Velocidad angular

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En física, la velocidad angular o velocidad de rotación (ω o Ω), también conocida como vector de frecuencia angular, es una representación pseudovectorial de qué tan rápido cambia la posición angular o la orientación de un objeto con el tiempo (es decir, qué tan rápido gira o gira un objeto en relación con un punto o eje). La magnitud del pseudovector representa la velocidad angular, la velocidad a la que el objeto gira o gira, y su dirección es normal al plano instantáneo de rotación o desplazamiento angular. La orientación de la velocidad angular se especifica convencionalmente mediante la regla de la mano derecha.

Hay dos tipos de velocidad angular.

La velocidad angular orbital se refiere a qué tan rápido gira un objeto puntual alrededor de un origen fijo, es decir, la tasa de cambio de tiempo de su posición angular relativa al origen.
La velocidad angular de giro se refiere a qué tan rápido gira un cuerpo rígido con respecto a su centro de rotación y es independiente de la elección del origen, en contraste con la velocidad angular orbital.

En general, la velocidad angular tiene una dimensión de ángulo por unidad de tiempo (el ángulo reemplaza la distancia de la velocidad lineal con el tiempo en común). La unidad SI de velocidad angular es radianes por segundo, siendo el radián una cantidad adimensional, por lo que las unidades SI de velocidad angular pueden enumerarse como s. La velocidad angular generalmente se representa con el símbolo omega (ω, a veces Ω). Por convención, la velocidad angular positiva indica una rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj, mientras que la negativa es en el sentido de las agujas del reloj.

Por ejemplo, un satélite geoestacionario completa una órbita por día sobre el ecuador, o 360 grados cada 24 horas, y tiene una velocidad angular ω = (360°)/(24 h) = 15°/h, o (2π rad)/(24 h) ≈ 0,26 rad/h. Si el ángulo se mide en radianes, la velocidad lineal es el radio por la velocidad angular, ${displaystyle v=romega }$ . Con un radio orbital de 42 000 km desde el centro de la tierra, la velocidad del satélite a través del espacio es v = 42 000 km × 0,26/h ≈ 11 000 km/h. La velocidad angular es positiva ya que el satélite viaja hacia el este con la rotación de la Tierra (en sentido antihorario desde arriba del polo norte).

Velocidad angular orbital de una partícula puntual

Partícula en dos dimensiones

En el caso más simple de movimiento circular en el radio $r$ , con la posición dada por el desplazamiento angular $fi (t)$ desde el eje x, la velocidad angular orbital es la tasa de cambio del ángulo con respecto al tiempo: ${textstyle omega ={frac {dphi }{dt}}}$ . Si $fi$ se mide en radianes, la longitud del arco desde el eje x positivo alrededor del círculo hasta la partícula es ${ estilo de visualización ell = r phi}$ , y la velocidad lineal es ${textstyle v(t)={frac {dell}{dt}}=romega(t)}$ , de modo que ${estilo de texto omega ={frac {v}{r}}}$ .

En el caso general de una partícula que se mueve en el plano, la velocidad angular orbital es la velocidad a la que el vector de posición relativo a un origen elegido "barre" el ángulo. El diagrama muestra el vector de posición $mathbf{r}$ desde el origen $O$ hasta una partícula $PAGS$ , con sus coordenadas polares ${ estilo de visualización (r, phi)}$ . (Todas las variables son funciones del tiempo $t$ .) La partícula tiene una división de velocidad lineal como ${displaystyle mathbf {v} =mathbf {v} _{|}+mathbf {v} _{perp}}$ , con la componente radial ${ estilo de visualización mathbf {v} _ {|}}$ paralela al radio y la componente radial cruzada (o tangencial) $mathbf{v}_perp$ perpendicular al radio. Cuando no hay componente radial, la partícula se mueve alrededor del origen en un círculo; pero cuando no hay componente transversal radial, se mueve en línea recta desde el origen. Dado que el movimiento radial no modifica el ángulo, solo la componente transversal radial de la velocidad lineal contribuye a la velocidad angular.

La velocidad angular ω es la tasa de cambio de la posición angular con respecto al tiempo, que se puede calcular a partir de la velocidad radial cruzada como: ${displaystyle omega ={frac {dphi }{dt}}={frac {v_{perp}}{r}}.}$

Aquí, la velocidad radial cruzada $v_perp$ es la magnitud con signo de $mathbf{v}_perp$ , positiva para el movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj, negativa para el sentido de las agujas del reloj. Tomando coordenadas polares para la velocidad lineal, se $matemáticas {v}$ obtiene la magnitud $v$ (velocidad lineal) y el ángulo $theta$ en relación con el radio vector; en estos términos ${displaystyle v_{perp}=vsin(theta)}$ , para que ${displaystyle omega ={frac {vsin(theta)}{r}}.}$

Estas fórmulas se pueden derivar haciendo ${displaystyle mathbf {r} =(rcos(varphi),rsin(varphi))}$ , siendo $r$ función de la distancia al origen con respecto al tiempo, y $varphi$ función del ángulo entre el vector y el eje x. entonces ${textstyle {frac {dmathbf {r} }{dt}}=({dot {r}}cos(varphi)-r{dot {varphi }}sin(varphi), {dot {r}}sin(varphi)+r{dot {varphi }}cos(varphi))}$ _ Que es igual a ${displaystyle {dot {r}}(cos(varphi),sin(varphi))+r{dot {varphi }}(-sin(varphi),cos(varphi))={punto {r}}{sombrero {r}}+r{punto {varphi}}{sombrero {varphi}}}$ . (Ver Vector unitario en coordenadas cilíndricas). Conociendo ${textstyle {frac {dmathbf {r} }{dt}}=mathbf {v} }$ , concluimos que la componente radial de la velocidad está dada por $punto{r}$ , porque ${ sombrero {r}}$ es un vector unitario radial; y la componente perpendicular viene dada por ${displaystyle r{dot {varphi}}}$ porque ${ sombrero { varfi}}$ es un vector unitario perpendicular.

En dos dimensiones, la velocidad angular es un número con signo más o menos que indica orientación, pero no apunta en una dirección. El signo se toma convencionalmente como positivo si el vector del radio gira en el sentido contrario a las agujas del reloj y negativo si lo hace en el sentido de las agujas del reloj. Entonces, la velocidad angular puede denominarse pseudoescalar, una cantidad numérica que cambia de signo bajo una inversión de paridad, como invertir un eje o cambiar los dos ejes.

Partícula en tres dimensiones

En el espacio tridimensional, nuevamente tenemos el vector de posición r de una partícula en movimiento. Aquí, la velocidad angular orbital es un pseudovector cuya magnitud es la velocidad a la que r barre el ángulo y cuya dirección es perpendicular al plano instantáneo en el que r barre el ángulo (es decir, el plano atravesado por r y v). Sin embargo, como hay dos direcciones perpendiculares a cualquier plano, es necesaria una condición adicional para especificar de manera única la dirección de la velocidad angular; convencionalmente, se utiliza la regla de la mano derecha.

Sea el pseudovector $mathbf{u}$ el vector unitario perpendicular al plano generado por r y v, de modo que se satisfaga la regla de la mano derecha (es decir, la dirección instantánea del desplazamiento angular es en sentido contrario a las agujas del reloj desde la parte superior de $mathbf{u}$ ). Tomando coordenadas polares ${ estilo de visualización (r, phi)}$ en este plano, como en el caso bidimensional anterior, se puede definir el vector de velocidad angular orbital como: ${displaystyle {boldsymbol {omega }}=omega mathbf {u} ={frac {dphi }{dt}}mathbf {u} ={frac {vsin(theta)} {r}}matemáticas {u},}$

donde θ es el ángulo entre r y v. En términos del producto cruz, esto es: ${displaystyle {boldsymbol {omega }}={frac {mathbf {r} times mathbf {v} }{r^{2}}}.}$

De la ecuación anterior, se puede recuperar la velocidad tangencial como: ${displaystyle mathbf {v}_{perp}={boldsymbol {omega}}times mathbf {r} }$

Suma de vectores de velocidad angular

Si un punto gira con velocidad angular orbital $omega _{1}$ alrededor de su centro de rotación en un marco de coordenadas $F_{1}$ que a su vez gira con velocidad angular de espín $omega _{2}$ con respecto a un marco externo $F_{2}$ , podemos definirlo $omega_1 + omega_2$ como el vector de velocidad angular orbital compuesto del punto alrededor de su centro de rotación con respecto a $F_{2}$ . Esta operación coincide con la suma habitual de vectores y le da a la velocidad angular la estructura algebraica de un vector verdadero, en lugar de solo un pseudo-vector.

La única propiedad no obvia de la suma anterior es la conmutatividad. Esto se puede demostrar por el hecho de que el tensor de velocidad W (ver más abajo) es asimétrico, por lo que ${displaystyle R=e^{Wcdot dt}}$ es una matriz de rotación que se puede expandir como ${displaystyle R=I+Wcdot dt+{tfrac {1}{2}}(Wcdot dt)^{2}+cdots}$ . La composición de rotaciones no es conmutativa, pero $(I+W_1cdot dt)(I+W_2 cdot dt)=(I+W_2 cdot dt)(I+W_1cdot dt)$ es conmutativa a primer orden, y por lo tanto ${displaystyle omega _{1}+omega _{2}=omega _{2}+omega _{1}}$ .

Note que esto también define la resta como la suma de un vector negativo.

Velocidad angular de giro de un cuerpo rígido o marco de referencia

Dado un marco giratorio de tres vectores de coordenadas unitarias, los tres deben tener la misma velocidad angular en cada instante. En tal marco, cada vector puede considerarse como una partícula en movimiento con radio escalar constante.

El marco giratorio aparece en el contexto de los cuerpos rígidos y se han desarrollado herramientas especiales para él: la velocidad angular de giro puede describirse como un vector o, de manera equivalente, como un tensor.

De acuerdo con la definición general, la velocidad angular de giro de un marco se define como la velocidad angular orbital de cualquiera de los tres vectores (igual para todos) con respecto a su propio centro de rotación. La suma de vectores de velocidad angular para marcos también se define por la suma de vectores habitual (composición de movimientos lineales), y puede ser útil para descomponer la rotación como en un cardán. Todos los componentes del vector se pueden calcular como derivados de los parámetros que definen los marcos móviles (ángulos de Euler o matrices de rotación). Como en el caso general, la suma es conmutativa: ${displaystyle omega _{1}+omega _{2}=omega _{2}+omega _{1}}$ .

Por el teorema de rotación de Euler, cualquier marco giratorio posee un eje de rotación instantáneo, que es la dirección del vector de velocidad angular, y la magnitud de la velocidad angular es consistente con el caso bidimensional.

Si elegimos un punto de referencia ${ estilo de visualización { símbolo de negrita {R}}}$ fijo en el cuerpo rígido, la velocidad ${displaystyle {dot {boldsymbol {r}}}}$ de cualquier punto del cuerpo viene dada por ${displaystyle {dot {boldsymbol {r}}}={dot {boldsymbol {R}}}+{boldsymbol {omega }}times ({boldsymbol {r}}-{boldsymbol { R}})}$

Componentes de los vectores base de un marco fijo al cuerpo

Considere un cuerpo rígido que gira alrededor de un punto fijo O. Construya un marco de referencia en el cuerpo que consista en un conjunto ortonormal de vectores ${displaystyle mathbf {e} _{1},mathbf {e} _{2},mathbf {e} _{3}}$ fijos al cuerpo y con su origen común en O. El vector de velocidad angular tanto del marco como del cuerpo alrededor de O es entonces ${displaystyle {boldsymbol {omega }}=left({dot {mathbf {e} }}_{1}cdot mathbf {e}_{2}right)mathbf {e} _ {3}+left({dot {mathbf {e} }}_{2}cdot mathbf {e} _{3}right)mathbf {e} _{1}+left({ dot {mathbf {e} }}_{3}cdot mathbf {e} _{1}right)mathbf {e} _{2},}$

donde ${displaystyle {dot {mathbf {e} }}_{i}={frac {dmathbf {e}_{i}}{dt}}}$ es la tasa de cambio en el tiempo del vector marco ${displaystyle mathbf {e} _{i},i=1,2,3,}$ debido a la rotación.

Tenga en cuenta que esta fórmula es incompatible con la expresión ${displaystyle {boldsymbol {omega }}={frac {mathbf {r} times mathbf {v} }{r^{2}}}.}$

ya que esa fórmula define solo la velocidad angular de un solo punto alrededor de O, mientras que la fórmula en esta sección se aplica a un marco o cuerpo rígido. En el caso de un cuerpo rígido, uno solo ${displaystyle {boldsymbol {omega}}}$ tiene que dar cuenta del movimiento de todas las partículas del cuerpo.

Componentes de los ángulos de Euler

Leonhard Euler calculó por primera vez los componentes del pseudovector de velocidad angular de espín utilizando sus ángulos de Euler y el uso de un marco intermedio:

Un eje del marco de referencia (el eje de precesión)
La línea de nodos del marco móvil con respecto al marco de referencia (eje de nutación)
Un eje del marco móvil (el eje de rotación intrínseco)

Euler demostró que las proyecciones del pseudovector de velocidad angular en cada uno de estos tres ejes es la derivada de su ángulo asociado (lo que equivale a descomponer la rotación instantánea en tres rotaciones de Euler instantáneas). Por lo tanto: ${displaystyle {boldsymbol {omega }}={dot {alpha }}mathbf {u} _{1}+{dot {beta }}mathbf {u} _{2}+{ punto {gamma}}mathbf {u} _{3}}$

Esta base no es ortonormal y es difícil de usar, pero ahora el vector de velocidad se puede cambiar al marco fijo o al marco móvil con solo un cambio de bases. Por ejemplo, cambiando al marco móvil: ${displaystyle {boldsymbol {omega }}=({dot {alpha }}sin beta sin gamma +{dot {beta }}cos gamma){hat {mathbf { i} }}+({dot {alpha }}sin beta cos gamma -{dot {beta }}sin gamma){hat {mathbf {j} }}+({ dot {alpha }}cos beta +{dot {gamma }}){hat {mathbf {k} }}}$

donde ${displaystyle {sombrero {mathbf {i} }},{sombrero {mathbf {j} }},{sombrero {mathbf {k} }}}$ son vectores unitarios para el marco fijo en el cuerpo móvil. Este ejemplo se ha realizado utilizando la convención ZXZ para ángulos de Euler.

Tensor

El vector de velocidad angular ${displaystyle {boldsymbol {omega }}=(omega_{x},omega_{y},omega_{z})}$ definido anteriormente puede expresarse de manera equivalente como un tensor de velocidad angular, la matriz (o mapeo lineal) W = W (t) definida por: ${displaystyle W={begin{pmatrix}0&-omega_{z}&omega_{y}\omega_{z}&0&-omega_{x}\-omega_{y }&omega _{x}&0\end{matriz}}}$

Esta es una matriz de rotación infinitesimal. El mapeo lineal W actúa como ${displaystyle ({boldsymbol {omega }}times)}$ : ${displaystyle {boldsymbol {omega }}times mathbf {r} =Wcdot mathbf {r}.}$

Cálculo a partir de la matriz de orientación

Un vector que $mathbf{r}$ experimenta un movimiento circular uniforme alrededor de un eje fijo satisface: ${displaystyle {frac {dmathbf {r} }{dt}}={boldsymbol {omega }}times mathbf {r} =Wcdot mathbf {r} }$

Dada la matriz de orientación A (t) de un marco, cuyas columnas son los vectores de coordenadas ortonormales en movimiento ${displaystyle mathbf {e} _{1},mathbf {e} _{2},mathbf {e} _{3}}$ , podemos obtener su tensor de velocidad angular W (t) de la siguiente manera. La velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores ${displaystyle mathbf {r} =mathbf {e} _{i}}$ , por lo que al ordenar las tres ecuaciones vectoriales en columnas de una matriz, tenemos: ${displaystyle {frac {dA}{dt}}=Wcdot A.}$

(Esto es válido incluso si A (t) no gira uniformemente.) Por lo tanto, el tensor de velocidad angular es: ${displaystyle W={frac {dA}{dt}}cdot A^{-1}={frac {dA}{dt}}cdot A^{mathrm {T} },}$

ya que la inversa de la matriz ortogonal $A$ es su transpuesta ${displaystyle A^{mathrm {T} }}$ .

Propiedades

En general, la velocidad angular en un espacio n -dimensional es la derivada temporal del tensor de desplazamiento angular, que es un tensor sesgado simétrico de segundo rango.

Este tensor W tendrá n (n −1)/2 componentes independientes, que es la dimensión del álgebra de Lie del grupo de rotaciones de Lie de un espacio de producto interno de n dimensiones.

Dualidad con respecto al vector velocidad

En tres dimensiones, la velocidad angular se puede representar mediante un pseudovector porque los tensores de segundo rango son duales a los pseudovectores en tres dimensiones. Dado que el tensor de velocidad angular W = W (t) es una matriz simétrica oblicua: ${displaystyle W={begin{pmatrix}0&-omega_{z}&omega_{y}\omega_{z}&0&-omega_{x}\-omega_{y }&omega _{x}&0\end{matriz}},}$

su dual de Hodge es un vector, que es precisamente el vector de velocidad angular anterior $boldsymbolomega=[omega_x,omega_y,omega_z]$ .

Exponencial de W

Si conocemos un marco inicial A (0) y nos dan un tensor de velocidad angular constante W, podemos obtener A (t) para cualquier t dado. Recuerde la ecuación diferencial matricial: ${displaystyle {frac {dA}{dt}}=Wcdot A.}$

Esta ecuación se puede integrar para dar: ${displaystyle A(t)=e^{Wt}A(0),}$

que muestra una conexión con el grupo de Lie de rotaciones.

W es asimétrico

Probamos que el tensor de velocidad angular es asimétrico, es decir, ${displaystyle W={frac {dA(t)}{dt}}cdot A^{text{T}}}$ satisface ${displaystyle W^{text{T}}=-W}$ .

Una matriz de rotación A es ortogonal, inversa a su transpuesta, por lo que tenemos ${displaystyle I=Acdot A^{text{T}}}$ . Para ${ estilo de visualización A = A (t)}$ una matriz de marco, tomando la derivada temporal de la ecuación se obtiene: ${displaystyle 0={frac {dA}{dt}}A^{text{T}}+A{frac {dA^{text{T}}}{dt}}}$

Aplicando la fórmula ${displaystyle (AB)^{text{T}}=B^{text{T}}A^{text{T}}}$ , ${displaystyle 0={frac {dA}{dt}}A^{text{T}}+left({frac {dA}{dt}}A^{text{T}}right) ^{text{T}}=W+W^{text{T}}}$

Por lo tanto, W es el negativo de su transpuesta, lo que implica que es simétrico sesgado.

Descripción sin coordenadas

En cualquier instante $t$ , el tensor de velocidad angular representa un mapa lineal entre el vector de posición ${ matemáticas {r}} (t)$ y los vectores de velocidad $mathbf {v} (t)$ de un punto en un cuerpo rígido que gira alrededor del origen: ${displaystyle mathbf {v} =Wmathbf {r}.}$

La relación entre este mapa lineal y el pseudovector de velocidad angular ${ símbolo de negrita omega}$ es la siguiente.

Como W es la derivada de una transformación ortogonal, la forma bilineal $B(mathbf{r},mathbf{s}) = (Wmathbf{r}) cdot mathbf{s}$

es sesgadamente simétrica. Así podemos aplicar el hecho del álgebra exterior de que hay una forma lineal única $L$ en ${ estilo de visualización Lambda ^ {2} V}$ ese $L(mathbf{r}cuña mathbf{s}) = B(mathbf{r},mathbf{s})$

donde ${displaystyle mathbf {r} cuña mathbf {s} in Lambda ^{2}V}$ es el producto exterior de $mathbf{r}$ y $mathbf{s}$ .

Tomando la L aguda de L obtenemos ${displaystyle (Wmathbf {r})cdot mathbf {s} =L^{sharp }cdot (mathbf {r} cuña mathbf {s})}$

Introduciendo ${displaystyle {boldsymbol {omega }}:={star }(L^{sharp })}$ , como el dual de Hodge de L, y aplicando la definición del dual de Hodge dos veces suponiendo que el 3-vector unitario preferido es ${ estilo de visualización estrella 1}$ ${displaystyle (Wmathbf {r})cdot mathbf {s} ={star }({star }(L^{sharp })cuña mathbf {r} cuña mathbf {s})={estrella }({boldsymbol {omega }}cuña mathbf {r} cuña mathbf {s})={estrella }({boldsymbol {omega }}cuña mathbf {r })cdot mathbf {s} =({boldsymbol {omega }}times mathbf {r})cdot mathbf {s},}$

donde ${displaystyle {boldsymbol {omega }}times mathbf {r}:={star }({boldsymbol {omega }}cuña mathbf {r})}$

por definición.

Como $mathbf{s}$ es un vector arbitrario, de la no degeneración del producto escalar se sigue ${displaystyle Wmathbf {r} ={boldsymbol {omega }}times mathbf {r} }$

Velocidad angular como campo vectorial

Dado que el tensor de velocidad angular de giro de un cuerpo rígido (en su marco de reposo) es una transformación lineal que asigna posiciones a velocidades (dentro del cuerpo rígido), puede considerarse como un campo vectorial constante. En particular, la velocidad angular de espín es un campo vectorial Killing que pertenece a un elemento del álgebra de Lie SO(3) del grupo de rotación tridimensional SO(3).

Además, se puede demostrar que el campo vectorial de velocidad angular de espín es exactamente la mitad del rotacional del campo vectorial de velocidad lineal v (r) del cuerpo rígido. en símbolos, ${displaystyle {boldsymbol {omega }}={frac {1}{2}}nabla times mathbf {v} }$

Consideraciones de cuerpo rígido

Las mismas ecuaciones para la velocidad angular se pueden obtener razonando sobre un cuerpo rígido en rotación. Aquí no se supone que el cuerpo rígido gira alrededor del origen. En cambio, se puede suponer que gira alrededor de un punto arbitrario que se mueve con una velocidad lineal V (t) en cada instante.

Para obtener las ecuaciones, es conveniente imaginar un cuerpo rígido unido a los marcos y considerar un sistema de coordenadas fijo con respecto al cuerpo rígido. Luego estudiaremos las transformaciones de coordenadas entre esta coordenada y el sistema fijo de "laboratorio".

Como se muestra en la figura de la derecha, el origen del sistema de laboratorio está en el punto O, el origen del sistema de cuerpo rígido está en O ′ y el vector de O a O ′ es R. Una partícula (i) en el cuerpo rígido está ubicada en el punto P y la posición del vector de esta partícula es R _i en el marco del laboratorio, y en la posición r _i en el marco del cuerpo. Se ve que la posición de la partícula se puede escribir: $mathbf{R}_i=mathbf{R}+mathbf{r}_i$

La característica definitoria de un cuerpo rígido es que la distancia entre dos puntos cualesquiera en un cuerpo rígido no cambia en el tiempo. Esto significa que la longitud del vector $mathbf {r} _{i}$ no cambia. Por el teorema de rotación de Euler, podemos reemplazar el vector $mathbf {r} _{i}$ con $mathcal{R}mathbf{r}_{io}$ donde ${ matemáticas {R}}$ es una matriz de rotación de 3×3 y $mathbf{r}_{io}$ es la posición de la partícula en algún punto fijo en el tiempo, digamos t = 0. Este reemplazo es útil, porque ahora es solo la matriz de rotación la ${ matemáticas {R}}$ que cambia en el tiempo y no el vector de referencia $mathbf{r}_{io}$ , ya que el cuerpo rígido gira alrededor del punto O ′. Además, dado que las tres columnas de la matriz de rotación representan los tres versores de un marco de referencia que gira junto con el cuerpo rígido, ahora se hace visible cualquier rotación sobre cualquier eje, mientras que el vector $mathbf {r} _{i}$ no rotaría si el eje de rotación fuera paralelo a él, y por lo tanto, solo describiría una rotación alrededor de un eje perpendicular a él (es decir, no vería la componente del pseudovector de velocidad angular paralela a él, y solo permitiría el cálculo de la componente perpendicular a él). La posición de la partícula ahora se escribe como: $mathbf{R}_i=mathbf{R}+mathbf{R}mathbf{r}_{io}$

Tomando la derivada del tiempo se obtiene la velocidad de la partícula: $mathbf{V}_i=mathbf{V}+frac{dmathcal{R}}{dt}mathbf{r}_{io}$

donde _Vi es la velocidad de la partícula (en el marco del laboratorio) y V es la velocidad de O ′ (el origen del marco de cuerpo rígido). Como es una matriz de rotación, su inversa es su transpuesta. Así que sustituimos: ${ matemáticas {R}}$ ${displaystyle {mathcal {I}}={mathcal {R}}^{text{T}}{mathcal {R}}}$ $mathbf{V}_i = mathbf{V}+frac{dmathcal{R}}{dt}mathcal{I}mathbf{r}_{io}$ ${displaystyle mathbf {V} _{i}=mathbf {V} +{frac {d{mathcal {R}}}{dt}}{mathcal {R}}^{text{T} }{mathcal {R}}mathbf {r} _{io}}$ ${displaystyle mathbf {V} _{i}=mathbf {V} +{frac {d{mathcal {R}}}{dt}}{mathcal {R}}^{text{T} }mathbf {r} _{i}}$

o $mathbf{V}_i = mathbf{V}+Wmathbf{r}_{i}$

donde ${displaystyle W={frac {d{mathcal {R}}}{dt}}{mathcal {R}}^{text{T}}}$ es el tensor de velocidad angular anterior.

Se puede probar que esta es una matriz simétrica sesgada, por lo que podemos tomar su dual para obtener un pseudovector tridimensional que es precisamente el vector de velocidad angular anterior ${ símbolo de negrita { omega}}$ : $boldsymbolomega=[omega_x,omega_y,omega_z]$

Sustituyendo ω por W en la expresión de velocidad anterior y reemplazando la multiplicación de matrices por un producto cruzado equivalente: $mathbf{V}_i=mathbf{V}+boldsymbolomegatimesmathbf{r}_i$

Se puede ver que la velocidad de un punto en un cuerpo rígido se puede dividir en dos términos: la velocidad de un punto de referencia fijo en el cuerpo rígido más el término del producto cruzado que involucra la velocidad angular orbital de la partícula con respecto a la referencia. punto. Esta velocidad angular es lo que los físicos llaman la "velocidad angular de giro" del cuerpo rígido, en oposición a la velocidad angular orbital del punto de referencia O ′ sobre el origen O.

Consistencia

Hemos supuesto que el cuerpo rígido gira alrededor de un punto arbitrario. Deberíamos probar que la velocidad angular de espín definida anteriormente es independiente de la elección del origen, lo que significa que la velocidad angular de espín es una propiedad intrínseca del cuerpo rígido que gira. (Observe el marcado contraste de esto con la velocidad angular orbital de una partícula puntual, que ciertamente depende de la elección del origen).

Ver el gráfico a la derecha: El origen del marco de laboratorio es O, mientras que O ₁ y O ₂ son dos puntos fijos en el cuerpo rígido, cuya velocidad es $mathbf{v}_1$ y $mathbf{v}_2$ respectivamente. Suponga que la velocidad angular con respecto a O ₁ y O ₂ es $boldsymbol{omega}_1$ y $boldsymbol{omega}_2$ respectivamente. Dado que el punto P y O ₂ tienen una sola velocidad, $mathbf{v}_1 + boldsymbol{omega}_1timesmathbf{r}_1 = mathbf{v}_2 + boldsymbol{omega}_2timesmathbf{r}_2$ $mathbf{v}_2 = mathbf{v}_1 + boldsymbol{omega}_1timesmathbf{r} = mathbf{v}_1 + boldsymbol{omega}_1times (mathbf{r }_1 - mathbf{r}_2)$

Los dos rendimientos anteriores que ${displaystyle ({boldsymbol {omega }}_{2}-{boldsymbol {omega }}_{1})times mathbf {r} _{2}=0}$

Dado que el punto P (y por lo tanto $mathbf{r}_2$ ) es arbitrario, se sigue que $boldsymbol{omega}_1 = boldsymbol{omega}_2$

Si el punto de referencia es el eje instantáneo de rotación, la expresión de la velocidad de un punto en el cuerpo rígido tendrá solo el término de velocidad angular. Esto se debe a que la velocidad del eje instantáneo de rotación es cero. Un ejemplo de eje instantáneo de rotación es la bisagra de una puerta. Otro ejemplo es el punto de contacto de un cuerpo rígido esférico (o, más generalmente, convexo) puramente rodante.

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