Variedad topológica

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Tipo de espacio topológico

En topología, una rama de las matemáticas, una variedad topológica es un espacio topológico que localmente se asemeja al espacio euclidiano real n-dimensional. Las variedades topológicas son una clase importante de espacios topológicos, con aplicaciones en todas las matemáticas. Todas las variedades son variedades topológicas por definición. Otros tipos de variedades se forman agregando estructura a una variedad topológica (por ejemplo, las variedades diferenciables son variedades topológicas equipadas con una estructura diferencial). Cada variedad tiene un valor "subyacente" variedad topológica, obtenida simplemente "olvidando" la estructura añadida. Sin embargo, no todas las variedades topológicas pueden dotarse de una estructura adicional particular. Por ejemplo, la variedad E8 es una variedad topológica a la que no se le puede dotar de una estructura diferenciable.

Definición formal

Un espacio topológico X se llama localmente euclidiano si existe un entero no negativo n tal que cada punto en X tiene una vecindad que es homeomorfa al espacio n real Rⁿ.

Una variedad topológica es un espacio de Hausdorff localmente euclidiano. Es común imponer requisitos adicionales a las variedades topológicas. En particular, muchos autores los definen como paracompactos o segundos contables.

En el resto de este artículo, una variedad significará una variedad topológica. Una n-variedad significará una variedad topológica tal que cada punto tiene una vecindad homeomorfa a Rⁿ.

Ejemplos

N-colectores

El espacio de coordenadas real Rⁿ es un n- múltiples.
Cualquier espacio discreto es un manifold de 0 dimensiones.
Un círculo es un doble compacto.
Un toro y una botella de Klein son 2 mangas compactas (o superficies).
La esfera n-dimensional Sⁿ es un compacto n- múltiples.
El toro dimensional Tⁿ (el producto de n círculos) es un compacto n- múltiples.

Variedades proyectivas

Los espacios proyectados sobre los reinos, complejos o cuaternones son múltiples compactos.
- Espacio proyectado real RPⁿ es un n- Manifold dimensional.
- Espacio proyector complejo CPⁿ es un 2n- Manifold dimensional.
- Espacio proyectivo cuaternónico HPⁿ es un 4n- Manifold dimensional.
Los manifolds relacionados con el espacio proyector incluyen Grassmannians, manifolds de bandera y manifolds Stiefel.

Otros colectores

Manifolds diferenciables son una clase de manifolds topológicos equipados con una estructura diferencial.
Los espacios de lentes son una clase de manifolds diferentes que son cocientes de esferas extrañas.
Los grupos de mentiras son una clase de variadores diferentes equipados con una estructura de grupo compatible.
El manifold E8 es un manifold topológico que no se puede dar una estructura diferenciable.

Propiedades

La propiedad de ser localmente euclidiano se conserva mediante homeomorfismos locales. Es decir, si X es localmente euclidiano de dimensión n y f: Y → X es un homeomorfismo local, entonces Y es localmente euclidiano de dimensión n. En particular, ser localmente euclidiano es una propiedad topológica.

Las variedades heredan muchas de las propiedades locales del espacio euclidiano. En particular, son localmente compactos, localmente conectados, localmente contables, localmente contráctiles y localmente metrizables. Al ser espacios de Hausdorff localmente compactos, las variedades son necesariamente espacios de Tychonoff.

Agregar la condición de Hausdorff puede hacer que varias propiedades se vuelvan equivalentes para una variedad. Como ejemplo, podemos mostrar que para una variedad de Hausdorff, las nociones de σ-compacidad y segunda contabilidad son las mismas. De hecho, una variedad de Hausdorff es un espacio de Hausdorff localmente compacto, por lo que es (completamente) regular. Supongamos que dicho espacio X es σ-compacto. Entonces es Lindelöf, y como Lindelöf + regular implica paracompacto, X es metrizable. Pero en un espacio metrizable, la segunda contable coincide con ser Lindelöf, por lo que X es segundo contable. Por el contrario, si X es una segunda variedad contable de Hausdorff, debe ser σ-compacta.

No es necesario que una variedad esté conectada, pero cada variedad M es una unión disjunta de variedades conectadas. Estos son solo los componentes conectados de M, que son conjuntos abiertos ya que los colectores están conectados localmente. Al estar conectado localmente por ruta, una variedad está conectada por ruta si y solo si está conectada. De ello se deduce que los componentes de la ruta son los mismos que los componentes.

El axioma de Hausdorff

La propiedad Hausdorff no es local; por lo que, aunque el espacio euclidiano sea Hausdorff, un espacio localmente euclidiano no tiene por qué serlo. Es cierto, sin embargo, que todo espacio localmente euclidiano es T1.

Un ejemplo de un espacio localmente euclidiano que no es de Hausdorff es la línea con dos orígenes. Este espacio se crea reemplazando el origen de la línea real con dos puntos, una vecindad abierta de cualquiera de los cuales incluye todos los números distintos de cero en algún intervalo abierto centrado en cero. Este espacio no es Hausdorff porque los dos orígenes no pueden separarse.

Axiomas de compacidad y contabilización

Una variedad es metrizable si y solo si es paracompacta. La línea larga es un ejemplo de una variedad topológica unidimensional normal de Hausdorff que no es metrizable ni paracompacta. Dado que la metrizabilidad es una propiedad tan deseable para un espacio topológico, es común agregar paracompacidad a la definición de una variedad. En cualquier caso, las variedades no paracompactas generalmente se consideran patológicas. La línea larga da un ejemplo de una variedad no paracompacta. Las variedades paracompactas tienen todas las propiedades topológicas de los espacios métricos. En particular, son espacios de Hausdorff perfectamente normales.

Por lo general, también se requiere que los colectores sean contables en segundo lugar. Esta es precisamente la condición requerida para garantizar que la variedad se incruste en algún espacio euclidiano de dimensión finita. Para cualquier variedad, las propiedades de ser segundo contable, Lindelöf y σ-compacto son todas equivalentes.

Cada segunda variedad contable es paracompacta, pero no al revés. Sin embargo, lo contrario es casi cierto: una variedad paracompacta es contable en segundos si y sólo si tiene un número contable de componentes conectados. En particular, una variedad conectada es paracompacta si y solo si es contable en segundos. Cada segunda variedad contable es separable y paracompacta. Además, si una variedad es separable y paracompacta, entonces también es contable en segundos.

Cada variedad compacta es contable en segundos y paracompacta.

Dimensionalidad

Por invariancia del dominio, una variedad n no vacía no puede ser una variedad m para n ≠ m. La dimensión de una variedad n no vacía es n. Ser una variedad n es una propiedad topológica, lo que significa que cualquier espacio topológico homeomorfo a una variedad n también es una variedad n.

Gráficos de coordenadas

Por definición, cada punto de un espacio localmente euclidiano tiene una homeomorfa vecinal a un subconjunto abierto de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ . Tales barrios se llaman Barrios euclidianos. Se deriva de la invariancia del dominio que los barrios de Euclidean son siempre conjuntos abiertos. Uno siempre puede encontrar barrios de Euclidean que son homeomorfos a "nice" conjuntos abiertos en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ . De hecho, un espacio M es localmente Euclidean si y sólo si cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes sostiene:

cada punto de M tiene un barrio homeomorfo a una bola abierta ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ .
cada punto de M tiene un barrio homeomorfo a ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ en sí mismo.

Un barrio de Euclidean homeomorfa a una bola abierta en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ se llama Bola de Euclide. Las bolas euclidianas forman una base para la topología de un espacio local euclidiano.

Por cualquier barrio euclidiano U, un homeomorfismo ${displaystyle phi:Urightarrow phi left(Uright)subset mathbb {R} ^{n}}$ se llama gráfico de coordenadas on U (aunque la palabra Gráfico se utiliza con frecuencia para referirse al dominio o rango de tal mapa). Un espacio M es localmente Euclidean si y sólo si puede ser cubierto por barrios de Euclidean. Un conjunto de barrios euclidianos que cubren M, junto con sus tablas de coordenadas, se llama atlas on M. (La terminología proviene de una analogía con la cartografía por la que un globo esférico puede ser descrito por un atlas de mapas planos o gráficos).

Dados dos gráficos ${displaystyle phi }$ y ${displaystyle psi }$ con dominios superpuestos U y VHay un función de transición

{displaystyle psi phi ^{-1}:phi left(Ucap Vright)rightarrow psi left(Ucap Vright)}

Tal mapa es un homeomorfismo entre subconjuntos abiertos de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ . Es decir, las tablas de coordenadas coinciden en la superposición al homeomorfismo. Se pueden definir diferentes tipos de andamios colocando restricciones sobre tipos de mapas de transición permitidos. Por ejemplo, para los variadores diferentes los mapas de transición son necesarios para ser suaves.

Clasificación de colectores

Espacios discretos (colector 0)

Una variedad 0 es solo un espacio discreto. Un espacio discreto es contable en segundo lugar si y sólo si es contable.

Curvas (1-colector)

Cada variedad 1 no vacía, paracompacta y conectada es homeomórfica ya sea para R o para el círculo.

Superficies (2 colectores)

Cada 2-variedad (o superficie) no vacía, compacta y conectada es homeomorfa a la esfera, una suma conectada de toros o una suma conectada de planos proyectivos.

Volúmenes (3 colectores)

Una clasificación de 3 variedades resulta de La conjetura de geometrización de Thurston, probada por Grigori Perelman en 2003. Más específicamente, los resultados de Perelman proporcionan un algoritmo para decidir si dos variedades triples son homeomórficas entre sí.

N-Colector general

Se sabe que la clasificación completa de n-colectores para n mayores que tres es imposible; es al menos tan difícil como el problema verbal de la teoría de grupos, que se sabe que es algorítmicamente indecidible.

De hecho, no existe ningún algoritmo para decidir si una variedad determinada es simplemente conexa. Sin embargo, existe una clasificación de variedades simplemente conexas de dimensión ≥ 5.

Múltiples con límite

A veces resulta útil un concepto un poco más general. Una variedad topológica con límite es un espacio de Hausdorff en el que cada punto tiene una vecindad homeomorfa a un subconjunto abierto del semiespacio euclidiano (para un n fijo):

{displaystyle mathbb {R} _{+}^{n}={(x_{1},ldotsx_{n})in mathbb {R} ^{n}:x_{n}geq 0}.}

Cada variedad topológica es una variedad topológica con límite, pero no al revés.

Construcciones

Existen varios métodos para crear variedades a partir de otras variedades.

Manifolds de producto

Si M es una variedad m y N es una variedad n, el producto cartesiano M×N es una variedad (m+n) cuando se le da la topología del producto.

Unión disjunta

La unión disjunta de una familia contable de n-variedades es una n-variedad (todas las piezas deben tener la misma dimensión).

Suma conectada

La suma conectada de dos variedades n se define quitando una bola abierta de cada variedad y tomando el cociente de la unión disjunta de las variedades resultantes con el límite, tomando el cociente con respecto a un homeomorfismo entre las esferas límite de las bolas extraídas. Esto da como resultado otra variedad n.

Subcolector

Cualquier subconjunto abierto de una variedad n es una variedad n con topología subespacial.

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