Variedad de Riemann

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Manifold real y liso equipado con una métrica Riemanniana

En geometría diferencial, una variedad de Riemann o espacio de Riemann (M, g), llamada así por el matemático alemán Bernhard Riemann, es una variedad M suave y real equipada con un producto interno definido positivo g_p en el espacio tangente T_pM en cada punto p.

La familia g_p de productos internos se denomina métrica riemanniana (o tensor métrico riemanniano). La geometría riemanniana es el estudio de las variedades riemannianas.

Una convención común es tomar g como suave, lo que significa que para cualquier gráfico de coordenadas suave (U, x) en M, las funciones n²

{displaystyle gleft({frac {partial }{partial x^{i}}},{frac {partial }{partial x^{j}}}right):Uto mathbb {R} }

son funciones suaves. Estas funciones se designan comúnmente como $g_{ij}$ .

Con nuevas restricciones $g_{ij}$ , también se podría considerar Lipschitz Riemannian metrics or measurable Riemannian metrics, entre muchas otras posibilidades.

Una métrica riemanniana (tensor) permite definir varias nociones geométricas en una variedad riemanniana, como el ángulo en una intersección, la longitud de una curva, el área de una superficie y análogos de mayor dimensión (volumen, etc.), curvatura extrínseca de las subvariedades y curvatura intrínseca de la variedad misma.

Introducción

En 1828, Carl Friedrich Gauss demostró su Teorema Egregium ("teorema notable" en latín), estableciendo una importante propiedad de las superficies. Informalmente, el teorema dice que la curvatura de una superficie se puede determinar completamente midiendo distancias a lo largo de trayectorias en la superficie. Es decir, la curvatura no depende de cómo se incruste la superficie en un espacio tridimensional. Ver Geometría diferencial de superficies. Bernhard Riemann extendió la teoría de Gauss a espacios de dimensiones superiores llamados variedades de una manera que también permite medir distancias y ángulos y definir la noción de curvatura, nuevamente de una manera que es intrínseca a la variedad y no dependiente. sobre su incrustación en espacios de dimensiones superiores. Albert Einstein utilizó la teoría de las variedades pseudo-riemannianas (una generalización de las variedades riemannianas) para desarrollar su teoría general de la relatividad. En particular, sus ecuaciones para la gravitación son restricciones sobre la curvatura del espacio-tiempo.

Definición

El paquete tangente de un manifold suave $M$ asigna a cada punto $p$ de $M$ un espacio vectorial $T_{p}M$ llamado el espacio tangente $M$ a $p.$ Una métrica Riemanniana (por su definición) asigna a cada $p$ un producto interno-definido positivo ${displaystyle g_{p}:T_{p}Mtimes T_{p}Mto mathbb {R}}$ con que viene una norma ${displaystyle |cdot |_{p}:T_{p}Mto mathbb {R} }$ definidas por ${displaystyle |v|_{p}={sqrt {g_{p}(v,v)}}.}$ El manifold suave $M$ dotado de esta métrica $g$ es un Manifold Riemanniano, denotado $(M,g)$ .

Cuando se le da un sistema de coordenadas locales suaves en ${displaystyle M,}$ dado por $n$ Funciones de valor real ${displaystyle (x^{1},ldotsx^{n}):Uto mathbb {R} ^{n},}$ los vectores

{displaystyle left{{frac {partial }{partial x^{1}}}{Big |}_{p},dotsc{frac {partial }{partial x^{n}}}{Big |}_{p}right}}

forma una base del espacio vectorial ${displaystyle T_{p}M,}$ para cualquier ${displaystyle pin U.}$ Relativo a esta base, se puede definir el tensor métrico "componentes" en cada punto $p$ por

{displaystyle g_{ij}|_{p}:=g_{p}left(left.{frac {partial }{partial x^{i}}}right|_{p},left.{frac {partial }{partial x^{j}}}right|_{p}right).}

Uno podría considerar estos como $n^{2}$ Funciones individuales ${displaystyle g_{ij}:Uto mathbb {R} }$ o como un solo $ntimes n$ función valorada en la matriz ${displaystyle U;}$ note que la suposición "Riemanniana" dice que se valora en el subconjunto que consiste en matrices simétricas positivas-definidas.

En términos de álgebra tensorial, el tensor métrico se puede escribir en términos de la base dual {dx¹,..., dxⁿ} del paquete cotangente como

{displaystyle g=sum _{i,j}g_{ij},mathrm {d} x^{i}otimes mathrm {d} x^{j}.}

Isometrías

Si $(M,g)$ y ${displaystyle (N,h)}$ son dos manifolds Riemannianos, con $f:Mto N$ un diffeomorfismo, entonces $f$ se llama isometría si ${displaystyle g=f^{ast }h,}$ i.e. si

{displaystyle g_{p}(u,v)=h_{f(p)}(df_{p}(u),df_{p}(v))}

para todos $pin M$ y ${displaystyle u,vin T_{p}M.}$

Uno dice que un mapa ${displaystyle f:Mto N,}$ no se supone que sea un diffeomorfismo, es un isometría local si $pin M$ tiene un barrio abierto $U$ tales que ${displaystyle f:Uto f(U)}$ es una isometría (y por lo tanto un diffeomorfismo).

Regularidad de una métrica riemanniana

Uno dice que la métrica Riemanniana $g$ es continuo si ${displaystyle g_{ij}:Uto mathbb {R} }$ son continuos cuando se da cualquier tabla de coordenadas lisa ${displaystyle (U,x).}$ Uno dice que $g$ es lisa si estas funciones son suaves cuando se le da cualquier diagrama de coordenadas suave. Uno también podría considerar muchos otros tipos de métricas Riemannianas en este espíritu.

En la mayoría de los relatos expositivos de la geometría de Riemann, las métricas siempre se consideran uniformes. Sin embargo, puede haber razones importantes para considerar métricas que son menos fluidas. Las métricas riemannianas producidas por métodos de análisis geométrico, en particular, pueden ser menos que fluidas. Véase, por ejemplo, (Gromov 1999) y (Shi y Tam 2002).

Resumen

A continuación se discutirán ejemplos de andamios Riemannianos. Un famoso teorema de John Nash afirma que, dada cualquier suave manifold Riemanniano ${displaystyle (M,g),}$ hay un número (generalmente grande) $N$ y una incrustación ${displaystyle F:Mto mathbb {R} ^{N}}$ tal que el retroceso $F$ de la métrica Riemanniana estándar $mathbb {R} ^{N}$ es $g.$ Informalmente, toda la estructura de un manifold Riemanniano suave puede ser codificada por un diffeomorfismo a un cierto submanifold incrustado de algún espacio Euclideano. En este sentido, es discutible que nada puede obtenerse de la consideración de los manifolds suaves abstractos y su métrica Riemanniana. Sin embargo, hay muchos manifolds Riemannianos suaves naturales, como el conjunto de rotaciones del espacio tridimensional y el espacio hiperbólico, de los cuales cualquier representación como submanifold del espacio Euclideano no representará sus simetrías y propiedades notables tan claramente como lo hacen sus presentaciones abstractas.

Ejemplos

Espacio euclidiano

Vamos ${displaystyle x^{1},ldotsx^{n}}$ denota las coordenadas estándar sobre ${mathbb {R}}^{n}.$ Entonces defina ${displaystyle g_{p}^{mathrm {can} }:T_{p}mathbb {R} ^{n}times T_{p}mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }$ por

{displaystyle left(sum _{i}a_{i}{frac {partial }{partial x^{i}}},sum _{j}b_{j}{frac {partial }{partial x^{j}}}right)longmapsto sum _{i}a_{i}b_{i}.}

Frasado de manera diferente: en relación con las coordenadas estándar, la representación local ${displaystyle g_{ij}:Uto mathbb {R} }$ es dado por el valor constante ${displaystyle delta _{ij}.}$

Esto es claramente una métrica Riemanniana, y se llama la estructura riemanniana estándar ${mathbb {R}}^{n}.$ It is also referred to as Espacio euclidiano de la dimensión n y g_ij^puede también se llama el (canónico) Euclidean metric.

Subvariedades integradas

Vamos $(M,g)$ ser un andamio Riemanniano y dejar $Nsubset M$ ser un submanifold incrustado ${displaystyle M,}$ por lo menos ${displaystyle C^{1}.}$ Luego la restricción g vectores tangente a lo largo N define una métrica Riemanniana sobre N.

Por ejemplo, considere ${displaystyle S^{n-1}={xin mathbb {R} ^{n}:(x^{1})^{2}+cdots +(x^{n})^{2}=1.},}$ que es un suave submanifold incrustado del espacio Euclideano con su métrica estándar. La métrica Riemanniana que induce $S^{{n-1}}$ se llama métrica estándar o métrica canónica on ${displaystyle S^{n-1}.}$
Hay muchos ejemplos similares. Por ejemplo, cada elipsoide en $mathbb {R} ^{3}$ tiene una métrica Riemanniana natural. El gráfico de una función suave ${displaystyle f:mathbb {R} ^{3}to mathbb {R} }$ es un submanifold incrustado, y también tiene una métrica Riemanniana natural.

Inmersiones

Vamos $(M,g)$ ser un andamio Riemanniano y dejar ${displaystyle f:Sigma to M}$ ser un mapa diferente. Entonces uno puede considerar la retirada $g$ via $f$ , que es un 2-tensor simétrico en $Sigma$ definidas por

{displaystyle (f^{ast }g)_{p}(v,w)=g_{f(p)}{big (}df_{p}(v),df_{p}(w){big)},}

Donde ${displaystyle df_{p}(v)}$ es el impulso de $v$ por $f.$

En este entorno, generalmente ${displaystyle f^{ast }g}$ no será una métrica Riemanniana $Sigma$ ya que no es positivo-definido. Por ejemplo, si $f$ es constante, entonces ${displaystyle f^{ast }g}$ es cero. De hecho, ${displaystyle f^{ast }g}$ es una métrica Riemanniana si y sólo si $f$ es una inmersión, lo que significa que el mapa lineal ${displaystyle df_{p}:T_{p}Sigma to T_{f(p)}M}$ es inyectable para cada uno ${displaystyle pin Sigma.}$

Un ejemplo importante ocurre cuando $(M,g)$ no está simplemente conectado, por lo que hay un mapa de cobertura ${displaystyle {widetilde {M}}to M.}$ Esta es una inmersión, por lo que la cubierta universal de cualquier manifold Riemanniano hereda automáticamente una métrica Riemanniana. Más generalmente, pero por el mismo principio, cualquier espacio de cobertura de un manifold Riemanniano hereda una métrica Riemanniana.
Además, un submanifold inmerso de un manifold Riemanniano hereda una métrica Riemanniana.

Métricas del producto

Vamos $(M,g)$ y ${displaystyle (N,h)}$ ser dos manifolds Riemannian, y considerar el producto cartesiano $Mtimes N$ con la estructura lisa de producto habitual. La métrica Riemanniana $g$ y $h$ naturalmente puso una métrica Riemanniana ${displaystyle {widetilde {g}}}$ on ${displaystyle Mtimes N,}$ que se puede describir de algunas maneras.

Considerando la descomposición ${displaystyle T_{(p,q)}(Mtimes N)cong T_{p}Moplus T_{q}N,}$ uno puede definir

{displaystyle {widetilde {g}}_{p,q}(uoplus x,voplus y)=g_{p}(u,v)+h_{q}(x,y).}

Vamos ${displaystyle (U,x)}$ ser un gráfico de coordenadas suave en $M$ y dejar ${displaystyle (V,y)}$ ser un gráfico de coordenadas suave en ${displaystyle N.}$ Entonces... ${displaystyle (Utimes V,(x,y))}$ es un gráfico de coordenadas suave en ${displaystyle Mtimes N.}$ Para mayor comodidad ${displaystyle operatorname {Sym} _{ntimes n}^{+}}$ denota la colección de simetría positiva-definida $ntimes n$ matrices reales. Denote la representación coordinada $g$ relativa a ${displaystyle (U,x)}$ por ${displaystyle g_{U}:Uto operatorname {Sym} _{mtimes m}^{+}}$ y denotar la representación coordinada $h$ relativa a ${displaystyle (V,y)}$ por ${displaystyle h_{V}:Vto operatorname {Sym} _{ntimes n}^{+}.}$ Luego la coordinación local representación de ${displaystyle {widetilde {g}}}$ relativa a ${displaystyle (Utimes V,(x,y))}$ es ${displaystyle {widetilde {g}}_{Utimes V}:Utimes Vto operatorname {Sym} _{(m+n)times (m+n)}^{+}}$ dado por

{displaystyle (p,q)mapsto {begin{pmatrix}g_{U}(p)&0\0&h_{V}(q)end{pmatrix}}.}

Un ejemplo estándar es considerar el n- Torus $T^{n},$ definir como n- producto múltiple ${displaystyle S^{1}times cdots times S^{1}.}$ Si uno da cada copia de $S^{1}$ su métrica Riemanniana estándar, considerando ${displaystyle S^{1}subset mathbb {R} ^{2}}$ como un submanifold integrado (como arriba), entonces se puede considerar el producto métrica Riemanniana en ${displaystyle T^{n}.}$ Se llama un toro plano.

Combinaciones convexas de métricas

Vamos $g_{0}$ y $g_{1}$ ser dos métricas Riemannianas en ${displaystyle M.}$ Entonces, para cualquier número ${displaystyle lambda in [0,1],}$

{displaystyle {tilde {g}}:=lambda g_{0}+(1-lambda)g_{1}}

es también una métrica Riemanniana ${displaystyle M.}$ Más generalmente, si $a$ y $b$ son dos números positivos, entonces ${displaystyle ag_{0}+bg_{1}}$ es otra métrica Riemanniana.

Toda variedad suave tiene una métrica de Riemann

Este es un resultado fundamental. Aunque gran parte de la teoría básica de las métricas de Riemann se puede desarrollar usando únicamente que una variedad suave es localmente euclidiana, para obtener este resultado es necesario incluir en la definición de "variedad suave" que es Hausdorff y paracompacto. La razón es que la prueba hace uso de una partición de la unidad.

Prueba

Vamos $M$ ser un manifold diferente y ${displaystyle {(U_{alpha },varphi _{alpha })}_{alpha in I}}$ un atlas locales finitos para que ${displaystyle U_{alpha }subseteq M}$ son subconjuntos abiertos y ${displaystyle varphi _{alpha }colon U_{alpha }to varphi _{alpha }(U_{alpha })subseteq mathbf {R} ^{n}}$ son diffeomorfismos.

Vamos ${displaystyle {tau _{alpha }}_{alpha in I}}$ ser una partición diferenciable de unidad subordinada al atlas dado, es decir, tal que ${displaystyle operatorname {supp} ,tau _{alpha }subseteq U_{alpha }}$ para todos ${displaystyle alpha in I}$ .

Entonces defina la métrica $g$ on $M$ por

{displaystyle g:=sum _{beta in I}tau _{beta }cdot {tilde {g}}_{beta },qquad {text{with}}qquad {tilde {g}}_{beta }:=varphi _{beta }^{*}g^{mathrm {can} },,{text{on}},,U_{beta },}

Donde ${displaystyle g^{mathrm {can} }}$ es la métrica euclidiana en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ y ${displaystyle varphi _{beta }^{*}g^{mathrm {can} }}$ es su retroceso $varphi _{beta }$ .

Esto se ve fácilmente como una métrica $M$ .

La estructura espacial métrica de variedades de Riemann conexas continuas

La longitud de las curvas diferenciables continuamente por tramos

Si ${displaystyle gamma:[a,b]to M}$ es diferente, entonces se asigna a cada uno ${displaystyle tin (a,b)}$ un vector $gamma '(t)$ en el espacio vectorial ${displaystyle T_{gamma (t)}M,}$ el tamaño del cual se puede medir por la norma ${displaystyle |cdot |_{gamma (t)}.}$ Así que... ${displaystyle tmapsto |gamma '(t)|_{gamma (t)}}$ define una función no negativa en el intervalo ${displaystyle (a,b).}$ La longitud se define como la parte integral de esta función; sin embargo, como se presenta aquí, no hay razón para esperar que esta función sea integradora. Es típico suponer g ser continuo y $gamma$ para ser continuamente diferenciable, para que la función a integrar sea no negativa y continua, y por lo tanto la longitud de $gamma,$

{displaystyle L(gamma)=int _{a}^{b}|gamma '(t)|_{gamma (t)},dt,}

está bien definido. Esta definición se puede ampliar fácilmente para definir la longitud de cualquier curva diferenciable de forma continua por tramos.

En muchos casos, como al definir el tensor de curvatura de Riemann, es necesario exigir que g tenga más regularidad que mera continuidad; esto se discutirá en otra parte. Por ahora, la continuidad de g será suficiente para usar la longitud definida anteriormente para dotar a M de la estructura de un espacio métrico, siempre que sea conexo.

La estructura del espacio métrico

Precisamente, definir ${displaystyle d_{g}:Mtimes Mto [0,infty)}$ por

{displaystyle d_{g}(p,q)=inf{L(gamma):gamma {text{ a piecewise continuously differentiable curve from }}p{text{ to }}q}.}

Es en su mayoría sencillo comprobar la buena definición de la función ${displaystyle d_{g},}$ su propiedad simetría ${displaystyle d_{g}(p,q)=d_{g}(q,p),}$ su propiedad de reflexividad ${displaystyle d_{g}(p,p)=0,}$ y la desigualdad del triángulo ${displaystyle d_{g}(p,q)+d_{g}(q,r)geq d_{g}(p,r),}$ Aunque hay algunas complicaciones técnicas menores (como verificar que los dos puntos pueden estar conectados por un camino poco diferente). Es más fundamental entender que ${displaystyle pneq q}$ garantías $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">dg()p,q)■0,{displaystyle d_{g}(p,q)}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a35bde4de153a998c603185021f1753b3965a97f" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.22ex; height:3.009ex;"/>$ y, por consiguiente, ${displaystyle d_{g}}$ satisface todos los axiomas de una métrica.

Prueba de eso ${displaystyle pneq q}$ implicación $0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">dg()p,q)■0.{displaystyle d_{g}(p,q)}0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bf442718af3ff79b94d6b23080ef3dc233ab27d" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.22ex; height:3.009ex;"/>$

Brevemente: debe haber un conjunto abierto precompactado alrededor p que cada curva de p a q Debe escapar. Al seleccionar este conjunto abierto que figura en un gráfico de coordenadas, se puede reducir la reclamación al hecho bien conocido de que, en la geometría euclidiana, la curva más corta entre dos puntos es una línea. En particular, como lo ha visto la geometría euclidiana de un gráfico de coordenadas alrededor p, cualquier curva de p a q debe pasar primero aunque un cierto "radio interior". La supuesta continuidad de la métrica Riemanniana g sólo permite que esta "geometría de gráficos coordinados" distorsione la " geometría verdadera" por algún factor ligado.

Para ser precisos, dejar ${displaystyle (U,x)}$ ser un gráfico de coordenadas suave con ${displaystyle x(p)=0}$ y ${displaystyle qnotin U.}$ Vamos ${displaystyle Vni x}$ ser un subconjunto abierto $U$ con ${displaystyle {overline {V}}subset U.}$ Por continuidad de $g$ y compactidad de ${displaystyle {overline {V}},}$ hay un número positivo $lambda$ tales que ${displaystyle g(X,X)geq lambda |X|^{2}}$ para cualquier ${displaystyle rin V}$ y cualquier ${displaystyle Xin T_{r}M,}$ Donde $|cdot |$ denota la norma euclidiana inducida por las coordenadas locales. Vamos R denota $0:B_{r}(0)subset x(V)},}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Sup{}r■0:Br()0)⊂ ⊂ x()V)},{displaystyle sup{r confianza0:B_{r}(0)subset x(V)},}0:B_{r}(0)subset x(V)},}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11043c78b8a2ee75c3324692c8c78dbbdfe4e4f" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.454ex; height:2.843ex;"/>$ para ser utilizado en el paso final de la prueba.

Ahora, dado cualquier camino totalmente diferente ${displaystyle gamma:[a,b]to M}$ desde p a q, debe haber algo mínimo $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ ■0{displaystyle delta >0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>$ tales que ${displaystyle gamma (a+delta)notin V;}$ claramente ${displaystyle gamma (a+delta)in partial V.}$

La longitud $gamma$ es al menos tan grande como la restricción de $gamma$ a ${displaystyle [a,a+delta ].}$ Así que...

{displaystyle L(gamma)geq {sqrt {lambda }}int _{a}^{a+delta }|gamma '(t)|,dt.}

La integral que aparece aquí representa la longitud Euclideana de una curva de 0 a 0 ${displaystyle x(partial V)subset mathbb {R} ^{n}}$ , y por lo tanto es mayor o igual a R. Así que concluimos ${displaystyle L(gamma)geq {sqrt {lambda }}R.}$

La observación que subyace a la prueba anterior, acerca de la comparación entre longitudes medida por g y longitudes de Euclidean medida en un gráfico de coordenadas suave, también verifica que la topología del espacio métrico ${displaystyle (M,d_{g})}$ coincide con la estructura espacial topológica original ${displaystyle M.}$

Aunque la longitud de una curva es dada por una fórmula explícita, generalmente es imposible escribir la función de distancia ${displaystyle d_{g}}$ por cualquier medio explícito. De hecho, si $M$ es compacto entonces, incluso cuando g es suave, siempre existen puntos donde ${displaystyle d_{g}:Mtimes Mto mathbb {R} }$ es no diferenciable, y puede ser notablemente difícil determinar la ubicación o la naturaleza de estos puntos, incluso en casos aparentemente simples como cuando $(M,g)$ es un elipsoide.

Geodésicas

Como en la sección anterior, dejar $(M,g)$ ser un conjunto Riemanniano conectado y continuo; considerar el espacio métrico asociado ${displaystyle (M,d_{g}).}$ Relativo a esta estructura espacial métrica, se dice que un camino ${displaystyle c:[a,b]to M}$ es un geodésico de velocidad de unidad si para cada ${displaystyle t_{0}in [a,b]}$ existe un intervalo ${displaystyle Jsubset [a,b]}$ que contiene $t_{0}$ y tal que

{displaystyle d_{g}(c(s),c(t))=|s-t|qquad forall s,tin J.}

Informalmente, uno puede decir que uno está pidiendo $c$ a localmente "extraerse" tanto como sea posible, sujeto a la limitación de velocidad de unidad (informativamente considerada). La idea es que si ${displaystyle c:[a,b]to M}$ es (en sentido común) continuamente diferenciable y ${displaystyle |c'(t)|_{c(t)}=1}$ para todos $t,$ entonces uno tiene automáticamente ${displaystyle d_{g}(c(s),c(t))leq |s-t|}$ aplicando la desigualdad del triángulo a una suma Riemann aproximación de la parte integral que define la longitud $c.$ Por lo tanto, la condición geodésica de velocidad de unidad como se indica anteriormente requiere $c(s)$ y $c(t)$ estar lo más lejos posible. El hecho de que sólo estamos buscando curvas a localmente estirarse se refleja en los dos primeros ejemplos dados a continuación; la forma global de $(M,g)$ puede obligar incluso a la geodésica más inocua a doblarse e intersectarse.

Considerar el caso de que $(M,g)$ es el círculo $S^{1}$ con su métrica Riemanniana estándar, y ${displaystyle c:mathbb {R} to S^{1}}$ es dado por ${displaystyle tmapsto (cos t,sin t).}$ Recordad que ${displaystyle d_{g}}$ se mide por las longitudes de las curvas a lo largo $S^{1}$ , no por los caminos de línea recta en el avión. Este ejemplo también muestra la necesidad de seleccionar el subintervalo ${displaystyle J,}$ desde la curva $c$ repite en sí misma de una manera particularmente natural.
Del mismo modo, si $(M,g)$ es la esfera redonda $S^{2}$ con su métrica Riemanniana estándar, entonces un camino de velocidad unitaria a lo largo de un círculo ecuatorial será un geodésico. Un camino de velocidad unitaria a lo largo de los otros círculos latitudinales no será geodésico.
Considerar el caso de que $(M,g)$ es $mathbb {R} ^{2}$ con su métrica Riemanniana estándar. Luego una línea de velocidad de unidad como ${displaystyle tmapsto (2^{-1/2}t,2^{-1/2}t)}$ es geodésico pero la curva $c$ del primer ejemplo anterior no es.

Tenga en cuenta que las geodésicas de velocidad unitaria, tal como se definen aquí, son necesariamente continuas y, de hecho, Lipschitz, pero no son necesariamente diferenciables o diferenciables por partes.

El teorema de Hopf-Rinow

Como arriba, déjese $(M,g)$ ser un manifold Riemanniano conectado y continuo. El teorema Hopf-Rinow, en este escenario, dice que (Gromov 1999)

si el espacio métrico ()M,dg){displaystyle (M,d_{g})} ${displaystyle (M,d_{g})}$ está completo (es decir, todos dg{displaystyle d_{g} ${displaystyle d_{g}}$ -Cauchy secuencia converge) entonces
- cada subconjunto cerrado y atado de $M$ es compacto.
- dado $p,qin M$ hay una geodésica de velocidad unitaria ${displaystyle c:[a,b]to M}$ desde $p$ a $q$ tales que ${displaystyle d_{g}(c(s),c(t))=|s-t|}$ para todos ${displaystyle s,tin [a,b].}$

La esencia de la prueba es que una vez establecida la primera mitad, se puede aplicar directamente el teorema Arzelà-Ascoli, en el contexto del espacio métrico compacto ${displaystyle {overline {B_{2d_{g}(p,q)}(p)}},}$ a una secuencia de curvas de velocidad unitaria-diferenciables ininterrumpidamente $p$ a $q$ cuyas longitudes aproximan ${displaystyle d_{g}(p,q).}$ El límite subsiguiente resultante es la geodésica deseada.

The assumed completeness of ${displaystyle (M,d_{g})}$ es importante. Por ejemplo, considere el caso de que $(M,g)$ es el avión pinchado ${displaystyle mathbb {R} ^{2}smallsetminus {(0,0)}}$ con su métrica Riemanniana estándar, y uno toma ${displaystyle p=(1,0)}$ y ${displaystyle q=(-1,0).}$ No hay geodésico de velocidad unitaria de uno a otro.

El diámetro

Vamos $(M,g)$ ser un manifold Riemanniano conectado y continuo. Como con cualquier espacio métrico, se puede definir el diámetro ${displaystyle (M,d_{g})}$ para ser

{displaystyle operatorname {diam} (M,d_{g})=sup{d_{g}(p,q):p,qin M}.}

El teorema Hopf-Rinow muestra que si ${displaystyle (M,d_{g})}$ es completo y tiene diámetro finito, entonces es compacto. Por el contrario, si ${displaystyle (M,d_{g})}$ es compacto, entonces la función ${displaystyle d_{g}:Mtimes Mto mathbb {R} }$ tiene un máximo, ya que es una función continua en un espacio métrico compacto. Esto demuestra la siguiente declaración:

Si ${displaystyle (M,d_{g})}$ es completo, entonces es compacto si y sólo si tiene diámetro finito.

Este no es el caso sin la suposición de integridad; como contraejemplo, se podría considerar cualquier subconjunto abierto acotado de un espacio euclidiano con la métrica estándar de Riemann.

Tenga en cuenta que, de manera más general, y con la misma prueba de una línea, cada espacio métrico compacto tiene un diámetro finito. Sin embargo, la siguiente afirmación es falsa: "Si un espacio métrico es completo y tiene un diámetro finito, entonces es compacto." Para un ejemplo de un espacio métrico completo y no compacto de diámetro finito, considere

{displaystyle M={Big {}{text{continuous functions }}f:[0,1]to mathbb {R} {text{ with }}sup _{xin [0,1]}|f(x)|leq 1{Big }}}

con la métrica uniforme

{displaystyle d(f,g)=sup _{xin [0,1]}|f(x)-g(x)|.}

Así, aunque todos los términos del corolario anterior del teorema Hopf-Rinow sólo implican la estructura espacial métrica ${displaystyle (M,g),}$ es importante que la métrica sea inducida de una estructura riemanniana.

Métricas de Riemann

Completitud geodésica

Una variedad riemanniana M es geodésicamente completa si para todo p ∈ M, el mapa exponencial exp_p está definido para todo v ∈ T_pM, es decir, si alguna geodésica γ(t) a partir de p se define para todos los valores del parámetro t ∈ R. El teorema de Hopf-Rinow afirma que M es geodésicamente completo si y solo si es completo como espacio métrico.

Si M es completo, entonces M no es extensible en el sentido de que no es isométrica a una subvariedad propia abierta de cualquier otra variedad Riemanniana. Sin embargo, lo contrario no es cierto: existen variedades no extensibles que no están completas.

Variedades de dimensión infinita

Las declaraciones y teoremas anteriores son para los manifolds finitos-dimensionales—muchos cuyos gráficos mapa para abrir subconjuntos de $mathbb{R} ^{n}.$ Estos pueden ser extendidos, hasta cierto punto, a múltiples dimensiones infinitas; es decir, múltiples que se modelan después de un espacio vectorial topológico; por ejemplo, Fréchet, Banach y Hilbert ejecuten.

Definiciones

Las métricas de Riemann se definen de forma similar al caso de dimensión finita. Sin embargo, hay una distinción entre dos tipos de métricas riemannianas:

A débil métrica Riemanniana on $M$ es una función suave ${displaystyle g:TMtimes TMto mathbb {R}}$ tal que para cualquier $xin M$ la restricción ${displaystyle g_{x}:T_{x}Mtimes T_{x}Mto mathbb {R} }$ es un producto interno en ${displaystyle T_{x}M.}$
A métrica Riemann on $M$ es una métrica Riemanniana débil, tal que $g_{x}$ induce la topología en ${displaystyle T_{x}M.}$ Note que si $M$ no es un andilberista entonces $g$ no puede ser una métrica fuerte.

Ejemplos

Si ${displaystyle (H,langle ,cdotcdot ,rangle)}$ es un espacio Hilbert, entonces para cualquier ${displaystyle xin H,}$ uno puede identificar $H$ con ${displaystyle T_{x}H.}$ Estableciendo para todos ${displaystyle x,u,vin H}$ ${displaystyle g_{x}(u,v)=langle u,vrangle }$ uno obtiene una fuerte métrica Riemanniana.
Vamos $(M,g)$ ser un manifold Riemanniano compacto y denota por ${displaystyle operatorname {Diff} (M)}$ su grupo de diffeomorfismo. Es un manifold suave (ver aquí) y de hecho, un grupo Lie. Su paquete tangente en la identidad es el conjunto de campos vectoriales lisos en ${displaystyle M.}$ Vamos $mu$ ser un formulario de volumen ${displaystyle M.}$ Entonces uno puede definir $G,$ el $L^{2}$ débil métrica Riemanniana, en ${displaystyle operatorname {Diff} (M).}$ Vamos ${displaystyle fin operatorname {Diff} (M),}$ ${displaystyle u,vin T_{f}operatorname {Diff} (M).}$ Entonces... ${displaystyle xin M,u(x)in T_{f(x)}M}$ y definir ${displaystyle G_{f}(u,v)=int _{M}g_{f(x)}(u(x),v(x))dmu (x).}$ El $L^{2}$ débil métrica Riemanniana ${displaystyle operatorname {Diff} (M)}$ induce a desaparecer la distancia geodésica, ver Michor y Mumford (2005).

La estructura del espacio métrico

La longitud de las curvas se define de una manera similar al caso finito-dimensional. La función ${displaystyle d_{g}:Mtimes Mto [0,infty)}$ se define de la misma manera y se llama distancia geodésica. En el caso finito-dimensional, la prueba de que esta función es una métrica utiliza la existencia de un conjunto abierto pre-compacto alrededor de cualquier punto. En el caso infinito, los conjuntos abiertos ya no son pre-compactados y así esta declaración puede fracasar.

Si $g$ es una fuerte métrica Riemanniana $M$ , entonces ${displaystyle d_{g}}$ separa puntos (de ahí una métrica) e induce la topología original.
Si $g$ es una métrica Riemanniana débil pero no fuerte, ${displaystyle d_{g}}$ puede no separar puntos o incluso ser degenerado.

Para ver un ejemplo de esto último, consulte Valentino y Daniele (2019).

El teorema de Hopf-Rinow

En el caso de métricas riemannianas sólidas, una parte de Hopf-Rinow de dimensión finita sigue funcionando.

Theorem# $(M,g)$ ser un fuerte andamio Riemanniano. Luego la integridad métrica (en la métrica ${displaystyle d_{g}}$ ) implica la integridad geodésica (la geodésica existe para todo el tiempo). La prueba se puede encontrar en (Lang 1999, Capítulo VII, Sección 6). Las otras declaraciones del caso finito-dimensional pueden fallar. Un ejemplo se puede encontrar aquí.

Si $g$ es una métrica Riemanniana débil, entonces ninguna noción de integridad implica la otra en general.

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