Vector de Laplace-Runge-Lenz

En mecánica clásica, el vector de Laplace-Runge-Lenz (LRL) es un vector utilizado principalmente para describir la forma y orientación de la órbita de un cuerpo astronómico alrededor de otro, como una estrella binaria. o un planeta que gira alrededor de una estrella. Para dos cuerpos que interactúan mediante la gravedad newtoniana, el vector LRL es una constante de movimiento, lo que significa que es el mismo sin importar en qué parte de la órbita se calcule; de manera equivalente, se dice que el vector LRL está conservado. De manera más general, el vector LRL se conserva en todos los problemas en los que dos cuerpos interactúan mediante una fuerza central que varía como el inverso del cuadrado de la distancia entre ellos; Estos problemas se denominan problemas de Kepler.

El átomo de hidrógeno es un problema de Kepler, ya que comprende dos partículas cargadas que interactúan según la ley electrostática de Coulomb, otra fuerza central del cuadrado inverso. El vector LRL fue esencial en la primera derivación mecánica cuántica del espectro del átomo de hidrógeno, antes del desarrollo de la ecuación de Schrödinger. Sin embargo, este enfoque rara vez se utiliza en la actualidad.

En la mecánica clásica y cuántica, las cantidades conservadas generalmente corresponden a una simetría del sistema. La conservación del vector LRL corresponde a una simetría inusual; El problema de Kepler es matemáticamente equivalente a una partícula que se mueve libremente sobre la superficie de una (hiper)esfera de cuatro dimensiones, de modo que todo el problema es simétrico bajo ciertas rotaciones del espacio de cuatro dimensiones. Esta mayor simetría resulta de dos propiedades del problema de Kepler: el vector velocidad siempre se mueve en un círculo perfecto y, para una energía total dada, todos esos círculos de velocidad se cruzan entre sí en los mismos dos puntos.

El vector Laplace-Runge-Lenz lleva el nombre de Pierre-Simon de Laplace, Carl Runge y Wilhelm Lenz. También se le conoce como vector de Laplace, vector de Runge-Lenz y vector de Lenz. Irónicamente, ninguno de esos científicos lo descubrió. El vector LRL ha sido redescubierto y reformulado varias veces; por ejemplo, es equivalente al vector de excentricidad adimensional de la mecánica celeste. Se han definido varias generalizaciones del vector LRL, que incorporan los efectos de la relatividad especial, campos electromagnéticos e incluso diferentes tipos de fuerzas centrales.

Contexto

Una sola partícula que se mueve bajo cualquier fuerza central conservadora tiene al menos cuatro constantes de movimiento: la energía total E y las tres Componentes cartesianas del vector de momento angular L con respecto al centro de fuerza. La órbita de la partícula está confinada al plano definido por el momento inicial de la partícula p (o, de manera equivalente, su velocidad < span class="texhtml">v) y el vector r entre la partícula y el centro de fuerza (ver Figura 1). Este plano de movimiento es perpendicular al vector de momento angular constante L = r × p; esto se puede expresar matemáticamente mediante la ecuación del producto escalar vectorial r ⋅ L = 0. Dada su definición matemática a continuación, el vector de Laplace-Runge-Lenz (vector LRL) A es siempre perpendicular al vector de momento angular constante L para todas las fuerzas centrales (A ⋅ L = 0). Por lo tanto, A siempre se encuentra en el plano de movimiento. Como se muestra a continuación, A apunta desde el centro de fuerza hasta el periapsis del movimiento, el punto de mayor aproximación, y su longitud es proporcional a la excentricidad de la órbita.

El vector LRL A es constante en longitud y dirección, pero sólo para una fuerza central inversa-cuadra. Para otras fuerzas centrales, el vector A no es constante, sino cambios en la longitud y la dirección. Si la fuerza central es aproximadamente una ley inversa-cuarela, el vector A es aproximadamente constante en longitud, pero gira lentamente su dirección. A generalizado vector LRL conservado ${displaystyle {fnMithcal}}$ se puede definir para todas las fuerzas centrales, pero este vector generalizado es una función complicada de posición, y generalmente no expresible en forma cerrada.

El vector LRL se diferencia de otras cantidades conservadas en la siguiente propiedad. Mientras que para cantidades conservadas típicas existe una coordenada cíclica correspondiente en el lagrangiano tridimensional del sistema, no existe tal coordenada para el vector LRL. Por tanto, la conservación del vector LRL debe derivarse directamente, por ejemplo, mediante el método de los corchetes de Poisson, como se describe a continuación. Las cantidades conservadas de este tipo se denominan "dinámicas", en contraste con las habituales "geométricas". leyes de conservación, por ejemplo, la del momento angular.

Historia del redescubrimiento

El vector LRL A es una constante de movimiento del problema de Kepler y es útil para describir órbitas astronómicas, como el movimiento de los planetas. y estrellas binarias. Sin embargo, nunca ha sido muy conocido entre los físicos, posiblemente porque es menos intuitivo que el momento y el momento angular. En consecuencia, ha sido redescubierto de forma independiente varias veces a lo largo de los últimos tres siglos.

Jakob Hermann fue el primero en demostrar que A se conserva para un caso especial de la fuerza central del cuadrado inverso y resolvió su conexión. a la excentricidad de la elipse orbital. La obra de Hermann fue generalizada a su forma moderna por Johann Bernoulli en 1710. A finales de siglo, Pierre-Simon de Laplace redescubrió la conservación de A , derivándolo analíticamente, en lugar de geométricamente. A mediados del siglo XIX, William Rowan Hamilton derivó el vector de excentricidad equivalente definido a continuación, usándolo para demostrar que el vector de momento p se mueve sobre una círculo para el movimiento bajo una fuerza central del cuadrado inverso (Figura 3).

A principios del siglo XX, Josiah Willard Gibbs derivó el mismo vector mediante análisis vectorial. Gibbs' La derivación fue utilizada como ejemplo por Carl Runge en un popular libro de texto alemán sobre vectores, al que hizo referencia Wilhelm Lenz en su artículo sobre el (antiguo) tratamiento mecánico cuántico del átomo de hidrógeno. En 1926, Wolfgang Pauli utilizó el vector LRL para derivar los niveles de energía del átomo de hidrógeno utilizando la formulación de mecánica matricial de la mecánica cuántica, después de lo cual pasó a ser conocido principalmente como el vector de Runge-Lenz.

Definición matemática

La ecuación describe una fuerza central del cuadrado inverso que actúa sobre una sola partícula

$${displaystyle mathbf {F} (r)=-{frac {k}{2}}mathbf {fnh}}$$

${displaystyle V(r)=-k/r}$

El vector LRL A se define matemáticamente por la fórmula

dónde

• m es la masa de la partícula punto que se mueve bajo la fuerza central,
• p es su vector de impulso,
• L = r × p es su vector angular de impulso,
• r es el vector de posición de la partícula (Figura 1),
• ${displaystyle mathbf {hat {r}$ es el vector de unidad correspondiente, es decir, ${displaystyle mathbf {hat {r} ={frac {mathbf} } {r}}$, y
• r es la magnitud de r, la distancia de la masa del centro de la fuerza.

Las unidades SI del vector LRL son joule-kilogram-meter (J⋅kg⋅m). Esto se debe a que las unidades p y L son kg⋅m/s y J⋅s, respectivamente. Esto coincide con las unidades de m (kg) and of k (N⋅m²).

Esta definición del vector LRL A pertenece a una sola partícula punto de masa m moviéndose bajo la acción de una fuerza fija. Sin embargo, la misma definición puede extenderse a problemas de dos cuerpos como el problema de Kepler, tomando m como la masa reducida de los dos cuerpos y r como vector entre los dos cuerpos.

Dado que la fuerza asumida es conservadora, la energía total E es una constante de movimiento,

$${displaystyle E={frac {fnMicroc} {fnMicroc} {k} {r}={frac} {1}{2}mv^{2}-{frac} {k} {r}}.$$

La fuerza asumida es también una fuerza central. Por tanto, el vector de momento angular L también se conserva y define el plano en el que viaja la partícula. El vector LRL A es perpendicular al vector de momento angular L porque tanto p × L como r son perpendiculares a L. De ello se deduce que A se encuentra en el plano de movimiento.

Se pueden definir formulaciones alternativas para la misma constante de movimiento, generalmente escalando el vector con constantes, como la masa m, la fuerza parámetro k o el momento angular L. La variante más común es dividir A por mk, lo que produce el vector de excentricidad, un vector adimensional a lo largo del semieje mayor cuyo módulo es igual a la excentricidad de la cónica:

$${displaystyle mathbf {e} ={frac {mathbf {} {} {mk}={frac {1} {mk} {mathbf {p} times mathbf {L})-mathbf {hat {r}}}}}$$

${displaystyle L^{2}$

$${displaystyle uequiv {fnMicroc {1} {}={frac} {km} {L^{2}}+{frac} {A}{L^{2}cos theta }$$

${displaystyle theta }$

Derivación de las órbitas de Kepler

La forma y la orientación de las órbitas se pueden determinar a partir del vector LRL de la siguiente manera. Tomando el producto escalar de A con el vector de posición r se obtiene la ecuacion

$${displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {r} =Acdot rcdot cos theta =mathbf {r} cdot left(mathbf {p} times mathbf {L} right)-mkr,}$$

$${displaystyle mathbf {r} cdot left(mathbf {p} times mathbf {L} right)=left(mathbf {r} times mathbf {p} right)cdot mathbff {L} =mathbf {L} cdot mathbf {L} =L^{2}$$

La reorganización produce la solución de la ecuación de Kepler

Esto corresponde a la fórmula para una sección cónica de excentricidad e

$${displaystyle {frac} {}}= Ccdot left(1+ecdot cos theta right)}$$

${displaystyle e={frac {fnh}}gq 0}$

Tomando el producto de punto A con sí mismo produce una ecuación que implica la energía total E,

$${displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}$$

$${displaystyle E.$$

Así, si la energía E es negativa (órbitas ligadas), la excentricidad es menor que uno y la órbita es una elipse. Por el contrario, si la energía es positiva (órbitas libres, también llamadas "órbitas dispersas"), la excentricidad es mayor que uno y la órbita es una hipérbola. Finalmente, si la energía es exactamente cero, la excentricidad es uno y la órbita es una parábola. En todos los casos, la dirección de A se encuentra a lo largo del eje de simetría de la sección cónica y apunta desde el centro de fuerza hacia el periapsis, el punto de aproximación más cercana.

Hodógrafos de impulso circular

La conservación del vector LRL A y del vector de momento angular L< /span> es útil para mostrar que el vector de impulso p se mueve en un círculo bajo una fuerza central del cuadrado inverso.

Tomando el producto escalar de

$${displaystyle mk{hat {mathbf} }=mathbf {p} times mathbf - Mathbf {A}$$

$${displaystyle (mk)^{2}=A^{2}+p^{2}L^{2}+2mathbf {L} cdot (mathbf {p} times mathbf {A}).}$$

Seleccione además L junto con z, y el semieje mayor como el eje x, produce la ecuación del lugar para p,

En otras palabras, el vector de impulso p se limita a un círculo de radio mk/L = L/l centrado en (0, A/L). Para órbitas atadas, la excentricidad e corresponde a la cosina del ángulo . muestra en la Figura 3. Para órbitas sin límites, tenemos ${displaystyle Un espíritu.$ y así el círculo no intersecte ${displaystyle p_{x}$-Eje.

En el límite degenerado de órbitas circulares, y así desaparecer A, el círculo se centra en el origen (0,0). Para la brevedad, también es útil introducir la variable ${fnMicrosoftstyle {fnK}}}$.

Esta hodógrafa circular es útil para ilustrar la simetría del problema de Kepler.

Constantes de movimiento y superintegrabilidad

Las siete cantidades escalares E, A y L (al ser vectores, los dos últimos contribuyen con tres cantidades conservadas cada uno) están relacionados por dos ecuaciones, A ⋅ L = 0 y A² = < soy²k² + 2 mEL²< /span>, dando cinco constantes de movimiento independientes. (Dado que la magnitud de A, de ahí la excentricidad e< /span> de la órbita, se puede determinar a partir del momento angular total L y la energía E, sólo se conserva la dirección de A de forma independiente; además, dado que A debe ser perpendicular a L, aporta sólo una cantidad conservada adicional.)

Esto es consistente con las seis condiciones iniciales (la posición inicial de la partícula y los vectores de velocidad, cada uno con tres componentes) que especifican la órbita de la partícula, ya que el tiempo inicial no está determinado por una constante de movimiento. De este modo, la órbita unidimensional resultante en un espacio de fases de seis dimensiones queda completamente especificada.

Un sistema mecánico con d grados de libertad puede tener como máximo 2 d − 1 constantes de movimiento, ya que hay 2d condiciones iniciales y el tiempo inicial no puede determinarse mediante una constante de movimiento. Un sistema con más de d constantes de movimiento se llama superintegrable y un sistema con 2d − 1 constantes se denominan máximamente superintegrables. Dado que la solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi en un sistema de coordenadas sólo puede producir d constantes de movimiento, los sistemas superintegrables deben ser separables en más de un sistema de coordenadas. El problema de Kepler es máximamente superintegrable, ya que tiene tres grados de libertad (d = 3) y cinco constantes de movimiento independientes; su ecuación de Hamilton-Jacobi es separable tanto en coordenadas esféricas como en coordenadas parabólicas, como se describe a continuación.

Los sistemas máximamente superintegrables siguen órbitas unidimensionales cerradas en el espacio de fase, ya que la órbita es la intersección de las isosuperficies del espacio de fase de sus constantes de movimiento. En consecuencia, las órbitas son perpendiculares a todos los gradientes de todas estas isosuperficies independientes, cinco en este problema específico, y por lo tanto están determinadas por los productos cruzados generalizados de todos estos gradientes. Como resultado, todos los sistemas superintegrables se pueden describir automáticamente mediante la mecánica de Nambu, de forma alternativa y equivalente a la mecánica hamiltoniana.

Los sistemas máximamente superintegrables se pueden cuantificar utilizando relaciones de conmutación, como se ilustra a continuación. Sin embargo, de manera equivalente, también se cuantifican en el marco de Nambu, como en este problema clásico de Kepler en el átomo de hidrógeno cuántico.

Evolución bajo potenciales perturbados

El vector de Laplace-Runge-Lenz A se conserva sólo para una fuerza central del cuadrado inverso perfecto. Sin embargo, en la mayoría de los problemas prácticos, como el movimiento planetario, la energía potencial de interacción entre dos cuerpos no es exactamente una ley del cuadrado inverso, sino que puede incluir una fuerza central adicional, la llamada perturbación descrita por un potencial. energía h(r). En tales casos, el vector LRL gira lentamente en el plano de la órbita, correspondiente a una lenta precesión absidal de la órbita.

Por supuesto, el potencial perturbador h(r) es una fuerza central conservadora, lo que implica que el total la energía E y el vector de momento angular L son conservado. Por lo tanto, el movimiento todavía se encuentra en un plano perpendicular a L y la magnitud A se conserva, a partir de la ecuación A² = m ²k² + 2mEL². El potencial de perturbación h(r) puede ser cualquier tipo de función, pero debería ser significativamente más débil que la inversa principal. fuerza cuadrada entre los dos cuerpos.

La velocidad a la que gira el vector LRL proporciona información sobre el potencial perturbador h(r) . Utilizando la teoría de la perturbación canónica y las coordenadas del ángulo de acción, es sencillo demostrar que A gira a una velocidad de,

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft}m} {m} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {c}c} {c}ccH0} {c}cH0}cccc}c}cccccccccc}c}c}c}c}ccccccc}ccccccccccccccc}cccccccccccccccc}cH0}ccc}c}cc}ccc}c}cc {m}{2}}int _{0}{2pi }r^{2}h(r),dtheta right},end{aligned}}$$

Este enfoque se utilizó para ayudar a verificar la teoría de la relatividad general de Einstein, que agrega una pequeña perturbación cúbica inversa efectiva al potencial gravitacional newtoniano normal.

$${displaystyle h(r)={frac {kL^{2} {m^{2}}}left({frac {1}{3}}}right).}$$

Insertando esta función en la integral y usando la ecuación

$${displaystyle {frac {}{}={frac} {mk}{2}}left(1+{frac {A}cos theta right)}$$

$${fnMicroc {6fnfnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft} ¿Qué?$$

Poisson brackets

Las funciones sin escala

La estructura algebraica del problema es, como se explica en secciones posteriores, SO(4)/Z₂ ~ SO(3) × SO(3). Los tres componentes L_i del vector de momento angular L tienen los corchetes de Poisson

$${displaystyle {L_{i},L_{j}=sum ¿Qué? ¿Qué?$$

$${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? ¿Qué?$$

$${displaystyle {A_{i},A_{j}=-2mHsum ¿Qué? ¿Qué?$$

${displaystyle H.$

${displaystyle H.$

Finalmente, dado que tanto L como A son constantes de movimiento, tenemos

$${displaystyle Uh...$$

Los corchetes de Poisson se extenderán a las relaciones de conmutación de la mecánica cuántica en la siguiente sección y a los corchetes de Lie en la siguiente sección.

Funciones escaladas

Como se indica a continuación, un vector Laplace-Runge-Lenz escalado D puede definirse con las mismas unidades que el impulso angular dividiendo A por ${fnMicrosoftstyle {fnK}}}$. Desde D todavía se transforma como un vector, los corchetes Poisson de D con el vector de impulso angular L puede entonces ser escrito en una forma similar

$${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? ¿Qué?$$

Los corchetes de Poisson de D con itself dependen del signo del estilo H, es decir, de si la energía es negativa (produciendo órbitas elípticas cerradas bajo una fuerza central del cuadrado inverso) o positiva (produciendo órbitas hiperbólicas abiertas bajo una fuerza central inversa). fuerza central cuadrada). Para energías negativas, es decir, para sistemas ligados, los corchetes de Poisson son

$${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? ¿Qué?$$

Por el contrario, para la energía positiva, los corchetes de Poisson tienen el signo opuesto,

$${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? ¿Qué?$$

La distinción entre energías positivas y negativas surge porque el escalado deseado —el que elimina al Hamiltoniano del lado derecho de las relaciones entre corchetes de Poisson entre los componentes del vector LRL escalado— involucra al raíz cuadrada del Hamiltonian. Para obtener funciones de valor real, debemos entonces tomar el valor absoluto del Hamiltoniano, que distingue entre valores positivos (donde ${displaystyle TENSI }$) y valores negativos (donde ${displaystyle TENSI ANTERIENTE$).

Operador de Laplace-Runge-Lenz para el átomo de hidrógeno en el espacio de momento

Recientemente se encontró el operador escalado de Laplace-Runge-Lenz en el espacio de impulso. La fórmula para el operador es más simple que en el espacio de posición:

${displaystyle {hat {mathbf {}}_{mathbf {}=imath ({hat {l}}_{mathbf {}}+1)mathbf {p} -{frac {f} {f}}}}} {m}}}m]m2}m2}m2}i}mmmmmsssssssssssssssssssssssssss} {f} {sssssssssssssssssssssssssssssss}ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss} {sss} {sssss}ssssss}sss} ¿Qué?$

donde "operador de grado"

${displaystyle {hat {}_{mathbf {}=(mathbf {p} mathbf {nabla } _{mathbf {p}})}} {f} {f}$

multiplica un polinomio homogéneo por su grado.

Invariantes casimir y niveles energéticos

Los invariantes de Casimir para energías negativas son

$${displaystyle {begin{aligned}C_{1} limit=mathbf {D} cdot mathbf {D} +mathbf {L} cdot mathbf {L} ={frac} {mk^{2}{2 vidasE sometida}}C_{2} {D} cdot mathbf {L} =0,end{aligned}}$$

y tienen corchetes de Poisson que desaparecen con todos los componentes de D y L< /lapso>,

$${displaystyle {C_{1},L_{i}={C_{1},D_{i}={C_{2},L_{i}}={C_{2},D_{i}=0}$$

Sin embargo, la otra invariante, C₁, no es trivial y depende sólo de m, k y E. Tras la cuantificación canónica, este invariante permite derivar los niveles de energía de los átomos similares al hidrógeno utilizando únicamente relaciones de conmutación canónicas de la mecánica cuántica, en lugar de la solución convencional de la ecuación de Schrödinger. Esta derivación se analiza en detalle en la siguiente sección.

Mecánica cuántica del átomo de hidrógeno

Los corchetes de Poisson proporcionan una guía sencilla para cuantificar la mayoría de los sistemas clásicos: la relación de conmutación de dos operadores de la mecánica cuántica se especifica mediante el corchete de Poisson de las variables clásicas correspondientes, multiplicado por iħ.

Al llevar a cabo esta cuantificación y calcular los valores propios del C₁ operador Casimir para el Con el problema de Kepler, Wolfgang Pauli pudo derivar los niveles de energía de átomos similares al hidrógeno (Figura 6) y, por tanto, su espectro de emisión atómica. Esta elegante derivación de 1926 se obtuvo antes del desarrollo de la ecuación de Schrödinger.

Una sutileza del operador de la mecánica cuántica para el vector LRL A es que los operadores de momento y momento angular no conmutan; por lo tanto, el producto cruzado del operador cuántico de p y L debe definirse cuidadosamente. Normalmente, los operadores para los componentes cartesianos A_s se definen utilizando un producto simetrizado (hermitiano),

$${displaystyle A_{s}=-mk{hat {fnMicroc} {1}{2}sum ##{i=1} {3}sum ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué?$$

${displaystyle 1/(ihbar)}$

A partir de estos operadores, se pueden definir operadores de escalera adicionales para L,

$${displaystyle {begin{aligned}J_{0} limit=A_{3}J_{pm 1}==mp {tfrac {1} {sqrt {2}left(A_{1}pm iA_{2}right)end{aligned}}$$

También se puede definir un primer operador invariante de Casimir normalizado, análogo cuántico del anterior,

$${displaystyle C_{1}=-{frac {mk^{2}{2hbar ^{2}} H^{-1}-I,}$$

Aplicar a estos operadores de escaleras a los eigenstateslmn〉 del impulso angular total, impulso angular azimutal y operadores de energía, los eigenvalues del primer operador Casimir, C₁, se consideran cuantitativas, n² − 1. Importantemente, por la multitud de la desaparición de C₂, son independientes de la l y m números cuánticos, haciendo que los niveles de energía degeneraran.

Por lo tanto, los niveles de energía están dados por

$${displaystyle E_{n}=-{frac {mk^{2}{2hbar ^{2} {2}}}} {2}}}{2}}$$

Conservación y simetría

La conservación del vector LRL corresponde a una sutil simetría del sistema. En la mecánica clásica, las simetrías son operaciones continuas que asignan una órbita a otra sin cambiar la energía del sistema; En mecánica cuántica, las simetrías son operaciones continuas que "mezclan" orbitales electrónicos de la misma energía, es decir, niveles de energía degenerados. Una cantidad conservada suele estar asociada con este tipo de simetrías. Por ejemplo, cada fuerza central es simétrica bajo el grupo de rotación SO(3), lo que lleva a la conservación del momento angular L. Clásicamente, una rotación general del sistema no afecta la energía de una órbita; En mecánica cuántica, las rotaciones mezclan los armónicos esféricos del mismo número cuántico ℓ sin cambiar la energía.

La simetría de la fuerza central del cuadrado inverso es mayor y más sutil. La peculiar simetría del problema de Kepler da como resultado la conservación tanto del vector de momento angular L como del vector LRL < b>A (como se definió anteriormente) y, mecánicamente cuánticamente, asegura que los niveles de energía del hidrógeno no dependan del momento angular de los números cuánticos ℓ y m. Sin embargo, la simetría es más sutil porque la operación de simetría debe tener lugar en un espacio de dimensiones superiores; Estas simetrías a menudo se denominan "simetrías ocultas".

Clásicamente, la mayor simetría del problema de Kepler permite alteraciones continuas de las órbitas que preservan la energía pero no el momento angular; Dicho de otra manera, órbitas de la misma energía pero diferente momento angular (excentricidad) pueden transformarse continuamente unas en otras. Mecánicamente cuántica, esto corresponde a mezclar orbitales que difieren en los ℓ y m números cuánticos, como los s( ℓ = 0) y p(< i>ℓ = 1) orbitales atómicos. Esta mezcla no se puede realizar con traslaciones o rotaciones tridimensionales ordinarias, sino que equivale a una rotación en una dimensión superior.

Para energías negativas, es decir, para sistemas ligados, el grupo de simetría superior es SO(4), que preserva la longitud de las energías de cuatro dimensiones. vectores

$${fnMicrosoft Sans Serif} Silencio.$$

En 1935, Vladimir Fock demostró que el problema de Kepler ligado a la mecánica cuántica es equivalente al problema de una partícula libre confinada a una esfera unitaria tridimensional en un espacio de cuatro dimensiones. Específicamente, Fock demostró que la función de onda de Schrödinger en el espacio de momento para el problema de Kepler era la proyección estereográfica de los armónicos esféricos en la esfera. La rotación de la esfera y la reproyección dan como resultado un mapeo continuo de las órbitas elípticas sin cambiar la energía, una simetría SO(4) conocida a veces como simetría de Fock; En mecánica cuántica, esto corresponde a una mezcla de todos los orbitales del mismo número cuántico de energía n. Valentine Bargmann señaló posteriormente que los corchetes de Poisson para el vector de momento angular L y el vector LRL escalado A formó el álgebra de Lie para SO(4). En pocas palabras, las seis cantidades A y L corresponden a la seis momentos angulares conservados en cuatro dimensiones, asociados a las seis rotaciones simples posibles en ese espacio (hay seis formas de elegir dos ejes entre cuatro). Esta conclusión no implica que nuestro universo sea una esfera tridimensional; simplemente significa que este problema de física particular (el problema de dos cuerpos para fuerzas centrales del cuadrado inverso) es matemáticamente equivalente a una partícula libre en una esfera tridimensional.

Para energías positivas, es decir, para energías desatadas y "dispersas" sistemas: el grupo de simetría superior es SO(3,1), que conserva la longitud de Minkowski de 4 vectores

$${displaystyle ¿Qué?$$

Fock y Bargmann consideraron tanto los casos de energía negativa como los de energía positiva y Bander e Itzykson los revisaron enciclopédicamente.

Las órbitas de los sistemas de fuerza central (y las del problema de Kepler en particular) también son simétricas bajo reflexión. Por lo tanto, SO(3), SO(4) y SO(3,1) los grupos citados anteriormente no son los grupos de simetría completa de sus órbitas; los grupos completos son O(3), O(4) y O(3,1), respectivamente. Sin embargo, sólo los subgrupos conectados, SO(3), SO(4) y SO⁺(3,1), son necesarios para demostrar la conservación del momento angular y los vectores LRL; la simetría de reflexión es irrelevante para la conservación, que puede derivarse del álgebra de Lie del grupo.

Simetría rotacional en cuatro dimensiones

La conexión entre el problema Kepler y la simetría rotacional cuatridimensional SO(4) se puede visualizar fácilmente. Que se denoten las coordenadas cartesianas de cuatro dimensiones ()w, x, Sí., z) Donde ()x, Sí., z) representan las coordenadas cartesianas del vector de posición normal r. El vector de impulso tridimensional p se asocia con un vector de cuatro dimensiones ${displaystyle {boldsymbol {eta }$ en una esfera de unidad tridimensional

$${displaystyle {begin{aligned}{boldsymbol {eta} ♪♪♪ {fnK} {f}}m}m}}mhbf} {fnK} +{frac {2p_{0}{2}}mathbf {p}[1em] {mk-rp_{0} {mk}mathbf {fnK} +{frac {cHFF} {cHFF}cHFF} {p}end{aligned}}$$

Donde ${displaystyle mathbf {f}}$ es el vector unitario a lo largo del nuevo w Axis. La cartografía de transformación p a . puede ser invertido únicamente; por ejemplo, el x componente del impulso igual

$${displaystyle ¿Por qué? ♪♪$$

${displaystyle {boldsymbol {eta }$

Sin pérdida de generalidad, podemos eliminar la simetría rotacional normal eligiendo las coordenadas cartesianas tal que la z axis se alinea con el vector de impulso angular L y los hodografos de impulso están alineados como están en la Figura 7, con los centros de los círculos en los Sí. Axis. Puesto que la moción es planaria, y p y L son perpendiculares, p_z = ._z = 0 y la atención puede limitarse al vector tridimensional ${displaystyle {boldsymbol {eta}=(eta _{w},eta _{x},eta _{y}}}}$. La familia de los círculos Apolonios de los hodográficos de impulso (figura 7) corresponde a una familia de grandes círculos en las tres dimensiones ${displaystyle {boldsymbol {eta }$ esfera, todas las cuales intersectan ._x axis en los dos foci ._x = ±1, correspondiente al impulso hodograph foci en p_x = ±p₀. Estos grandes círculos están relacionados por una rotación simple sobre el ._x-eje (Figura 8). Esta simetría rotacional transforma todas las órbitas de la misma energía una en la otra; sin embargo, tal rotación es ortogonal a las rotaciones tridimensionales habituales, ya que transforma la cuarta dimensión ._w. Esta simetría superior es característica del problema Kepler y corresponde a la conservación del vector LRL.

Una solución de variables de ángulo de acción elegante para el problema Kepler se puede obtener eliminando las coordenadas redundantes de cuatro dimensiones ${displaystyle {boldsymbol {eta }$ a favor de coordenadas cilíndricas elípticas ()χ, ↑, φ)

$${displaystyle {begin{aligned}eta ################################################################################################################################################################################################################################################################ {dn} psi cos phi[1ex]eta ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################$$

Generalizaciones a otros potenciales y relatividad

El vector de Laplace-Runge-Lenz también se puede generalizar para identificar cantidades conservadas que se aplican a otras situaciones.

En presencia de un campo eléctrico uniforme E, el vector Laplace generalizado–Runge–Lenz ${displaystyle {fnMithcal}}$ es

$${displaystyle {fnMitcal {fnMitbf}=fnMitbf {A} +{frac {mq}{2}}left[left(mathbf {r} times mathbf {E} right)times mathbf {r} right],}$$

${displaystyle {fnMithcal}}$

${displaystyle {Mathcal {}cdot mathbf {E}$

Al generalizar aún más el vector de Laplace-Runge-Lenz a otros potenciales y a la relatividad especial, la forma más general se puede escribir como

$${displaystyle {mathcal {}=left({frac {partial xi }{partial u}right)left(mathbf {p} times mathbf {L} right)+left[xi -uleft({frac {partial xi }{partial u}}right)right]L^{2}mathbf {hat {r}}}}$$

donde u = 1/r y ξ = cos θ, con el ángulo θ definido por

$${displaystyle theta =Lint ^{u}{frac {du}{sqrt {m^{2}c^{2}(gamma ^{2}-1)-L^{2}}}}}}}}$$

y γ es el factor de Lorentz. Como antes, podemos obtener un vector binormal conservado B tomando el producto cruzado con el vector de momento angular conservado.

$${displaystyle {fnMithcal}=mhbf} {L} times {mathcal {A}}$$

Estos dos vectores también se pueden combinar en un tensor diádico conservado W,

$${displaystyle {fnMithcal}=alpha {fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$$

En la ilustración, se puede calcular el vector LRL para un oscilador armónico isotrópico no relativista. Como la fuerza es central,

$${displaystyle mathbf {F} (r)=-kmathbf {r}$$

El tensor diádico conservado se puede escribir de forma sencilla

$${displaystyle {mathcal {}={frac {1}{2m}mathbf {p}otimes mathbf {p} +{frac {k}},mathbf {r} otimes mathbf {r}$$

El vector correspondiente Runge–Lenz es más complicado,

$${fnK} {fnK} {fnh} {fnh} {fn}mr^{2}omega ¿Por qué? {L} right)+left(mromega ¿Por qué?$$

$${displaystyle omega ¿Qué? {k} {m}}}$$

$${displaystyle A=(E^{2}-omega ¿Qué?$$

Pruebas de que el vector de Laplace-Runge-Lenz se conserva en problemas de Kepler

Los siguientes son argumentos que muestran que el vector LRL se conserva bajo fuerzas centrales que obedecen a una ley del cuadrado inverso.

Prueba directa de conservación

Una fuerza central ${displaystyle mathbf {F}$ actuar en la partícula

$${displaystyle mathbf {f} {fnMitbf {} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}}}} {f}f}f}f}f}}}}f}}}}}}}}f}}}}}f {f} {$$

para alguna función ${displaystyle f(r)}$ del radio ${displaystyle r}$. Desde el impulso angular ${displaystyle mathbf {L} =mathbf {r} times mathbf {p}$ se conserva bajo las fuerzas centrales, ${fnMicroc} {d} {dt}mathbf {L} =0}$ y

$${displaystyle {frac {d}{dt}}left(mathbf {p} times mathbf {L} right)={frac {dmathbf {p} {dt}times mathbf {L} =f(r)mathbf {hat {r}} times left(mathbf {r} times m{frac {dmathbf {r} {dt}right)=f(r){frac {m}}left[mathbf {r} left(mathbf {r} cdot {frac {fnMitbf {r} {dt}}right)-r^{2}{frac {dmathbf {r} {dt}}right],}$$

donde el impulso ${textstyle mathbf {p} =m{frac {dmathbf {r} } {dt}}$ y donde el producto de la triple cruz se ha simplificado usando la fórmula de Lagrange

$${displaystyle mathbf {r} times left(mathbf {r} times {frac {dmathbf {r} {} {dt}right)=mathbf {r} left(mathbf {r} cdot {fracdot {frac] {dmathbf {r} {dt}right)-r^{2}{frac} {dmathbf {r} } {dt}.$$

La identidad

$${displaystyle {frac {d}{dt}left(mathbf {r} cdot mathbf {r} right)=2mathbf {r} cdot {fracdot {frac] {dmathbf {r} {fnMicroc}=2r{dt} {dt} {dt}} {f}} {f}} {f}} {f}}} {f}} {f}}} {f}}}}} {f}}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}} {f}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$$

produce la ecuación

$${displaystyle {frac {d}left(mathbf {p} times mathbf {L} right)=-mf(r)r^{2}left[{frac] {1} {fn} {fnMitbf} {fnMitbf} {f} {f} {fn}} {fnK} {f}}}} {fn} {fn}} {fn} {f}fnMicroc {f} {fn}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f } {dt}-{frac {fnMitbf} {fnK} {fnMicroc {f}} {fnMicroc {f} {f} {f}} {f}}}}}}}}}}} {fnMicroc {mthbf {} {} {}}}derecho).$$

Para el caso especial de una fuerza central inversa ${textstyle f(r)={frac {cHFF} {}}}}$, esto es igual

$${displaystyle {frac {d}left(mathbf {p} times mathbf {L} right)=mk{frac {d} {dt}left({frac {mathbf {r} {r} {r}}}}right)={frac {d} {dt} {mkmathbf {hat {r}}}}}}}}}}} {f} {f}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

Por lo tanto, A se conserva para fuerzas centrales del cuadrado inverso

$${displaystyle {frac {dt}mathbf {A} ={frac {d} {dt}left(mathbf {p} times mathbf {L} right)-{dt}left(mkmathbf {hat {r}right)=mathbf {0}$$

Una prueba más corta se obtiene utilizando la relación del impulso angular a la velocidad angular, ${displaystyle mathbf {L} =mr^{2}{boldsymbol {omega }}$, que sostiene para una partícula que viaja en un plano perpendicular a ${displaystyle mathbf {L}$. Especificación a las fuerzas centrales inversas-cuatro, el derivado del tiempo ${displaystyle mathbf {p} times mathbf {L}$ es

$${displaystyle {frac {dt}mathbf {p} times mathbf {L} =left({frac} {cHFF} {cHFF}cHFF} {hat {r}right)times left(mr^{2}{boldsymbol {omega }right)=mk,{boldsymbol {omega }times mathbf {hat {r} =mk,{frac {d} {dt}mathbf {fnK}$$

${displaystyle {boldsymbol {omega }times mathbf {hat {}}$

Como se describe en otro lugar de este artículo, este vector LRL A es un caso especial de un vector general conservado ${displaystyle {fnMithcal}}$ que se puede definir para todas las fuerzas centrales. Sin embargo, dado que la mayoría de las fuerzas centrales no producen órbitas cerradas (ver el teorema de Bertrand), el vector análogo ${displaystyle {fnMithcal}}$ rara vez tiene una definición simple y es generalmente una función multivalorada del ángulo Silencio entre r y ${displaystyle {fnMithcal}}$.

Ecuación Hamilton-Jacobi en coordenadas parabólicas

La constancia del vector LRL también se puede derivar de la ecuación de Hamilton-Jacobi en coordenadas parabólicas (ξ, η)< /span>, que están definidos por las ecuaciones

$${displaystyle {begin{aligned}xi < r+x,\eta > }$$

$${displaystyle r={sqrt {x^{2}+y^{2}}}$$

La inversión de estas coordenadas es

$${displaystyle {begin{aligned}x limit={tfrac {1}{2}(xi -eta),\y simultáneamente={sqrt {xi eta }},end{aligned}}}}}$$

La separación de la ecuación de Hamilton-Jacobi en estas coordenadas produce las dos ecuaciones equivalentes

$${displaystyle {begin{aligned}2xi p... }{2}-mk-m Exi > 'Gamma2eta p_{eta }{2}-mk-m Eeta > }$$

$${displaystyle Gamma =p_{y}(xp_{y}-yp_{x})-mk{frac {x}=A_{x}$$

Teorema de Noether

La conexión entre la simetría rotacional descrita anteriormente y la conservación del vector LRL se puede hacer cuantitativa mediante el teorema de Noether. Este teorema, que se utiliza para encontrar constantes de movimiento, establece que cualquier variación infinitesimal de las coordenadas generalizadas de un sistema físico

$${displaystyle delta q_{i}=varepsilon ¿Qué?$$

que hace que el lagrangiano varíe a primer orden en una derivada del tiempo total

$${displaystyle delta L=varepsilon {frac {d}G(mathbf {q}t)}$$

corresponde a una cantidad conservada Γ

$${displaystyle Gamma =-G+sum _{i}g_{i}left({frac {partial L}{dot {}_{i}}}right).$$

En particular, el componente vectorial LRL conservado A_s corresponde a la variación en las coordenadas

$${displaystyle delta ¿Por qué? }{2}left[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-delta _{is}left(mathbf {r} cdot mathbf {p}right)right],}$$

donde i es igual a 1, 2 y 3, con x_i y p_i siendo el i-ésimas componentes de los vectores de posición e impulso r y < abarcan class="texhtml">p, respectivamente; como de costumbre, δ_is representa el delta de Kronecker. El cambio de primer orden resultante en el lagrangiano es

$${displaystyle delta L={frac {1}{2}varepsilon mk{frac {d} {dt}left({frac {x_{s} {r}}derecha).}$$

La sustitución en la fórmula general de la cantidad conservada Γ produce el componente conservado A_s del vector LRL,

$${displaystyle A_{s}=left[p^{2}x_{s}-p_{s} left(mathbf {r} cdot mathbf {p} right)right]-mkleft({frac {x_{s} {r}right)=left[mathbf {p} times left(mathbf {r} times mathbf {p}right)right]_{s}-mkleft({frac {x_{s} {r}}derecha).}$$

Transformación de mentira

derivación teorema de Noether de la conservación del vector LRL A es elegante, pero tiene un inconveniente: la variación de coordenadas δx_i implica no sólo el posición r, pero también el impulso p o, equivalentemente, el velocidad v. Este inconveniente puede ser eliminado por en lugar de conducir la conservación de A usando un enfoque pionero de Sophus Lie. Específicamente, se puede definir una transformación de Lie en la que las coordenadas r y el tiempo t son escaladas por diferentes poderes de un parámetro λ (Figura 9),

$${displaystyle trightarrow lambda ^{3}t,qquad mathbf {r} rightarrow lambda ^{2}mathbf {r}qquad mathbf {p} rightarrow {frac} {1}{lambda Mathbf {p}$$

Esta transformación cambia el momento angular total L y la energía E,

$${displaystyle Lrightarrow lambda L,qquad Erightarrow {frac E,$$

$${displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}e^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}$$

La dirección de A también se conserva, ya que los semiejes no se ven alterados por una escala global. Esta transformación también preserva la tercera ley de Kepler, es decir, que el semieje a y el período T forma una constante T²/a ³.

Escalas, símbolos y formulaciones alternativas

A diferencia de los vectores de momento y momento angular p y L, no existe una definición universalmente aceptada del vector de Laplace-Runge-Lenz; En la literatura científica se utilizan varios factores de escala y símbolos diferentes. La definición más común se da arriba, pero otra alternativa común es dividir por la cantidad mk para obtener un vector de excentricidad conservado adimensional.

$${displaystyle mathbf {e} ={frac {1}{mk}left(mathbf {p} times mathbf {L} right)-mathbf {hat {r}} ={frac {m} {k}left(mathbf {v} times left(mathbf {r} times mathbf {v}right)-mathbf {hat {r}}$$

Donde v es el vector de velocidad. Este vector escalado e tiene la misma dirección A y su magnitud equivale a la excentricidad de la órbita, y así desaparece para órbitas circulares.

También son posibles otras versiones escaladas, por ejemplo, dividiendo A por m solo

$${displaystyle mathbf {M} =mathbf {v} times mathbf {L} -Kmathbf {f} {f}}$$

$${displaystyle mathbf {} ={frac {mathbf {A} {fnK} {fnMicroc} {1}{sqrt {2m impertines}}left{mathbf {p} times mathbf {L} -mkmathbf {} {r} right}$$

En casos raros, el signo del vector LRL puede invertirse, es decir, escalarse en −1. Otros símbolos comunes para el vector LRL incluyen a, R, F, J y V. Sin embargo, la elección de la escala y el símbolo del vector LRL no afecta su conservación.

Un vector conservado alternativo es el vector binormal B estudiado por William Rowan Hamilton,

que se conserva y apunta a lo largo del semieje menor de la elipse. (No está definido para la excentricidad evanescente.)

El vector LRL A = B × L es el producto cruzado de < abarcan class="texhtml">B y L (Figura 4). En la hodógrafa de impulsos de la sección correspondiente anterior, se ve fácilmente que B conecta el origen de los momentos con el centro de la hodógrafa circular y posee magnitud A/L. En el perihelio, apunta en la dirección del impulso.

El vector B se denota como "binormal" ya que es perpendicular tanto a A como a L. De manera similar al propio vector LRL, el vector binormal se puede definir con diferentes escalas y símbolos.

Los dos vectores conservados, A y B pueden combinarse para formar un tensor diádico conservado W,

$${displaystyle mathbf {W} =alpha mathbf {A} otimes mathbf {A} +beta ,mathbf {B} otimes mathbf {B}$$

${displaystyle otimes }$

$${displaystyle W_{ij}=alpha A_{i}A_{j}+beta B_{i}B_{j}$$

Al ser perpendiculares entre sí, los vectores A y B pueden verse como los ejes principales del tensor conservado W, es decir, sus vectores propios escalados. W es perpendicular a L

$${displaystyle mathbf {L} cdot mathbf {W} =alpha left(mathbf {L} cdot mathbf {A} right)mathbf {A} +beta left(mathbf {L} cdot mathbf {B}right)mathbf}$$

Más directamente, esta ecuación dice, en componentes explícitos,

$${displaystyle left(mathbf {L} cdot mathbf {W} right)_{j}=alpha left(sum) A_{j}+beta left(sum) ¿Por qué?$$