Vector puntiagudo

$$[displaystyle S_{z}(r)=E_{r}(r)H_{theta }(r)={frac {W}{r} {frac} {fnMicroc}} {fnMicroc} {f}}} {fnMicroc} {I}{2pi} {fnMicroc} {fnMicroc}} {fnMicroc {fnMicroc}} {f}}} {fnMicroc} {f}}}} {fnK}}}}} {f}} {f}}}} {f}}}}}}}}}} {f}$$

$${displaystyle {begin{aligned}P_{text{tot} âTMa âTMa {begin{aligned}P_{text{tot} âTMa} - No. {A} s_{z}(r,theta),dA=int ¿Por qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {W,I}{}dr=W,I,lnleft({frac Bien.$$

Sustituyendo la solución anterior por la constante W encontramos:

$${displaystyle P_{mathrm {tot} }=Iln left({frac {R_{2} {R_{1}}right){frac {fn}=V,I}$$

Otras formas

En el "microscópico" versión de las ecuaciones de Maxwell, esta definición debe ser reemplazada por una definición en términos del campo eléctrico E y la densidad de flujo magnético B (descrito más adelante en el artículo).

También es posible combinar el campo de desplazamiento eléctrico D con el flujo magnético B para obtener la forma de Minkowski del vector de Poynting, o use D y H para construir otra versión más. La elección ha sido controvertida: Pfeifer et al. resumir y hasta cierto punto resolver la disputa de un siglo entre los defensores de las formas de Abraham y Minkowski (ver controversia Abraham-Minkowski).

El vector de Poynting representa el caso particular de un vector de flujo de energía para la energía electromagnética. Sin embargo, cualquier tipo de energía tiene su dirección de movimiento en el espacio, así como su densidad, por lo que los vectores de flujo de energía también se pueden definir para otros tipos de energía, por ejemplo, para la energía mecánica. El vector Umov-Poynting descubierto por Nikolay Umov en 1874 describe el flujo de energía en medios líquidos y elásticos en una vista completamente generalizada.

Interpretación

El vector de Poynting aparece en el teorema de Poynting (ver ese artículo para la derivación), una ley de conservación de energía:

${displaystyle {frac {partial u}{partial t}=-mathbf {nabla } cdot mathbf - Mathbf {J_{mathrm {f} cdot mathbf {E}$

donde J_f es la densidad de corriente de las cargas libres y u es la densidad de energía electromagnética para materiales lineales no dispersivos, dada por

${displaystyle u={frac {2}i}left(mathbf) {E} cdot mathbf {D} +mathbf {B} cdot mathbf {H} right)!,}$

dónde

• E es el campo eléctrico;
• D es el campo de desplazamiento eléctrico;
• B es la densidad del flujo magnético;
• H es el campo de magnetización.

El primer término en el lado derecho representa el flujo de energía electromagnética en un volumen pequeño, mientras que el segundo término resta el trabajo realizado por el campo en las corrientes eléctricas libres, que por lo tanto sale de la energía electromagnética como disipación, calor, etc. En esta definición, las corrientes eléctricas ligadas no están incluidas en este término y en su lugar contribuyen a S y u.

Para materiales lineales, no dispersivos e isotrópicos (por simplicidad), las relaciones constitutivas se pueden escribir como

${displaystyle mathbf {D} =varepsilon mathbf {E}quad mathbf {B} =mu mathbf {H}$

dónde

• ε es la autorización del material;
• μ es la permeabilidad del material.

Aquí, ε y μ son constantes escalares de valor real independientes de la posición, la dirección y la frecuencia.

En principio, esto limita el teorema de Poynting en esta forma a campos en el vacío y materiales lineales no dispersivos. Una generalización a materiales dispersivos es posible bajo ciertas circunstancias al costo de términos adicionales.

Una consecuencia de la fórmula de Poynting es que para que el campo electromagnético funcione, deben estar presentes tanto el campo magnético como el eléctrico. El campo magnético solo o el campo eléctrico solo no pueden realizar ningún trabajo.

Ondas planas

En una onda plana electromagnética que se propaga en un medio isotrópico sin pérdidas, el vector de Poynting instantáneo siempre apunta en la dirección de propagación mientras oscila rápidamente en magnitud. Esto se puede ver simplemente dado que en una onda plana, la magnitud del campo magnético H(r,t) viene dada por la magnitud del vector de campo eléctrico E(r,t) dividido por η, la impedancia intrínseca del medio de transmisión:

${fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnh} }$,

donde |A| representa la norma vectorial de A. Como E y H forman ángulos rectos entre sí, la magnitud de su producto vectorial es el producto de sus magnitudes. Sin pérdida de generalidad, tomemos X como la dirección del campo eléctrico y Y como la dirección del campo magnético. El vector de Poynting instantáneo, dado por el producto vectorial de E y H, estará entonces en la dirección positiva Z:

${displaystyle {mathsf {}}={mathsf {fnK}cdot {fnh00}={f}fnfnh00}}cdot {cdot {mthsf {cH_{y}}} {fnfncH00}}}cdot {cdot {cdotsf}}cdotcdot}cdot {cdot {cdot {cdotsf}cdot {cdot {cdotsf}cdot {cdotsf}}\cdotsf}\cdotsf}\\cdotsf}cdot {cdotsf}cdotsf}}\\\\\cdotsf}cdotsf}cdotscdotsfnh}cdotsf}\\cdotsf}cdots {E_{x}}right sobrevivir{2}{eta }$.

Encontrar la potencia promediada en el tiempo en la onda plana requiere promediar el período de la onda (la frecuencia inversa de la onda):

${displaystyle leftlangle {Mathsf {S_{z}}rightrangle ={frac {leftlangleleft arrest{mathsf Está bien. }{eta }={frac {mathsf {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif}}}}}}}} {fnMicros} }$,

Donde E_rms es la raíz media de la amplitud del campo eléctrico cuadrado. En el caso importante de que E()t) es sinusoidalmente variando a cierta frecuencia con amplitud pico E_pico, su voltaje rms es dado por ${displaystyle {mathsf {fnh}/{sqrt {2}}$, con el vector promedio Poynting luego dado por:

${displaystyle leftlangle {mathsf {S_{z}}rightrangle ={frac {Mathsf {E_{peak} {2}}{2eta }$.

Esta es la forma más común para el flujo de energía de una onda plana, ya que las amplitudes de campo sinusoidal se expresan más a menudo en términos de sus valores máximos, y los problemas complicados se resuelven típicamente considerando sólo una frecuencia a la vez. Sin embargo, la expresión usando E_rms es totalmente general, aplicando, por ejemplo, en el caso del ruido cuya amplitud RMS puede medirse pero donde la amplitud "peak" no tiene sentido. En el espacio libre la impedancia intrínseca . es simplemente dada por la impedancia del espacio libre .₀.377Ω. En dielectrices no magnéticas (como todos los materiales transparentes en frecuencias ópticas) con una constante dieléctrica especificada ε_r, o en óptica con un material cuyo índice refractivo ${displaystyle {Mathsf}={sqrt {epsilon _{r}}}$, la impedancia intrínseca se encuentra como:

${displaystyle eta ={frac {eta ¿Qué?$.

En óptica, el valor del flujo radiado que cruza una superficie, por lo tanto, el componente del vector de Poynting promedio en la dirección normal a esa superficie, se conoce técnicamente como la irradiancia, más a menudo denominada simplemente como intensidad (un término algo ambiguo).

Formulación en términos de campos microscópicos

El "microscópico" La versión (diferencial) de las ecuaciones de Maxwell admite solo los campos fundamentales E y B, sin un modelo incorporado de medios materiales. Solo se utilizan la permitividad y la permeabilidad del vacío, y no hay D ni H. Cuando se utiliza este modelo, el vector de Poynting se define como

${displaystyle mathbf {S} ={frac {1}{mu} ¿Qué?$

dónde

• μ₀ es la permeabilidad del vacío;
• E es el vector de campo eléctrico;
• B es el flujo magnético.

Esta es en realidad la expresión general del vector de Poynting. La forma correspondiente del teorema de Poynting es

${displaystyle {frac {partial u}{partial t}=-nabla cdot mathbf {S} -mathbf {J} cdot mathbf {E}$

donde J es la densidad de corriente total y la densidad de energía u viene dada por

${displaystyle u={frac}{2}left(varepsilon) - Hola. {E} {1}{mu} _{0}mathbf {B} Silencio!, }$

donde ε₀ es la permitividad del vacío. Se puede derivar directamente de las ecuaciones de Maxwell en términos de carga total y corriente y la ley de fuerza de Lorentz únicamente.

Las dos definiciones alternativas del vector de Poynting son iguales en el vacío o en materiales no magnéticos, donde B = μ₀H. En todos los demás casos, se diferencian en que S = (1/μ₀) E × B y la correspondiente u son puramente radiativas, ya que el término de disipación −J< /b> ⋅ E cubre la corriente total, mientras que la definición E × H tiene contribuciones de corrientes ligadas que luego se excluyen del término de disipación.

Dado que solo los campos microscópicos E y B ocurren en la derivación de S = (1/ μ₀) E × B y la densidad de energía, se evitan suposiciones sobre cualquier material presente. El vector de Poynting, el teorema y la expresión de la densidad de energía son universalmente válidos en el vacío y en todos los materiales.

Vector de Poynting promediado en el tiempo

La forma anterior para el vector de Poynting representa el flujo de energía instantáneo debido a campos eléctricos y magnéticos instantáneos. Más comúnmente, los problemas electromagnéticos se resuelven en términos de campos que varían sinusoidalmente a una frecuencia específica. Luego, los resultados se pueden aplicar de manera más general, por ejemplo, representando la radiación incoherente como una superposición de tales ondas a diferentes frecuencias y con amplitudes fluctuantes.

Por lo tanto, no estaríamos considerando la E(t) y instantáneas H(t) utilizado anteriormente, sino más bien una amplitud compleja (vectorial) para cada uno que describe una fase de onda coherente (así como la amplitud) usando notación fasorial. Estos complejos vectores de amplitud no son funciones del tiempo, ya que se entiende que se refieren a oscilaciones a lo largo de todo el tiempo. Se entiende que un fasor como E_m significa un campo variable sinusoidalmente cuya amplitud instantánea E(t) sigue la parte real de E_m e^jωt donde ω es el (radián) frecuencia de la onda sinusoidal que se está considerando.

En el dominio del tiempo, se verá que el flujo de energía instantáneo fluctuará a una frecuencia de 2ω. Pero lo que normalmente interesa es el flujo de potencia promedio en el que no se consideran esas fluctuaciones. En las matemáticas a continuación, esto se logra integrando en un ciclo completo T = 2π / ω< /lapso>. La siguiente cantidad, a la que todavía se hace referencia como "vector de puntos", se expresa directamente en términos de los fasores como:

${displaystyle mathbf {fnK} {m}={tfrac {2}mathbf {E} _{mathrm {m}times mathbf ¿Qué? }$

donde ^∗ denota el complejo conjugado. El flujo de energía promediado en el tiempo (según el vector de Poynting instantáneo promediado durante un ciclo completo, por ejemplo) viene dado por la parte real de S< /b>_m. La parte imaginaria generalmente se ignora, sin embargo, significa "potencia reactiva" como la interferencia debida a una onda estacionaria o el campo cercano de una antena. En una sola onda plana electromagnética (en lugar de una onda estacionaria que puede describirse como dos ondas que viajan en direcciones opuestas), E y H están exactamente en fase, por lo que S_m es simplemente un número real según la definición anterior.

La equivalencia de Re(S_m) al tiempo promedio de los instantáneos El vector de poynting S se puede mostrar de la siguiente manera.

${displaystyle {begin{aligned}mathbf {S} (t) limit=mathbf {E}(t)times mathbf {H}(t)\\\cH}\\cH}]\cH00\\fnMicrosoft {fnMicrosoft]} {Re} !left(mathbf {H} _{mathrm {m}e^{jomega t}right)\\cH} {cH} {cH}cH}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}ccH {E} _{mathrm {m} }e^{jomega ###mathbf {E} _{mathrm {m} {*}e^{-jomega t}right)times {tfrac {1}{2}left(mathbf {H} _{jomega {fnK}m} {fnK} {fn0}fnK} {fnK}m}}m} {cH}fnunció]\cH00cH00}fnMitbf} {1}{4}fnMitbf {E} _{mathrm {m}times mathbf {H} _{mathrm} {*}mathbf {E} _{mathrm {m}}times mathbf {H} _{mathrm}+mathbf {E} _{mathrm} {m}m}m}timesmathbf} {H} {m}e^{2jomega t}+mathbf {E} _{mathrm} {}times mathbf {H} _{mathrm} {*}e^{-2jomega t}right)\\fnuncio={tfrac {1}{2}fnuncio {Re} !left(mathbf {E} _{mathrm {m}times mathbf [H] _{mathrm {m}} {}right)+{tfrac {1}{2}fnuncio {Re} !left(mathbf {E} _{mathrm {m}times mathbf {H} _{mathrm}e^{2jomega t}right)end{aligned}}}$

La media del vector instantáneo de Poynting S a lo largo del tiempo está dada por:

${displaystyle langle mathbf {S} rangle ={frac {1}{T}int ¿Qué? ¿Por qué? {Re} !left(mathbf {E} _{mathrm {m}times mathbf [H] _{mathrm {m}} {}right)+{tfrac {1}{2}fnuncio {Re} !left({mathbf {E} _{mathrm {m}times {mathbf {H} _{mathrm {m}}e^{2jomega t}right)}dt.}$

El segundo término es el componente de doble frecuencia que tiene un valor promedio de cero, por lo que encontramos:

${displaystyle langle mathbf {S} rangle =operatorname {Re} !left({tfrac {1}{2}{mathbf {E} {m}times mathbf [H] _{mathrm {m} {right)=operatorname {Re} !left(mathbf {S} _{mathrm {m}right)}$

Según algunos convenios, el factor de 1/2 de la definición mencionada puede quedar excluido. Multiplicación por 1/2 es necesaria para describir correctamente el flujo de energía desde las magnitudes de E_m y H_m referencia al pico campos de las cantidades oscilantes. Si más bien los campos son descritos en términos de sus valores cuadrados medios raíz (RMS) (que son cada uno más pequeños por el factor ${displaystyle {sqrt {2}/2}$), entonces el flujo de potencia promedio correcto se obtiene sin multiplicación por 1/2.

Disipación resistiva

Si un conductor tiene una resistencia significativa, entonces, cerca de la superficie de ese conductor, el vector de Poynting se inclinaría hacia el conductor e incidiría sobre él. Una vez que el vector de Poynting ingresa al conductor, se dobla en una dirección que es casi perpendicular a la superficie. Esto es consecuencia de la ley de Snell y de la velocidad muy lenta de la luz dentro de un conductor. Se puede dar la definición y cálculo de la velocidad de la luz en un conductor. Dentro del conductor, el vector de Poynting representa el flujo de energía del campo electromagnético hacia el cable, lo que produce un calentamiento Joule resistivo en el cable. Para una derivación que comienza con la ley de Snell, consulte la página 454 de Reitz.

Presión de radiación

La densidad del momento lineal del campo electromagnético es S/c² donde S es el magnitud del vector de Poynting y c es la velocidad de la luz en el espacio libre. La presión de radiación ejercida por una onda electromagnética en la superficie de un objetivo está dada por

${displaystyle P_{mathrm {rad} }={frac {langle Srangle }{mathrm {c} }}$

Singularidad del vector de Poynting

El vector de Poynting ocurre en el teorema de Poynting solo a través de su divergencia ∇ ⋅ S, es decir, solo se requiere que el La integral de superficie del vector de Poynting alrededor de una superficie cerrada describe el flujo neto de energía electromagnética dentro o fuera del volumen cerrado. Esto significa que agregar un campo vectorial solenoidal (uno con divergencia cero) a S dará como resultado otro campo que satisfaga esta propiedad requerida de un campo vectorial de Poynting según el teorema de Poynting. Dado que la divergencia de cualquier rotacional es cero, se puede agregar la rotacional de cualquier campo vectorial al vector de Poynting y el campo vectorial resultante S′ seguirá satisfaciendo el teorema de Poynting.

Sin embargo, aunque el vector de Poynting se formuló originalmente solo por el teorema de Poynting en el que solo aparece su divergencia, resulta que la elección anterior de su forma es única. La siguiente sección ofrece un ejemplo que ilustra por qué no es aceptable agregar un campo solenoidal arbitrario a E × H.

Campos estáticos

Ganar vector en un campo estático, donde E es el campo eléctrico, H el campo magnético, y S el vector Poynting.

La consideración del vector de Poynting en campos estáticos muestra la naturaleza relativista de las ecuaciones de Maxwell y permite una mejor comprensión de la componente magnética de la fuerza de Lorentz, q (v × B). Para ilustrar, se considera la imagen adjunta, que describe el vector de Poynting en un capacitor cilíndrico, que se encuentra en un campo H (apuntando hacia la página) generado por un imán permanente. Aunque solo hay campos eléctricos y magnéticos estáticos, el cálculo del vector de Poynting produce un flujo circular de energía electromagnética en el sentido de las agujas del reloj, sin principio ni fin.

Si bien el flujo de energía circulante puede parecer poco físico, su existencia es necesaria para mantener la conservación del momento angular. El impulso de una onda electromagnética en el espacio libre es igual a su potencia dividida por c, la velocidad de la luz. Por lo tanto, el flujo circular de energía electromagnética implica un impulso angular. Si se conectara un cable entre las dos placas del capacitor cargado, habría una fuerza de Lorentz en ese cable mientras el capacitor se descarga debido a la corriente de descarga y al campo magnético cruzado; esa fuerza sería tangencial al eje central y, por lo tanto, agregaría un momento angular al sistema. Ese momento angular coincidiría con el "oculto" momento angular, revelado por el vector de Poynting, que circula antes de que se descargue el condensador.