Variedad pseudo-riemanniana

En geometría diferencial, una variedad pseudo-riemanniana, también llamada variedad semi-riemanniana, es una variedad diferenciable con un tensor métrico que es no degenerado en todas partes. Esta es una generalización de una variedad de Riemann en la que se relaja el requisito de definición positiva.

Todo espacio tangente de una variedad pseudo-riemanniana es un espacio vectorial pseudo-euclidiano.

Un caso especial utilizado en relatividad general es una variedad lorentziana de cuatro dimensiones para modelar el espacio-tiempo, donde los vectores tangentes se pueden clasificar como temporales, nulos y espaciales.

Introducción

Colectores

En geometría diferencial, una variedad diferenciable es un espacio que es localmente similar a un espacio euclidiano. En un espacio euclidiano de n dimensiones, cualquier punto puede especificarse mediante n números reales. Estas se llaman las coordenadas del punto.

Una variedad diferenciable n-dimensional es una generalización del espacio euclidiano n-dimensional. En una variedad, puede que solo sea posible definir coordenadas localmente. Esto se logra definiendo parches de coordenadas: subconjuntos de la variedad que se pueden mapear en un espacio euclidiano n-dimensional.

Consulte Múltiple, Múltiple diferenciable, Parche de coordenadas para obtener más detalles.

Espacios tangentes y tensores métricos

Asociado con cada punto p{displaystyle p} en una n{displaystyle n}- dimensional diferente M{displaystyle M} es un espacio tangente (denotado TpM{displaystyle T_{p}M}). Esto es un n{displaystyle n}-dimensional espacio vectorial cuyos elementos se pueden considerar como clases de equivalencia de curvas pasando por el punto p{displaystyle p}.

Un tensor métrico es un mapa no degenerado, liso, simétrico, bilineal que asigna un número real a pares de vectores tangentes en cada espacio tangente del múltiple. Denotar el tensor métrico por g{displaystyle g} podemos expresarlo como

g:TpM× × TpM→ → R.{displaystyle g:T_{p}Mtimes T_{p}Mto mathbb {R}.}

El mapa es simétrico y bilineal así que si X,Y,Z▪ ▪ TpM{displaystyle X,Y,Zin T_{p}M} son vectores tangentes en un punto p{displaystyle p} hasta el múltiple M{displaystyle M} entonces tenemos

• g()X,Y)=g()Y,X){displaystyle ,g(X,Y)=g(Y,X)}
• g()aX+Y,Z)=ag()X,Z)+g()Y,Z){displaystyle ,g(aX+Y,Z)=ag(X,Z)+g(Y,Z)}

para cualquier número real a▪ ▪ R{displaystyle ain mathbb {R}.

Que g{displaystyle g} no es degenerado significa que no hay X▪ ▪ TpM{displaystyle Xin T_{p}M} tales que g()X,Y)=0{displaystyle ,g(X,Y)=0} para todos Y▪ ▪ TpM{displaystyle Yin T_{p}M}.

Firmas métricas

Dado un tensor métrico g en una variedad real n-dimensional, la forma cuadrática q(x) = g(x, x) asociado con el tensor métrico aplicado a cada vector de cualquier base ortogonal produce n valores reales. Por la ley de inercia de Sylvester, el número de valores positivos, negativos y cero producidos de esta manera son invariantes del tensor métrico, independientemente de la elección de la base ortogonal. La firma (p, q, r) de el tensor métrico da estos números, mostrados en el mismo orden. Un tensor métrico no degenerado tiene r = 0 y la firma se puede denotar (p, q), donde p + q = n.

Definición

A pseudo-Riemannian manifold ()M,g){displaystyle (M,g)} es un manifold diferente M{displaystyle M} equipado con un tensor métrico no degenerado, liso, simétrico g{displaystyle g}.

Este tipo de métrica se denomina métrica pseudo-riemanniana. Aplicado a un campo vectorial, el valor del campo escalar resultante en cualquier punto de la variedad puede ser positivo, negativo o cero.

La firma de una métrica pseudo-riemanniana es (p, q), donde tanto p y q no son negativos. La condición de no degeneración junto con la continuidad implica que p y q permanecen sin cambios en toda la variedad (suponiendo que esté conectado).

Propiedades de las variedades pseudo-Riemannianas

Justo como espacio Euclideano Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} se puede pensar como el modelo de manifold Riemannian, espacio Minkowski Rn− − 1,1{displaystyle mathbb {R} {n-1,1} con la métrica plana de Minkowski es el modelo Lorentzian manifold. Del mismo modo, el espacio modelo para un conjunto pseudo-riemanniano de firma (p,q) es Rp,q{displaystyle mathbb {R} ^{p,q} con la métrica

g=dx12+⋯ ⋯ +dxp2− − dxp+12− − ⋯ ⋯ − − dxp+q2{displaystyle g=dx_{1}{2}+cdots +dx_{p}{2}-dx_{p+1}{2}-cdots -dx.

Algunos teoremas básicos de la geometría riemanniana se pueden generalizar al caso pseudo-riemanniano. En particular, el teorema fundamental de la geometría de Riemann también es válido para las variedades pseudo-riemannianas. Esto permite hablar de la conexión Levi-Civita en una variedad pseudo-Riemanniana junto con el tensor de curvatura asociado. Por otro lado, hay muchos teoremas en la geometría de Riemann que no se cumplen en el caso generalizado. Por ejemplo, no es cierto que toda variedad suave admite una métrica pseudo-Riemanniana de una firma dada; hay ciertas obstrucciones topológicas. Además, una subvariedad no siempre hereda la estructura de una variedad pseudo-Riemanniana; por ejemplo, el tensor métrico se convierte en cero en cualquier curva similar a la luz. El toro de Clifton-Pohl proporciona un ejemplo de una variedad pseudo-riemanniana que es compacta pero no completa, una combinación de propiedades que el teorema de Hopf-Rinow no permite para las variedades de Riemann.

Variedad lorentziana

Una variedad lorentziana es un caso especial importante de una variedad pseudo-riemanniana en la que la firma de la métrica es (1, n−1) (equivalentemente, (n−1, 1); ver Convención de signos). Estas métricas se denominan métricas de Lorentzian. Llevan el nombre del físico holandés Hendrik Lorentz.

Aplicaciones en física

Después de las variedades de Riemann, las variedades de Lorentz forman la subclase más importante de variedades pseudo-riemannianas. Son importantes en las aplicaciones de la relatividad general.

Una premisa principal de la relatividad general es que el espacio-tiempo se puede modelar como una variedad lorentziana de 4 dimensiones de firma (3, 1) o, de manera equivalente, (1, 3). A diferencia de las variedades de Riemann con métrica definida positiva, una firma indefinida permite que los vectores tangentes se clasifiquen en temporales, nulos o espaciales. Con una firma de (p, 1) o (1, q), la variedad también es localmente (y posiblemente globalmente) orientable en el tiempo (ver Estructura causal).