Ventana Kaiser

La ventana Kaiser para varios valores de su parámetro

La ventana Kaiser, también conocida como ventana Kaiser-Bessel, fue desarrollada por James Kaiser en Bell Laboratories. Es una familia de funciones de ventana de un parámetro que se utiliza en el diseño de filtros de respuesta de impulsos finitos y en el análisis espectral. La ventana Kaiser se aproxima a la ventana DPSS que maximiza la concentración de energía en el lóbulo principal pero que es difícil de calcular.

Definición

La ventana de Kaiser y su transformada de Fourier están dadas por:

L/2end{array}}right}quad {stackrel {mathcal {F}}{Longleftrightarrow }}quad {frac {sin {bigg (}{sqrt {(pi Lf)^{2}-(pi alpha)^{2}}}{bigg)}}{I_{0}(pi alpha)cdot {sqrt {(pi Lf)^{2}-(pi alpha)^{2}}}}},}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">w0()x)≜ ≜ {}1LI0[π π α α 1− − ()2x/L)2]I0[π π α α ],SilencioxSilencio≤ ≤ L/20,SilencioxSilencio■L/2}⟺ ⟺ Fpecado⁡ ⁡ ()()π π Lf)2− − ()π π α α )2)I0()π π α α )⋅ ⋅ ()π π Lf)2− − ()π π α α )2,{displaystyle w_{0}(x)triangleq left{begin{}{ccl}{tfrac {1}{I} {f}ppf} {pf}}} {pf} {pf}}}} {f} {f}} {f}} {pf}}}}}f}}}quad > }left {fnMicrosoft {fnMitcal} {F} {fn}fnMicroc} {fnMicroc} {bigg}{sqrt {pi Lf)}-(pialpha)^{2}}{bigg)}}{I_{0} {pialpha)cdot {sqrt {sqrt} {i} {i}- {i} {i}}}}}}}}}}}}}}}} {L/2end{array}}right}quad {stackrel {mathcal {F}}{Longleftrightarrow }}quad {frac {sin {bigg (}{sqrt {(pi Lf)^{2}-(pi alpha)^{2}}}{bigg)}}{I_{0}(pi alpha)cdot {sqrt {(pi Lf)^{2}-(pi alpha)^{2}}}}},}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1782a03fa849e66d4b54b408f6bad5a39b7cc98f" style="vertical-align: -4.671ex; width:83.516ex; height:11.676ex;"/>

Cuatro transformados de dos ventanas Kaiser

donde :

• I₀ es la función Bessel modificada cero del primer tipo,
• L es la duración de la ventana, y
• α es un número real no negativo que determina la forma de la ventana. En el dominio de frecuencias, determina el intercambio entre el ancho del lóbulo principal y el nivel del lóbulo lateral, que es una decisión central en el diseño de la ventana.
• A veces la ventana Kaiser es parametrizada por β, donde β = πα.

Para el procesamiento de señales digitales, la función se puede probar simétricamente como :

w[n]=L⋅ ⋅ w0()LN()n− − N/2))=I0[π π α α 1− − ()2nN− − 1)2]I0[π π α α ],0≤ ≤ n≤ ≤ N,{displaystyle w[n]=Lcdot w_{0}left({tfrac] {L}{N} {n-N/2)right)={frac {I_{0}left[pi alpha {sqrt {1-left({frac {2n}right)}{2}}right]}{I_{0} {pialpha}}}}}}}quad 0leq n N,}

donde la longitud de la ventana es N+1,{displaystyle N+1,} y N puede ser incluso o extraño. (ver una lista de funciones de ventana)

En la transformación de Fourier, el primer nulo después del lóbulo principal ocurre en f=1+α α 2L,{displaystyle f={tfrac {sqrt {1+alpha } {L}}} {fnK}} {f}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}} que es justo 1+α α 2{displaystyle {sqrt {1+alpha }}} en unidades de N (DFT "bins"). As α aumenta, el lóbulo principal aumenta en la anchura, y los lóbulos laterales disminuyen en la amplitud. α= 0 corresponde a una ventana rectangular. Para grandes α, la forma de la ventana Kaiser (en el dominio de tiempo y frecuencia) tiende a una curva Gausiana. La ventana Kaiser es casi óptima en el sentido de la concentración de su pico alrededor de la frecuencia 0.{displaystyle 0.}

Ventana derivada de Kaiser-Bessel (KBD)

Una función de ventana relacionada es la ventana derivada de Kaiser-Bessel (KBD), que está diseñada para ser adecuada para su uso con la transformada de coseno discreta modificada (MDCT). La función de ventana KBD se define en términos de la ventana Kaiser de longitud N+1, mediante la fórmula:

<math alttext="{displaystyle d_{n}={begin{cases}{sqrt {frac {sum _{i=0}^{n}w[i]}{sum _{i=0}^{N}w[i]}}}&{mbox{if }}0leq ndn={}.. i=0nw[i].. i=0Nw[i]si0≤ ≤ n.N.. i=02N− − 1− − nw[i].. i=0Nw[i]siN≤ ≤ n≤ ≤ 2N− − 10de otra manera.{displaystyle {fn}={begin{cases}{sqrt {frac {sum ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ No se ha hecho nada. ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ 2N-1⁄4mbox{otherwise}}\end{cases}}<img alt="{displaystyle d_{n}={begin{cases}{sqrt {frac {sum _{i=0}^{n}w[i]}{sum _{i=0}^{N}w[i]}}}&{mbox{if }}0leq n

Esto define una ventana de longitud 2N, donde por construcción d_n satisface el Princen-Bradley condición para la MDCT (utilizando el hecho de que w_N−n = w_n): d_n² + (d_n+N)² = 1 (interpretando n y n + N módulo 2 n). La ventana KBD también es simétrica de la manera adecuada para MDCT: d_n = d_{2 N−1−n}.

Aplicaciones

La ventana KBD se utiliza en el formato de audio digital Advanced Audio Coding.