Variedad hiperbólica global

En física matemática, la hiperbolicidad global es una condición determinada de la estructura causal de una variedad espaciotemporal (es decir, una variedad lorentziana). Se denomina hiperbólica en analogía con la teoría lineal de propagación de ondas, donde el estado futuro de un sistema está especificado por condiciones iniciales. (A su vez, el símbolo principal del operador de onda es el de un hiperboloide). Esto es relevante para la teoría de la relatividad general de Albert Einstein y, potencialmente, para otras teorías gravitacionales métricas.

Existen varias definiciones equivalentes de hiperbolicidad global. Sea M una variedad lorentziana suave y conexa sin borde. Realizamos las siguientes definiciones preliminares:

• M es no totalmente vicioso si hay al menos un punto tal que ninguna curva de tiempo cerrado pasa a través de él.
• M es causal si no tiene curvas causales cerradas.
• M es encarcelación no total si ninguna curva causal inextendible está contenida en un conjunto compacto. Esta propiedad implica causalidad.
• M es causal si por cada punto p y cualquier vecindario U de p hay un vecindario causalmente convexo V de p contenidas en U, donde la convexidad causal significa que cualquier curva causal con puntos finales en V está completamente contenida en V. This property implies non-total imprisonment.
• Dado cualquier punto p dentro M, ${\displaystyle J^{+}(p)}$ [resp. ${\displaystyle J^{-}(p)}$] es la colección de puntos que pueden ser alcanzados por una curva causal continua dirigida por el futuro [resp. redirigido] a partir de p.
• Dado un subconjunto S de M, el dominio de la dependencia de S es el conjunto de todos los puntos p dentro M tal que cada curva causal inextendible a través p intersects S.
• A subset S de M es achronal si ninguna curva de tiempo intersecta S más de una vez.
• A Superficie de caché para M es un conjunto acrónico cerrado cuyo dominio de dependencia es M.

Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. La hora espacial es causal, y por cada par de puntos p y q dentro M, el espacio de continuas curvas causales dirigidas por el futuro desde p a q es compacto en el ${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnK}} {\fnK}}} {\fnK}}} {\fnK}}}} {\fnMicrosoft}}}}}$ topología.
2. La hora espacial tiene una superficie Cauchy.
3. La hora espacial es causal, y por cada par de puntos p y q dentro M, el subconjunto ${\displaystyle J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}$ es compacto.
4. La hora espacial es imprenta no total, y por cada par de puntos p y q dentro M, el subconjunto ${\displaystyle {J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}}$ está contenida en un conjunto compacto (es decir, su cierre es compacto).

Si se cumple alguna de estas condiciones, decimos que M es globalmente hiperbólica. Si M es una variedad lorentziana conexa suave con borde, decimos que es globalmente hiperbólica si su interior es globalmente hiperbólico.

Otras caracterizaciones equivalentes de la hiperbolicidad global hacen uso de la noción de distancia Lorentziana ${\displaystyle d(p,q):=\sup _{\gamma }l(\gamma)}$ donde el supremum es tomado sobre todo ${\displaystyle C^{1}$ curvas causales que conectan los puntos (por convención d=0 si no hay tal curva). Ellos son

• Un tiempo espacial fuertemente causal para el cual ${\displaystyle d}$ es un valor finito.
• A non-total limiting spacetime such that ${\displaystyle d}$ es continua para cada elección métrica en la clase conformal de la métrica original.

La hiperbolicidad global, en la primera forma dada arriba, fue introducida por Leray para considerar la correcta formulación del problema de Cauchy para la ecuación de onda en la variedad. En 1970, Geroch demostró la equivalencia de las definiciones 1 y 2. La definición 3 bajo el supuesto de causalidad fuerte y su equivalencia con las dos primeras fue dada por Hawking y Ellis.

Como se mencionó, en la literatura más antigua, la condición de causalidad en la primera y tercera definiciones de hiperbolicidad global dadas anteriormente se reemplaza por la condición más fuerte de causalidad fuerte. En 2007, Bernal y Sánchez demostraron que la condición de causalidad fuerte puede reemplazarse por causalidad. En particular, cualquier variedad globalmente hiperbólica como la definida en 3 es fuertemente causal. Más tarde, Hounnonkpe y Minguzzi demostraron que para espacios-tiempos bastante razonables, más precisamente aquellos de dimensión mayor que tres que no son compactos o no son totalmente viciosos, la condición "causal" puede eliminarse de la definición 3.

En la definición 3, el cierre ${\displaystyle J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}$ parece fuerte (de hecho, los cierres de los conjuntos ${\displaystyle J^{\pm}(p)}$ implicaciones causal simplicidad, el nivel de la jerarquía causal de las horas espaciales que se mantiene justo por debajo de la hiperbolicidad global). Es posible remediar este problema fortaleciendo la condición de causalidad como en la definición 4 propuesta por Minguzzi en 2009. Esta versión aclara que la hiperbolicidad global establece una condición de compatibilidad entre la relación causal y la noción de compactidad: cada diamante causal está contenido en un conjunto compacto y cada curva causal inextendible escapa a conjuntos compactos. Observe que cuanto mayor sea la familia del compacto, más fácil será que los diamantes causales se contengan en algún conjunto compacto, pero más difícil para las curvas causales escapar de conjuntos compactos. Así, la hiperbolicidad global establece un equilibrio en la abundancia de conjuntos compactos en relación con la estructura causal. Como las topologías más finas tienen conjuntos menos compactos también podemos decir que el equilibrio está en el número de conjuntos abiertos dada la relación causal. La definición 4 también es robusta bajo perturbaciones de la métrica (que en principio podría introducir curvas causales cerradas). De hecho, utilizando esta versión se ha demostrado que la hiperbolicidad global es estable bajo perturbaciones métricas.

En 2003, Bernal y Sánchez demostraron que cualquier tipo hiperbólico globalmente M tiene una superficie lisa de Cauchy tridimensional, y además que cualquier dos superficies Cauchy para M son diffeomorfos. En particular, M es diffeomorfo al producto de una superficie Cauchy con ${\displaystyle \mathbb {R}$. Anteriormente era bien conocido que cualquier superficie Cauchy de un manifold globalmente hiperbólico es un tridimensional incrustado ${\displaystyle C^{0}$ submanifold, cualquiera de los dos son homeomorfos, y tal que el manifold se divide topológicamente como el producto de la superficie Cauchy y ${\displaystyle \mathbb {R}$. En particular, un manifold hiperbólico global está follado por superficies Cauchy.

En vista de la formulación del valor inicial para las ecuaciones de Einstein, se considera que la hiperbolicidad global es una condición muy natural en el contexto de la relatividad general, en el sentido de que dados los datos iniciales arbitrarios, existe un máximo mundial único global Solución hiperbólica de ecuaciones de Einstein ' s.

• Condiciones de precaución
• Estructura causal
• Cono de luz

• Hawking, Stephen; Ellis, G. F. R. (1973). La estructura de escala grande del tiempo espacial. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4.
• Wald, Robert M. (1984). Relatividad general. Chicago: La Universidad de Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2.