en una red se puede realizar mediante enlaces que tengan una distribución de longitud de vuelo de Levy con valores específicos de alfa.