Vector (matemáticas y física)

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En matemáticas y física, vector es un término que se refiere a cantidades que no pueden expresarse con un solo número (un escalar) o a elementos de algunos espacios vectoriales.Históricamente, los vectores se introdujeron en geometría y física (normalmente en mecánica) para magnitudes que tienen tanto magnitud como dirección, como desplazamientos, fuerzas y velocidad. Dichas magnitudes se representan mediante vectores geométricos, al igual que las distancias, las masas y el tiempo se representan mediante números reales.El término vector también se utiliza, en algunos contextos, para las tuplas, que son secuencias finitas (de números u otros objetos) de longitud fija.Tanto los vectores geométricos como las tuplas se pueden sumar y escalar, y estas operaciones vectoriales dieron lugar al concepto de espacio vectorial, que es un conjunto con una suma vectorial y una multiplicación escalar que satisfacen ciertos axiomas que generalizan las propiedades principales de las operaciones con los tipos de vectores mencionados. Un espacio vectorial formado por vectores geométricos se denomina espacio vectorial euclidiano, y un espacio vectorial formado por tuplas se denomina espacio vectorial de coordenadas.En matemáticas se consideran muchos espacios vectoriales, como cuerpos de extensión, anillos de polinomios, álgebras y espacios funcionales. El término vector no suele emplearse para los elementos de estos espacios vectoriales, sino que se reserva para vectores geométricos, tuplas y elementos de espacios vectoriales no especificados (por ejemplo, al analizar las propiedades generales de los espacios vectoriales).

Vectores en geometría euclidiana

En matemáticas, física e ingeniería, un vector euclidiano o simplemente un vector (a veces llamado vector geométrico o vector espacial) es un objeto geométrico que tiene magnitud (o longitud) y dirección. Los vectores de Euclidean se pueden agregar y escalar para formar un espacio vectorial. A vector de la cantidad es una cantidad física de valor vectorial, incluyendo unidades de medición y posiblemente un soporte, formulado como segmento de línea. Un vector es frecuentemente representado gráficamente como una flecha que conecta un punto inicial A con una punto terminal B, y denotado por ${\fnMicrosoft {\fn\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft\\\fnMicrosoft}\\\\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {\longrightarrow}{AB}}}$

Un vector es lo que se necesita para "carry" el punto A hasta el punto B; la palabra latina vector significa 'carrera'. Fue usado por primera vez por astrónomos del siglo XVIII investigando la revolución planetaria alrededor del Sol. La magnitud del vector es la distancia entre los dos puntos, y la dirección se refiere a la dirección del desplazamiento desde A a B. Muchas operaciones algebraicas en números reales como adición, resta, multiplicación y negación tienen análogos cercanos para vectores, operaciones que obedecen las leyes algebraicas familiares de la conmutatividad, la asociatividad y la distributividad. Estas operaciones y leyes asociadas califican a los vectores euclidianos como un ejemplo del concepto más generalizado de vectores definido simplemente como elementos de un espacio vectorial.

Los vectores juegan un papel importante en la física: la velocidad y aceleración de un objeto en movimiento y las fuerzas que actúan en él pueden describirse con vectores. Muchas otras cantidades físicas se pueden considerar útiles como vectores. Aunque la mayoría de ellos no representan distancias (excepto, por ejemplo, posición o desplazamiento), su magnitud y dirección todavía pueden ser representados por la longitud y dirección de una flecha. La representación matemática de un vector físico depende del sistema de coordenadas utilizado para describirlo. Otros objetos similares a vectores que describen las cantidades físicas y se transforman de manera similar en los cambios del sistema de coordenadas incluyen pseudovectores y tensores.

Importaciones vectoriales

En las ciencias naturales, una cantidad vectorial (también conocida como una cantidad física vectorial, vector físico, o simplemente vector) es una cantidad física de valor vectorial. Normalmente se formula como producto de un unidad de medición y a vector de valor numérico (sin unidad), a menudo un vector euclidiano con magnitud y dirección. Por ejemplo, un vector de posición en el espacio físico se puede expresar como tres coordenadas cartesianas con unidad SI de metros.

En la física y la ingeniería, particularmente en la mecánica, un vector físico puede ser dotado con estructura adicional en comparación con un vector geométrico. Un vector atado se define como la combinación de una cantidad de vector ordinario y un punto de aplicación o punto de acción. Las cantidades vectoriales de libras se formulan como segmento de línea, con un punto inicial definido además de la magnitud y dirección del vector principal. Por ejemplo, una fuerza en el plano euclidiano tiene dos componentes cartesianos en unidad SI de newtons y un vector de posición bidimensional acompañante en metros, para un total de cuatro números en el plano (y seis en el espacio). Un ejemplo más simple de un vector encuadernado es el vector de traducción desde un punto inicial hasta un punto final; en este caso, el vector encuadernado es un par de puntos ordenados en el mismo espacio de posición, con todas las coordenadas que tienen la misma dimensión de cantidad y unidad (duración de un metro). Un vector deslizante es la combinación de una cantidad de vector ordinario y un línea de aplicación o línea de acción, sobre el cual se puede traducir la cantidad vectorial (sin rotaciones). Un vector libre es una cantidad vectorial que tiene un soporte indefinido o región de aplicación; se puede traducir libremente sin consecuencias; un vector de desplazamiento es un ejemplo prototípico de vector libre.

Aparte de la noción de unidades y soporte, las cantidades físicas vectoriales también pueden diferir de los vectores euclidianos en términos de métrica. Por ejemplo, un evento en tiempo espacial puede ser representado como un 4-vector posición, con unidad derivada coherente de metros: incluye un vector Euclidean posición y un componente temporal, $t \cdot c 0$ (volviendo la velocidad de la luz). En ese caso, la métrica de Minkowski se adopta en lugar de la métrica euclidiana.

Las cantidades vectoriales son una generalización de las cantidades de escalar y se pueden generalizar más como cantidades de tensor. Los vectores individuales pueden ordenarse en una secuencia con el tiempo (una serie de tiempo), como vectores de posición que discretan una trayectoria. Un vector también puede resultar de la evaluación, en un instante particular, de una función de valor vectorial continua (por ejemplo, la ecuación del péndulo). En las ciencias naturales, el término "cantidad vencedora" también abarca vectores definida sobre una región dos o tridimensional del espacio, como la velocidad del viento sobre la superficie de la Tierra.

Los vectores y bivectores Pseudo también son admitidos como cantidades físicas vectoriales.

Vectores

En matemáticas y física, un espacio vectorial (también llamado espacio lineal) es un conjunto cuyos elementos, a menudo llamados vectores, puede ser añadido juntos y multiplicado ("escalado") por números llamados escalares. Las operaciones de adición de vectores y multiplicación de escalar deben satisfacer ciertos requisitos, llamados vector axiomas. Espacios vectoriales reales y espacios vectoriales complejos son tipos de espacios vectoriales basados en diferentes tipos de escalares: números reales y números complejos. Los escalares también pueden ser, más generalmente, elementos de cualquier campo.

Espacios vectoriales generalizan los vectores Euclidean, que permiten modelar cantidades físicas (como fuerzas y velocidad) que no sólo tienen una magnitud, sino también una dirección. El concepto de espacios vectoriales es fundamental para el álgebra lineal, junto con el concepto de matrices, que permite la computación en espacios vectoriales. Esto proporciona una manera concisa y sintética para manipular y estudiar sistemas de ecuaciones lineales.

Los espacios vectoriales se caracterizan por su dimensión, que, aproximadamente, especifica el número de direcciones independientes en el espacio. Esto significa que, para dos espacios vectoriales sobre un campo dado y con la misma dimensión, las propiedades que dependen sólo de la estructura vectorial-espacial son exactamente las mismas (técnicamente los espacios vectoriales son isomorfos). Un espacio vectorial es finito-dimensional si su dimensión es un número natural. De lo contrario, es infinite-dimensional, y su dimensión es un cardenal infinito. Los espacios vectoriales de dimensión finita ocurren naturalmente en geometría y áreas relacionadas. Los espacios vectoriales infinitos se producen en muchas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, los anillos polinomios son espacios vectoriales contablemente infinitos, y muchos espacios de función tienen la cardinalidad del continuum como dimensión.

Muchos espacios vectoriales que se consideran en matemáticas también están dotados de otras estructuras. Este es el caso de álgebras, que incluyen extensiones de campo, anillos polinomio, álgebras asociativas y álgebras Lie. Este es también el caso de espacios vectoriales topológicos, que incluyen espacios de función, espacios interiores de productos, espacios ordenados, espacios Hilbert y espacios Banach.

Vectores en álgebra

Toda álgebra sobre un cuerpo es un espacio vectorial, pero los elementos de un álgebra generalmente no se llaman vectores. Sin embargo, en algunos casos, se les llama vectores, principalmente por razones históricas.

Cuaternión vectorial, una cuaternión con una parte real cero
Multivector o p-vector, elemento del álgebra exterior de un espacio vectorial.
Spinors, también llamado vectores, se han introducido para ampliar la noción de vector de rotación. De hecho, los vectores de rotación representan bien las rotaciones localmente, pero no globalmente, porque un bucle cerrado en el espacio de vectores de rotación puede inducir una curva en el espacio de rotaciones que no es un bucle. Además, el múltiples vectores de rotación es orientable, mientras que el múltiple de rotaciones no lo es. Las espinas son elementos de un subespacio vectorial de un álgebra Clifford.
Witt vector, una secuencia infinita de elementos de un anillo conmutativo, que pertenece a un álgebra sobre este anillo, y se ha introducido para el manejo de la propagación de carga en las operaciones en números p-adic.

Datos representados por vectores

El set $\mathbb {R} {} {}} {\fn}$ de tuples de $n$ números reales tiene una estructura natural del espacio vectorial definida por la adición de componentes y la multiplicación del escalar. Es común llamar a estos tuples vectores, incluso en contextos donde las operaciones vectoriales-espacio no se aplican. Más generalmente, cuando algunos datos pueden ser representados naturalmente por vectores, a menudo se llaman vectores incluso cuando la adición y multiplicación escalar de vectores no son operaciones válidas en estos datos. Aquí hay algunos ejemplos.

vector de rotación, un vector euclidiano cuya dirección es la del eje de una rotación y magnitud es el ángulo de la rotación.
vector Burgers, un vector que representa la magnitud y dirección de la distorsión de la celosía en una celosía cristalina
Interval vector, en la teoría de conjuntos musicales, un array que expresa el contenido intervalente de un conjunto de clase de lanzamiento
Probability vector, en estadísticas, un vector con entradas no negativas que suma a una.
Random vector o variable aleatoria multivariada, en estadísticas, un conjunto de variables aleatorias de valor real que pueden ser correlacionadas. Sin embargo, a vector aleatorio también puede referirse a una variable aleatoria que toma sus valores en un espacio vectorial.
vector lógico, vector de 0s y 1s (Booleans).

Vectores en España

El cálculo sirve como herramienta matemática fundamental en el ámbito de los vectores, ofreciendo un marco para el análisis y la manipulación de magnitudes vectoriales en diversas disciplinas científicas, en particular la física y la ingeniería. Las funciones vectoriales, cuya salida es un vector, se analizan mediante cálculo para obtener información esencial sobre el movimiento en el espacio tridimensional. El cálculo vectorial extiende los principios tradicionales del cálculo a los campos vectoriales, introduciendo operaciones como gradiente, divergencia y rotacional, que encuentran aplicaciones en contextos de física e ingeniería. Las integrales de línea, cruciales para calcular el trabajo a lo largo de una trayectoria dentro de campos de fuerza, y las integrales de superficie, empleadas para determinar magnitudes como el flujo, ilustran la utilidad práctica del cálculo en el análisis vectorial. Las integrales de volumen, esenciales para los cálculos que involucran campos escalares o vectoriales en regiones tridimensionales, contribuyen a la comprensión de la distribución de masa, la densidad de carga y los caudales de fluidos.

Véase también

Vector (desambiguación)

Espacios vectoriales con más estructura

Espacio vectorial de gran tamaño, un tipo de espacio vectorial que incluye la estructura extra de gradación
Espacio vectorial Normed, un espacio vectorial en el que se define una norma
Hilbert espacio
Espacio vectorial ordenado, un espacio vectorial equipado con un orden parcial
Super espacio vectorial, nombre para un Z₂- espacio vectorial degradado
Espacio vectorial Symplectic, un espacio vectorial V equipado con una forma no degenerada, simétrica y bilineal
Espacio vectorial topológico, una mezcla de estructura topológica con el concepto algebraico de un espacio vectorial

Vectores

Un campo vectorial es una función con valores vectoriales que, generalmente, tiene un dominio de la misma dimensión (como una variedad) que su codominio.

Campo vectorial conservador, un campo vectorial que es el gradiente de un campo potencial escalar
Campo vectorial Hamiltoniano, un campo vectorial definido para cualquier función energética o Hamiltonian
Matar el campo vectorial, un campo vectorial en un manifold Riemanniano asociado con una simetría
Campo vectorial Solenoidal, un campo vectorial con divergencia cero
Vector potencial, un campo vectorial cuyo rizo es un campo vectorial dado
Flujo vectorial, un conjunto de conceptos estrechamente relacionados del flujo determinado por un campo vectorial

Véase también

Ricci cálculo
Vector Analysis, un libro de texto sobre cálculo vectorial de Wilson, publicado por primera vez en 1901, que hizo mucho para estandarizar la notación y vocabulario de álgebra lineal tridimensional y cálculo vectorial
Vector paquete, una construcción topológica que hace precisa la idea de una familia de espacios vectoriales parametizada por otro espacio
Cálculo vectorial, una rama de las matemáticas relacionadas con la diferenciación e integración de campos vectoriales
Vector diferencial, o del, un operador diferencial vectorial representado por el símbolo nabla $\nabla$
Vector Laplacian, el operador vectorial Laplace, denotado por $\nabla ^{2$ , es un operador diferencial definido en un campo vectorial
Notación vectorial, notación común utilizada al trabajar con vectores
Operador vectorial, un tipo de operador diferencial utilizado en cálculo vectorial
Producto vectorial, o producto cruzado, una operación en dos vectores en un espacio euclidiano tridimensional, produciendo un tercer vector euclidiano tridimensional perpendicular al original dos
Proyección vectorial, también conocida como Resolutación de vectores o componente vectorial, una cartografía lineal produciendo un vector paralelo a un segundo vector
Función de valor vectorial, una función que tiene un espacio vectorial como codomain
Vectorización (mathematics), una transformación lineal que convierte una matriz en un vector de columna
Autoregreso Vector, un modelo econométrico utilizado para captar la evolución y las interdependencias entre series de tiempo múltiples
Vector boson, un boson con el número de quantum de la columna igual a 1
Medición vectorial, una función definida en una familia de conjuntos y tomando valores vectoriales que satisfagan ciertas propiedades
Vector meson, un mesón con giro total 1 y paridad extraña
Cuantificación Vector, técnica de cuantificación utilizada en el procesamiento de señales
Vector soliton, una onda solitaria con múltiples componentes unidos que mantiene su forma durante la propagación
Síntesis de vectores, un tipo de síntesis de audio
Fase vectorial

Notas

^ Ivanov 2001
^ Heinbockel 2001
^ Itô 1993, p. 1678; Pedoe 1988
^ Latin: vectus, perfecto participio de Vehe, 'to carry', Veho = 'Yo llevo'. Para el desarrollo histórico de la palabra vector, ver "vector n.". Oxford English Dictionary (Online ed.). Oxford University Press. (Se requiere suscripción o afiliación a instituciones participantes). y Jeff Miller. "Los usos más conocidos de algunas de las palabras de las matemáticas". Retrieved 2007-05-25.
^ El Diccionario Inglés de Oxford (2a. ed.). Londres: Clarendon Press. 2001. ISBN 9780195219425.
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^ Merches, I.; Radu, D. (2014). Mecánica analítica: Soluciones para problemas en física clásica. CRC Press. p. 379. ISBN 978-1-4822-3940-9. Retrieved 2024-09-09.
^ Borisenko, A.I.; Tarapov, I.E.; Silverman, R.A. (2012). Análisis Vector y Tensor con Aplicaciones. Libros Dover sobre Matemáticas. Dover Publications. p. 2. ISBN 978-0-486-13190-0. Retrieved 2024-09-08.
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^ a b "ISO 80000-2:2019 - Cuantidades y unidades - Parte 2: Matemáticas". ISO. 2013-08-20. Retrieved 2024-09-08.

Referencias

Vectores - El Feynman Conferencias sobre Física
Heinbockel, J. H. (2001). Introducción a Cálculo Tensor y Mecánica Continuum. Trafford Publishing. ISBN 1-55369-133-4.
Itô, Kiyosi (1993). Enciclopedia Dictionary of Mathematics (2a edición). MIT Prensa. ISBN 978-0-262-59020-4.
Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Vector", Enciclopedia de Matemáticas, EMS Prensa
Pedoe, Daniel (1988). Geometría: Curso completo. Dover. ISBN 0-486-65812-0.

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