Vibración

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La vibración es un fenómeno mecánico por el cual se producen oscilaciones alrededor de un punto de equilibrio. La palabra proviene del latín vibraciónem ("sacudir, blandir"). Las oscilaciones pueden ser periódicas, como el movimiento de un péndulo, o aleatorias, como el movimiento de una llanta en un camino de grava.

La vibración puede ser deseable: por ejemplo, el movimiento de un diapasón, la lengüeta de un instrumento de viento de madera o armónica, un teléfono móvil o el cono de un altavoz.

En muchos casos, sin embargo, la vibración es indeseable, ya que desperdicia energía y crea un sonido no deseado. Por ejemplo, los movimientos vibratorios de motores, motores eléctricos o cualquier dispositivo mecánico en funcionamiento normalmente no son deseados. Dichas vibraciones pueden ser causadas por desequilibrios en las piezas giratorias, fricción desigual o el engrane de los dientes de los engranajes. Los diseños cuidadosos suelen minimizar las vibraciones no deseadas.

Los estudios de sonido y vibración están íntimamente relacionados. El sonido, o las ondas de presión, son generadas por estructuras vibratorias (p. ej., cuerdas vocales); estas ondas de presión también pueden inducir la vibración de estructuras (p. ej., tímpano). Por lo tanto, los intentos de reducir el ruido a menudo están relacionados con problemas de vibración.

Tipos de vibración

La vibración libre ocurre cuando un sistema mecánico se pone en movimiento con una entrada inicial y se le permite vibrar libremente. Ejemplos de este tipo de vibración son empujar a un niño hacia atrás en un columpio y soltarlo, o golpear un diapasón y dejar que suene. El sistema mecánico vibra en una o más de sus frecuencias naturales y se amortigua hasta quedar inmóvil.

La vibración forzada es cuando se aplica una perturbación variable en el tiempo (carga, desplazamiento, velocidad o aceleración) a un sistema mecánico. La perturbación puede ser una entrada periódica y de estado estable, una entrada transitoria o una entrada aleatoria. La entrada periódica puede ser una perturbación armónica o no armónica. Ejemplos de estos tipos de vibración incluyen una lavadora que tiembla debido a un desequilibrio, la vibración del transporte causada por un motor o una carretera irregular, o la vibración de un edificio durante un terremoto. Para los sistemas lineales, la frecuencia de la respuesta de vibración de estado estacionario resultante de la aplicación de una entrada armónica periódica es igual a la frecuencia de la fuerza o el movimiento aplicado, y la magnitud de la respuesta depende del sistema mecánico real.

Vibración amortiguada: cuando la energía de un sistema vibratorio se disipa gradualmente por la fricción y otras resistencias, se dice que las vibraciones están amortiguadas. Las vibraciones se reducen gradualmente o cambian de frecuencia o intensidad o cesan y el sistema descansa en su posición de equilibrio. Un ejemplo de este tipo de vibraciones es la suspensión vehicular amortiguada por el amortiguador.

Pruebas de vibración

La prueba de vibración se logra mediante la introducción de una función de fuerza en una estructura, generalmente con algún tipo de sacudidor. Alternativamente, se conecta un DUT (dispositivo bajo prueba) a la "mesa" de un agitador. La prueba de vibración se realiza para examinar la respuesta de un dispositivo bajo prueba (DUT) a un entorno de vibración definido. La respuesta medida puede ser la capacidad de funcionar en el entorno de vibración, la vida útil a la fatiga, las frecuencias resonantes o la salida de sonido de chirridos y traqueteos (NVH). Las pruebas de chirridos y traqueteos se realizan con un tipo especial de agitador silencioso que produce niveles de sonido muy bajos mientras está en funcionamiento.

Para el forzado de frecuencia relativamente baja (típicamente menos de 100 Hz), se utilizan agitadores servohidráulicos (electrohidráulicos). Para frecuencias más altas (típicamente de 5 Hz a 2000 Hz), se utilizan agitadores electrodinámicos. Generalmente, uno o más puntos de "entrada" o "control" ubicados en el lado del DUT de un dispositivo de vibración se mantienen a una aceleración específica. Otros puntos de "respuesta" pueden experimentar niveles de vibración más altos (resonancia) o niveles de vibración más bajos (antirresonancia o amortiguación) que los puntos de control. A menudo es deseable lograr la antirresonancia para evitar que un sistema se vuelva demasiado ruidoso o para reducir la tensión en ciertas partes debido a los modos de vibración causados por frecuencias de vibración específicas.

Los tipos más comunes de servicios de prueba de vibración realizados por laboratorios de prueba de vibración son sinusoidales y aleatorios. Se realizan pruebas sinusoidales (una frecuencia a la vez) para examinar la respuesta estructural del dispositivo bajo prueba (DUT). Durante la historia temprana de las pruebas de vibración, los controladores de máquinas de vibración se limitaban solo a controlar el movimiento sinusoidal, por lo que solo se realizaban pruebas sinusoidales. Más tarde, los controladores analógicos más sofisticados y luego los digitales pudieron proporcionar un control aleatorio (todas las frecuencias a la vez). Por lo general, se considera que una prueba aleatoria (todas las frecuencias a la vez) replica más de cerca un entorno del mundo real, como las entradas de la carretera a un automóvil en movimiento.

La mayoría de las pruebas de vibración se realizan en un "único eje DUT" a la vez, aunque la mayoría de las vibraciones del mundo real ocurren en varios ejes simultáneamente. MIL-STD-810G, lanzado a fines de 2008, método de prueba 527, exige pruebas de múltiples excitadores. El accesorio de prueba de vibraciones que se utiliza para conectar el DUT a la mesa vibratoria debe estar diseñado para el rango de frecuencia del espectro de prueba de vibraciones. Es difícil diseñar un dispositivo de prueba de vibración que duplique la respuesta dinámica (impedancia mecánica) del montaje real en uso. Por esta razón, para garantizar la repetibilidad entre las pruebas de vibración, los accesorios de vibración están diseñados para estar libres de resonancia.dentro del rango de frecuencia de prueba. Generalmente, para luminarias más pequeñas y rangos de frecuencia más bajos, el diseñador puede apuntar a un diseño de luminaria que esté libre de resonancias en el rango de frecuencia de prueba. Esto se vuelve más difícil a medida que el dispositivo bajo prueba se hace más grande y aumenta la frecuencia de la prueba. En estos casos, las estrategias de control multipunto pueden mitigar algunas de las resonancias que pueden estar presentes en el futuro.

Algunos métodos de prueba de vibración limitan la cantidad de diafonía (movimiento de un punto de respuesta en una dirección mutuamente perpendicular al eje bajo prueba) que puede exhibir el dispositivo de prueba de vibración. Los dispositivos diseñados específicamente para rastrear o registrar vibraciones se denominan vibroscopios.

Análisis de vibraciones

El análisis de vibraciones (VA), aplicado en un entorno industrial o de mantenimiento, tiene como objetivo reducir los costos de mantenimiento y el tiempo de inactividad de los equipos mediante la detección de fallas en los equipos. VA es un componente clave de un programa de monitoreo de condición (CM) y, a menudo, se lo denomina mantenimiento predictivo (PdM). Más comúnmente, VA se usa para detectar fallas en equipos giratorios (ventiladores, motores, bombas y cajas de cambios, etc.) como desequilibrio, desalineación, fallas en los cojinetes de los elementos rodantes y condiciones de resonancia.

VA puede usar las unidades de Desplazamiento, Velocidad y Aceleración mostradas como una forma de onda de tiempo (TWF), pero más comúnmente se usa el espectro, derivado de una transformada rápida de Fourier de la TWF. El espectro de vibración proporciona información de frecuencia importante que puede identificar el componente defectuoso.

Los fundamentos del análisis de vibraciones se pueden entender estudiando el modelo simple Masa-resorte-amortiguador. De hecho, incluso una estructura compleja, como la carrocería de un automóvil, se puede modelar como una "suma" de modelos simples de masa, resorte y amortiguador. El modelo masa-resorte-amortiguador es un ejemplo de un oscilador armónico simple. Las matemáticas utilizadas para describir su comportamiento son idénticas a las de otros osciladores armónicos simples, como el circuito RLC.

Nota: Este artículo no incluye las derivaciones matemáticas paso a paso, pero se enfoca en las principales ecuaciones y conceptos del análisis de vibraciones. Consulte las referencias al final del artículo para derivaciones detalladas.

Vibración libre sin amortiguación

Para comenzar la investigación de la masa-resorte-amortiguador, suponga que la amortiguación es insignificante y que no se aplica ninguna fuerza externa a la masa (es decir, vibración libre). La fuerza aplicada a la masa por el resorte es proporcional a la cantidad de resorte que se estira "x" (suponiendo que el resorte ya está comprimido debido al peso de la masa). La constante de proporcionalidad, k, es la rigidez del resorte y tiene unidades de fuerza/distancia (por ejemplo, lbf/in o N/m). El signo negativo indica que la fuerza siempre se opone al movimiento de la masa unida a ella: $F_s=- k x. !$

La fuerza generada por la masa es proporcional a la aceleración de la masa según lo establece la segunda ley del movimiento de Newton: $Sigma F = ma = m ddot{x} = m frac{d^2x}{dt^2}.$

La suma de las fuerzas sobre la masa genera esta ecuación diferencial ordinaria: $m ddot{x} + kx = 0.$

Suponiendo que la iniciación de la vibración comienza estirando el resorte la distancia A y soltándolo, la solución a la ecuación anterior que describe el movimiento de la masa es: $x(t) = A cos (2 pi f_n t). !$

Esta solución dice que oscilará con un movimiento armónico simple que tiene una amplitud de A y una frecuencia de f _n. El número f _n se llama frecuencia natural no amortiguada. Para el sistema masa-resorte simple, f _n se define como: $f_n = {1sobre {2 pi}} sqrt{k sobre m}. !$

Nota: frecuencia angular ω (ω=2 π f) con las unidades de radianes por segundo se usa a menudo en las ecuaciones porque simplifica las ecuaciones, pero normalmente se convierte a frecuencia ordinaria (unidades de Hz o ciclos equivalentes por segundo) cuando se indica la frecuencia de un sistema. Si se conocen la masa y la rigidez del sistema, la fórmula anterior puede determinar la frecuencia a la que vibra el sistema una vez puesto en movimiento por una perturbación inicial. Todo sistema vibratorio tiene una o más frecuencias naturales que vibran a la vez perturbadas. Esta relación simple se puede usar para comprender en general qué le sucede a un sistema más complejo una vez que agregamos masa o rigidez. Por ejemplo, la fórmula anterior explica por qué, cuando un automóvil o camión está completamente cargado, la suspensión se siente "más suave" que sin carga: la masa ha aumentado, lo que reduce la frecuencia natural del sistema.

Qué hace que el sistema vibre: desde el punto de vista de la conservación de la energía

El movimiento vibratorio podría entenderse en términos de conservación de la energía. En el ejemplo anterior, el resorte se ha extendido por un valor de x y, por lo tanto, $tfrac {1}{2} kx^2$ se almacena algo de energía potencial () en el resorte. Una vez liberado, el resorte tiende a volver a su estado no estirado (que es el estado de mínima energía potencial) y en el proceso acelera la masa. En el punto donde el resorte ha alcanzado su estado no estirado toda la energía potencial que le suministramos al estirarlo se ha transformado en energía cinética ( $tfrac {1}{2} mv^2$ ). Entonces la masa comienza a desacelerar porque ahora está comprimiendo el resorte y en el proceso transfiriendo la energía cinética de vuelta a su potencial. Por lo tanto, la oscilación del resorte equivale a transferir de un lado a otro la energía cinética en energía potencial. En este modelo simple, la masa continúa oscilando para siempre con la misma magnitud, pero en un sistema real, la amortiguación siempre disipa la energía y finalmente hace que el resorte descanse.

Vibración libre con amortiguación

Cuando se agrega un amortiguador "viscoso" al modelo, genera una fuerza que es proporcional a la velocidad de la masa. El amortiguamiento se llama viscoso porque modela los efectos de un fluido dentro de un objeto. La constante de proporcionalidad c se denomina coeficiente de amortiguamiento y tiene unidades de fuerza sobre la velocidad (lbf⋅s/in o N⋅s/m). ${displaystyle F_{text{d}}=-cv=-c{dot {x}}=-c{frac {dx}{dt}}.}$

La suma de las fuerzas sobre la masa da como resultado la siguiente ecuación diferencial ordinaria: ${displaystyle m{ddot {x}}+c{dot {x}}+kx=0.}$

La solución a esta ecuación depende de la cantidad de amortiguamiento. Si la amortiguación es lo suficientemente pequeña, el sistema aún vibra, pero finalmente, con el tiempo, deja de vibrar. Este caso se denomina subamortiguación, que es importante en el análisis de vibraciones. Si se aumenta el amortiguamiento justo hasta el punto en que el sistema ya no oscila, el sistema ha alcanzado el punto de amortiguamiento crítico. Si el amortiguamiento se incrementa más allá del amortiguamiento crítico, el sistema está sobreamortiguado. El valor que debe alcanzar el coeficiente de amortiguamiento para el amortiguamiento crítico en el modelo masa-resorte-amortiguador es: ${displaystyle c_{text{c}}=2{sqrt {text{km}}}.}$

Para caracterizar la cantidad de amortiguamiento en un sistema, se utiliza una relación denominada índice de amortiguamiento (también conocido como factor de amortiguamiento y % de amortiguamiento crítico). Esta relación de amortiguamiento es solo una relación del amortiguamiento real sobre la cantidad de amortiguamiento requerida para alcanzar el amortiguamiento crítico. La fórmula para la relación de amortiguamiento ( $zeta$ ) del modelo masa-resorte-amortiguador es: ${displaystyle zeta ={c over 2{sqrt {text{km}}}}.}$

Por ejemplo, las estructuras metálicas (p. ej., fuselajes de aviones, cigüeñales de motores) tienen factores de amortiguamiento inferiores a 0,05, mientras que las suspensiones de automóviles están en el rango de 0,2 a 0,3. La solución al sistema subamortiguado para el modelo masa-resorte-amortiguador es la siguiente: ${displaystyle x(t)=Xe^{-zeta omega _{n}t}cos left({sqrt {1-zeta ^{2}}}omega _{n}t- phi right),qquad omega _{n}=2pi f_{n}.}$

El valor de X, la magnitud inicial y $fi,$ el cambio de fase están determinados por la cantidad de estiramiento del resorte. Las fórmulas para estos valores se pueden encontrar en las referencias.

Frecuencias naturales amortiguadas y no amortiguadas

Los puntos principales a tener en cuenta de la solución son el término exponencial y la función coseno. El término exponencial define la rapidez con la que el sistema se "amortigua": cuanto mayor es la relación de amortiguamiento, más rápido se amortigua a cero. La función coseno es la porción oscilante de la solución, pero la frecuencia de las oscilaciones es diferente del caso no amortiguado.

La frecuencia en este caso se denomina "frecuencia natural amortiguada" ${displaystyle f_{text{d}},}$ y está relacionada con la frecuencia natural no amortiguada mediante la siguiente fórmula: ${displaystyle f_{text{d}}=f_{n}{sqrt {1-zeta^{2}}}.}$

La frecuencia natural amortiguada es menor que la frecuencia natural no amortiguada, pero en muchos casos prácticos la relación de amortiguamiento es relativamente pequeña y, por lo tanto, la diferencia es insignificante. Por lo tanto, la descripción amortiguada y no amortiguada a menudo se omite cuando se indica la frecuencia natural (por ejemplo, con una relación de amortiguamiento de 0,1, la frecuencia natural amortiguada es solo un 1% menor que la no amortiguada).

Las gráficas al lado presentan cómo las relaciones de amortiguamiento de 0.1 y 0.3 afectan la forma en que el sistema "suena" con el tiempo. Lo que se hace a menudo en la práctica es medir experimentalmente la vibración libre después de un impacto (por ejemplo, con un martillo) y luego determinar la frecuencia natural del sistema midiendo la tasa de oscilación, así como la relación de amortiguamiento midiendo la tasa de decadencia. La frecuencia natural y la relación de amortiguamiento no solo son importantes en la vibración libre, sino que también caracterizan cómo se comporta un sistema bajo vibración forzada.

Vibración forzada con amortiguación

El comportamiento del modelo de amortiguador de masa de resorte varía con la adición de una fuerza armónica. Una fuerza de este tipo podría, por ejemplo, ser generada por un desequilibrio giratorio. ${displaystyle F=F_{0}sin(2pi pies).!}$

La suma de las fuerzas sobre la masa da como resultado la siguiente ecuación diferencial ordinaria: ${displaystyle m{ddot {x}}+c{dot {x}}+kx=F_{0}sin(2pi ft).}$

La solución de estado estacionario de este problema se puede escribir como: ${displaystyle x(t)=Xsin(2pi ft+phi).!}$

El resultado establece que la masa oscilará a la misma frecuencia, f, de la fuerza aplicada, pero con un cambio de fase $fi.$

La amplitud de la vibración “X” se define mediante la siguiente fórmula. $X= {F_0 over k} {1 over sqrt{(1-r^2)^2 + (2 zeta r)^2}}.$

Donde “r” se define como la relación de la frecuencia de la fuerza armónica sobre la frecuencia natural no amortiguada del modelo masa-resorte-amortiguador. $r=frac{f}{f_n}.$

El cambio de fase $fi,$ se define mediante la siguiente fórmula. ${displaystyle phi =arctan left({frac {-2zeta r}{1-r^{2}}}right).}$

El gráfico de estas funciones, llamado "la respuesta de frecuencia del sistema", presenta una de las características más importantes de la vibración forzada. En un sistema ligeramente amortiguado, cuando la frecuencia forzada se acerca a la frecuencia natural ( $r aproximadamente 1$ ), la amplitud de la vibración puede llegar a ser extremadamente alta. Este fenómeno se denomina resonancia (posteriormente, la frecuencia natural de un sistema se suele denominar frecuencia resonante). En los sistemas de cojinetes de rotor, cualquier velocidad de rotación que excite una frecuencia resonante se denomina velocidad crítica.

Si se produce resonancia en un sistema mecánico, puede ser muy dañina y conducir a una eventual falla del sistema. En consecuencia, una de las principales razones para el análisis de vibraciones es predecir cuándo puede ocurrir este tipo de resonancia y luego determinar qué pasos tomar para evitar que ocurra. Como muestra el diagrama de amplitud, agregar amortiguación puede reducir significativamente la magnitud de la vibración. Además, la magnitud se puede reducir si la frecuencia natural se puede alejar de la frecuencia forzada cambiando la rigidez o la masa del sistema. Si no se puede cambiar el sistema, tal vez se pueda cambiar la frecuencia de fuerza (por ejemplo, cambiando la velocidad de la máquina que genera la fuerza).

Los siguientes son algunos otros puntos con respecto a la vibración forzada que se muestran en los gráficos de respuesta de frecuencia.

En una relación de frecuencia dada, la amplitud de la vibración, X, es directamente proporcional a la amplitud de la fuerza $F_0$ (por ejemplo, si duplica la fuerza, la vibración se duplica)
Con poco o ningún amortiguamiento, la vibración está en fase con la frecuencia forzada cuando la relación de frecuencia r < 1 y 180 grados fuera de fase cuando la relación de frecuencia r > 1
Cuando r ≪ 1, la amplitud es solo la desviación del resorte bajo la fuerza estática. $F_0.$ Esta desviación se denomina desviación estática $delta_{st}.$ . Por lo tanto, cuando r ≪ 1, los efectos del amortiguador y la masa son mínimos.
Cuando r ≫ 1 la amplitud de la vibración es en realidad menor que la deflexión estática. $delta_{st}.$ En esta región la fuerza generada por la masa (F = ma) es dominante porque la aceleración vista por la masa aumenta con la frecuencia. Dado que la deflexión vista en el resorte, X, se reduce en esta región, la fuerza transmitida por el resorte (F = kx) a la base se reduce. Por lo tanto, el sistema masa-resorte-amortiguador aísla la fuerza armónica de la base de montaje, lo que se conoce como aislamiento de vibración. Una mayor amortiguación en realidad reduce los efectos del aislamiento de vibraciones cuando r ≫ 1 porque la fuerza de amortiguación (F = cv) también se transmite a la base.
Cualquiera que sea la amortiguación, la vibración está desfasada 90 grados con respecto a la frecuencia forzada cuando la relación de frecuencia r = 1, lo cual es muy útil cuando se trata de determinar la frecuencia natural del sistema.
Cualquiera que sea el amortiguamiento, cuando r ≫ 1, la vibración está desfasada 180 grados con respecto a la frecuencia forzada
Cualquiera que sea el amortiguamiento, cuando r ≪ 1, la vibración está en fase con la frecuencia forzada

Causas de resonancia

La resonancia es fácil de entender si el resorte y la masa se ven como elementos de almacenamiento de energía: la masa almacena energía cinética y el resorte almacena energía potencial. Como se discutió anteriormente, cuando la masa y el resorte no tienen una fuerza externa que actúe sobre ellos, transfieren energía de un lado a otro a una velocidad igual a la frecuencia natural. En otras palabras, para bombear energía de manera eficiente tanto en la masa como en el resorte, se requiere que la fuente de energía alimente la energía a una velocidad igual a la frecuencia natural. Aplicar una fuerza a la masa y al resorte es similar a empujar a un niño en un columpio, se necesita un empujón en el momento correcto para hacer que el columpio suba más y más. Como en el caso del columpio, la fuerza aplicada no necesita ser alta para obtener grandes movimientos, sino que debe agregar energía al sistema.

El amortiguador, en lugar de almacenar energía, disipa energía. Dado que la fuerza de amortiguación es proporcional a la velocidad, cuanto mayor sea el movimiento, más energía disipará el amortiguador. Por tanto, hay un punto en el que la energía disipada por el amortiguador es igual a la energía añadida por la fuerza. En este punto, el sistema ha alcanzado su amplitud máxima y continuará vibrando a este nivel mientras la fuerza aplicada permanezca igual. Si no existe amortiguamiento, no hay nada que disipe la energía y, en teoría, el movimiento seguirá creciendo hasta el infinito.

Aplicación de fuerzas "complejas" al modelo masa-resorte-amortiguador

En una sección anterior, solo se aplicó una fuerza armónica simple al modelo, pero esto se puede extender considerablemente usando dos poderosas herramientas matemáticas. La primera es la transformada de Fourier que toma una señal en función del tiempo (dominio del tiempo) y la descompone en sus componentes armónicos en función de la frecuencia (dominio de la frecuencia). Por ejemplo, al aplicar una fuerza al modelo masa-resorte-amortiguador que repite el siguiente ciclo: una fuerza igual a 1 newton durante 0,5 segundos y luego ninguna fuerza durante 0,5 segundos. Este tipo de fuerza tiene la forma de una onda cuadrada de 1 Hz.

La transformada de Fourier de la onda cuadrada genera un espectro de frecuencia que presenta la magnitud de los armónicos que componen la onda cuadrada (también se genera la fase, pero normalmente es menos preocupante y, por lo tanto, a menudo no se representa). La transformada de Fourier también se puede utilizar para analizar funciones no periódicas como transitorios (por ejemplo, impulsos) y funciones aleatorias. La transformada de Fourier casi siempre se calcula utilizando el algoritmo informático de transformada rápida de Fourier (FFT) en combinación con una función de ventana.

En el caso de nuestra fuerza de onda cuadrada, el primer componente es en realidad una fuerza constante de 0,5 newton y está representada por un valor a 0 Hz en el espectro de frecuencia. El siguiente componente es una onda sinusoidal de 1 Hz con una amplitud de 0,64. Esto se muestra mediante la línea a 1 Hz. Los componentes restantes están en frecuencias impares y se necesita una cantidad infinita de ondas sinusoidales para generar la onda cuadrada perfecta. Por lo tanto, la transformada de Fourier le permite interpretar la fuerza como una suma de fuerzas sinusoidales que se aplican en lugar de una fuerza más "compleja" (por ejemplo, una onda cuadrada).

En la sección anterior, la solución de vibración se dio para una sola fuerza armónica, pero la transformada de Fourier en general da múltiples fuerzas armónicas. La segunda herramienta matemática, el principio de superposición, permite la suma de las soluciones de múltiples fuerzas si el sistema es lineal. En el caso del modelo resorte-masa-amortiguador, el sistema es lineal si la fuerza del resorte es proporcional al desplazamiento y el amortiguamiento es proporcional a la velocidad en el rango de movimiento de interés. Por tanto, la solución al problema con una onda cuadrada es sumar la vibración predicha de cada una de las fuerzas armónicas encontradas en el espectro de frecuencia de la onda cuadrada.

Modelo de respuesta de frecuencia

La solución de un problema de vibración puede verse como una relación de entrada/salida, donde la fuerza es la entrada y la salida es la vibración. Representar la fuerza y la vibración en el dominio de la frecuencia (magnitud y fase) permite la siguiente relación: ${displaystyle X(iomega)=H(iomega)cdot F(iomega){text{ o }}H(iomega)={X(iomega) over F(i omega)}.}$

$H(iomega)$ se denomina función de respuesta de frecuencia (también conocida como función de transferencia, pero técnicamente no tan precisa) y tiene un componente de magnitud y fase (si se representa como un número complejo, un componente real e imaginario). La magnitud de la función de respuesta de frecuencia (FRF) se presentó anteriormente para el sistema masa-resorte-amortiguador. ${displaystyle |H(iomega)|=left|{X(iomega) over F(iomega)}right|={1 over k}{1 over {sqrt {(1-r^{2})^{2}+(2zeta r)^{2}}}},{text{ donde }}r={frac {f}{f_{n}}}= {frac{omega}{omega _{n}}}.}$

La fase del FRF también se presentó anteriormente como: ${displaystyle angle H(iomega)=-arctan left({frac {2zeta r}{1-r^{2}}}right).}$

Por ejemplo, calcular el FRF para un sistema masa-resorte-amortiguador con una masa de 1 kg, una rigidez del resorte de 1,93 N/mm y una relación de amortiguamiento de 0,1. Los valores del resorte y la masa dan una frecuencia natural de 7 Hz para este sistema específico. La aplicación de la onda cuadrada de 1 Hz de antes permite el cálculo de la vibración prevista de la masa. La figura ilustra la vibración resultante. Ocurre en este ejemplo que el cuarto armónico de la onda cuadrada cae a 7 Hz. La respuesta de frecuencia de la masa-resorte-amortiguador, por lo tanto, genera una vibración alta de 7 Hz, aunque la fuerza de entrada tenía un armónico de 7 Hz relativamente bajo. Este ejemplo destaca que la vibración resultante depende tanto de la función de fuerza como del sistema al que se aplica la fuerza.

La figura también muestra la representación en el dominio del tiempo de la vibración resultante. Esto se hace realizando una Transformada de Fourier inversa que convierte los datos del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo. En la práctica, esto rara vez se hace porque el espectro de frecuencia proporciona toda la información necesaria.

La función de respuesta de frecuencia (FRF) no tiene que calcularse necesariamente a partir del conocimiento de la masa, el amortiguamiento y la rigidez del sistema, pero puede medirse experimentalmente. Por ejemplo, si se aplica una fuerza conocida en un rango de frecuencias, y si se miden las vibraciones asociadas, se puede calcular la función de respuesta de frecuencia, caracterizando así el sistema. Esta técnica se utiliza en el campo del análisis modal experimental para determinar las características de vibración de una estructura.

Múltiples grados de sistemas de libertad y formas de modo

El modelo simple masa-resorte-amortiguador es la base del análisis de vibraciones, pero ¿qué pasa con los sistemas más complejos? El modelo masa-resorte-amortiguador descrito anteriormente se denomina modelo de un solo grado de libertad (SDOF) ya que se supone que la masa solo se mueve hacia arriba y hacia abajo. En sistemas más complejos, el sistema debe discretizarse en más masas que se mueven en más de una dirección, añadiendo grados de libertad. Los conceptos principales de múltiples grados de libertad (MDOF) se pueden entender observando solo un modelo de 2 grados de libertad como se muestra en la figura.

Se encuentra que las ecuaciones de movimiento del sistema 2DOF son: ${displaystyle m_{1}{ddot {x_{1}}}+(c_{1}+c_{2}){dot {x_{1}}}-c_{2}{dot {x_{ 2}}}+(k_{1}+k_{2})x_{1}-k_{2}x_{2}=f_{1},}$ ${displaystyle m_{2}{ddot {x_{2}}}-c_{2}{dot {x_{1}}}+(c_{2}+c_{3}){dot {x_{ 2}}}-k_{2}x_{1}+(k_{2}+k_{3})x_{2}=f_{2}.!}$

Esto se puede reescribir en formato de matriz: ${displaystyle {begin{bmatrix}m_{1}&0\0&m_{2}end{bmatrix}}{begin{Bmatrix}{ddot {x_{1}}}\{ddot {x_{ 2}}}end{Bmatriz}}+{begin{bmatriz}c_{1}+c_{2}&-c_{2}\-c_{2}&c_{2}+c_{3}end {bmatrix}}{begin{Bmatrix}{dot {x_{1}}}\{dot {x_{2}}}end{Bmatrix}}+{begin{bmatrix}k_{1}+ k_{2}&-k_{2}\-k_{2}&k_{2}+k_{3}end{bmatriz}}{begin{Bmatriz}x_{1}\x_{2}end {Bmatriz}}={begin{Bmatriz}f_{1}\f_{2}end{Bmatriz}}.}$

Una forma más compacta de esta ecuación matricial se puede escribir como: $begin{bmatrix}Mend{bmatrix}begin{Bmatrix}ddot{x}end{Bmatrix}+begin{bmatrix}Cend{bmatrix}begin{Bmatrix}dot{x}end {Bmatrix}+begin{bmatrix}Kend{bmatrix}begin{Bmatrix} xend{Bmatrix}=begin{Bmatrix} f end{Bmatrix}$

donde y son matrices simétricas referidas respectivamente como matrices de masa, amortiguamiento y rigidez. Las matrices son matrices cuadradas NxN donde N es el número de grados de libertad del sistema. $begin{bmatriz}Mend{bmatriz},$ $begin{bmatrix}Cend{bmatrix},$ $begin{bmatrix}Kend{bmatrix}$

El siguiente análisis implica el caso en el que no hay amortiguamiento ni fuerzas aplicadas (es decir, vibración libre). La solución de un sistema viscosamente amortiguado es algo más complicada. $begin{bmatrix}Mend{bmatrix}begin{Bmatrix}ddot{x}end{Bmatrix}+begin{bmatrix}Kend{bmatrix}begin{Bmatrix} xend{Bmatrix}= 0.$

Esta ecuación diferencial se puede resolver suponiendo el siguiente tipo de solución: $begin{Bmatrix} xend{Bmatrix}=begin{Bmatrix} Xend{Bmatrix}e^{iomega t}.$

Nota: Usar la solución exponencial de $begin{Bmatrix} Xend{Bmatrix}e^{iomega t}$ es un truco matemático que se usa para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Usando la fórmula de Euler y tomando solo la parte real de la solución, es la misma solución de coseno para el sistema 1 DOF. La solución exponencial solo se usa porque es más fácil de manipular matemáticamente.

La ecuación entonces se convierte en: ${displaystyle {begin{bmatrix}-omega ^{2}{begin{bmatrix}Mend{bmatrix}}+{begin{bmatrix}Kend{bmatrix}}end{bmatrix}}{ begin{Bmatrix}Xend{Bmatrix}}e^{iomega t}=0.}$

Como $e^{iomega t}$ no puede ser igual a cero, la ecuación se reduce a lo siguiente. ${displaystyle {begin{bmatrix}{begin{bmatrix}Kend{bmatrix}}-omega ^{2}{begin{bmatrix}Mend{bmatrix}}end{bmatrix}}{ comenzar{Bmatriz}Xend{Bmatriz}}=0.}$

Problema de valores propios

Esto se refiere a un problema de valor propio en matemáticas y se puede poner en el formato estándar al premultiplicar la ecuación por $begin{bmatriz}Mend{bmatriz}^{-1}$ ${displaystyle {begin{bmatrix}{begin{bmatrix}Mend{bmatrix}}^{-1}{begin{bmatrix}Kend{bmatrix}}-omega ^{2}{begin {bmatrix}Mend{bmatrix}}^{-1}{begin{bmatrix}Mend{bmatrix}}end{bmatrix}}{begin{Bmatrix}Xend{Bmatrix}}=0}$

y si: $begin{bmatrix}Mend{bmatrix}^{-1}begin{bmatrix}Kend{bmatrix}=begin{bmatrix}Aend{bmatrix}$ y $lambda=omega^2,$ $begin{bmatrix}begin{bmatrix}Aend{bmatrix}-lambdabegin{bmatrix}Iend{bmatrix}end{bmatrix}begin{Bmatrix}Xend{Bmatrix}=0.$

La solución al problema da como resultado N autovalores (ie $omega_1^2,omega_2^2,cdotsomega_N^2$ ), donde N corresponde al número de grados de libertad. Los valores propios proporcionan las frecuencias naturales del sistema. Cuando estos valores propios se sustituyen de nuevo en el conjunto original de ecuaciones, los valores de $begin{Bmatriz}Xend{Bmatriz}$ que corresponden a cada valor propio se denominan vectores propios. Estos vectores propios representan las formas modales del sistema. La solución de un problema de valores propios puede ser bastante engorrosa (especialmente para problemas con muchos grados de libertad), pero afortunadamente la mayoría de los programas de análisis matemático tienen rutinas de valores propios.

Los valores propios y los vectores propios a menudo se escriben en el siguiente formato de matriz y describen el modelo modal del sistema: ${displaystyle {begin{bmatrix}^{diagdown}omega_{rdiagdown}^{2}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}omega_{1}^{2}& cdots &0\vdots &ddots &vdots \0&cdots &omega _{N}^{2}end{bmatrix}}{text{ y }}{begin{bmatrix}Psi end{bmatrix}}={begin{bmatrix}{begin{Bmatrix}psi _{1}end{Bmatrix}}{begin{Bmatrix}psi _{2}end{Bmatrix}} cdots {begin{Bmatrix}psi _{N}end{Bmatrix}}end{bmatrix}}.}$

Un ejemplo simple usando el modelo 2 DOF puede ayudar a ilustrar los conceptos. Deje que ambas masas tengan una masa de 1 kg y la rigidez de los tres resortes sea igual a 1000 N/m. La matriz de masa y rigidez para este problema es entonces: $begin{bmatrix}Mend{bmatrix}=begin{bmatrix}1 y 0\ 0 y 1end{bmatrix}$ y $begin{bmatrix}Kend{bmatrix}=begin{bmatrix}2000 y -1000\ -1000 y 2000end{bmatrix}.$

Después $begin{bmatrix}Aend{bmatrix}=begin{bmatrix}2000 y -1000\ -1000 y 2000end{bmatrix}.$

Los valores propios para este problema dados por una rutina de valores propios son: $begin{bmatrix} ^diagdown omega_{rdiagdown}^2 end{bmatrix}=begin{bmatrix} 1000 & 0 \ 0 & 3000 end{bmatrix}.$

Las frecuencias naturales en las unidades de hertz son entonces (recordando $scriptstyle omega=2 pi f$ ) $scriptstyle f_1=5.033 mathrm { Hz}$ y ${displaystyle scriptstyle f_{2}=8.717{text{ Hz}}.}$

Las dos formas de modo para las respectivas frecuencias naturales se dan como: $begin{bmatrix} Psi end{bmatrix}=begin{bmatrix} begin{Bmatrix} psi_1 end{Bmatrix} begin{Bmatrix} psi_2 end{Bmatrix} end{bmatrix}= begin {bmatrix} begin{Bmatrix} -0.707 \ -0.707 end{Bmatrix}_1 begin{Bmatrix} 0.707 \ -0.707 end{Bmatrix}_2 end{bmatrix}.$

Dado que el sistema es un sistema de 2 DOF, hay dos modos con sus respectivas frecuencias y formas naturales. Los vectores de forma de modo no son el movimiento absoluto, sino que simplemente describen el movimiento relativo de los grados de libertad. En nuestro caso, el vector de forma del primer modo dice que las masas se mueven juntas en fase ya que tienen el mismo valor y signo. En el caso del vector de forma del segundo modo, cada masa se mueve en dirección opuesta a la misma velocidad.

Ilustración de un problema DOF múltiple

Cuando hay muchos grados de libertad, un método para visualizar las formas modales es animándolas usando un software de análisis estructural como Femap, ANSYS o VA One de ESI Group. En la siguiente figura se muestra un ejemplo de formas de modo de animación para una I en voladizo-beam como se demostró utilizando el análisis modal en ANSYS. En este caso, se utilizó el método de elementos finitos para generar una aproximación de las matrices de masa y rigidez mallando el objeto de interés para resolver un problema de valores propios discretos. Tenga en cuenta que, en este caso, el método de elementos finitos proporciona una aproximación de la superficie mallada (para la cual existe un número infinito de modos y frecuencias de vibración). Por lo tanto, este modelo relativamente simple que tiene más de 100 grados de libertad y, por lo tanto, tantas frecuencias naturales y formas de modo, proporciona una buena aproximación para las primeras frecuencias y modos naturales. Generalmente, solo los primeros modos son importantes para aplicaciones prácticas.

^ Tenga en cuenta que al realizar una aproximación numérica de cualquier modelo matemático, se debe determinar la convergencia de los parámetros de interés.

Problema DOF múltiple convertido a un solo problema DOF

Los vectores propios tienen propiedades muy importantes llamadas propiedades de ortogonalidad. Estas propiedades se pueden utilizar para simplificar en gran medida la solución de modelos de varios grados de libertad. Se puede demostrar que los vectores propios tienen las siguientes propiedades: $begin{bmatrix}Psiend{bmatrix}^{T}begin{bmatrix}Mend{bmatrix}begin{bmatrix}Psiend{bmatrix}=begin{bmatrix} ^diagdown m_{ rdiagdown} end{bmatriz},$ $begin{bmatrix}Psiend{bmatrix}^{T}begin{bmatrix}Kend{bmatrix}begin{bmatrix}Psiend{bmatrix}=begin{bmatrix} ^diagdown k_{ rdiagdown} end{bmatriz}.$

$begin{bmatrix} ^diagdown m_{rdiagdown} end{bmatrix}$ y $begin{bmatrix} ^diagdown k_{rdiagdown} end{bmatrix}$ son matrices diagonales que contienen los valores modales de masa y rigidez para cada uno de los modos. (Nota: dado que los vectores propios (formas de los modos) se pueden escalar arbitrariamente, las propiedades de ortogonalidad se usan a menudo para escalar los vectores propios, de modo que el valor de masa modal para cada modo sea igual a 1. La matriz de masa modal es, por lo tanto, una matriz identidad)

Estas propiedades se pueden usar para simplificar en gran medida la solución de modelos de varios grados de libertad al realizar la siguiente transformación de coordenadas. $begin{Bmatrix} x end{Bmatrix}= begin{bmatrix} Psi end{bmatrix} begin{Bmatrix} q end{Bmatrix}.$

El uso de esta transformación de coordenadas en la ecuación diferencial de vibración libre original da como resultado la siguiente ecuación. ${displaystyle {begin{bmatrix}Mend{bmatrix}}{begin{bmatrix}Psi end{bmatrix}}{begin{Bmatrix}{ddot {q}}end{Bmatrix}}+ {begin{bmatrix}Kend{bmatrix}}{begin{bmatrix}Psi end{bmatrix}}{begin{Bmatrix}qend{Bmatrix}}=0.}$

Aprovechando las propiedades de ortogonalidad al premultiplicar esta ecuación por $begin{bmatrix}Psiend{bmatrix}^{T}$ $begin{bmatrix}Psiend{bmatrix}^{T}begin{bmatrix}Mend{bmatrix}begin{bmatrix} Psi end{bmatrix}begin{Bmatrix}ddot{q} end{Bmatrix}+begin{bmatrix}Psiend{bmatrix}^{T}begin{bmatrix}Kend{bmatrix} begin{bmatrix} Psi end{bmatrix} begin{Bmatrix} q end{Bmatriz}=0.$

Las propiedades de ortogonalidad luego simplifican esta ecuación a: $begin{bmatrix} ^diagdown m_{rdiagdown} end{bmatrix} begin{Bmatrix}ddot{q}end{Bmatrix}+begin{bmatrix}^diagdown k_{rdiagdown} end{bmatrix} begin{Bmatrix} qend{Bmatrix}=0.$

Esta ecuación es la base del análisis de vibraciones para sistemas de múltiples grados de libertad. Se puede derivar un tipo de resultado similar para los sistemas amortiguados. La clave es que las matrices modales de masa y rigidez son matrices diagonales y, por lo tanto, las ecuaciones se han "desacoplado". En otras palabras, el problema se ha transformado de un gran problema de múltiples grados de libertad difícil de manejar en muchos problemas de un solo grado de libertad que se pueden resolver utilizando los mismos métodos descritos anteriormente.

La resolución de x se reemplaza por la resolución de q, denominadas coordenadas modales o factores de participación modales.

Puede ser más claro de entender si $begin{Bmatrix} x end{Bmatrix}= begin{bmatrix} Psi end{bmatrix} begin{Bmatrix} q end{Bmatrix}$ está escrito como: $begin{Bmatrix} x_n end{Bmatrix}= q_1begin{Bmatrix} psi end{Bmatrix}_1 +q_2begin{Bmatrix} psi end{Bmatrix}_2 +q_3begin{Bmatrix} psi end{Bmatrix}_3 +cdots + q_Nbegin{Bmatrix} psi end{Bmatrix}_N.$

Escrito de esta forma, se puede ver que la vibración en cada uno de los grados de libertad es solo una suma lineal de las formas de los modos. Además, cuánto "participa" cada modo en la vibración final está definido por q, su factor de participación modal.

Modo de cuerpo rígido

Un sistema de varios grados de libertad sin restricciones experimenta tanto la traslación y/o la rotación como la vibración del cuerpo rígido. La existencia de un modo de cuerpo rígido da como resultado una frecuencia natural cero. La forma modal correspondiente se denomina modo de cuerpo rígido.

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