Velocidad de grupo

Dispersión de frecuencia en grupos de ondas de gravedad sobre la superficie de agua profunda. El cuadrado rojo se mueve con la velocidad de fase, y el Los círculos verdes se propagan con la velocidad del grupo. En este caso de aguas profundas, la velocidad de fase es el doble de la velocidad del grupo. La plaza roja supera dos círculos verdes al moverse de la izquierda a la derecha de la figura.

Las nuevas olas parecen emerger en la parte posterior de un grupo de olas, crecer en amplitud hasta que estén en el centro del grupo, y desaparecer en el frente del grupo de olas.

Para las ondas de gravedad superficial, las velocidades de partículas de agua son mucho más pequeñas que la velocidad de fase, en la mayoría de los casos.

Propagación de un paquete de onda que demuestra una velocidad de fase mayor que la velocidad del grupo sin dispersión.

Esto muestra una onda con la velocidad del grupo y la velocidad de fase yendo en diferentes direcciones. La velocidad del grupo es positiva (es decir, el sobre de la onda se mueve hacia la derecha), mientras que la velocidad de fase es negativa (es decir, los picos y los tros se mueven hacia la izquierda).

La velocidad de grupo de una onda es la velocidad con la que la envolvente general da forma a las amplitudes de la onda, conocida como modulación o envolvente. de la onda: se propaga por el espacio.

Por ejemplo, si se arroja una piedra en medio de un estanque muy quieto, aparece en el agua un patrón circular de ondas con un centro inactivo, también conocido como onda capilar. El anillo de ondas en expansión es el grupo de ondas, dentro del cual se pueden discernir ondas individuales que viajan más rápido que el grupo en su conjunto. Las amplitudes de las ondas individuales crecen a medida que emergen del borde de salida del grupo y disminuyen a medida que se acercan al borde de ataque del grupo.

Definición e interpretación

Definición

Un paquete de ondas.

El sobre del paquete de ondas. El sobre se mueve a la velocidad del grupo.

La velocidad de grupo v_g se define mediante la ecuación:

${displaystyle v_{rm {}equiv {frac {partial omega }{partial k}},}$

donde ω es la frecuencia angular de la onda (generalmente expresada en radianes por segundo) y k es el número de onda angular (normalmente expresado en radianes por metro). La velocidad de fase es: v_p = ω/k.

La función ω(k), que da ω en función de k, se conoce como relación de dispersión.

• Si ⋅ es directamente proporcional a k, entonces la velocidad del grupo es exactamente igual a la velocidad de fase. Una ola de cualquier forma viajará sin distorsionar a esta velocidad.
• Si ⋅ es una función lineal k, pero no directamente proporcional ()⋅ = ak + b), entonces la velocidad del grupo y la velocidad de fase son diferentes. El sobre de un paquete de onda (vea la figura a la derecha) viajará a la velocidad del grupo, mientras que los picos y tropiezos individuales dentro del sobre se moverán a la velocidad de fase.
• Si ⋅ no es una función lineal k, el sobre de un paquete de onda se distorsionará mientras viaja. Puesto que un paquete de onda contiene una gama de frecuencias diferentes (y por lo tanto diferentes valores de k), la velocidad del grupo / será diferente para diferentes valores de k. Por lo tanto, el sobre no se mueve a una sola velocidad, sino sus componentes número de onda (k) moverse a diferentes velocidades, distorsionando el sobre. Si el paquete de ondas tiene una gama estrecha de frecuencias, y ⋅()k) es aproximadamente lineal sobre ese rango estrecho, la distorsión del pulso será pequeña, en relación con la pequeña no linealidad. Véase más adelante el debate. Por ejemplo, para las ondas de gravedad del agua profunda, ${textstyle omega ={sqrt {gk}}$, y por lo tanto v_g = v_p /2.
  Esto subyace a los Patrón de vela Kelvin para la onda de arco de todas las naves y objetos de natación. Independientemente de lo rápido que se mueven, siempre y cuando su velocidad sea constante, en cada lado la vela forma un ángulo de 19.47° = arcsin(1/3) con la línea de viaje.

Derivación

Una derivación de la fórmula para la velocidad de grupo es la siguiente.

Considere un paquete de ondas como una función de la posición x y el tiempo t: α(x,t).

Sea A(k) su transformada de Fourier en el momento t = 0,

${displaystyle alpha (x,0)=int _{-infty }{infty }dk, A(k)e^{ikx}$

Por el principio de superposición, el paquete de ondas en cualquier momento t es

${displaystyle alpha (x,t)=int _{-infty }{infty }dk, A(k)e^{i(kx-omega t)},}$

donde ω es implícitamente una función de k.

Suponga que el paquete de ondas α es casi monocromático, de modo que A (k) tiene un pico pronunciado alrededor de un número de onda central k₀.

Entonces, la linealización da

${displaystyle omega (k)approx omega #####left(k-k_{0}right)omega '$

dónde

${displaystyle omega ¿Qué?$ y ${displaystyle omega '_{0}=left.{frac {partial omega (k)}{partial [Risas]$

(ver la siguiente sección para la discusión de este paso). Luego, después de un poco de álgebra,

${displaystyle alpha (x,t)=e^{ileft(k_{0}x-omega _{0}tright)}int _{-infty }dk, A(k)e^{i(k-k_{0})left(x-omega '_{0}tright)}$

Hay dos factores en esta expresión. El primer factor, ${displaystyle e^{ileft(k_{0}x-omega _{0}tright)}$, describe una perfecta onda monocromática con longitud de onda k₀, con picos y tros en movimiento a la velocidad de fase ${displaystyle omega ¿Qué?$ dentro del sobre del paquete de ondas.

El otro factor,

${displaystyle int _{-infty }dk, A(k)e^{i(k-k_{0})left(x-omega '_{0}tright)}$,

da el sobre del paquete de ondas. Esta función de sobre depende de la posición y el tiempo sólo a través de la combinación ${displaystyle (x-omega '_{0}t)}$.

Por lo tanto, la envoltura del paquete de ondas viaja a una velocidad

${displaystyle omega '_{0}=left.{frac {domega - ¿Qué?$

que explica la fórmula de velocidad de grupo.

Términos de orden superior en dispersión

Distorsión de grupos de ondas por efectos de dispersión de mayor orden, para ondas de gravedad superficial en aguas profundas (con v_g = 1⁄2v_p).

Esto muestra la superposición de tres componentes de onda, con 22, 25 y 29 longitudes de onda ajustadas en un dominio horizontal periódico de 2 km de longitud. Las amplitudes de onda de los componentes son respectivamente 1, 2 y 1 metro.

Parte de la derivación anterior es la aproximación de la serie de Taylor que:

${displaystyle omega (k)approx omega ¿Qué?$

Si el paquete de ondas tiene una dispersión de frecuencia relativamente grande, o si la dispersión ω(k) tiene variaciones bruscas (como debido a una resonancia), o si el paquete recorre distancias muy largas, esta suposición no es válida y los términos de orden superior en el desarrollo de Taylor se vuelven importantes.

Como resultado, la envolvente del paquete de ondas no solo se mueve, sino que también distorsiona de una manera que puede describirse por la dispersión de la velocidad del grupo del material. En términos generales, diferentes componentes de frecuencia del paquete de ondas viajan a diferentes velocidades, con los componentes más rápidos moviéndose hacia el frente del paquete de ondas y los más lentos moviéndose hacia atrás. Eventualmente, el paquete de ondas se estira. Este es un efecto importante en la propagación de señales a través de fibras ópticas y en el diseño de láseres de pulso corto de alta potencia.

Historia

La idea de una velocidad de grupo distinta de la velocidad de fase de una onda fue propuesta por primera vez por W.R. Hamilton en 1839, y el primer tratamiento completo fue de Rayleigh en su "Teoría del sonido" en 1877.

Otras expresiones

Para la luz, el índice de refracción n, longitud de onda de vacío λ₀, y la longitud de onda en el medio λ, están relacionados por

${displaystyle lambda ¿Qué? {2ccH00} C}{omega },;;lambda ={frac {2pi } {k}={frac {2pi v_{rm {p}}{omega },; n={frac {c}{v_{rm} {}}={frac {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}} {fnMicroc {fnMicrosoft {fnMicrosoft}}}} {fnMicroc}}}} {fnMicroc {f}}} {f}}} {fnMicroc}}} {f}}}}}}} {f}f}}}}}f}f}f}fnf}f}f}f}fnf}f}f}f}fnfnfnfnf}fnfnf}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnf}fnfnf}fn ¿Qué?$

con v_p = ω/k la velocidad de fase.

La velocidad del grupo, por lo tanto, se puede calcular mediante cualquiera de las siguientes fórmulas,

${displaystyle {begin{aligned}v_{rm {g} {={frac} {C}{n+omega {frac} {fn} {fn} {fn}m} {fn}m} {fn}fn}fnfnfn}fnfnfnfn}fnc}fnfnfnfnc}fnfnfnfnc}fnfnc}fnc}fnfnfnfnfnfn}c}c}fnfnfnfnfn}fnfnfn}fn\c}fnfnfnfnc}c}c}c}c}fnfnc}fnfnfnc}fnc}c}c}c}c}c}c}fn # {partial omega }={frac {c}{n-lambda {fnMicroc {fnK}{partial lambda {fn}fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}fn} {fn}fn} {fn}}}}fn} {fn}fn}fn}fn}}\fn} {fn}fn}}}fn}fn}fnfn}}fn}fn}}fn}\\fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}\fn}}\fn}fn}fn}fn}fn}\fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}}}\\\ - Sí. {fnh}-lambda {fnMicroc {fnMicroc} {fnh} {fnh} {fnh}} {fnh}} {\fnh}} {\fn}}}}} {\\cHFF}}}}}}}}}} {fn\p}}}}}}} {\\p2cHcHcHcHccH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {ppppppppp2p2ppppppppppppppppp2p2p2ppppppcpppcpppccccccccppcccc }=v_{rm {fnK} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {f}} {f}} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnK}} {f}}}}} {f}$

Relación con la velocidad de fase, el índice de refracción y la velocidad de transmisión

Una superposición de ondas de avión 1D (azul) que viajan a una velocidad de fase diferente (traducida por puntos azules) resulta en un paquete de onda Gaussiano (rojo) que se propaga a la velocidad del grupo (tracedido por la línea roja).

La velocidad de grupo de una colección de ondas se define como

${displaystyle v_{g}={frac {partial omega }{partial }$

Cuando múltiples ondas sinusoidales se propagan juntas, la superposición resultante de las ondas puede resultar en una onda "envelope", así como una onda "carrier" que se encuentra dentro del sobre. Esto aparece comúnmente en comunicaciones inalámbricas, modulación, un cambio de amplitud y/o fase se emplea para enviar datos. Para ganar algo de intuición para esta definición, consideramos una superposición de ondas (cosinas) f(x, t) con sus respectivas frecuencias angulares y ondas.

${displaystyle {begin{aligned}f(x,t) limit=cos(k_{1}x-omega _{1}t)+cos(k_{2}x-omega _{2}t)\2cos left({frac {k_{2}-k_{1})x-(omega2} ¿Por qué? ##################### {1}(x,t)f_{2}(x,t).end{aligned}}}$

Así que tenemos un producto de dos ondas: una onda de sobre formada por f₁ y una onda portadora formada por f₂ . Llamamos la velocidad del sobre onda la velocidad del grupo. Vemos que la velocidad de fase f₁ es

${displaystyle {frac {omega ##{2}-omega - ¿Qué?$

En el caso diferencial continuo, esto se convierte en la definición de la velocidad del grupo.

En tres dimensiones

Para las ondas que viajan a través de tres dimensiones, como las ondas de luz, las ondas de sonido y las ondas de materia, las fórmulas para la velocidad de fase y de grupo se generalizan de forma sencilla:

• Una dimensión: ${displaystyle v_{rm {p}=omega /k,quad v_{rm {g}={frac {partial omega }{partial k}}},}$
• Tres dimensiones: ${displaystyle (v_{rm {p}_{i}={frac} {omega {fnMicrosoft Sans Serif} {fnh}={vec} {nabla} }_{mathbf {k},omega ,}$

dónde

$${displaystyle {vec {fnfnfn\fn\fn\fn\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }_{mathbf {k},omega }$$

${displaystyle mathbf {k}$

${displaystyle {hat {mathbf} }$

Si las ondas se propagan a través de un medio anisotrópico (es decir, no rotacionalmente simétrico), por ejemplo, un cristal, entonces el vector de velocidad de fase y el vector de velocidad de grupo pueden apuntar en diferentes direcciones.

En medios lucrativos o con pérdidas

La velocidad de grupo a menudo se considera la velocidad a la que la energía o la información se transmite a lo largo de una onda. En la mayoría de los casos esto es exacto y la velocidad del grupo se puede considerar como la velocidad de la señal de la forma de onda. Sin embargo, si la onda viaja a través de un medio absorbente o lucrativo, esto no siempre se cumple. En estos casos, la velocidad del grupo puede no ser una cantidad bien definida o puede no ser una cantidad significativa.

En su texto “Propagación de ondas en estructuras periódicas”, Brillouin argumentó que en un medio disipativo la velocidad de grupo deja de tener un significado físico claro. Loudon da un ejemplo sobre la transmisión de ondas electromagnéticas a través de un gas atómico. Otro ejemplo son las ondas mecánicas en la fotosfera solar: las ondas se amortiguan (por el flujo de calor radiativo desde los picos hasta los valles) y, en relación con eso, la velocidad de la energía suele ser sustancialmente menor que la de las ondas. velocidad de grupo.

A pesar de esta ambigüedad, una forma común de extender el concepto de velocidad de grupo a medios complejos es considerar soluciones de ondas planas amortiguadas espacialmente dentro del medio, que se caracterizan por un vector de onda de valor complejo. Luego, la parte imaginaria del vector de onda se descarta arbitrariamente y se aplica la fórmula habitual para la velocidad de grupo a la parte real del vector de onda, es decir,

${displaystyle v_{rm {}=left({frac {partial left(operatorname) {Re} kright)}{partial omega }right)}{-1}$

O, de manera equivalente, en términos de la parte real del índice de refracción complejo, n = n + iκ, uno tiene

${displaystyle {fnMicroc}{fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fn}}}} {f}fnMicroc}fnMicrosoft} {f}}}}}f}}f}}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnf}fnf}f}f}}fnfnfnKfnKfnfnh}}}}fnfnfnhfnfnh}fnh}fnh}fnh}fnh}}fnKf}}fnh}}}}fnh {}}=n+omega {fnMicroc {partial} # {partial omega }}$

Se puede demostrar que esta generalización de la velocidad de grupo sigue estando relacionada con la velocidad aparente del pico de un paquete de ondas. Sin embargo, la definición anterior no es universal: alternativamente, se puede considerar la amortiguación temporal de las ondas estacionarias (real k, complex ω), o permitir que la velocidad de grupo sea una cantidad de valor complejo. Diferentes consideraciones producen velocidades distintas, pero todas las definiciones concuerdan para el caso de un medio sin pérdidas ni ganancias.

La generalización anterior de la velocidad de grupo para los medios complejos puede comportarse extrañamente, y el ejemplo de dispersión anómala sirve como una buena ilustración. En los bordes de una región de dispersión anómala, ${displaystyle v_{rm {}}$ se convierte en infinito (superando incluso la velocidad de la luz en vacío), y ${displaystyle v_{rm {}}$ puede ser fácilmente negativo (su signo se opone a Rek) dentro de la banda de dispersión anómala.

Velocidades de grupos superlumínicos

Desde la década de 1980, varios experimentos han verificado que es posible que la velocidad de grupo (como se definió anteriormente) de los pulsos de luz láser enviados a través de materiales con pérdida o materiales con ganancia exceda significativamente la velocidad de la luz en el vacío c. También se vio que los picos de los paquetes de ondas se movían más rápido que c.

En todos estos casos, sin embargo, no hay posibilidad de que las señales puedan transportarse más rápido que la velocidad de la luz en el vacío, ya que el alto valor de v_g no ayuda a acelerar el movimiento real del sostenido frente de onda que ocurriría al comienzo de cualquier señal real. Esencialmente, la transmisión aparentemente superlumínica es un artefacto de la aproximación de banda estrecha utilizada anteriormente para definir la velocidad del grupo y ocurre debido a los fenómenos de resonancia en el medio intermedio. En un análisis de banda ancha se ve que la velocidad de propagación aparentemente paradójica de la envolvente de la señal es en realidad el resultado de la interferencia local de una banda más ancha de frecuencias durante muchos ciclos, todos los cuales se propagan de forma perfectamente causal y con velocidad de fase. El resultado es similar al hecho de que las sombras pueden viajar más rápido que la luz, incluso si la luz que las causa siempre se propaga a la velocidad de la luz; dado que el fenómeno que se mide está vagamente conectado con la causalidad, no necesariamente respeta las reglas de la propagación causal, incluso si en circunstancias normales lo hace y conduce a una intuición común.