Vector unitario

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Vector de longitud uno

En matemáticas, a vector en un espacio vectorial normalizado es un vector (a menudo un vector espacial) de longitud 1. Un vector de unidad es a menudo denotado por una letra minúscula con un circumflex, o "hat", como en ${hat {{mathbf {v}}}}$ (pronunciado "v-hat").

El término vector de dirección, comúnmente denominado d, se usa para describir un vector unitario que se usa para representar la dirección espacial y la dirección relativa. Las direcciones espaciales 2D son numéricamente equivalentes a los puntos en el círculo unitario y las direcciones espaciales en 3D son equivalentes a un punto en la esfera unitaria.

Ejemplos de dos vectores de dirección 2D

Ejemplos de dos vectores de dirección 3D

El vector normalizado û de un vector distinto de cero u es el vector unitario en la dirección de u, es decir,

mathbf {hat {u}} ={frac {mathbf {u} }{|mathbf {u} |}}

donde ‖u‖ es la norma (o longitud) de u. El término vector normalizado se utiliza a veces como sinónimo de vector unitario.

Los vectores unitarios a menudo se eligen para formar la base de un espacio vectorial, y cada vector en el espacio puede escribirse como una combinación lineal de vectores unitarios.

Coordenadas ortogonales

Coordenadas cartesianas

Los vectores unitarios se pueden utilizar para representar los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas. Por ejemplo, los vectores unitarios estándar en la dirección de los ejes x, y y z de un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional son

{displaystyle mathbf {hat {i}} ={begin{bmatrix}1\0\0end{bmatrix}},,,mathbf {hat {j}} ={begin{bmatrix}0\1\0end{bmatrix}},,,mathbf {hat {k}} ={begin{bmatrix}0\0\1end{bmatrix}}}

Forman un conjunto de vectores unitarios mutuamente ortogonales, normalmente denominados base estándar en álgebra lineal.

A menudo se denotan usando notación de vectores comunes (por ejemplo, i o ${vec {imath }}$ ) en lugar de la notación de vectores de unidad estándar (por ejemplo, $mathbf {hat {imath }}$ ). En la mayoría de los contextos se puede suponer que i, j, y k, (o ${vec {imath }},$ ${vec {jmath }},$ y ${vec {k}}$ ) son reversores de un sistema de coordenadas cartesiano 3-D. Las notaciones $(mathbf {hat {x}}mathbf {hat {y}}mathbf {hat {z}})$ , $(mathbf {hat {x}} _{1},mathbf {hat {x}} _{2},mathbf {hat {x}} _{3})$ , $(mathbf {hat {e}} _{x},mathbf {hat {e}} _{y},mathbf {hat {e}} _{z})$ , o $(mathbf {hat {e}} _{1},mathbf {hat {e}} _{2},mathbf {hat {e}} _{3})$ , con o sin sombrero, también se utilizan, especialmente en contextos donde i, j, k podría llevar a confusión con otra cantidad (por ejemplo con símbolos índice como i, j, k, que se utilizan para identificar un elemento de un conjunto o matriz o secuencia de variables).

Cuando un vector unitario en el espacio se expresa en notación cartesiana como una combinación lineal de i, j, k, sus tres componentes escalares pueden denominarse cosenos directores. El valor de cada componente es igual al coseno del ángulo que forma el vector unitario con el respectivo vector base. Este es uno de los métodos utilizados para describir la orientación (posición angular) de una línea recta, segmento de línea recta, eje orientado o segmento de eje orientado (vector).

Coordenadas cilíndricas

Los tres vectores unitarios ortogonales apropiados para la simetría cilíndrica son:

${displaystyle {boldsymbol {hat {rho }}}}$ (también designado $mathbf {hat {e}}$ o ${boldsymbol {hat {s}}}$ ), representando la dirección a lo largo de la cual se mide la distancia del punto del eje de la simetría;
${boldsymbol {hat {varphi }}}$ , representando la dirección de la moción que se observaría si el punto giraba en sentido contrario sobre el eje de la simetría;
$mathbf {hat {z}}$ , representando la dirección del eje de simetría;

Están relacionados con la base cartesiana ${hat {x}}$ , ${hat {y}}$ , ${hat {z}}$ por:

{displaystyle {boldsymbol {hat {rho }}}=cos(varphi)mathbf {hat {x}} +sin(varphi)mathbf {hat {y}} }

{displaystyle {boldsymbol {hat {varphi }}}=-sin(varphi)mathbf {hat {x}} +cos(varphi)mathbf {hat {y}} }

{displaystyle mathbf {hat {z}} =mathbf {hat {z}}.}

Los vectores ${displaystyle {boldsymbol {hat {rho }}}}$ y ${boldsymbol {hat {varphi }}}$ son funciones de $varphi$ y no constante en dirección. Al diferenciar o integrarse en coordenadas cilíndricas, estos vectores de unidad también deben ser operados. Los derivados con respecto a $varphi$ son:

{displaystyle {frac {partial {boldsymbol {hat {rho }}}}{partial varphi }}=-sin varphi mathbf {hat {x}} +cos varphi mathbf {hat {y}} ={boldsymbol {hat {varphi }}}}

{displaystyle {frac {partial {boldsymbol {hat {varphi }}}}{partial varphi }}=-cos varphi mathbf {hat {x}} -sin varphi mathbf {hat {y}} =-{boldsymbol {hat {rho }}}}

{displaystyle {frac {partial mathbf {hat {z}} }{partial varphi }}=mathbf {0}.}

Coordenadas esféricas

Los vectores de unidad apropiados para la simetría esférica son: $mathbf {hat {r}}$ , la dirección en la que aumenta la distancia radial del origen; ${boldsymbol {hat {varphi }}}$ , la dirección en la que el ángulo x-Sí. plano en sentido contrario desde el positivo x-eje está aumentando; y ${boldsymbol {hat {theta }}}$ , la dirección en la que el ángulo desde el positivo z El eje está aumentando. Para minimizar la redundancia de las representaciones, el ángulo polar $theta$ se suele tomar para mentir entre cero y 180 grados. Es especialmente importante señalar el contexto de cualquier triplete ordenado escrito en coordenadas esféricas, como los roles de ${boldsymbol {hat {varphi }}}$ y ${boldsymbol {hat {theta }}}$ a menudo se invierten. Aquí se utiliza la convención "física" americana. Esto deja el ángulo azimutal $varphi$ definió lo mismo que en coordenadas cilíndricas. Las relaciones cartesianas son:

mathbf {hat {r}} =sin theta cos varphi mathbf {hat {x}} +sin theta sin varphi mathbf {hat {y}} +cos theta mathbf {hat {z}}

{boldsymbol {hat {theta }}}=cos theta cos varphi mathbf {hat {x}} +cos theta sin varphi mathbf {hat {y}} -sin theta mathbf {hat {z}}

{boldsymbol {hat {varphi }}}=-sin varphi mathbf {hat {x}} +cos varphi mathbf {hat {y}}

Los vectores de unidad esférica dependen de ambos $varphi$ y $theta$ , y por lo tanto hay 5 posibles derivados no cero. Para una descripción más completa, vea la matriz y determinante de Jacobian. Los derivados no cero son:

{frac {partial mathbf {hat {r}} }{partial varphi }}=-sin theta sin varphi mathbf {hat {x}} +sin theta cos varphi mathbf {hat {y}} =sin theta {boldsymbol {hat {varphi }}}

{frac {partial mathbf {hat {r}} }{partial theta }}=cos theta cos varphi mathbf {hat {x}} +cos theta sin varphi mathbf {hat {y}} -sin theta mathbf {hat {z}} ={boldsymbol {hat {theta }}}

{frac {partial {boldsymbol {hat {theta }}}}{partial varphi }}=-cos theta sin varphi mathbf {hat {x}} +cos theta cos varphi mathbf {hat {y}} =cos theta {boldsymbol {hat {varphi }}}

{frac {partial {boldsymbol {hat {theta }}}}{partial theta }}=-sin theta cos varphi mathbf {hat {x}} -sin theta sin varphi mathbf {hat {y}} -cos theta mathbf {hat {z}} =-mathbf {hat {r}}

{frac {partial {boldsymbol {hat {varphi }}}}{partial varphi }}=-cos varphi mathbf {hat {x}} -sin varphi mathbf {hat {y}} =-sin theta mathbf {hat {r}} -cos theta {boldsymbol {hat {theta }}}

Vectores unitarios generales

Los temas comunes de los vectores unitarios ocurren a lo largo de la física y la geometría:

Unidad	Nomenclature	Diagrama
vector tangente a una línea curva/flujo	${mathbf {{hat {t}}}}$	Un vector normal ${displaystyle mathbf {hat {n}} }$ al plano que contiene y define por el vector de posición radial ${displaystyle rmathbf {hat {r}} }$ y dirección angular de la rotación ${displaystyle theta {boldsymbol {hat {theta }}}}$ es necesario para que las ecuaciones vectoriales de movimiento angular sostienen.
Normal a un plano/plano tangente superficial que contiene componente de posición radial y componente tangencia angular	${displaystyle mathbf {hat {n}} }$ En términos de coordenadas polares; ${displaystyle mathbf {hat {n}} =mathbf {hat {r}} times {boldsymbol {hat {theta }}}}$
vector binormal a tangente y normal	${displaystyle mathbf {hat {b}} =mathbf {hat {t}} times mathbf {hat {n}} }$
Paralela a algún eje/línea	${displaystyle mathbf {hat {e}} _{parallel }}$	Un vector ${displaystyle mathbf {hat {e}} _{parallel }}$ alineado paralelamente a una dirección principal (línea roja), y un vector de unidad perpendicular ${displaystyle mathbf {hat {e}} _{bot }}$ está en cualquier dirección radial relativa a la línea principal.
Perpendicular a algún eje/línea en alguna dirección radial	${displaystyle mathbf {hat {e}} _{bot }}$
Posible desviación angular relativa a algún eje/línea	${displaystyle mathbf {hat {e}} _{angle }}$	vector de unidad en ángulo de desviación agudo φ (incluyendo 0 o π/2 rad) relativa a una dirección principal.

Coordenadas curvilíneas

En general, se puede especificar un sistema de coordenadas utilizando varios vectores de unidad linealmente independientes $mathbf {hat {e}} _{n}$ (el número real es igual a los grados de libertad del espacio). Para el 3-espacio ordinario, estos vectores pueden ser denotados $mathbf {hat {e}} _{1},mathbf {hat {e}} _{2},mathbf {hat {e}} _{3}$ . Es casi siempre conveniente definir el sistema para ser ortonormal y diestro:

mathbf {hat {e}} _{i}cdot mathbf {hat {e}} _{j}=delta _{ij}

mathbf {hat {e}} _{i}cdot (mathbf {hat {e}} _{j}times mathbf {hat {e}} _{k})=varepsilon _{ijk}

Donde $delta _{ij}$ es el Kronecker delta (que es 1 para i = j, y 0 de otro modo) y $varepsilon _{ijk}$ es el símbolo Levi-Civita (que es 1 para las permutaciones ordenadas como ijk, y −1 para permutaciones ordenadas kji).

Verso derecho

Un vector de unidad en $mathbb {R} ^{3}$ fue llamado recto por W. R. Hamilton, mientras desarrolló sus cuaterniones ${displaystyle mathbb {H} subset mathbb {R} ^{4}}$ . De hecho, fue el iniciador del término vector, como cada quaternion ${displaystyle q=s+v}$ tiene una parte de escalar s y una parte vectorial v. Si v es un vector de unidad $mathbb {R} ^{3}$ , entonces el cuadrado de v en quaternions es –1. Así por la fórmula de Euler, ${displaystyle exp(theta v)=cos theta +vsin theta }$ es un reversor en la 3-sfera. Cuando Silencio es un ángulo recto, el reversor es un reversor derecho: su parte escalar es cero y su parte vectorial v es un vector de unidad $mathbb {R} ^{3}$ .

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