Vectores fila y columna

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Matriz compuesta por una sola fila o columna

En álgebra lineal, un vector con $m$ elementos es un $mtimes 1$ matriz que consiste en una sola columna de $m$ entradas, por ejemplo,

{displaystyle {boldsymbol {x}}={begin{bmatrix}x_{1}\x_{2}\vdots \x_{m}end{bmatrix}}.}

Análogamente, a vector es un ${displaystyle 1times n}$ matriz para algunos $n$ , que consiste en una sola fila de $n$ entradas,

{displaystyle {boldsymbol {a}}={begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&dots &a_{n}end{bmatrix}}.}

La transposición (indicada por $T$ ) de cualquier vector de fila es un vector de columna, y la transposición de cualquier vector de columna es un vector de fila:

{displaystyle {begin{bmatrix}x_{1};x_{2};dots ;x_{m}end{bmatrix}}^{rm {T}}={begin{bmatrix}x_{1}\x_{2}\vdots \x_{m}end{bmatrix}}}

{displaystyle {begin{bmatrix}x_{1}\x_{2}\vdots \x_{m}end{bmatrix}}^{rm {T}}={begin{bmatrix}x_{1};x_{2};dots ;x_{m}end{bmatrix}}.}

El conjunto de todos los vectores fila con $n$ entradas en un campo determinado (como los números reales) forma un $n$ -espacio vectorial dimensional; De manera similar, el conjunto de todos los vectores de columna con entradas $m$ forma un $m$ espacio vectorial dimensional.

El espacio de los vectores fila con entradas $n$ puede considerarse como el espacio dual del espacio de los vectores columna con $n$ entradas, ya que cualquier funcional lineal en el espacio de los vectores de columna se puede representar como la multiplicación por la izquierda de un único vector de fila.

Notación

Para simplificar la escritura de vectores de columna en línea con otro texto, a veces se escriben como vectores de fila con la operación de transposición aplicada a ellos.

{displaystyle {boldsymbol {x}}={begin{bmatrix}x_{1};x_{2};dots ;x_{m}end{bmatrix}}^{rm {T}}}

{displaystyle {boldsymbol {x}}={begin{bmatrix}x_{1},x_{2},dotsx_{m}end{bmatrix}}^{rm {T}}}

Algunos autores también usan la convención de escribir vectores de columna y vectores de fila como filas, pero separando los elementos de vector de fila con comas y los elementos de vector de columna con punto y coma (consulte la notación alternativa 2 en la siguiente tabla).

	Fila	Columna
Notación de matriz estándar (espacios de rayos, no comas, signos de transposición)	${begin{bmatrix}x_{1};x_{2};dots ;x_{m}end{bmatrix}}$	${begin{bmatrix}x_{1}\x_{2}\vdots \x_{m}end{bmatrix}}{text{ or }}{begin{bmatrix}x_{1};x_{2};dots ;x_{m}end{bmatrix}}^{{{rm {T}}}}$
Notación alternativa 1 (commas, signos de transposición)	$begin{bmatrix} x_1, x_2, dots, x_m end{bmatrix}$	${begin{bmatrix}x_{1},x_{2},dotsx_{m}end{bmatrix}}^{{{rm {T}}}}$
Notación alternativa 2 (commas y semicolonias, sin signos de transposición)	$begin{bmatrix} x_1, x_2, dots, x_m end{bmatrix}$	${begin{bmatrix}x_{1};x_{2};dots;x_{m}end{bmatrix}}$

Operaciones

La multiplicación de matrices implica la acción de multiplicar cada vector fila de una matriz por cada vector columna de otra matriz.

El producto escalar de dos vectores columna $a, b$ , considerados como elementos de un espacio de coordenadas, es igual al producto matricial de la transposición de $a$ con $b$ ,

{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =mathbf {a} ^{intercal }mathbf {b} ={begin{bmatrix}a_{1}&cdots &a_{n}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}b_{1}\vdots \b_{n}end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+cdots +a_{n}b_{n},,}

Por la simetría del producto escalar, el producto escalar de dos vectores columna $a, b$ también es igual al producto matricial de la transpuesta de $b$ con $a$ ,

{displaystyle mathbf {b} cdot mathbf {a} =mathbf {b} ^{intercal }mathbf {a} ={begin{bmatrix}b_{1}&cdots &b_{n}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}a_{1}\vdots \a_{n}end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+cdots +a_{n}b_{n},.}

El producto matricial de un vector columna y fila da el producto exterior de dos vectores $a, b$ , un ejemplo del producto tensorial más general. El producto matricial de la representación del vector columna de $a$ y la representación del vector fila de $b$ da los componentes de su producto diádico,

{displaystyle mathbf {a} otimes mathbf {b} =mathbf {a} mathbf {b} ^{intercal }={begin{bmatrix}a_{1}\a_{2}\a_{3}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{bmatrix}},,}

que es la transposición del producto matricial de la representación del vector columna de $b$ y la representación del vector fila de $a$ ,

{displaystyle mathbf {b} otimes mathbf {a} =mathbf {b} mathbf {a} ^{intercal }={begin{bmatrix}b_{1}\b_{2}\b_{3}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\end{bmatrix}},.}

Transformaciones de matrices

Una matriz $n \times n$ $M$ puede representar un mapa lineal y actuar sobre vectores de fila y columna como matriz de transformación del mapa lineal. Para un vector fila $v$ , el producto $v M$ es otro vector de fila $p$ :

{displaystyle mathbf {v} M=mathbf {p} ,.}

Otra matriz $n \times n$ $Q$ puede actuar sobre $p$ ,

{displaystyle mathbf {p} Q=mathbf {t} ,.}

Entonces se puede escribir $t = p Q = v MQ$ , por lo que la transformación del producto matricial $MQ$ mapea $v$ directamente a $t$ . Continuando con los vectores de fila, las transformaciones de matriz que reconfiguran aún más $n$ -space se pueden aplicar a la derecha de las salidas anteriores.

Cuando un vector de columna se transforma en otro vector de columna bajo una acción de matriz $n \times n$ , se produce la operación A la izquierda,

{displaystyle mathbf {p} ^{mathrm {T} }=Mmathbf {v} ^{mathrm {T} },,quad mathbf {t} ^{mathrm {T} }=Qmathbf {p} ^{mathrm {T} },}

que lleva a la expresión algebraica $QM v T$ para la salida compuesta de $v T$ entrada. Las transformaciones de matriz se montan hacia la izquierda en este uso de un vector de columna para la entrada a la transformación de matriz.

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