Vértice (geometría)

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En geometría, un vértice (pl.: vértices o vértices) es un punto en el que dos o más curvas, líneas o aristas se encuentran o se intersecan. Como consecuencia de esta definición, el punto en el que dos líneas se encuentran para formar un ángulo y las esquinas de polígonos y poliedros son vértices.

Definición

De un ángulo

El vértice de un ángulo es el punto donde dos rayos comienzan o se encuentran, donde dos segmentos de línea se unen o se encuentran, donde dos líneas se intersecan (se cruzan), o cualquier combinación apropiada de rayos, segmentos y líneas que resulten en dos "lados" rectos que se encuentran en un lugar.

De un politopo

Un vértice es un punto de esquina de un polígono, poliedro u otro politopo de dimensiones superiores, formado por la intersección de los bordes, caras o facetas del objeto.

En un polígono, un vértice se denomina "convexo" si el ángulo interno del polígono (es decir, el ángulo formado por las dos aristas en el vértice con el polígono dentro del ángulo) es menor que π radianes (180°, dos ángulos rectos); de lo contrario, se denomina "cóncavo" o "reflejo". En términos más generales, un vértice de un poliedro o politopo es convexo si la intersección del poliedro o politopo con una esfera suficientemente pequeña centrada en el vértice es convexa, y es cóncava en caso contrario.

Los vértices de un politopo están relacionados con los vértices de los grafos, en el sentido de que el esqueleto unidimensional de un politopo es un grafo, cuyos vértices corresponden a los vértices del politopo, y en el sentido de que un grafo puede verse como un complejo simplicial unidimensional cuyos vértices son los vértices del grafo.

Sin embargo, en la teoría de grafos, los vértices pueden tener menos de dos aristas incidentes, lo que normalmente no está permitido en el caso de los vértices geométricos. También existe una conexión entre los vértices geométricos y los vértices de una curva, sus puntos de curvatura extrema: en cierto sentido, los vértices de un polígono son puntos de curvatura infinita y, si un polígono se aproxima mediante una curva suave, habrá un punto de curvatura extrema cerca de cada vértice del polígono.

De un nivel plano

Un vértice de un mosaico o teselación plana es un punto en el que se encuentran tres o más mosaicos; por lo general, pero no siempre, los mosaicos de un mosaico son polígonos y los vértices del mosaico también son vértices de sus mosaicos. En términos más generales, un mosaico puede considerarse como una especie de complejo de celdas topológicas, al igual que las caras de un poliedro o politopo; los vértices de otros tipos de complejos, como los complejos simpliciales, son sus caras de dimensión cero.

vértice principal

Un vértice de polígono $x i$ de un polígono simple $P$ es un vértice de polígono principal si la diagonal $[x (i - 1), x (i + 1)]$ interseca el límite de $P$ solo en $x (i - 1)$ y $x (i + 1)$ . Hay dos tipos de vértices principales: las orejas y las bocas.

Orejas

Un vértice principal $x i$ de un polígono simple $P$ se llama espiga si la diagonal $[x (i - 1), x (i + 1)]$ que une $x i$ se encuentra completamente en $P$ . (ver también polígono convexo) Según el teorema de las dos espigas, todo polígono simple tiene al menos dos espigas.

Mouths

Un vértice principal $x i$ de un polígono simple $P$ se denomina boca si la diagonal $[x (i - 1), x (i + 1)]$ se encuentra fuera del límite de $P$ .

Número de vértices de un poliedro

La superficie de cualquier poliedro convexo tiene característica de Euler

V-E+F=2,

donde $V$ es el número de vértices, $E$ es el número de aristas y $F$ es el número de caras. Esta ecuación se conoce como la fórmula del poliedro de Euler. Por lo tanto, el número de vértices es 2 más que el exceso del número de aristas sobre el número de caras. Por ejemplo, dado que un cubo tiene 12 aristas y 6 caras, la fórmula implica que tiene ocho vértices.

Vertices en gráficos de computadora

En los gráficos de computadora, los objetos se representan a menudo como poliedros triangulados en los que los vértices del objeto están asociados no solo con tres coordenadas espaciales sino también con otra información gráfica necesaria para representar el objeto correctamente, como colores, propiedades de reflectancia, texturas y normal de la superficie. Estas propiedades se utilizan en la representación mediante un sombreador de vértices, parte del flujo de trabajo de vértices.

Véase también

Arreglos de Vertex
Vertex figure

Referencias

^ Weisstein, Eric W. "Vertex". MathWorld.
^ "Vertices, bordes y rostros". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-16.
^ a b "¿Qué son los vértices en matemáticas?". Sciencing. Retrieved 2020-08-16.
^ a b Heath, Thomas L. (1956). Los 13 libros de los elementos de Euclides Segunda Ed. Publicación original: Cambridge University Press, 1925] ed. Nueva York: Dover Publications.
(3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3).
^ Jing, Lanru; Stephansson, Ove (2007). Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: Teoría y Aplicaciones. Elsevier Science.
^ Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Página 29)
^ Bobenko, Alexander I.; Schröder, Peter; Sullivan, John M.; Ziegler, Günter M. (2008). Geometría diferencial. Birkhäuser Verlag AG. ISBN 978-3-7643-8620-7.
^ M.V. Jaric, ed, Introduction to the Mathematics of Quasicrystals (Aperiodicity and Order, Vol 2) ISBN 0-12-040602-0, Academic Press, 1989.
^ Devadoss, Satyan; O'Rourke, Joseph (2011). Geometría discreta y completa. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14553-2.
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^ Christen, Martin. "Clockworkcoders Tutoriales: Atributos Vertex". Grupo Khronos. Archivado desde el original el 12 de abril de 2019. Retrieved 26 de enero 2009.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Polygon Vertex". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Polyhedron Vertex". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Principal Vertex". MathWorld.

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