Variedad simpléctica

En geometría diferencial, un tema de matemáticas, a andmplectic manifold es un andamio suave, M{displaystyle M}, equipado con un diferencial nondegenerado cerrado 2-form ⋅ ⋅ {displaystyle omega }, llamada la forma simpática. El estudio de los manifolds simplécticos se llama geometría simpléctica o topología simpléctica. Los manifolds Symplectic surgen naturalmente en formulaciones abstractas de la mecánica clásica y la mecánica analítica como los conjuntos cotangentes de manifolds. Por ejemplo, en la formulación Hamiltoniana de la mecánica clásica, que proporciona una de las principales motivaciones para el campo, el conjunto de todas las configuraciones posibles de un sistema se modela como un múltiple, y el conjunto cotangente de este múltiple describe el espacio de fase del sistema.

Motivación

Los manifolds Symplectic surgen de la mecánica clásica; en particular, son una generalización del espacio de fase de un sistema cerrado. De la misma manera las ecuaciones Hamilton permiten derivar la evolución del tiempo de un sistema de un conjunto de ecuaciones diferenciales, la forma simpléctica debe permitir que uno obtenga un campo vectorial que describa el flujo del sistema desde el diferencial d H de una función Hamiltoniana H. Así que necesitamos un mapa lineal TM → T^AlternativaM de la manga tangente TM hasta el cotangente T^AlternativaM, o equivalentemente, un elemento T^AlternativaM ⊗ T^AlternativaM. Letting ⋅ denota una sección de T^AlternativaM ⊗ T^AlternativaM, el requisito de que ⋅ ser no degenerado asegura que por cada diferencial d H hay un campo vectorial único V_H tales que d H = ⋅()V_H, ·). Ya que uno desea que el Hamiltoniano sea constante en las líneas de flujo, uno debería haber ⋅()V_H, V_H) d H()V_H) = 0, lo que implica que ⋅ está alternando y por lo tanto una forma 2. Finalmente, uno hace el requisito de que ⋅ no debe cambiar bajo líneas de flujo, es decir, que el derivado Lie de ⋅ y V_H desaparece. Aplicando la fórmula de Cartan, esto equivale a (aquí .. X{displaystyle iota _{X} es el producto interior:

LVH()⋅ ⋅ )=0.. d().. VH⋅ ⋅ )+.. VHd⋅ ⋅ =d()dH)+d⋅ ⋅ ()VH)=d⋅ ⋅ ()VH)=0{fnMiega}=0;Leftrightarrow ;mathrm {d} (iota) ################################################################################################################################################################################################################################################################ ####{V_{H}mathrm {d} omega =mathrm {d} (mathrm {d} ,H)+mathrm {d} omega (V_{H})=mathrm {d} omega (V_{H})=0}

para que, al repetir este argumento para diferentes funciones suaves H{displaystyle H. tal que el correspondiente VH{displaystyle V_{H} abarca el espacio tangente en cada punto en el que se aplica el argumento, vemos que el requisito para el derivado de Lie desaparecido a lo largo de los flujos de VH{displaystyle V_{H} correspondiente a lisa arbitraria H{displaystyle H. equivale al requisito de que ⋅ Debería estar cerrado.

Definición

A forma simpática en un andamio suave M{displaystyle M} es un diferencial no degenerado cerrado 2-form ⋅ ⋅ {displaystyle omega }. Aquí, no degenerado significa que por cada punto p▪ ▪ M{displaystyle pin M}, el emparejamiento simétrico de la cerda en el espacio tangente TpM{displaystyle T_{p}M} definidas por ⋅ ⋅ {displaystyle omega } no es degenerado. Es decir, si existe un X▪ ▪ TpM{displaystyle Xin T_{p}M} tales que ⋅ ⋅ ()X,Y)=0{displaystyle omega (X,Y)=0} para todos Y▪ ▪ TpM{displaystyle Yin T_{p}M}, entonces X=0{displaystyle X=0}. Puesto que en dimensiones extrañas, las matrices simétricas son siempre singulares, el requisito de que ⋅ ⋅ {displaystyle omega } ser nodegenerado implica que M{displaystyle M} tiene una dimensión uniforme. La condición cerrada significa que el derivado exterior ⋅ ⋅ {displaystyle omega } desaparece. A andmplectic manifold es un par ()M,⋅ ⋅ ){displaystyle (M,omega)} Donde M{displaystyle M} es un manifold suave y ⋅ ⋅ {displaystyle omega } es una forma simpática. Asignar una forma simpática M{displaystyle M} se denomina dar M{displaystyle M} a estructura simpática.

Ejemplos

Espacios vectoriales simplécticos

Vamos {}v1,...... ,v2n}{displaystyle {v_{1},ldotsv_{2n}}} ser una base para R2n.{displaystyle mathbb {R} ^{2n} Definimos nuestra forma simpática ⋅ sobre esta base:

⋅ ⋅ ()vi,vj)={}1j− − i=ncon1⩽ ⩽ i⩽ ⩽ n− − 1i− − j=ncon1⩽ ⩽ j⩽ ⩽ n0de otra manera{displaystyle omega (v_{i},v_{j})={begin{cases}1 coincidenciaj-i=n{ with }1leqslant ileqslant n\-1 implicai-j=n{ with }1leqslant jleqslant n{case{text {}{}}{}}}}}}i}}i}}i}}}i}i}i}

En este caso, la forma simpléctica se reduce a una forma cuadrática simple. Si I_n denota la matriz identidad n × n entonces se da la matriz, Ω, de esta forma cuadrática por la matriz de bloques 2n × 2n:

Ω Ω =()0In− − In0).{displaystyle Omega ={begin{pmatrix}0 limitadaI_{n}\-I_{n} {0end{pmatrix}}}}

Paquetes cotangentes

Vamos Q{displaystyle Q} ser un conjunto suave de la dimensión n{displaystyle n}. Luego el espacio total del paquete cotangente TAlternativa Alternativa Q{displaystyle T^{*}Q} tiene una forma simpática natural, llamada la forma Poincaré de dos formas o la forma simpática canónica

⋅ ⋅ =.. i=1ndpi∧ ∧ dqi{displaystyle omega =sum ¿Qué?

Aquí. ()q1,...... ,qn){displaystyle (q^{1},ldotsq^{n}} son las coordenadas locales en Q{displaystyle Q} y ()p1,...... ,pn){displaystyle (p_{1},ldotsp_{n}} son coordenadas de fibra con respecto a los vectores cotangentes dq1,...... ,dqn{displaystyle ¿Qué?. Los paquetes de cobre son los espacios de fase natural de la mecánica clásica. El punto de distinguir los índices superiores e inferiores es impulsado por el caso del múltiple que tiene un tensor métrico, como es el caso de los manifolds riemannianos. Los índices superiores e inferiores transforman contra y covariantemente bajo un cambio de marcos de coordenadas. La frase "coordenadas fibresas con respecto a los vectores cotangentes" está destinada a transmitir que el momenta pi{displaystyle P_{i} son "soldados" a las velocidades dqi{displaystyle dq^{i}. La soldadura es una expresión de la idea de que la velocidad y el impulso son colineales, en que ambos se mueven en la misma dirección, y difieren por un factor de escala.

Colectores Kähler

Un manifold Kähler es un manifold simpático equipado con una estructura compleja integradora compatible. Forman una clase particular de múltiples complejos. Una gran clase de ejemplos provienen de la geometría algebraica compleja. Cualquier variedad de proyecto complejo liso V⊂ ⊂ CPn{displaystyle Vsubset mathbb {CP} tiene una forma simpática que es la restricción de la forma Fubini-Estudio en el espacio proyectado CPn{displaystyle mathbb {CP}.

Variedades casi complejas

Manifolds Riemannianos con un ⋅ ⋅ {displaystyle omega }-compatible estructura casi compleja se denominan manifolds casi complejos. Generalizan los manifolds Kähler, ya que no necesitan ser integrados. Es decir, no necesariamente surgen de una estructura compleja en el múltiple.

Lagrangiana y otras subvariedades

Hay varias nociones geométricas naturales del submanifold de un manifold simplectic ()M,⋅ ⋅ ){displaystyle (M,omega)}:

• Submanifolds Symplectic de M{displaystyle M} (potencialmente de cualquier dimensión) son submanifolds S⊂ ⊂ M{displaystyle Ssubset M} tales que ⋅ ⋅ SilencioS{displaystyle omega Silencio. es una forma simpática en S{displaystyle S..

• Submanifolds Isotropic son submanifolds donde la forma simpléctica restringe a cero, es decir, cada espacio tangente es un subespacio isotrópico del espacio tangente del manifold ambiente. Del mismo modo, si cada subespacial tangente a un submanifold es co-isotrópico (el doble de un subespacial isotrópico), el submanifold se llama co-isotropic.

• Submanifolds lagrangian de un manifold simpático ()M,⋅ ⋅ ){displaystyle (M,omega)} son submanifolds donde la restricción de la forma symplectic ⋅ ⋅ {displaystyle omega } a L⊂ ⊂ M{displaystyle Lsubset M} se está desvaneciendo, es decir. ⋅ ⋅ SilencioL=0{displaystyle omega Silencio. y dimL=12dim⁡ ⁡ M{displaystyle {text{dim} # L={tfrac {1}{2}dim M.. Los submanifolds lagrangianos son los submanifolds isotropic maximal.

Un ejemplo importante es que la gráfica de un simplectomorfismo en la variedad simpléctica producto (M × M, ω × −ω) es lagrangiano. Sus intersecciones muestran propiedades de rigidez que no poseen las variedades suaves; la conjetura de Arnold da la suma de los números de Betti de la subvariedad como un límite inferior para el número de autointersecciones de una subvariedad lagrangiana suave, en lugar de la característica de Euler en el caso suave.

Ejemplos

Vamos Rx,Sí.2n{displaystyle mathbb {} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}} {fn}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\fnfn\\fnKfnfn\\\\fn\\\\\\\fnK\\\fnfnfn\\fnK\\fnK\\fn\\fnKfnK\fnfn\\fn}\\fnfn}\fn han etiquetado coordenadas globales ()x1,...... ,xn,Sí.1,...... ,Sí.n){displaystyle (x_{1},dotscx_{n},y_{1},dotscy_{n}) }. Entonces, podemos equipar. Rx,Sí.2n{displaystyle mathbb {} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}} {fn}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\fnfn\\fnKfnfn\\\\fn\\\\\\\fnK\\\fnfnfn\\fnK\\fnK\\fn\\fnKfnK\fnfn\\fn}\\fnfn}\fn con la forma simpática canónica

⋅ ⋅ =dx1∧ ∧ dSí.1+⋯ ⋯ +dxn∧ ∧ dSí.n.{displaystyle omega =mathrm {d} x_{1}wedge mathrm {d} y_{1}+dotsb +mathrm {d} x_{n}wedge mathrm {d} y_{n}

Hay un submanifold lagrangiano estándar dado por Rxn→ → Rx,Sí.2n{displaystyle mathbb {R} _{mathbf {x}{n}to mathbb {R} {fn} {fnK}} {fn}} {fn}} {fn}}. La forma ⋅ ⋅ {displaystyle omega } desaparecen Rxn{displaystyle mathbb {R} _{mathbf {x} {n}} {fn} porque dado cualquier par de vectores tangentes X=fi()x)∂ ∂ xi,Y=gi()x)∂ ∂ xi,{displaystyle X=f_{i}({textbf {x})partial ¿Por qué? ¿Qué? tenemos ⋅ ⋅ ()X,Y)=0.{displaystyle omega (X,Y)=0.} Para dilucidar, considere el caso n=1{displaystyle n=1}. Entonces, X=f()x)∂ ∂ x,Y=g()x)∂ ∂ x,{displaystyle X=f(x)partial _{x},Y=g(x)partial ¿Qué? y ⋅ ⋅ =dx∧ ∧ dSí.{displaystyle omega =mathrm {d} xwedge mathrm {d} y}. Observe que cuando expandimos esto

⋅ ⋅ ()X,Y)=⋅ ⋅ ()f()x)∂ ∂ x,g()x)∂ ∂ x)=12f()x)g()x)()dx()∂ ∂ x)dSí.()∂ ∂ x)− − dSí.()∂ ∂ x)dx()∂ ∂ x)){x} {m} {m}m} {m}m} {m}m}m} {m}m} {cH0} {ccHFF}cHFF} {cHFF} {cHFF}}mcH0} {cHFF}cH00}cH00}mcH0}

ambos términos tenemos un dSí.()∂ ∂ x){displaystyle mathrm {d} y(partial _{x})} factor, que es 0, por definición.

Ejemplo: paquete cotangente

El fibrado cotangente de una variedad se modela localmente en un espacio similar al del primer ejemplo. Se puede demostrar que podemos unir estas formas simplécticas afines, por lo tanto, este paquete forma una variedad simpléctica. Un ejemplo menos trivial de una subvariedad lagrangiana es la sección cero del fibrado cotangente de una variedad. Por ejemplo, deja

X={}()x,Sí.)▪ ▪ R2:Sí.2− − x=0}.{displaystyle X={(x,y)in mathbb Sí.

Entonces, podemos presentar TAlternativa Alternativa X{displaystyle T^{*}X} como

TAlternativa Alternativa X={}()x,Sí.,dx,dSí.)▪ ▪ R4:Sí.2− − x=0,2Sí.dSí.− − dx=0}{displaystyle T^{*}X={x,y,mathrm {d} x,mathrm {d} y)in mathbb {R} ^{4}:y^{2}-x=0,2ymathrm {d} y-mathrm {d} x=0}

donde estamos tratando los símbolos dx,dSí.{displaystyle mathrm {d} x,mathrm {d} y} como coordenadas de R4=TAlternativa Alternativa R2{displaystyle mathbb {R} {fn}=T} {fnMitbb} {R} } {2}. Podemos considerar el subconjunto donde las coordenadas dx=0{displaystyle mathrm {d} x=0} y dSí.=0{displaystyle mathrm {d}y=0}, dándonos la sección cero. Este ejemplo puede repetirse para cualquier múltiple definido por el lacus desaparecido de funciones suaves f1,...... ,fk{displaystyle F_{1},dotscf_{k} y sus diferencias df1,...... ,dfk{displaystyle mathrm {d} f_{1},dotscdf_{k}.

Ejemplo: subvariedad paramétrica

Considere el espacio canónico R2n{displaystyle mathbb {R} {2n} con coordenadas ()q1,...... ,qn,p1,...... ,pn){displaystyle (q_{1},dotscq_{n},p_{1},dotscp_{n}) }. Un submanifold paramétrico L{displaystyle L. de R2n{displaystyle mathbb {R} {2n} es uno que se parametiza por coordenadas ()u1,...... ,un){displaystyle (u_{1},dotscu_{n}} tales que

qi=qi()u1,...... ,un)pi=pi()u1,...... ,un){displaystyle q_{i}=q_{i}(u_{1},dotscu_{n}quad ¿Qué?

Este manifold es un submanifold lagrangiano si el corchete Lagrange [ui,uj]{displaystyle [u_{i},u_{j}} desaparece para todos i,j{displaystyle i,j}. Es decir, es Lagrangian si

[ui,uj]=.. k∂ ∂ qk∂ ∂ ui∂ ∂ pk∂ ∂ uj− − ∂ ∂ pk∂ ∂ ui∂ ∂ qk∂ ∂ uj=0{displaystyle [u_{i},u_{j}=sum _{k}{frac {partial q_{k}{partial {fnK} {fnMicroc} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f}} {fn}} {fnMicrosoft}}}}}} {fnMicroc} {fnMicroc} {f}} {fnMicroc} {f}}}}} {f}}}}}} {f}}f}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnMicrocf}f}f}f}f}f}f}}f}f} {fnK} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnK}} {fnK}}} {fnMicroc} {fnK}} {fnK}}} {fnMicroc {f}fnMicroc} {f}f}}f}}}}f}}}}}}}f}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnf}fnf}f}f}\fnfnfnf}f}f}fnfnf}fnf}fnf}f}\f}f}\fn {fnK} {fnMicroc} {fnK} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f}} {fnMicroc}} {f}} {fnMicrosoft}} {fnK}}} {f}}}} {fnMicroc {fnMicroc} {f}f}}f}}}}}}}}f}}}}f}f}f}f}f}f} {f}f} {f}fnMicrocf}f}f}}\\\\f}f}fnMicrocfnMicrocfnMicrocf}}}\\\\\\fn}}\fn}}}}fn}fnMicrocfn}}\\\f}}}}}}}} U_{j}}=0}

para todos i,j{displaystyle i,j}. Esto se puede ver expandiendo

∂ ∂ ∂ ∂ ui=∂ ∂ qk∂ ∂ ui∂ ∂ ∂ ∂ qk+∂ ∂ pk∂ ∂ ui∂ ∂ ∂ ∂ pk{fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} }{partial {fnK}} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}} {fn}} {fnMicrosoft}}}} {fnMicroc {f}}} {fnMicroc {fnMicroc} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}\\\\f}\\\\f}f}f}f}\f}f}fn\\f}f}f}\\\\fnfnMicrocfnMicroc\fnMicroc\\\\\\\fn}\\fn}fn}fn}fnMicroc\fn\\\\\\\\ {fnK} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}} {fncipal} {fnMicrosoft}}}} {fnMicroc}} {fnMicroc} {f}}} {fnMicroc}} {f}}}}} {f}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}} {b}}} {f}f} {f}f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} - ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}}} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft}}}} {f}}} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}} {b}}}}} {b}}}}}} {b}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { {fnK} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}} {fncipal} {fnMicrosoft}}}} {fnMicroc}} {fnMicroc} {f}}} {fnMicroc}} {f}}}}} {f}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}} {b}}} {f}f} {f}f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}.

en la condición de un submanifold lagrangia L{displaystyle L.. Esto es que la forma simpléctica debe desaparecer en el manga tangente TL{displaystyle TL}; es decir, debe desaparecer para todos los vectores tangentes:

⋅ ⋅ ()∂ ∂ ∂ ∂ ui,∂ ∂ ∂ ∂ uj)=0{displaystyle omega left({frac {partial }{partial ¿Qué?

para todos i,j{displaystyle i,j}. Simplifique el resultado haciendo uso de la forma simpática canónica en R2n{displaystyle mathbb {R} {2n}:

⋅ ⋅ ()∂ ∂ ∂ ∂ qk,∂ ∂ ∂ ∂ pk)=− − ⋅ ⋅ ()∂ ∂ ∂ ∂ pk,∂ ∂ ∂ ∂ qk)=1{displaystyle omega left({frac {partial }{partial {fnMicrosoft Sans Serif}derechoso)=-omega left({frac {partial p_{k}}right)=-omega left }{partial {fnMicrosoft Sans Serif}}derecha)=1}

y todos los demás desapareciendo.

Como los gráficos locales en una variedad simpléctica adoptan la forma canónica, este ejemplo sugiere que las subvariedades lagrangianas no tienen restricciones. La clasificación de variedades simplécticas se realiza a través de la homología de Floer: esta es una aplicación de la teoría de Morse a la acción funcional para mapas entre subvariedades lagrangianas. En física, la acción describe la evolución temporal de un sistema físico; aquí, puede tomarse como la descripción de la dinámica de las branas.

Ejemplo: Teoría de Morse

Otra clase útil de submanifolds lagrangosos ocurre en la teoría de Morse. Dada una función Morse f:M→ → R{displaystyle f:Mto mathbb {R} y para un pequeño lo suficiente ε ε {displaystyle varepsilon } uno puede construir un submanifold lagrangiano dado por el lacus que desaparece V()ε ε ⋅ ⋅ df)⊂ ⊂ TAlternativa Alternativa M{displaystyle mathbb {V} (varepsilon cdot mathrm {d} f)subset T^{*}M}. Para una función Morse genérica tenemos una intersección lagrangiana dada por M∩ ∩ V()ε ε ⋅ ⋅ df)=Crit()f){displaystyle Mcap mathbb {V} (varepsilon cdot mathrm {d} f)={text{Crit} {f)}.

Subvariedades lagrangianas especiales

En el caso de los manifolds Kahler (o los manifolds Calabi–Yau) podemos hacer una elección Ω Ω =Ω Ω 1+iΩ Ω 2{displaystyle Omega =Omega ¿Qué? on M{displaystyle M} como forma holomorfa, donde Ω Ω 1{displaystyle Omega ¿Qué? es la parte real y Ω Ω 2{displaystyle Omega _{2} imaginario. A Lagrangian submanifold L{displaystyle L. se llama especiales si además de la condición lagrangia anterior la restricción Ω Ω 2{displaystyle Omega _{2} a L{displaystyle L. se está desvaneciendo. En otras palabras, la parte real Ω Ω 1{displaystyle Omega ¿Qué? restringidos L{displaystyle L. conduce el formulario de volumen en L{displaystyle L.. Los siguientes ejemplos se conocen como submanifolds lagrangianos especiales,

1. complejo Lagrangian submanifolds of hyperKahler manifolds,
2. puntos fijos de una estructura real de los manifolds Calabi-Yau.

La conjetura SYZ se ocupa del estudio de subvariedades especiales de Lagrange en simetría especular; ver (Hitchin 1999).

La conjetura de Thomas-Yau predice que la existencia de subvariedades lagrangianas especiales en las variedades Calabi-Yau en clases de isotopía hamiltoniana de lagrangianas es equivalente a la estabilidad con respecto a una condición de estabilidad en la categoría Fukaya de la variedad.

Fibración lagrangiana

A Fibra lagrangia de un manifold simpático M es una fibración donde todas las fibras son submanifolds lagrangianos. Desde M es incluso-dimensional podemos tomar coordenadas locales ()p₁,...p_n, q¹,...qⁿ), y por el teorema de Darboux la forma simpática ⋅ puede ser, al menos localmente, escrito como ⋅ = 0,02 dp_k ∧ dq^k, donde d denota el derivado exterior y ∧ denota el producto exterior. Esta forma se llama el Poincaré de dos formas o de dos formas canónicas. Usando esta configuración podemos pensar localmente en M como ser el paquete cotangente TAlternativa Alternativa Rn,{displaystyle T^{*}mathbb {R} {n},} y la fibra lagrangia como la fibra trivial π π :TAlternativa Alternativa Rn→ → Rn.{displaystyle pi:T^{*}mathbb {R} {n}to mathbb {R} ^{n} Esta es la imagen canónica.

Mapeo lagrangiano

Sea L una subvariedad lagrangiana de una variedad simpléctica (K,ω) dada por una inmersión i: L ↪ K (i se llama una inmersión lagrangiana). Sea π: K ↠ B una fibración lagrangiana de K. El compuesto (π ∘ i): L ↪ K ↠ B es un mapeo lagrangiano. El conjunto de valores críticos de π ∘ i se denomina cáustico.

Dos mapas lagrangianos (π₁ ∘ i₁): L₁ ↪ K₁ ↠ B₁ y (π₂ ∘ i₂): L₂ ↪ K₂ ↠ B₂ se denominan equivalente lagrangiano si existen difeomorfismos σ, τ y ν tales que ambos lados del diagrama dado en el viaje correcto, y τ conserva la forma simpléctica. Simbólicamente:

τ τ ∘ ∘ i1=i2∘ ∘ σ σ ,.. ∘ ∘ π π 1=π π 2∘ ∘ τ τ ,τ τ Alternativa Alternativa ⋅ ⋅ 2=⋅ ⋅ 1,{displaystyle tau circ I_{1}=i_{2}circ sigma nu circ pi ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?

donde τ^∗ω₂ denota el retroceso de ω₂ por τ.

Casos especiales y generalizaciones

• Un manifold simpático ()M,⋅ ⋅ ){displaystyle (M,omega)} es exacta si la forma simpática ⋅ ⋅ {displaystyle omega } es exacto. Por ejemplo, el conjunto de cotangente de un manifold suave es un manifold symplectic exacto. La forma simpléctica canónica es exacta.

• Un manifold simpléctico dotado con una métrica compatible con la forma simpléctica es un manifold casi Kähler en el sentido de que el paquete tangente tiene una estructura casi compleja, pero esta necesidad no es integrable.

• Los manifolds Symplectic son casos especiales de un manifold Poisson.

• A multiplástico grado k es un manifold equipado con un nondegenerado cerrado k-forme.

• A polisymplectic manifold es un paquete Legendre proporcionado con un valor tangente polisymplectic ()n+2){displaystyle (n+2)}-form; se utiliza en la teoría del campo Hamiltoniano.