Vector euclidiano

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Objeto geométrico que tiene longitud y dirección

Un vector apuntando desde A a B

En matemáticas, física e ingeniería, a Euclidean vector o simplemente un vector (A veces se llama un vectorial o vector espacial) es un objeto geométrico que tiene magnitud (o longitud) y dirección. Los vectores se pueden añadir a otros vectores según el álgebra vectorial. Un vector Euclideano es representado frecuentemente por un segmento de línea, o gráficamente como una flecha que conecta una punto inicial A con una punto terminal B, y denotado por ${overrightarrow {AB}}$ .

Un vector es lo que se necesita para "llevar" el punto A al punto B; la palabra latina vector significa "portador". Fue utilizado por primera vez por astrónomos del siglo XVIII que investigaban la revolución planetaria alrededor del Sol. La magnitud del vector es la distancia entre los dos puntos, y la dirección se refiere a la dirección del desplazamiento de A a B. Muchas operaciones algebraicas con números reales, como la suma, la resta, la multiplicación y la negación, tienen analogías cercanas con los vectores, operaciones que obedecen a las conocidas leyes algebraicas de conmutatividad, asociatividad y distributividad. Estas operaciones y leyes asociadas califican a los vectores euclidianos como un ejemplo del concepto más generalizado de vectores definidos simplemente como elementos de un espacio vectorial.

Los vectores juegan un papel importante en la física: la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento y las fuerzas que actúan sobre él se pueden describir con vectores. Muchas otras cantidades físicas pueden considerarse útiles como vectores. Aunque la mayoría de ellos no representan distancias (excepto, por ejemplo, posición o desplazamiento), su magnitud y dirección aún pueden representarse mediante la longitud y la dirección de una flecha. La representación matemática de un vector físico depende del sistema de coordenadas utilizado para describirlo. Otros objetos similares a vectores que describen cantidades físicas y se transforman de manera similar bajo cambios del sistema de coordenadas incluyen pseudovectores y tensores.

Historia

El concepto de vector, tal como lo conocemos hoy, es el resultado de un desarrollo gradual durante un período de más de 200 años. Alrededor de una docena de personas contribuyeron significativamente a su desarrollo. En 1835, Giusto Bellavitis abstrajo la idea básica cuando estableció el concepto de equipolencia. Trabajando en un plano euclidiano, hizo equipolentes cualquier par de segmentos de línea paralelos de la misma longitud y orientación. Esencialmente, realizó una relación de equivalencia sobre los pares de puntos (bipuntos) en el plano, y así erigió el primer espacio de vectores en el plano. El término vector fue introducido por William Rowan Hamilton como parte de un cuaternión, que es una suma $q = s + v$ de un número real $s$ (también llamado escalar) y un vector tridimensional. Al igual que Bellavitis, Hamilton consideraba que los vectores eran representativos de clases de segmentos dirigidos equipolentes. Como los números complejos usan una unidad imaginaria para complementar la línea real, Hamilton consideró que el vector $v$ era la parte imaginaria de un cuaternión:

La parte algebraicamente imaginaria, siendo geométricamente construida por una línea recta, o vector radio, que tiene, en general, para cada quaternión determinada, una longitud determinada y dirección determinada en el espacio, puede ser llamada la parte vectorial, o simplemente el vector de la cuaternión.

Varios matemáticos más desarrollaron sistemas de tipo vectorial a mediados del siglo XIX, incluidos Augustin Cauchy, Hermann Grassmann, August Möbius, Comte de Saint-Venant y Matthew O'Brien. El trabajo de Grassmann de 1840 Theorie der Ebbe und Flut (Teoría del flujo y reflujo) fue el primer sistema de análisis espacial similar al sistema actual, y tenía ideas correspondientes a el producto cruz, el producto escalar y la diferenciación vectorial. El trabajo de Grassmann se descuidó en gran medida hasta la década de 1870. Peter Guthrie Tait llevó el estandarte del cuaternión después de Hamilton. Su Tratado elemental de cuaterniones de 1867 incluía un extenso tratamiento del operador nabla o del ∇. En 1878, William Kingdon Clifford publicó Elements of Dynamic. Clifford simplificó el estudio de cuaterniones al aislar el producto escalar y el producto vectorial de dos vectores del producto de cuaterniones completo. Este enfoque hizo que los cálculos vectoriales estuvieran disponibles para los ingenieros y otros que trabajaban en tres dimensiones y eran escépticos con respecto a la cuarta.

Josiah Willard Gibbs, que estuvo expuesto a los cuaterniones a través del Tratado sobre electricidad y magnetismo de James Clerk Maxwell, separó su parte vectorial para un tratamiento independiente. La primera mitad de Elements of Vector Analysis de Gibbs, publicado en 1881, presenta lo que es esencialmente el sistema moderno de análisis vectorial. En 1901, Edwin Bidwell Wilson publicó Análisis vectorial, adaptado de las conferencias de Gibb, que eliminó cualquier mención de cuaterniones en el desarrollo del cálculo vectorial.

Resumen

En física e ingeniería, un vector se suele considerar como una entidad geométrica caracterizada por una magnitud y una dirección. Se define formalmente como un segmento de línea dirigida, o flecha, en un espacio euclidiano. En matemáticas puras, un vector se define de manera más general como cualquier elemento de un espacio vectorial. En este contexto, los vectores son entidades abstractas que pueden o no estar caracterizadas por una magnitud y una dirección. Esta definición generalizada implica que las entidades geométricas antes mencionadas son un tipo especial de vectores, ya que son elementos de un tipo especial de espacio vectorial llamado espacio euclidiano. Este artículo en particular trata sobre vectores estrictamente definidos como flechas en el espacio euclidiano. Cuando es necesario distinguir estos vectores especiales de los vectores definidos en las matemáticas puras, a veces se denominan geométricos, espaciales o euclidianos. vectores

Siendo una flecha, un vector Euclideano posee un definido punto inicial y punto terminal. Un vector con punto inicial fijo y terminal se llama un vector. Cuando sólo la magnitud y dirección de la materia vectorial, entonces el punto inicial particular no tiene importancia, y el vector se llama un vector libre. Así dos flechas ${displaystyle {stackrel {,longrightarrow }{AB}}}$ y ${displaystyle {stackrel {,longrightarrow }{A'B'}}}$ en el espacio representan el mismo vector libre si tienen la misma magnitud y dirección: es decir, están llenos si el cuadrilátero ABB′A es un paralelograma. Si el espacio euclidiano está equipado con una selección de origen, entonces un vector libre es equivalente al vector de límites de la misma magnitud y dirección cuyo punto inicial es el origen. El término vector también tiene generalizaciones a dimensiones superiores, y a enfoques más formales con aplicaciones mucho más amplias.

Más información

En la geometría clásica euclidiana (es decir, geometría sintética), se introdujeron vectores (durante el siglo XIX) como clases de equivalencia bajo equipollence, de pares ordenados de puntos; dos pares $() A, B)$ y $() C, D)$ si los puntos $A, B, D, C$ , en este orden, formar un paralelograma. Tal clase de equivalencia se llama vector, más precisamente, un vector euclidiano. La clase de equivalencia $() A, B)$ a menudo se denota ${overrightarrow {AB}}.$

Un vector euclidiano es, por lo tanto, una clase de equivalencia de segmentos dirigidos con la misma magnitud (por ejemplo, la longitud del segmento de línea $(A, B)$ ) y la misma dirección (por ejemplo, la dirección desde $A$ hasta $B$ ). En física, los vectores euclidianos se utilizan para representar cantidades físicas que tienen tanto magnitud como dirección, pero que no están ubicadas en un lugar específico, en contraste con los escalares, que no tienen dirección. Por ejemplo, la velocidad, las fuerzas y la aceleración se representan mediante vectores.

En la geometría moderna, los espacios euclidianos se definen a menudo de álgebra lineal. Más precisamente, un espacio euclidiano $E$ se define como un conjunto al que se asocia un espacio de producto interior de dimensión finita sobre los reinos ${displaystyle {overrightarrow {E}},}$ y una acción grupal del grupo aditivo ${displaystyle {overrightarrow {E}},}$ que es libre y transitivo (ver espacio Affine para detalles de esta construcción). Los elementos de $overrightarrow{E}$ se llaman traducciones. Se ha demostrado que las dos definiciones de los espacios euclidianos son equivalentes, y que las clases de equivalencia bajo equipollence pueden identificarse con traducciones.

A veces, los vectores euclidianos se consideran sin referencia a un espacio euclidiano. En este caso, un vector euclidiano es un elemento de un espacio vectorial normalizado de dimensión finita sobre los reinos, o, por lo general, un elemento de $mathbb {R} ^{n}$ equipado con el producto de punto. Esto tiene sentido, ya que la adición en un espacio vectorial actúa libremente y transitivamente en el espacio vectorial mismo. Eso es, $mathbb {R} ^{n}$ es un espacio euclidiano, con sí mismo como un espacio vectorial asociado, y el producto punto como un producto interno.

El espacio euclidiano $mathbb {R} ^{n}$ a menudo se presenta como el Espacio euclidiano de dimensión $n$ . Esto está motivado por el hecho de que cada espacio euclidiano de dimensión $n$ es isomorfo para el espacio Euclideano ${displaystyle mathbb {R} ^{n}.}$ Más precisamente, dada tal espacio euclidiano, uno puede elegir cualquier punto $O$ como origen. Por proceso de Gram-Schmidt, también se puede encontrar una base ortonormal del espacio vectorial asociado (una base tal que el producto interno de dos vectores de base es 0 si son diferentes y 1 si son iguales). Esto define coordenadas cartesianas de cualquier punto $P$ del espacio, como las coordenadas sobre esta base del vector ${displaystyle {overrightarrow {OP}}.}$ Estas opciones definen un isomorfismo del espacio euclidiano dado sobre $mathbb {R} ^{n},$ mediante la asignación de cualquier punto al n-tuple de sus coordenadas cartesianas, y cada vector a su vector de coordenadas.

Ejemplos en una dimensión

Dado que el concepto físico de fuerza tiene una dirección y una magnitud, puede verse como un vector. Como ejemplo, considere una fuerza hacia la derecha F de 15 newtons. Si el eje positivo también está dirigido hacia la derecha, entonces F está representado por el vector 15 N, y si el eje positivo apunta hacia la izquierda, entonces el vector para F es −15 N. En en cualquier caso, la magnitud del vector es 15 N. Asimismo, la representación vectorial de un desplazamiento Δs de 4 metros sería 4 m o −4 m, dependiendo de su dirección, y su magnitud sería sea de 4 m independientemente.

En física e ingeniería

Los vectores son fundamentales en las ciencias físicas. Se pueden usar para representar cualquier cantidad que tenga magnitud, dirección y que se adhiera a las reglas de la suma de vectores. Un ejemplo es la velocidad, cuya magnitud es la rapidez. Por ejemplo, la velocidad 5 metros por segundo hacia arriba podría representarse mediante el vector (0, 5) (en 2 dimensiones con el eje y positivo como ' arriba'). Otra cantidad representada por un vector es la fuerza, ya que tiene magnitud y dirección y sigue las reglas de la suma de vectores. Los vectores también describen muchas otras cantidades físicas, como el desplazamiento lineal, el desplazamiento, la aceleración lineal, la aceleración angular, el momento lineal y el momento angular. Otros vectores físicos, como el campo eléctrico y magnético, se representan como un sistema de vectores en cada punto de un espacio físico; es decir, un campo vectorial. Ejemplos de cantidades que tienen magnitud y dirección, pero no siguen las reglas de la suma de vectores, son el desplazamiento angular y la corriente eléctrica. En consecuencia, estos no son vectores.

En espacio cartesiano

En el sistema de coordenadas cartesianas, un vector atado puede ser representado identificando las coordenadas de su punto inicial y terminal. Por ejemplo, los puntos $A = (1, 0, 0)$ y $B = (0, 1, 0)$ en el espacio determinar el vector ${overrightarrow {AB}}$ señalando desde el punto $x = 1$ sobre x-eje al punto $Sí. = 1$ sobre Sí.-Eje.

En coordenadas cartesianas, un vector libre puede pensarse en términos de un vector ligado correspondiente, en este sentido, cuyo punto inicial tiene las coordenadas del origen $O = (0, 0, 0)$ . Luego se determina por las coordenadas del punto terminal de ese vector enlazado. Por lo tanto, el vector libre representado por (1, 0, 0) es un vector de longitud unitaria, que apunta a lo largo de la dirección del eje x positivo.

Esta representación coordinada de vectores libres permite que sus características algebraicas se expresen de forma numérica conveniente. Por ejemplo, la suma de los dos vectores (libres) (1, 2, 3) y (−2, 0, 4) es el vector (libre)

{displaystyle (1,2,3)+(-2,0,4)=(1-2,2+0,3+4)=(-1,2,7),.}

Vectores afines y euclidianos

En los escenarios geométricos y físicos, a veces es posible asociar, de forma natural, una longitud o magnitud y una dirección a vectores. Además, la noción de dirección está estrictamente asociada con la noción de un ángulo entre dos vectores. Si se define el producto escalar de dos vectores, un producto escalar de dos vectores, entonces también es posible definir una longitud; el producto escalar proporciona una caracterización algebraica conveniente tanto del ángulo (una función del producto escalar entre dos vectores distintos de cero) como de la longitud (la raíz cuadrada del producto escalar de un vector por sí mismo). En tres dimensiones, también es posible definir el producto vectorial, que proporciona una caracterización algebraica del área y la orientación en el espacio del paralelogramo definido por dos vectores (utilizados como lados del paralelogramo). En cualquier dimensión (y, en particular, dimensiones superiores), es posible definir el producto exterior, que (entre otras cosas) proporciona una caracterización algebraica del área y orientación en el espacio del n-dimensional definido por vectores n.

En un espacio pseudo-euclidiano, la longitud al cuadrado de un vector puede ser positiva, negativa o cero. Un ejemplo importante es el espacio de Minkowski (que es importante para nuestra comprensión de la relatividad especial).

Sin embargo, no siempre es posible o deseable definir la longitud de un vector. Este tipo más general de vector espacial es el tema de espacios vectoriales (para vectores libres) y espacios afines (para vectores enlazados, cada uno representado por un par ordenado de 'puntos'). Un ejemplo físico proviene de la termodinámica, donde muchas cantidades de interés pueden considerarse vectores en un espacio sin noción de longitud o ángulo.

Generalizaciones

En física, así como en matemáticas, un vector a menudo se identifica con una tupla de componentes, o una lista de números, que actúan como coeficientes escalares para un conjunto de vectores base. Cuando la base se transforma, por ejemplo por rotación o estiramiento, entonces los componentes de cualquier vector en términos de esa base también se transforman en un sentido opuesto. El vector en sí no ha cambiado, pero la base sí, por lo que los componentes del vector deben cambiar para compensar. El vector se llama covariante o contravariante, dependiendo de cómo se relacione la transformación de los componentes del vector con la transformación de la base. En general, los vectores contravariantes son "vectores regulares" con unidades de distancia (como un desplazamiento), o distancia por alguna otra unidad (como velocidad o aceleración); los vectores covariantes, por otro lado, tienen unidades de uno sobre la distancia, como el gradiente. Si cambia las unidades (un caso especial de un cambio de base) de metros a milímetros, un factor de escala de 1/1000, un desplazamiento de 1 m se convierte en 1000 mm, un cambio contravariante en el valor numérico. Por el contrario, un gradiente de 1 K/m se convierte en 0,001 K/mm, un cambio de valor covariante (para obtener más información, consulte covarianza y contravarianza de vectores). Los tensores son otro tipo de cantidad que se comporta de esta manera; un vector es un tipo de tensor.

En matemáticas puras, un vector es cualquier elemento de un espacio vectorial sobre algún campo y, a menudo, se representa como un vector de coordenadas. Los vectores descritos en este artículo son un caso muy especial de esta definición general, porque son contravariantes con respecto al espacio ambiente. La contravarianza captura la intuición física detrás de la idea de que un vector tiene "magnitud y dirección".

Representaciones

Los vectores generalmente se denotan en la negrita inferior, como en $mathbf {u}$ , $mathbf {v}$ y $mathbf {w}$ , o en minúscula cara audaz itálica, como en a. (Las letras del caso se utilizan normalmente para representar matrices.) Otros convenios incluyen ${vec {a}}$ o a, especialmente en la escritura. Alternativamente, algunos usan un tilde (~) o una onda ondulada dibujada bajo el símbolo, por ejemplo. ${underset {^{sim }}{a}}$ , que es una convención para indicar tipo boldface. Si el vector representa una distancia dirigida o desplazamiento desde un punto A a un punto B (véase la figura), también puede denotarse ${displaystyle {stackrel {longrightarrow }{AB}}}$ o AB. En la literatura alemana, era especialmente común representar vectores con pequeñas letras de fraktur como ${mathfrak {a}}$ .

Los vectores generalmente se muestran en gráficos u otros diagramas como flechas (segmentos de línea dirigidos), como se ilustra en la figura. Aquí, el punto A se denomina origen, cola, base o punto inicial, y el punto B se llama cabeza, punta, punto final, punto terminal o punto final. La longitud de la flecha es proporcional a la magnitud del vector, mientras que la dirección en la que apunta la flecha indica la dirección del vector.

En un diagrama bidimensional, a veces se desea un vector perpendicular al plano del diagrama. Estos vectores se muestran comúnmente como pequeños círculos. Un círculo con un punto en el centro (Unicode U+2299 ⊙) indica un vector que apunta desde el frente del diagrama, hacia el espectador. Un círculo con una cruz inscrita en él (Unicode U+2297 ⊗) indica un vector que apunta hacia adentro y detrás del diagrama. Se puede pensar en esto como ver la punta de una punta de flecha y ver los vuelos de una flecha desde atrás.

Un vector en el plano cartesiano, mostrando la posición de un punto A con coordenadas (2, 3).

Para calcular con vectores, la representación gráfica puede ser demasiado engorrosa. Los vectores en un espacio euclidiano n-dimensional se pueden representar como vectores de coordenadas en un sistema de coordenadas cartesianas. El punto final de un vector se puede identificar con una lista ordenada de n números reales (n-tuple). Estos números son las coordenadas del punto final del vector, con respecto a un sistema de coordenadas cartesiano determinado, y normalmente se denominan componentes escalares (o proyecciones escalares) del vector. en los ejes del sistema de coordenadas.

Como ejemplo en dos dimensiones (ver figura), el vector desde el origen O = (0, 0) hasta el punto A = (2, 3) simplemente se escribe como

{displaystyle mathbf {a} =(2,3).}

La idea de que la cola del vector coincide con el origen es implícita y fácil de entender. Así, la notación más explícita ${overrightarrow {OA}}$ por lo general no se considera necesario (y en realidad raramente se utiliza).

En el espacio euclidiano tridimensional (o $R 3$ ), los vectores se identifican con ternas de componentes escalares:

{displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}).}

{displaystyle mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z}).}

Esto se puede generalizar al espacio euclidiano n-dimensional (o $R n$ ).

{displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},cdotsa_{n-1},a_{n}).}

Estos números a menudo se organizan en un vector de columna o un vector de fila, particularmente cuando se trata de matrices, de la siguiente manera:

{displaystyle mathbf {a} ={begin{bmatrix}a_{1}\a_{2}\a_{3}\end{bmatrix}}=[a_{1} a_{2} a_{3}]^{operatorname {T} }.}

Otra forma de representar un vector en n-dimensiones es introducir los vectores base estándar. Por ejemplo, en tres dimensiones, hay tres de ellos:

{displaystyle {mathbf {e} }_{1}=(1,0,0), {mathbf {e} }_{2}=(0,1,0), {mathbf {e} }_{3}=(0,0,1).}

xSí.za $R 3$ ${displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1), }$
o
${displaystyle mathbf {a} =mathbf {a} _{1}+mathbf {a} _{2}+mathbf {a} _{3}=a_{1}{mathbf {e} }_{1}+a_{2}{mathbf {e} }_{2}+a_{3}{mathbf {e} }_{3},}$
donde a₁, a₂, a₃ se denominan componentes vectoriales (o proyecciones vectoriales) de a sobre los vectores base o, de manera equivalente, sobre los ejes cartesianos correspondientes x, y y z (ver figura), mientras que a₁, a₂, a₃ son los respectivos componentes escalares (o proyecciones escalares).
En los libros de texto introductorios de la física, los vectores de base estándar son a menudo denotados $mathbf {i}mathbf {j}mathbf {k}$ en su lugar (o $mathbf {hat {x}}mathbf {hat {y}}mathbf {hat {z}}$ , en el que el símbolo del sombrero ^ típicamente denota vectores de unidad). En este caso, los componentes de escalar y vector se denotan respectivamente a_x, a_Sí., a_z, y a_x, a_Sí., a_z (nota la diferencia en negrita). Así,
${displaystyle mathbf {a} =mathbf {a} _{x}+mathbf {a} _{y}+mathbf {a} _{z}=a_{x}{mathbf {i} }+a_{y}{mathbf {j} }+a_{z}{mathbf {k} }.}$
La notación e_i es compatible con la notación de índice y la convención de suma comúnmente utilizada en matemáticas, física e ingeniería de nivel superior.
Descomposición o resolución
Como se explicó anteriormente, un vector a menudo se describe mediante un conjunto de componentes de vector que se suman para formar el vector dado. Por lo general, estos componentes son las proyecciones del vector en un conjunto de ejes de referencia perpendiculares entre sí (vectores base). Se dice que el vector está descompuesto o resuelto con respecto a ese conjunto.

Ilustración de componentes tangenciales y normales de un vector a una superficie.
La descomposición o resolución de un vector en componentes no es única, ya que depende de la elección de los ejes sobre los que se proyecta el vector.
Además, el uso de vectores de unidades cartesianas como $mathbf {hat {x}}mathbf {hat {y}}mathbf {hat {z}}$ como base para representar un vector no es mandato. Los vectores también pueden expresarse en términos de carácter arbitrario, incluidos los vectores unitarios de un sistema de coordenadas cilíndricas ( ${boldsymbol {hat {rho }}},{boldsymbol {hat {phi }}},mathbf {hat {z}}$ ) o sistema de coordenadas esféricas ( $mathbf {hat {r}}{boldsymbol {hat {theta }}},{boldsymbol {hat {phi }}}$ ). Las dos últimas opciones son más convenientes para resolver problemas que poseen simetría cilíndrica o esférica, respectivamente.
La elección de una base no afecta las propiedades de un vector o su comportamiento bajo transformaciones.
Un vector también se puede dividir con respecto a "no fijo" vectores base que cambian su orientación en función del tiempo o del espacio. Por ejemplo, un vector en un espacio tridimensional se puede descomponer con respecto a dos ejes, respectivamente normal y tangente a una superficie (ver figura). Además, las componentes radial y tangencial de un vector se relacionan con el radio de rotación de un objeto. El primero es paralelo al radio y el segundo es ortogonal a él.
En estos casos, cada uno de los componentes puede descomponerse a su vez con respecto a un sistema de coordenadas fijo o conjunto de bases (por ejemplo, un sistema de coordenadas global o marco de referencia inercial).
Propiedades básicas
La siguiente sección utiliza el sistema de coordenadas cartesianas con vectores base
${displaystyle {mathbf {e} }_{1}=(1,0,0), {mathbf {e} }_{2}=(0,1,0), {mathbf {e} }_{3}=(0,0,1)}$ a ${displaystyle {mathbf {a} }=a_{1}{mathbf {e} }_{1}+a_{2}{mathbf {e} }_{2}+a_{3}{mathbf {e} }_{3}.}$
Igualdad
Se dice que dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y dirección. Equivalentemente serán iguales si sus coordenadas son iguales. Entonces dos vectores
${displaystyle {mathbf {a} }=a_{1}{mathbf {e} }_{1}+a_{2}{mathbf {e} }_{2}+a_{3}{mathbf {e} }_{3}}$ ${displaystyle {mathbf {b} }=b_{1}{mathbf {e} }_{1}+b_{2}{mathbf {e} }_{2}+b_{3}{mathbf {e} }_{3}}$ ${displaystyle a_{1}=b_{1},quad a_{2}=b_{2},quad a_{3}=b_{3}.,}$
Vectores opuestos, paralelos y antiparalelos
Dos vectores son opuestos si tienen la misma magnitud pero dirección opuesta. Entonces dos vectores
${displaystyle {mathbf {a} }=a_{1}{mathbf {e} }_{1}+a_{2}{mathbf {e} }_{2}+a_{3}{mathbf {e} }_{3}}$ ${displaystyle {mathbf {b} }=b_{1}{mathbf {e} }_{1}+b_{2}{mathbf {e} }_{2}+b_{3}{mathbf {e} }_{3}}$ ${displaystyle a_{1}=-b_{1},quad a_{2}=-b_{2},quad a_{3}=-b_{3}.,}$
Sumas y restas
La suma de a y b de dos vectores se puede definir como
${displaystyle mathbf {a} +mathbf {b} =(a_{1}+b_{1})mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})mathbf {e} _{2}+(a_{3}+b_{3})mathbf {e} _{3}.}$ vectorab
La adición se puede representar gráficamente colocando la cola de la flecha b en la punta de la flecha a y luego dibujando una flecha desde la cola de a a la cabeza de b. La nueva flecha dibujada representa el vector a + b, como se ilustra a continuación:
Este método de suma a veces se denomina regla del paralelogramo porque a y b forman los lados de un paralelogramo y a + b es una de las diagonales. Si a y b son vectores ligados que tienen el mismo punto base, este punto también será el punto base de a + b . Se puede comprobar geométricamente que a + b = b + a y (a + b) + c = a + (b + c).
La diferencia de a y b es
${displaystyle mathbf {a} -mathbf {b} =(a_{1}-b_{1})mathbf {e} _{1}+(a_{2}-b_{2})mathbf {e} _{2}+(a_{3}-b_{3})mathbf {e} _{3}.}$
La resta de dos vectores se puede ilustrar geométricamente de la siguiente manera: para restar b de a, coloque las colas de a y b en el mismo punto, y luego dibuja una flecha desde la cabeza de b a la cabeza de a. Esta nueva flecha representa el vector (-b) + a, siendo (-b) el opuesto de b, ver dibujo. Y (-b) + a = a − b.
Multiplicación escalar

Multiplicación escalar de un vector por un factor de 3 estira el vector hacia fuera.
Un vector también se puede multiplicar o reescalar por un número real r. En el contexto del álgebra vectorial convencional, estos números reales a menudo se denominan escalares (de escala) para distinguirlos de los vectores. La operación de multiplicar un vector por un escalar se llama multiplicación escalar. El vector resultante es
${displaystyle rmathbf {a} =(ra_{1})mathbf {e} _{1}+(ra_{2})mathbf {e} _{2}+(ra_{3})mathbf {e} _{3}.}$
Intuitivamente, multiplicar por un escalar r estira un vector por un factor de r. Geométricamente, esto se puede visualizar (al menos en el caso de que r sea un número entero) como colocar copias r del vector en una línea donde el punto final de un vector es el punto inicial del siguiente vector.
Si r es negativo, entonces el vector cambia de dirección: gira un ángulo de 180°. A continuación se dan dos ejemplos (r = −1 y r = 2):

Las multiplicaciones de escalar -a y 2a de un vector a
La multiplicación escalar es distributiva sobre la suma de vectores en el siguiente sentido: r(a + b) = ra + rb para todos los vectores a y b y todos los escalares r. También se puede demostrar que a − b = a + (−1)b.
Longitud
La longitud o magnitud o norma del vector a se denota por ‖a‖ o, menos comúnmente, |a|, que no debe confundirse con el valor absoluto (una "norma" escalar).
La longitud del vector a se puede calcular con la norma euclidiana,
${displaystyle left|mathbf {a} right|={sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}},}$
lo cual es una consecuencia del teorema de Pitágoras ya que los vectores base e₁, e₂, e₃ son vectores unitarios ortogonales.
Esto resulta ser igual a la raíz cuadrada del producto escalar, discutido a continuación, del vector consigo mismo:
${displaystyle left|mathbf {a} right|={sqrt {mathbf {a} cdot mathbf {a} }}.}$
Vector unitario

La normalización de un vector a en un vector de unidad ♪
Un vector unitario es cualquier vector con una longitud de uno; normalmente, los vectores unitarios se utilizan simplemente para indicar la dirección. Un vector de longitud arbitraria se puede dividir por su longitud para crear un vector unitario. Esto se conoce como normalizar un vector. Un vector unitario a menudo se indica con un sombrero como en â.
Para normalizar un vector a = (a₁, a ₂, a₃), escala el vector por el recíproco de su longitud ‖a‖. Es decir:
${displaystyle mathbf {hat {a}} ={frac {mathbf {a} }{left|mathbf {a} right|}}={frac {a_{1}}{left|mathbf {a} right|}}mathbf {e} _{1}+{frac {a_{2}}{left|mathbf {a} right|}}mathbf {e} _{2}+{frac {a_{3}}{left|mathbf {a} right|}}mathbf {e} _{3}}$
Vector cero
El vector cero es el vector con la longitud cero. Escrito en coordenadas, el vector es (0, 0, 0), y es comúnmente denotado ${vec {0}}$ , 0, o simplemente 0. A diferencia de cualquier otro vector, tiene una dirección arbitraria o indeterminada, y no puede ser normalizado (es decir, no hay vector de unidad que es un múltiples del vector cero). La suma del vector cero con cualquier vector a es a (es decir, 0 + a = a).
Producto escalar
El producto escalar de dos vectores a y b (a veces llamado producto interior, o, dado que su resultado es un escalar, el producto escalar) se denota por a ∙ b, y se define como:
${displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =left|mathbf {a} right|left|mathbf {b} right|cos theta}$
donde θ es la medida del ángulo entre a y b (ver función trigonométrica para una explicación del coseno). Geométricamente, esto significa que a y b se dibujan con un punto de inicio común, y luego la longitud de a se multiplica por la longitud del componente de b que apunta en la misma dirección que a.
El producto punto también se puede definir como la suma de los productos de los componentes de cada vector como
${displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.}$
Producto vectorial
El producto cruzado (también llamado producto vectorial o producto externo) solo tiene sentido en tres o siete dimensiones. El producto vectorial se diferencia del producto escalar principalmente en que el resultado del producto vectorial de dos vectores es un vector. El producto vectorial, denotado a × b, es un vector perpendicular tanto a a como a b y se define como
${displaystyle mathbf {a} times mathbf {b} =left|mathbf {a} right|left|mathbf {b} right|sin(theta),mathbf {n} }$
donde θ es la medida del ángulo entre a y b, y n es un vector unitario perpendicular tanto a a como a b, lo que completa un sistema de mano derecha. La restricción de diestro es necesaria porque existen dos vectores unitarios que son perpendiculares tanto a a como a b, a saber, n y (−n).

Una ilustración del producto de la cruz
El producto cruzado a × b se define de modo que a, b y a × b también se convierte en un sistema diestro (aunque a y b no son necesariamente ortogonales). Esta es la regla de la mano derecha.
La longitud de a × b se puede interpretar como el área del paralelogramo que tiene a y b como lados.
El producto vectorial se puede escribir como
${displaystyle {mathbf {a} }times {mathbf {b} }=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){mathbf {e} }_{1}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){mathbf {e} }_{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){mathbf {e} }_{3}.}$
Para elecciones arbitrarias de orientación espacial (es decir, permitir sistemas de coordenadas para zurdos y para diestros), el producto vectorial de dos vectores es un pseudovector en lugar de un vector (ver más abajo).
Producto triple escalar
El producto triple escalar (también llamado producto de caja o producto triple mixto) no es realmente un nuevo operador, sino una forma de aplicando los otros dos operadores de multiplicación a tres vectores. El producto triple escalar a veces se denota por (a b c) y se define como:
${displaystyle (mathbf {a} mathbf {b} mathbf {c})=mathbf {a} cdot (mathbf {b} times mathbf {c}).}$
Tiene tres usos principales. Primero, el valor absoluto del producto caja es el volumen del paralelepípedo que tiene bordes definidos por los tres vectores. En segundo lugar, el triple producto escalar es cero si y solo si los tres vectores son linealmente dependientes, lo que se puede probar fácilmente considerando que para que los tres vectores no formen un volumen, todos deben estar en el mismo plano. En tercer lugar, el producto de caja es positivo si y solo si los tres vectores a, b y c son dextrógiros.
En componentes (con respecto a una base ortonormal derecha), si los tres vectores se consideran filas (o columnas, pero en el mismo orden), el triple producto escalar es simplemente el determinante de la matriz de 3 por 3 que tiene los tres vectores como filas
${displaystyle (mathbf {a} mathbf {b} mathbf {c})={begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\b_{1}&b_{2}&b_{3}\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}}$
El triple producto escalar es lineal en las tres entradas y antisimétrico en el siguiente sentido:
${displaystyle (mathbf {a} mathbf {b} mathbf {c})=(mathbf {c} mathbf {a} mathbf {b})=(mathbf {b} mathbf {c} mathbf {a})=-(mathbf {a} mathbf {c} mathbf {b})=-(mathbf {b} mathbf {a} mathbf {c})=-(mathbf {c} mathbf {b} mathbf {a}).}$
Conversión entre múltiples bases cartesianas
Todos los ejemplos hasta ahora han tratado con vectores expresados en términos de la misma base, es decir, la base e {e₁, e₂, e₃}. Sin embargo, un vector se puede expresar en términos de cualquier número de bases diferentes que no necesariamente están alineadas entre sí y aún así siguen siendo el mismo vector. En la base e, un vector a se expresa, por definición, como
${displaystyle mathbf {a} =pmathbf {e} _{1}+qmathbf {e} _{2}+rmathbf {e} _{3}.}$
Los componentes escalares en la base e son, por definición,
${displaystyle {begin{aligned}p&=mathbf {a} cdot mathbf {e} _{1},\q&=mathbf {a} cdot mathbf {e} _{2},\r&=mathbf {a} cdot mathbf {e} _{3}.end{aligned}}}$
En otra base ortonormal n = {n₁, n₂, n₃} que no está necesariamente alineado con e, el vector a se expresa como
${displaystyle mathbf {a} =umathbf {n} _{1}+vmathbf {n} _{2}+wmathbf {n} _{3}}$
y los componentes escalares en la base n son, por definición,
${displaystyle {begin{aligned}u&=mathbf {a} cdot mathbf {n} _{1},\v&=mathbf {a} cdot mathbf {n} _{2},\w&=mathbf {a} cdot mathbf {n} _{3}.end{aligned}}}$
Los valores de p, q, r y u, v, w se relacionan con los vectores unitarios de tal manera que la suma vectorial resultante es exactamente el mismo vector físico a en ambos casos. Es común encontrar vectores conocidos en términos de diferentes bases (por ejemplo, una base fija a la Tierra y una segunda base fija a un vehículo en movimiento). En tal caso, es necesario desarrollar un método para convertir entre bases para que se puedan realizar las operaciones vectoriales básicas, como la suma y la resta. Una forma de expresar u, v, w en términos de p, q, r es usar matrices de columna junto con una matriz de coseno director que contiene la información que relaciona las dos bases. Tal expresión se puede formar mediante la sustitución de las ecuaciones anteriores para formar
${displaystyle {begin{aligned}u&=(pmathbf {e} _{1}+qmathbf {e} _{2}+rmathbf {e} _{3})cdot mathbf {n} _{1},\v&=(pmathbf {e} _{1}+qmathbf {e} _{2}+rmathbf {e} _{3})cdot mathbf {n} _{2},\w&=(pmathbf {e} _{1}+qmathbf {e} _{2}+rmathbf {e} _{3})cdot mathbf {n} _{3}.end{aligned}}}$
La distribución de la multiplicación por puntos da
${displaystyle {begin{aligned}u&=pmathbf {e} _{1}cdot mathbf {n} _{1}+qmathbf {e} _{2}cdot mathbf {n} _{1}+rmathbf {e} _{3}cdot mathbf {n} _{1},\v&=pmathbf {e} _{1}cdot mathbf {n} _{2}+qmathbf {e} _{2}cdot mathbf {n} _{2}+rmathbf {e} _{3}cdot mathbf {n} _{2},\w&=pmathbf {e} _{1}cdot mathbf {n} _{3}+qmathbf {e} _{2}cdot mathbf {n} _{3}+rmathbf {e} _{3}cdot mathbf {n} _{3}.end{aligned}}}$
Reemplazar cada producto escalar con un escalar único da
${displaystyle {begin{aligned}u&=c_{11}p+c_{12}q+c_{13}r,\v&=c_{21}p+c_{22}q+c_{23}r,\w&=c_{31}p+c_{32}q+c_{33}r,end{aligned}}}$
y estas ecuaciones se pueden expresar como la ecuación matricial única
${displaystyle {begin{bmatrix}u\v\w\end{bmatrix}}={begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\c_{21}&c_{22}&c_{23}\c_{31}&c_{32}&c_{33}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}p\q\rend{bmatrix}}.}$
Esta ecuación matricial relaciona los componentes escalares de a en la base n (u,v y w) con los de la base e (p, q y r). Cada elemento de la matriz c_jk es el coseno director que relaciona n_j a e_k. El término coseno de dirección se refiere al coseno del ángulo entre dos vectores unitarios, que también es igual a su producto escalar. Por lo tanto,
${displaystyle {begin{aligned}c_{11}&=mathbf {n} _{1}cdot mathbf {e} _{1}\c_{12}&=mathbf {n} _{1}cdot mathbf {e} _{2}\c_{13}&=mathbf {n} _{1}cdot mathbf {e} _{3}\c_{21}&=mathbf {n} _{2}cdot mathbf {e} _{1}\c_{22}&=mathbf {n} _{2}cdot mathbf {e} _{2}\c_{23}&=mathbf {n} _{2}cdot mathbf {e} _{3}\c_{31}&=mathbf {n} _{3}cdot mathbf {e} _{1}\c_{32}&=mathbf {n} _{3}cdot mathbf {e} _{2}\c_{33}&=mathbf {n} _{3}cdot mathbf {e} _{3}end{aligned}}}$
Refiriéndose colectivamente a e₁, e₂, e₃ como base e y a n₁, n₂, n₃ como base n, la matriz que contiene todos los c_jk se conoce como la "matriz de transformación de e a n", o la "matriz de rotación de e a n" (porque se puede imaginar como la "rotación" de un vector de una base a otra), o la "matriz coseno direccional de e a n" (porque contiene cosenos directores). Las propiedades de una matriz de rotación son tales que su inversa es igual a su transpuesta. Esto significa que la "matriz de rotación de e a n" es la transpuesta de "matriz de rotación de n a e".
Las propiedades de una matriz de coseno director, C son:
el determinante es la unidad, TENENCIAL: 1
el inverso es igual a la transposición;
las filas y columnas son vectores de unidad ortogonal, por lo tanto sus productos de punto son cero.
La ventaja de este método es que, por lo general, se puede obtener una matriz de coseno director de forma independiente mediante el uso de ángulos de Euler o un cuaternión para relacionar las dos bases vectoriales, por lo que las conversiones de base se pueden realizar directamente, sin tener que calcular todo el punto. productos descritos anteriormente.
Al aplicar varias multiplicaciones de matrices en sucesión, cualquier vector puede expresarse en cualquier base siempre que se conozca el conjunto de cosenos directores que relacionan las bases sucesivas.
Otras dimensiones
Con la excepción de los productos cruzados y triples, las fórmulas anteriores se generalizan a dos dimensiones y dimensiones superiores. Por ejemplo, la suma se generaliza a dos dimensiones como
${displaystyle (a_{1}{mathbf {e} }_{1}+a_{2}{mathbf {e} }_{2})+(b_{1}{mathbf {e} }_{1}+b_{2}{mathbf {e} }_{2})=(a_{1}+b_{1}){mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){mathbf {e} }_{2},}$ ${displaystyle {begin{aligned}(a_{1}{mathbf {e} }_{1}+a_{2}{mathbf {e} }_{2}+a_{3}{mathbf {e} }_{3}+a_{4}{mathbf {e} }_{4})&+(b_{1}{mathbf {e} }_{1}+b_{2}{mathbf {e} }_{2}+b_{3}{mathbf {e} }_{3}+b_{4}{mathbf {e} }_{4})=\(a_{1}+b_{1}){mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){mathbf {e} }_{2}&+(a_{3}+b_{3}){mathbf {e} }_{3}+(a_{4}+b_{4}){mathbf {e} }_{4}.end{aligned}}}$
El producto vectorial no se generaliza fácilmente a otras dimensiones, aunque sí lo hace el producto exterior estrechamente relacionado, cuyo resultado es un bivector. En dos dimensiones esto es simplemente un pseudoescalar
${displaystyle (a_{1}{mathbf {e} }_{1}+a_{2}{mathbf {e} }_{2})wedge (b_{1}{mathbf {e} }_{1}+b_{2}{mathbf {e} }_{2})=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})mathbf {e} _{1}mathbf {e} _{2}.}$
Un producto cruzado de siete dimensiones es similar al producto cruzado en que su resultado es un vector ortogonal a los dos argumentos; sin embargo, no existe una forma natural de seleccionar uno de los posibles productos de este tipo.
Física
Los vectores tienen muchos usos en física y otras ciencias.
Longitud y unidades
En espacios vectoriales abstractos, la longitud de la flecha depende de una escala adimensional. Si representa, por ejemplo, una fuerza, la "escala" es de dimensión física longitud/fuerza. Por lo tanto, normalmente hay consistencia en la escala entre cantidades de la misma dimensión, pero de lo contrario, las relaciones de escala pueden variar; por ejemplo, si "1 newton" y "5 m" ambos están representados con una flecha de 2 cm, las escalas son 1 m:50 N y 1:250 respectivamente. La misma longitud de vectores de diferente dimensión no tiene un significado particular a menos que haya alguna constante de proporcionalidad inherente al sistema que representa el diagrama. Además, la longitud de un vector unitario (de dimensión de longitud, no de longitud/fuerza, etc.) no tiene un significado invariante del sistema de coordenadas.
Funciones con valores vectoriales
A menudo, en las áreas de la física y las matemáticas, un vector evoluciona en el tiempo, lo que significa que depende de un parámetro de tiempo t. Por ejemplo, si r representa el vector de posición de una partícula, entonces r(t) proporciona una representación paramétrica de la trayectoria de la partícula. Las funciones con valores vectoriales se pueden diferenciar e integrar al diferenciar o integrar los componentes del vector, y muchas de las reglas familiares del cálculo continúan siendo válidas para la derivada y la integral de las funciones con valores vectoriales.
Posición, velocidad y aceleración
La posición de un punto x = (x₁, x₂, x₃) en el espacio tridimensional se puede representar como un vector de posición cuyo punto base es el origen
${displaystyle {mathbf {x} }=x_{1}{mathbf {e} }_{1}+x_{2}{mathbf {e} }_{2}+x_{3}{mathbf {e} }_{3}.}$
Dados dos puntos x = (x₁, x₂, x₃), y = (y₁, y₂, y₃) su desplazamiento es un vector
${displaystyle {mathbf {y} }-{mathbf {x} }=(y_{1}-x_{1}){mathbf {e} }_{1}+(y_{2}-x_{2}){mathbf {e} }_{2}+(y_{3}-x_{3}){mathbf {e} }_{3}.}$ Sí.xxSí.
La velocidad v de un punto o partícula es un vector, su longitud da la velocidad. Para velocidad constante, la posición en el tiempo t será
${displaystyle {mathbf {x} }_{t}=t{mathbf {v} }+{mathbf {x} }_{0},}$ x₀t
La aceleración a de un punto es un vector que es la derivada temporal de la velocidad. Sus dimensiones son longitud/tiempo².
Fuerza, energía, trabajo
La fuerza es un vector con dimensiones de masa × longitud/tiempo² y la segunda ley de Newton es la multiplicación escalar
${displaystyle {mathbf {F} }=m{mathbf {a} }}$
El trabajo es el producto escalar de la fuerza y el desplazamiento
${displaystyle E={mathbf {F} }cdot ({mathbf {x} }_{2}-{mathbf {x} }_{1}).}$
Vectores, pseudovectores y transformaciones
Una caracterización alternativa de vectores euclidianos, especialmente en física, los describe como listas de cantidades que se comportan de cierta manera bajo una transformación coordinada. A contravariante vector es necesario tener componentes que "transforman frente a la base" bajo cambios de base. El vector en sí no cambia cuando la base se transforma; en cambio, los componentes del vector hacen un cambio que cancela el cambio en la base. En otras palabras, si los ejes de referencia (y la base derivada de él) fueran rotados en una dirección, la representación componente del vector rotaría de la manera opuesta para generar el mismo vector final. Del mismo modo, si los ejes de referencia se estiraban en una dirección, los componentes del vector reducirían de manera exactamente compensadora. Matemáticamente, si la base sufre una transformación descrita por una matriz invertible M, así que un vector de coordenadas x se transforma en x′ = Mx, entonces un vector contravariante v debe ser transformado de forma similar v′ = M $^{-1}$ v. Este requisito importante es lo que distingue un vector contravariante de cualquier otro triple de cantidades físicamente significativas. Por ejemplo, si v consiste en x, Sí., y z-componentes de velocidad, entonces v es un vector contravariante: si las coordenadas del espacio son estiradas, rotadas o retorcidas, entonces los componentes de la velocidad se transforman de la misma manera. Por otro lado, por ejemplo, un triple consistente en la longitud, la anchura y la altura de una caja rectangular podría componer los tres componentes de un vector abstracto, pero este vector no sería contravariante, ya que la rotación de la caja no cambia la longitud, la anchura y la altura de la caja. Ejemplos de vectores contravariantes incluyen desplazamiento, velocidad, campo eléctrico, impulso, fuerza y aceleración.
En el lenguaje de la geometría diferencial, el requisito de que los componentes de un vector se transformen de acuerdo con la misma matriz de la transición de coordenadas es equivalente a definir un vector contravariante como un tensor de contravariante de rango uno. Alternativamente, un vector contravariante se define como un vector tangente, y las reglas para transformar un vector contravariante se derivan de la regla de la cadena.
Algunos vectores se transforman como vectores contravariantes, excepto que cuando se reflejan a través de un espejo, se invierten y obtienen un signo menos. Se dice que una transformación que cambia de diestro a zurdo y viceversa como lo hace un espejo cambia la orientación del espacio. Un vector que gana un signo menos cuando cambia la orientación del espacio se llama pseudovector o vector axial. Los vectores ordinarios a veces se denominan vectores verdaderos o vectores polares para distinguirlos de los pseudovectores. Los pseudovectores ocurren con mayor frecuencia como el producto cruzado de dos vectores ordinarios.
Un ejemplo de pseudovector es la velocidad angular. Conduciendo en un automóvil, y mirando hacia adelante, cada una de las ruedas tiene un vector de velocidad angular que apunta hacia la izquierda. Si el mundo se refleja en un espejo que cambia el lado derecho e izquierdo del automóvil, la reflexión de este vector de velocidad angular apunta hacia la derecha, pero la velocidad angular real El vector de la rueda sigue apuntando hacia la izquierda, correspondiente al signo menos. Otros ejemplos de pseudovectores incluyen campo magnético, torque o, más generalmente, cualquier producto cruzado de dos vectores (verdaderos).
Esta distinción entre vectores y pseudovectores a menudo se ignora, pero se vuelve importante en el estudio de las propiedades de simetría. Ver paridad (física).

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