Variedad de Calabi-Yau

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Manifold Riemanniano con SU(n) holonomía

Una rebanada 2D de un 6D Calabi-Yau cubo.

En geometría algebraica, una variedad de Calabi-Yau, también conocida como espacio de Calabi-Yau, es un tipo particular de variedad que tiene propiedades, como la planitud de Ricci, dando aplicaciones en la física teórica. Particularmente en la teoría de supercuerdas, a veces se conjetura que las dimensiones adicionales del espacio-tiempo toman la forma de una variedad de Calabi-Yau de 6 dimensiones, lo que condujo a la idea de la simetría especular. Su nombre fue acuñado por Candelas et al. (1985), después de Eugenio Calabi (1954, 1957) quien primero conjeturó que tales superficies podrían existir, y Shing-Tung Yau (1978) quien demostró la conjetura de Calabi.

Las variedades de Calabi-Yau son variedades complejas que son generalizaciones de superficies K3 en cualquier número de dimensiones complejas (es decir, cualquier número par de dimensiones reales). Originalmente se definieron como variedades compactas de Kähler con una primera clase de Chern que se desvanece y una métrica plana de Ricci, aunque a veces se usan muchas otras definiciones similares pero no equivalentes.

Definiciones

La definición motivacional dada por Shing-Tung Yau es la de una variedad compacta de Kähler con una primera clase de Chern que se desvanece, que también es plana de Ricci.

Hay muchas otras definiciones de una variedad de Calabi-Yau utilizadas por diferentes autores, algunas no equivalentes. Esta sección resume algunas de las definiciones más comunes y las relaciones entre ellas.

Un Calabi-Yau $n$ - o Calabi- Manifold Yau de dimensión (complejo) $n$ a veces se define como un compacto $n$ -dimensional Kähler manifold $M$ satisfacer una de las siguientes condiciones equivalentes:

El paquete canónico de $M$ es trivial.
$M$ tiene un holomorfo $n$ -...que no desaparece.
El grupo de estructura del grupo tangente $M$ puede reducirse ${displaystyle U(n)}$ a $SU(n)$ .
$M$ tiene una métrica Kähler con holotomía global contenida en $SU(n)$ .

Estas condiciones implican que la primera integral Clase de Chern ${displaystyle c_{1}(M)}$ de $M$ desaparece. Sin embargo, el contrario no es cierto. Los ejemplos más simples en los que esto sucede son superficies hiperépticas, cocientes finitos de un complejo toro de dimensión compleja 2, que han desaparecido primera clase integral Chern pero no-trivial canónico paquete.

Para un compacto $n$ -dimensional Kähler manifold $M$ las siguientes condiciones son equivalentes entre sí, pero son más débiles que las condiciones anteriores, aunque a veces se utilizan como la definición de un conjunto de Calabi-Yau:

$M$ ha desaparecido primero de verdad Clase Chern.
$M$ tiene una métrica Kähler con la curvatura de Ricci.
$M$ tiene una métrica Kähler con holonomía local contenida en $SU(n)$ .
Un poder positivo del paquete canónico $M$ es trivial.
$M$ tiene una cubierta finita que tiene un paquete canónico trivial.
$M$ tiene una cubierta finita que es un producto de un torus y un simple conjunto conectado con un paquete canónico trivial.

Si una variedad compacta de Kähler es simplemente conexa, entonces la definición débil anterior es equivalente a la definición más fuerte. Las superficies de Enriques dan ejemplos de variedades complejas que tienen métricas planas de Ricci, pero sus paquetes canónicos no son triviales, por lo que son variedades de Calabi-Yau según la segunda pero no la primera definición anterior. Por otro lado, sus dobles cubiertas son variedades de Calabi-Yau para ambas definiciones (de hecho, superficies K3).

Con mucho, la parte más difícil de probar las equivalencias entre las diversas propiedades anteriores es probar la existencia de métricas planas de Ricci. Esto se sigue de la prueba de Yau de la conjetura de Calabi, que implica que una variedad compacta de Kähler con una primera clase Chern real que se desvanece tiene una métrica de Kähler en la misma clase con una curvatura de Ricci que se desvanece. (La clase de una métrica de Kähler es la clase de cohomología de su forma 2 asociada). Calabi mostró que tal métrica es única.

Hay muchas otras definiciones no equivalentes de las variedades de Calabi-Yau que a veces se usan, que difieren de las siguientes maneras (entre otras):

La primera clase de Chern puede desaparecer como una clase integral o como una clase real.
La mayoría de las definiciones afirman que Calabi – Los manifolds de Yau son compactos, pero algunos les permiten ser incompactos. En la generalización a los múltiples no-compactos, la diferencia $(Omega wedge {bar Omega }-omega ^{n}/n!)$ debe desaparecer asintomáticamente. Aquí, $omega$ es la forma Kähler asociada con la métrica Kähler, $g$ (Gang Tian; Shing-Tung Yau 1990, 1991).
Algunas definiciones imponen restricciones al grupo fundamental de un conjunto de Calabi-Yau, como exigir que sea finito o trivial. Cualquier manifold de Calabi-Yau tiene una cubierta finita que es el producto de un torus y un manifold de Calabi-Yau simplemente conectado.
Algunas definiciones requieren que la holonomía sea exactamente igual a $SU(n)$ más que un subgrupo de él, lo que implica que los números Hodge ${displaystyle h^{i,0}}$ desaparecer por $<math alttext="{displaystyle 0<i0.i.dim ()M){displaystyle 0 madei {dim} <img alt="{displaystyle 0<i$ . Las superficies abelianas tienen una métrica plana Ricci con holonomía estrictamente menor que $SU(2)$ (de hecho trivial) así que no son Calabi-Yau los manifolds de acuerdo a tales definiciones.
La mayoría de las definiciones suponen que un manifold de Calabi-Yau tiene una métrica Riemanniana, pero algunos los tratan como manifolds complejos sin una métrica.
La mayoría de las definiciones suponen que el múltiple es no-singular, pero algunas permiten singularidades leves. Mientras que la clase Chern no está bien definida para Calabi-Yau singular, el paquete canónico y la clase canónica todavía se puede definir si todas las singularidades son Gorenstein, y por lo tanto puede ser utilizado para extender la definición de un suave Calabi-Yau manifold a una variedad posiblemente singular Calabi-Yau.

Ejemplos

El hecho fundamental más importante es que cualquier variedad algebraica suave incrustada en un espacio proyectivo es una variedad de Kähler, porque hay una métrica natural de Fubini-Study en un espacio proyectivo que se puede restringir a la variedad algebraica. Por definición, si ω es la métrica de Kähler en la variedad algebraica X y el paquete canónico K_X es trivial, entonces X es Calabi–Yau. Además, existe una métrica única de Kähler ω en X tal que [ω₀] = [ω] ∈ H ²(X,R), hecho que fue conjeturado por Eugenio Calabi y probado por Shing-Tung Yau (ver Conjetura de Calabi).

Curvas algebraicas de Calabi-Yau

En una dimensión compleja, los únicos ejemplos compactos son los toros, que forman una familia de un parámetro. La métrica plana de Ricci en un toro es en realidad una métrica plana, por lo que la holonomía es el grupo trivial SU(1). Una variedad de Calabi-Yau unidimensional es una curva elíptica compleja y, en particular, algebraica.

Superficies algebraicas CY

En dos dimensiones complejas, las superficies K3 proporcionan los únicos manifolds compactos simplemente conectados Calabi–Yau. Estos pueden ser construidos como superficies cuárticas en ${mathbb {P}}^{3}$ , como la variedad algebraica compleja definida por el lacus desaparecido

${displaystyle x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}=0}$ para ${displaystyle [x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}]in mathbb {P} ^{3}}$

Otros ejemplos se pueden construir como fibraciones elípticas^{pg 4}, como cocientes de superficies abelianas^{pg 4}, o como intersecciones completas.

Ejemplos no simplemente conectados son dados por superficies abelianas, que son reales cuatro tori ${displaystyle mathbb {T} ^{4}}$ equipado con una estructura múltiple compleja. Las superficies de Enriques y las superficies hiperépticas tienen la primera clase de Chern que desaparece como un elemento del verdadero grupo de cohomología, pero no como un elemento del grupo integral de cohomología, por lo que el teorema de Yau sobre la existencia de una métrica de rícci-flat todavía se aplica a ellos, pero a veces no se consideran múltiples Calabi-Yau. Las superficies abelianas a veces están excluidas de la clasificación de ser Calabi-Yau, ya que su holonomía (de nuevo el grupo trivial) es un subgrupo adecuado de SU(2), en lugar de ser isomorfo a SU(2). Sin embargo, el subconjunto de superficie de Enriques no se ajusta completamente al subgrupo SU(2) en el paisaje teórico de String.

CY triples

En tres dimensiones complejas, la clasificación de las posibles variedades de Calabi-Yau es un problema abierto, aunque Yau sospecha que hay un número finito de familias (aunque un número mucho mayor que su estimación de hace 20 años). A su vez, Miles Reid también ha conjeturado que el número de tipos topológicos de pliegues de Calabi-Yau es infinito, y que todos pueden transformarse continuamente (a través de ciertas singularizaciones leves como conifolds) uno en otro, tanto como Las superficies de Riemann pueden. Un ejemplo de una variedad tridimensional de Calabi-Yau es un triple quíntico no singular en CP4, que es la variedad algebraica que consta de todos los ceros de un polinomio quíntico homogéneo en las coordenadas homogéneas del CP⁴. Otro ejemplo es un modelo suave de la quíntica de Barth-Nieto. Algunos cocientes discretos de la quíntica por varias acciones Z₅ también son Calabi-Yau y han recibido mucha atención en la literatura. Uno de ellos está relacionado con la quíntica original por simetría especular.

Para todo entero positivo n, el cero se establece, en las coordenadas homogéneas del espacio proyectivo complejo CPⁿ⁺¹, de grado homogéneo no singular n + 2 polinomios en n + 2 variables es un compacto Calabi–Yau n- doblar. El caso n = 1 describe una curva elíptica, mientras que para n = 2 se obtiene una superficie K3.

De manera más general, las variedades/orbipliegues de Calabi-Yau se pueden encontrar como intersecciones completas ponderadas en un espacio proyectivo ponderado. La principal herramienta para encontrar tales espacios es la fórmula adjunta.

Todas las variedades hiper-Kähler son variedades de Calabi-Yau.

Construido a partir de curvas algebraicas

Para una curva algebraica $C$ un cuasi-proyector Calabi-Yau tres veces se puede construir como el espacio total ${displaystyle V={text{Tot}}({mathcal {L}}_{1}oplus {mathcal {L}}_{2})}$ Donde ${displaystyle {mathcal {L}}_{1}otimes {mathcal {L}}_{2}cong omega _{C}}$ . Para la proyección canónica ${displaystyle p:Vto C}$ podemos encontrar el paquete relativo tangente ${displaystyle T_{V/C}}$ es ${displaystyle p^{*}({mathcal {L}}_{1}oplus {mathcal {L}}_{2})}$ usando la secuencia relativa tangente

${displaystyle 0to T_{V/C}to T_{V}to p^{*}T_{C}to 0}$

y observar los únicos vectores tangentes en la fibra que no están en la imagen previa de ${displaystyle p^{*}T_{C}}$ se asocian canónicamente con las fibras del paquete vector. Usando esto, podemos usar la secuencia cotangente relativa

${displaystyle 0to p^{*}Omega _{C}to Omega _{V}to Omega _{V/C}to 0}$

junto con las propiedades de los poderes de cuña que

${displaystyle omega _{V}=bigwedge ^{3}Omega _{V}cong f^{*}omega _{C}otimes bigwedge ^{2}Omega _{V/C}}$

y ${displaystyle Omega _{V/C}cong {mathcal {L}}_{1}^{*}oplus {mathcal {L}}_{2}^{*}}$ dar la trivialidad de ${displaystyle omega _{V}}$ .

Construido a partir de superficies algebraicas

Usando un argumento similar en cuanto a curvas, el espacio total ${displaystyle {text{Tot}}(omega _{S})}$ de la hoja canónica $omega _{S}$ para una superficie algebraica $S$ forma un Calabi-Yau triple. Un simple ejemplo es ${displaystyle {text{Tot}}({mathcal {O}}_{mathbb {P} ^{2}}(-3))}$ sobre espacio proyectivo.

Aplicaciones en teoría de supercuerdas

Las variedades de Calabi-Yau son importantes en la teoría de supercuerdas. Esencialmente, las variedades de Calabi-Yau son formas que satisfacen el requisito de espacio para los seis "no vistos" dimensiones espaciales de la teoría de cuerdas, que pueden ser más pequeñas que nuestras longitudes observables actualmente, ya que aún no se han detectado. Una alternativa popular conocida como grandes dimensiones adicionales, que a menudo ocurre en los modelos braneworld, es que Calabi-Yau es grande pero estamos confinados a un pequeño subconjunto en el que se cruza con una D-brana. Actualmente se están explorando extensiones adicionales a dimensiones superiores con ramificaciones adicionales para la relatividad general.

En los modelos de supercuerdas más convencionales, se supone que diez dimensiones conjeturales en la teoría de cuerdas vienen como cuatro de las cuales somos conscientes, que llevan algún tipo de fibración con fibra de dimensión seis. La compactación en los pliegues n de Calabi-Yau es importante porque dejan intacta parte de la supersimetría original. Más precisamente, en ausencia de flujos, la compactación en un triple de Calabi-Yau (dimensión real 6) deja intacta una cuarta parte de la supersimetría original si la holonomía es la SU completa (3).

Más generalmente, una compactación sin flujo en una variedad n con holonomía SU(n) deja 2¹⁻ⁿ de la supersimetría original intacta, correspondiente a 2⁶⁻ⁿ supercargas en una compactación de supergravedad tipo II o 2⁵⁻ⁿ sobrealimenta en una compactación de tipo I. Cuando se incluyen los flujos, la condición de supersimetría implica que la variedad de compactación sea una Calabi-Yau generalizada, una noción introducida por Hitchin (2003). Estos modelos se conocen como compactaciones por flujo.

Las compactaciones de la teoría F en varios cuádruples de Calabi-Yau proporcionan a los físicos un método para encontrar una gran cantidad de soluciones clásicas en el llamado panorama de la teoría de cuerdas.

Conectado con cada agujero en el espacio Calabi-Yau hay un grupo de patrones vibratorios de cuerdas de baja energía. Dado que la teoría de cuerdas establece que nuestras partículas elementales familiares corresponden a vibraciones de cuerdas de baja energía, la presencia de múltiples agujeros hace que los patrones de cuerdas se dividan en múltiples grupos o familias. Aunque la siguiente declaración se ha simplificado, transmite la lógica del argumento: si Calabi-Yau tiene tres agujeros, entonces se observarán experimentalmente tres familias de patrones vibratorios y, por lo tanto, tres familias de partículas.

Lógicamente, dado que las cuerdas vibran en todas las dimensiones, la forma de las cuerdas enroscadas afectará sus vibraciones y, por lo tanto, las propiedades de las partículas elementales observadas. Por ejemplo, Andrew Strominger y Edward Witten han demostrado que las masas de las partículas dependen de la forma de intersección de los distintos agujeros en un Calabi-Yau. En otras palabras, Strominger y Witten encontraron que las posiciones de los agujeros entre sí y con la sustancia del espacio de Calabi-Yau afectan las masas de partículas de cierta manera. Esto es cierto para todas las propiedades de las partículas.

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