Velocidad de fase

Dispersión de frecuencia en grupos de ondas de gravedad sobre la superficie de agua profunda. El ■ cuadrado rojo se mueve con la velocidad de fase, y el ● Los círculos verdes se propagan con la velocidad del grupo. En este caso de aguas profundas, la velocidad de fase es el doble de la velocidad del grupo. La plaza roja supera dos círculos verdes al moverse de la izquierda a la derecha de la figura.

Las nuevas olas parecen emerger en la parte posterior de un grupo de olas, crecer en amplitud hasta que estén en el centro del grupo, y desaparecer en el frente del grupo de olas.

Para las ondas de gravedad superficial, las velocidades de partículas de agua son mucho más pequeñas que la velocidad de fase, en la mayoría de los casos.

Propagación de un paquete de onda que demuestra una velocidad de fase mayor que la velocidad del grupo sin dispersión.

Esto muestra una onda con la velocidad del grupo y la velocidad de fase yendo en diferentes direcciones. La velocidad del grupo es positiva, mientras que la velocidad de fase es negativa.

La velocidad de fase de una onda es la velocidad a la que se propaga la onda en cualquier medio. Esta es la velocidad a la que viaja la fase de cualquier componente de frecuencia de la onda. Para tal componente, cualquier fase dada de la onda (por ejemplo, la cresta) parecerá viajar a la velocidad de fase. La velocidad de fase se da en términos de la longitud de onda λ (lambda) y el período de tiempo T como

vp=λ λ T.{displaystyle v_{mathrm {fnK}={fnMicroc {fnMicrosoft} - Sí.

De manera equivalente, en términos de la frecuencia angular de la onda ω, que especifica el cambio angular por unidad de tiempo, y número de onda (o número de onda angular) k, que representan el cambio angular por unidad de espacio,

vp=⋅ ⋅ k.{displaystyle v_{mathrm {p}={frac {omega} - Sí.

Para ganar algo de intuición básica para esta ecuación, consideramos una onda de propagación (coseno) A cos(kx − ωt). Queremos ver qué tan rápido viaja una fase particular de la onda. Por ejemplo, podemos elegir kx - ωt = 0, la fase de la primera cresta. Esto implica kx = ωt, por lo que v = x / t = ω / k.

Formalmente, dejamos la fase φ = kx - ωt y vemos inmediatamente que ω = -dφ / dt y k = dφ / dx. Entonces, inmediatamente se sigue que

∂ ∂ x∂ ∂ t=− − ∂ ∂ φ φ ∂ ∂ t∂ ∂ x∂ ∂ φ φ =⋅ ⋅ k.{displaystyle {frac {partial x}{partial t}=-{frac {partial phi }{partial t}{frac {partial x}{partial phi }={frac {omega - Sí.

Como resultado, observamos una relación inversa entre la frecuencia angular y el vector de onda. Si la onda tiene oscilaciones de mayor frecuencia, la longitud de onda debe acortarse para que la velocidad de fase permanezca constante. Además, la velocidad de fase de la radiación electromagnética puede, en determinadas circunstancias (por ejemplo, una dispersión anómala), superar la velocidad de la luz en el vacío, pero esto no indica ninguna información superlumínica o transferencia de energía. Fue descrito teóricamente por físicos como Arnold Sommerfeld y Léon Brillouin.

Velocidad de grupo

Una superposición de ondas de avión 1D (azul) que viajan a una velocidad de fase diferente (traducida por puntos azules) resulta en un paquete de onda Gaussiano (rojo) que se propaga a la velocidad del grupo (tracedido por la línea roja).

La velocidad de grupo de un conjunto de ondas se define como

vg=∂ ∂ ⋅ ⋅ ∂ ∂ k.{displaystyle v_{g}={frac {partial omega }{partial }

Cuando varias ondas sinusoidales se propagan juntas, la superposición resultante de las ondas puede generar una "envolvente" onda, así como un "portador" onda que se encuentra dentro de la envolvente. Esto aparece comúnmente en las comunicaciones inalámbricas, la modulación, se emplea un cambio de amplitud y/o fase para enviar datos. Para ganar algo de intuición para esta definición, consideramos una superposición de ondas (coseno) f(x, t) con sus respectivos ángulos frecuencias y vectores de onda.

f()x,t)=#⁡ ⁡ ()k1x− − ⋅ ⋅ 1t)+#⁡ ⁡ ()k2x− − ⋅ ⋅ 2t)=2#⁡ ⁡ ()()k2− − k1)x− − ()⋅ ⋅ 2− − ⋅ ⋅ 1)t2)#⁡ ⁡ ()()k2+k1)x− − ()⋅ ⋅ 2+⋅ ⋅ 1)t2)=2f1()x,t)f2()x,t).{displaystyle {begin{aligned}f(x,t) limit=cos(k_{1}x-omega _{1}t)+cos(k_{2}x-omega _{2}t)\2cos left({frac {k_{2}-k_{1})x-(omega2} ¿Por qué? ##################### {1}(x,t)f_{2}(x,t).end{aligned}}}

Entonces, tenemos un producto de dos ondas: una onda envolvente formada por f₁ y una onda portadora formado por f₂ . A la velocidad de la onda envolvente la llamamos velocidad de grupo. Vemos que la velocidad de fase de f₁ es

⋅ ⋅ 2− − ⋅ ⋅ 1k2− − k1.{displaystyle {frac {omega ##{2}-omega - ¿Qué?

En el caso diferencial continuo, esto se convierte en la definición de la velocidad de grupo.

Índice de refracción

En el contexto del electromagnetismo y la óptica, la frecuencia es una función ω(k) del número de onda, por lo que, en general, la velocidad de fase y la velocidad de grupo dependen del medio y la frecuencia específicos. La relación entre la velocidad de la luz c y la velocidad de fase v_p se conoce como índice de refracción, n = c / v_p = ck / ω.

De esta forma, podemos obtener otra forma de velocidad de grupo para el electromagnetismo. Escribiendo n = n(ω), una forma rápida de derivar esta forma es observar

k=1c⋅ ⋅ n()⋅ ⋅ )⟹ ⟹ dk=1c()n()⋅ ⋅ )+⋅ ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ ⋅ n()⋅ ⋅ ))d⋅ ⋅ .{displaystyle k={frac {1}{c}omega n(omega)implies dk={frac {1}{c}left(n(omega)+omega {frac {partial }{partial omega }n(omega)derecha)domega.}}

Podemos reorganizar lo anterior para obtener

vg=∂ ∂ w∂ ∂ k=cn+⋅ ⋅ ∂ ∂ n∂ ∂ ⋅ ⋅ .{displaystyle v_{}={frac {partial w}{partial K}={frac {C}{n+omega {frac} {fn} {fn} {fn} {fn}m} {fnfn}fn}fnfnfn}fnfnfn}fnfnfn}fnfnfnc}fnfnfnfnfnfn}fnfnc}fn}fnfnfnfnfnfnfnc}fnfn}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnnc}fn}\\c}fnfnfnfnfn\c}c}fnc}c}c}\c}c}c}c} # {partial omega - Sí.

A partir de esta fórmula, vemos que la velocidad de grupo es igual a la velocidad de fase solo cuando el índice de refracción es una constante dn / dk = 0. Cuando esto ocurre, el medio se denomina no dispersivo, en oposición a dispersivo, donde varias propiedades del medio dependen de la frecuencia ω. La relación ω = ω(k) se conoce como relación de dispersión del medio.