Vector tangente

En matemáticas, a vector tangente es un vector que es tangente a una curva o superficie en un punto dado. Los vectores tangentes se describen en la geometría diferencial de curvas en el contexto de curvas en Rⁿ. Más generalmente, vectores tangentes son elementos de un espacio tangente de un manifold diferente. Los vectores tangentes también se pueden describir en términos de gérmenes. Formally, un vector tangente en el punto x{displaystyle x} es una derivación lineal del álgebra definida por el conjunto de gérmenes en x{displaystyle x}.

Motivación

Antes de pasar a una definición general del vector tangente, analizamos su uso en cálculo y sus propiedades tensoriales.

Cálculo

Vamos r()t){displaystyle mathbf {r} (t)} ser una curva suave paramétrica. El vector tangente es dado por r.()t){displaystyle mathbf {r} t)}, donde hemos utilizado un primo en lugar del punto habitual para indicar la diferenciación con respecto al parámetro t. El vector tangente unidad es dado por

T()t)=r.()t)Silencior.()t)Silencio.{displaystyle mathbf {T} (t)={frac {mathbf {r} {t)}{ Anteriormathbf {r} '(t) habit},.}

Ejemplo

Dada la curva

r()t)={}()1+t2,e2t,#⁡ ⁡ t)▪ ▪ t▪ ▪ R}{displaystyle mathbf {r} (t)=left{left(1+t^{2},e^{2t},cos {t}right)mid tin mathbb {R} right}

R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}}

t=0{displaystyle t=0}

T()0)=r.()0).. r.()0).. =()2t,2e2t,− − pecado⁡ ⁡ t)4t2+4e4t+pecado2⁡ ⁡ tSilenciot=0=()0,1,0).{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {} {}} {}} {}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

Contravarianza

Si r()t){displaystyle mathbf {r} (t)} se da paramétricamente en el sistema de coordenadas n-dimensional xⁱ (Aquí hemos utilizado superscriptos como índice en lugar del subscripto habitual) por r()t)=()x1()t),x2()t),...... ,xn()t)){displaystyle mathbf {r} (t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),ldotsx^{n}(t)} o

r=xi=xi()t),a≤ ≤ t≤ ≤ b,{displaystyle mathbf {r} =x^{i}=x^{i}(t),quad aleq tleq b,}

T=Ti{displaystyle mathbf {T} =T^{i}

Ti=dxidt.{displaystyle T^{i}={frac {dx^{i} {dt},}

ui=ui()x1,x2,...... ,xn),1≤ ≤ i≤ ≤ n{displaystyle u^{i}=u^{i}(x^{1},x^{2},ldotsx^{n}),quad 1leq ileq n}

T̄ ̄ =T̄ ̄ i{displaystyle {bar {Mathbf {T}= {fn} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}}}} {fn}}} {fn}}}}}} {\\fn}}}}}}} {\fn}}}}}}}}}}} {\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

T̄ ̄ i=duidt=∂ ∂ ui∂ ∂ xsdxsdt=Ts∂ ∂ ui∂ ∂ xs{displaystyle {bar} {fn} {fnMicroc} {fnMicroc}} {fn}}} {fn}}}} {f}fnfnMicroc}}} {fnfn\fnfnMicroc}} {fnMicroc}} {} {fn} {fnMicroc}} {fnMicroc}}} {fnK}} {f}}} {f}}}} {f}}}} {fnf}}}} {fnf}}} {fnf}}} {fnMicroc}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}} {f}} {f}} {f} {f} {f} {f}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}}}}}} {fnMicrosoft Sans} {fnMicroc} {fnMicroc}} {fnMicroc}}}} {fnMicroc} {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}}}}}} {f}}} {f}}}} {fnMicroc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f}} {f}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans}} {fnMicrosoft Sans}} {fnK}}} {fnMicrosoft Sans}}} {fnMicrosoft Sans}}}}}}}}}} {f}}} {f}}} {fnMicros}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

Definición

Vamos f:Rn→ → R{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ser una función diferente y dejar v{displaystyle mathbf {v} ser un vector en Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}. Definimos el derivado direccional en el v{displaystyle mathbf {v} dirección en un punto x▪ ▪ Rn{displaystyle mathbf {x} in mathbb {R} {fn} por

Silencio Silencio vf()x)=ddtf()x+tv)Silenciot=0=.. i=1nvi∂ ∂ f∂ ∂ xi()x).{displaystyle nabla _{mathbf {v}f(mathbf {x})=left.{frac {d}{dt}}f(mathbf {x} +tmathbf {v})right detained_{t=0}=sum ¿Qué? {partial f}{partial ¿Qué?

x{displaystyle mathbf {x}

v()f()x))↑ ↑ ()Silencio Silencio v()f))()x).{displaystyle mathbf {v} (f(mathbf {x})equiv (nabla _{mathbf {v}(f))(mathbf {x}),}

Propiedades

Vamos f,g:Rn→ → R{displaystyle f,g:mathbb {R}to mathbb {R} ser funciones diferentes, dejar v,w{displaystyle mathbf {v}Mathbf {w} ser vectores tangentes en Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} a x▪ ▪ Rn{displaystyle mathbf {x} in mathbb {R} {fn}, y dejar a,b▪ ▪ R{displaystyle a,bin mathbb {R}. Entonces...

1. ()av+bw)()f)=av()f)+bw()f){displaystyle (amathbf {v} +bmathbf {w})(f)=amathbf {v} (f)+bmathbf {w} (f)}
2. v()af+bg)=av()f)+bv()g){displaystyle mathbf {v} (af+bg)=amathbf {v} (f)+bmathbf {v} (g)}
3. v()fg)=f()x)v()g)+g()x)v()f).{displaystyle mathbf {v} (fg)=f(mathbf {x})mathbf {v} (g)+g(mathbf {x})mathbf {v} (f),.}

Vector tangente en variedades

Vamos M{displaystyle M} ser un manifold diferente y dejar A()M){displaystyle A(M)} ser el álgebra de las funciones diferenciables de valor real en M{displaystyle M}. Entonces el vector tangente M{displaystyle M} en un momento x{displaystyle x} en el múltiple es dado por la derivación Dv:A()M)→ → R{displaystyle D_{v}:A(M)rightarrow mathbb {R} que será lineal, es decir, para cualquier f,g▪ ▪ A()M){displaystyle f,gin A(M)} y a,b▪ ▪ R{displaystyle a,bin mathbb {R} tenemos

Dv()af+bg)=aDv()f)+bDv()g).{displaystyle D_{v}(af+bg)=aD_{v}(f)+bD_{v}(g),}

Tenga en cuenta que la derivación tendrá, por definición, la propiedad de Leibniz

Dv()f⋅ ⋅ g)()x)=Dv()f)()x)⋅ ⋅ g()x)+f()x)⋅ ⋅ Dv()g)()x).{displaystyle D_{v}(fcdot g)(x)=D_{v}(f)cdot g(x)+f(x)cdot D_{v}(g),}