Variedad abeliana

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En matemáticas, particularmente en geometría algebraica, análisis complejo y teoría algebraica de números, una variedad abeliana es una variedad algebraica proyectiva que también es un grupo algebraico, es decir, tiene una ley de grupo que se puede definir por funciones regulares. Las variedades abelianas se encuentran al mismo tiempo entre los objetos más estudiados en geometría algebraica y herramientas indispensables para muchas investigaciones sobre otros temas en geometría algebraica y teoría de números.

Una variedad abeliana se puede definir mediante ecuaciones que tienen coeficientes en cualquier campo; entonces se dice que la variedad está definida sobre ese campo. Históricamente, las primeras variedades abelianas que se estudiaron fueron las definidas sobre el campo de los números complejos. Tales variedades abelianas resultan ser exactamente esos toros complejos que pueden incrustarse en un espacio proyectivo complejo.

Las variedades abelianas definidas sobre campos numéricos algebraicos son un caso especial, que también es importante desde el punto de vista de la teoría de números. Las técnicas de localización conducen naturalmente de variedades abelianas definidas sobre campos numéricos a otras definidas sobre campos finitos y varios campos locales. Dado que un campo numérico es el campo fraccionario de un dominio de Dedekind, para cualquier primo distinto de cero de su dominio de Dedekind, hay un mapa del dominio de Dedekind al cociente del dominio de Dedekind por el primo, que es un campo finito para todos los primos finitos. Esto induce un mapa del campo de fracción a cualquier campo finito. Dada una curva con ecuación definida sobre el campo numérico, podemos aplicar este mapa a los coeficientes para obtener una curva definida sobre algún campo finito, donde las opciones de campo finito corresponden a los números primos finitos del campo numérico.

Las variedades abelianas aparecen naturalmente como variedades jacobianas (los componentes conectados de cero en las variedades de Picard) y variedades albanesas de otras variedades algebraicas. La ley de grupo de una variedad abeliana es necesariamente conmutativa y la variedad no es singular. Una curva elíptica es una variedad abeliana de dimensión 1. Las variedades abelianas tienen dimensión Kodaira 0.

Historia y motivación

A principios del siglo XIX, la teoría de las funciones elípticas logró dar una base para la teoría de las integrales elípticas, y esto dejó abierta una vía obvia de investigación. Las formas estándar para las integrales elípticas involucraban las raíces cuadradas de polinomios cúbicos y cuárticos. Cuando esos fueran reemplazados por polinomios de mayor grado, digamos quínticas, ¿qué pasaría?

En el trabajo de Niels Abel y Carl Jacobi, se formuló la respuesta: esto implicaría funciones de dos variables complejas, con cuatro períodos independientes (es decir, vectores de período). Esto permitió vislumbrar por primera vez una variedad abeliana de dimensión 2 (una superficie abeliana): lo que ahora se llamaría el jacobiano de una curva hiperelíptica de género 2.

Después de Abel y Jacobi, algunos de los contribuyentes más importantes a la teoría de las funciones abelianas fueron Riemann, Weierstrass, Frobenius, Poincaré y Picard. El tema era muy popular en la época, teniendo ya una gran literatura.

A finales del siglo XIX, los matemáticos habían comenzado a utilizar métodos geométricos en el estudio de las funciones abelianas. Finalmente, en la década de 1920, Lefschetz sentó las bases para el estudio de las funciones abelianas en términos de toros complejos. También parece ser el primero en usar el nombre "variedad abeliana". Fue André Weil en la década de 1940 quien le dio al tema sus fundamentos modernos en el lenguaje de la geometría algebraica.

Hoy en día, las variedades abelianas constituyen una herramienta importante en teoría de números, en sistemas dinámicos (más específicamente en el estudio de sistemas hamiltonianos) y en geometría algebraica (especialmente variedades Picard y variedades albanesas).

Teoría analítica

Definición

Un toroide complejo de dimensión g es un toroide de dimensión real 2g que lleva la estructura de una variedad compleja. Siempre se puede obtener como el cociente de un espacio vectorial complejo g-dimensional por una red de rango 2g. Una variedad abeliana compleja de dimensión g es un toro complejo de dimensión g que es también una variedad algebraica proyectiva sobre el campo de los números complejos. Invocando el teorema de incrustación de Kodaira y el teorema de Chow, se puede definir de manera equivalente una variedad abeliana compleja de dimensión g como un toro complejo de dimensión g que admite un positivo haz de línea. Como son toros complejos, las variedades abelianas llevan la estructura de un grupo. Un morfismo de variedades abelianas es un morfismo de las variedades algebraicas subyacentes que preserva el elemento de identidad para la estructura del grupo. Una isogenia es un morfismo finito a uno.

Cuando un toro complejo lleva la estructura de una variedad algebraica, esta estructura es necesariamente única. En el caso g = 1, la noción de variedad abeliana es la misma que la de curva elíptica, y todo toro complejo da lugar a tal curva; para g > 1 se sabe desde Riemann que la condición de variedad algebraica impone restricciones adicionales a un toro complejo.

Condiciones de Riemann

El siguiente criterio de Riemann decide si un toro complejo dado es o no una variedad abeliana, es decir, si puede o no estar incrustado en un espacio proyectivo. Sea X un toroide g-dimensional dado como X = V/L donde V es un espacio vectorial complejo de dimensión g y L es una red en V. Entonces X es una variedad abeliana si y sólo si existe una forma hermítica definida positiva en V cuya parte imaginaria toma valores enteros en L×L. Tal forma en X se suele llamar forma de Riemann (no degenerada). Eligiendo una base para V y L, se puede hacer más explícita esta condición. Hay varias formulaciones equivalentes de esto; todas ellas se conocen como condiciones de Riemann.

El jacobiano de una curva algebraica

Toda curva algebraica C de género g ≥ 1 está asociada a una variedad abeliana J de dimensión g, mediante un mapa analítico de C en J. Como toroide, J lleva una estructura de grupo conmutativo, y la imagen de C genera J como grupo. Más precisamente, J está cubierto por C^g: cualquier punto en J viene de una g-tupla de puntos en C. El estudio de las formas diferenciales en C, que dan lugar a las integrales abelianas con las que comenzó la teoría, se puede derivar de la teoría más simple, invariante en la traducción, de diferenciales en J. La variedad abeliana J se denomina variedad jacobiana de C, para cualquier curva no singular C sobre el complejo números. Desde el punto de vista de la geometría birracional, su campo funcional es el campo fijo del grupo simétrico sobre letras g que actúan sobre el campo funcional de C^g.

Funciones abelianas

Una función abeliana es una función meromórfica sobre una variedad abeliana, que puede ser considerada por tanto como una función periódica de n variables complejas, teniendo 2n periodos independientes; de manera equivalente, es una función en el campo de funciones de una variedad abeliana. Por ejemplo, en el siglo XIX hubo mucho interés en las integrales hiperelípticas que pueden expresarse en términos de integrales elípticas. Esto se reduce a preguntar que J es un producto de curvas elípticas, hasta una isogenia.

Teoremas importantes

Una estructura importante teorema de variedades abelianas es Teorema de Matsusaka. Dice que sobre un campo algebraicamente cerrado cada variedad abeliana $A$ es el cociente del Jacobiano de cierta curva; es decir, hay una subjeción de variedades abelianas ${displaystyle Jto A}$ Donde $J$ es un Jacobiano. Este teorema sigue siendo cierto si el campo de tierra es infinito.

Definición algebraica

Comúnmente se usan dos definiciones equivalentes de variedad abeliana sobre un campo general k:

un grupo algebraico conectado y completo sobre k
un grupo algebraico conectado y proyectivo sobre k.

Cuando la base es el cuerpo de los números complejos, estas nociones coinciden con la definición anterior. Sobre todas las bases, las curvas elípticas son variedades abelianas de dimensión 1.

A principios de la década de 1940, Weil utilizó la primera definición (sobre un campo base arbitrario), pero al principio no pudo probar que implicaba la segunda. Recién en 1948 demostró que se pueden incrustar grupos algebraicos completos en el espacio proyectivo. Mientras tanto, para hacer funcionar la prueba de la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos que había anunciado en 1940, tuvo que introducir la noción de una variedad abstracta y reescribir los fundamentos de la geometría algebraica para trabajar con variedades sin incrustaciones proyectivas. (ver también la sección de historia en el artículo de Geometría Algebraica).

Estructura del grupo de puntos

Según las definiciones, una variedad abeliana es una variedad de grupo. Se puede demostrar que su grupo de puntos es conmutativo.

Para C, y por lo tanto por el principio de Lefschetz para todo campo algebraicamente cerrado de característica cero, el grupo de torsión de una variedad abeliana de dimensión g es isomorfo a (Q/Z)^2g. Por lo tanto, su parte de torsión n es isomorfa a (Z/nZ)^2g, es decir, el producto de 2g copias del grupo cíclico de orden n.

Cuando el campo base es un campo algebraicamente cerrado de característica p, la torsión n sigue siendo isomorfa a (Z/nZ)^2g cuando n y p son coprimos Cuando n y p no son coprimos, se puede recuperar el mismo resultado siempre que se interprete como que la torsión n define un plano finito esquema de grupo de rango 2g. Si en lugar de observar la estructura del esquema completo en la torsión n, se consideran solo los puntos geométricos, se obtiene un nuevo invariante para las variedades en la característica p (el so- llamado rango p cuando n = p).

El grupo de k-puntos racionales para un campo global k es finitamente generado por el teorema de Mordell-Weil. Por lo tanto, por el teorema de la estructura para grupos abelianos finitamente generados, es isomorfo a un producto de un grupo abeliano libre Z^r y un conmutativo finito grupo para algún número entero no negativo r llamado el rango de la variedad abeliana. Resultados similares son válidos para algunas otras clases de campos k.

Productos

El producto de una variedad abeliana A de dimensión m, y una variedad abeliana B de dimensión n, sobre el mismo campo, es una variedad abeliana de dimensión m + n. Una variedad abeliana es simple si no es isógena a un producto de variedades abelianas de menor dimensión. Cualquier variedad abeliana es isógena a un producto de variedades abelianas simples.

Polarización y variedad dual abeliana

Variedad abeliana dual

A una variedad abeliana A sobre un campo k, se le asocia una variedad abeliana dual A^v (sobre el mismo campo), que es la solución al siguiente problema de módulos. Una familia de haces de líneas de grado 0 parametrizados por una variedad k T se define como un haz de líneas L en A×T tal que

para todos t dentro T, la restricción de L a A× {}t} es un paquete de grado 0 línea,
la restricción de L a {0}T es un paquete de línea trivial (aquí 0 es la identidad de A).

Luego existe una variedad A^v y una familia de haces lineales de grado 0 P, el haz de Poincaré, parametrizado por A^v tal que una familia L sobre T está asociada a un único morfismo f: T → A^v de modo que L es isomorfo al pullback de P a lo largo del morfismo 1_A×f: A×T → A×A ^v. Aplicando esto al caso cuando T es un punto, vemos que los puntos de A^v corresponden a haces de líneas de grado 0 en A, por lo que existe una operación de grupo natural sobre A^v dada por el producto tensorial de paquetes de líneas, lo que la convierte en una variedad abeliana.

Esta asociación es una dualidad en el sentido de que existe un isomorfismo natural entre el doble dual A^vv y A (definido a través de la paquete de Poincaré) y que es funcional contravariante, es decir, se asocia a todos los morfismos f: A → B morfismos duales f^v: B^v → A^v de forma compatible. La torsión n de una variedad abeliana y la torsión n de su dual son duales entre sí cuando n es coprimo con la característica de la base. En general, para todos los n, los esquemas de grupo de torsión n de las variedades abelianas duales son duales de Cartier entre sí. Esto generaliza el emparejamiento de Weil para curvas elípticas.

Polarizaciones

A polarización de una variedad abeliana es un isogeny de una variedad abeliana a su doble que es simétrico con respecto a doble deber para las variedades abelianas y para las cuales la retirada del paquete Poincaré a lo largo del morfismo gráfico asociado es amplia (por lo que es análogo a una forma cuadrática-definida positiva). Las variedades abelianas polarizadas tienen grupos finitos de automorfismo. A polarización principal es una polarización que es un isomorfismo. Los jacobinos de las curvas están naturalmente equipados con una polarización principal tan pronto como uno elige un punto de base racional arbitrario en la curva, y la curva puede ser reconstruida desde su jacobino polarizado cuando el género es √ 1. No todas las variedades abelianas principalmente polarizadas son jacobinos de curvas; vea el problema de Schottky. Una polarización induce a Rosati involution en el anillo de endomorfismo $mathrm {End} (A)otimes mathbb {Q}$ de A.

Polarizaciones sobre los números complejos

Sobre los números complejos, una variedad abeliana polarizada también puede definirse como una variedad abeliana A junto con la elección de una forma de Riemann H. Dos formas de Riemann H₁ y H₂ se llaman equivalentes si hay números enteros positivos n y m tales que nH₁=mH₂. La elección de una clase de equivalencia de formas de Riemann en A se denomina polarización de A. Un morfismo de variedades abelianas polarizadas es un morfismo A → B de variedades abelianas tal que el retroceso de la forma de Riemann en B a A es equivalente a la forma dada en A.

Esquema abeliano

También se puede definir el esquema de variedades abelianas, teóricamente y en relación con una base. Esto permite un tratamiento uniforme de fenómenos como reducción mod p de variedades abelianas (ver Aritmética de variedades abelianas), y familias de parámetros de variedades abelianas. Un esquema abeliano sobre un esquema base S de dimensión relativa g es un esquema de grupo adecuado y suave sobre S cuya Son fibras geométricas conectadas y de dimensión g. Las fibras de un esquema abeliano son variedades abelianas, por lo que se podría pensar en un esquema abeliano sobre S como una familia de variedades abelianas parametrizadas por S.

Para un esquema abeliano A / S, el grupo de n-puntos de torsión forma un esquema de grupo plano finito. La unión de los puntos de torsión pⁿ, para todo n, forma un grupo p-divisible. Las deformaciones de los esquemas abelianos se rigen, según el teorema de Serre-Tate, por las propiedades de deformación de los grupos p-divisibles asociados.

Ejemplo

Vamos ${displaystyle A,Bin mathbb {Z} }$ ser tal $x^{3}+Ax+B$ no tiene raíces complejas repetidas. Entonces el discriminador ${displaystyle Delta =-16(4A^{3}+27B^{2})}$ No es cero. Vamos ${displaystyle R=mathbb {Z} [1/Delta ]}$ Así que $operatorname {Spec}R$ es un subscheme abierto $operatorname{Spec} mathbb{Z}$ . Entonces... ${displaystyle operatorname {Proj} R[x,y,z]/(y^{2}z-x^{3}-Axz^{2}-Bz^{3})}$ es un plan abeliano sobre $operatorname {Spec}R$ . Puede extenderse a un modelo Néron sobre $operatorname{Spec} mathbb{Z}$ , que es un esquema de grupo suave sobre $operatorname{Spec} mathbb{Z}$ , pero el modelo Néron no es adecuado y por lo tanto no es un esquema abeliano sobre $operatorname{Spec} mathbb{Z}$ .

Inexistencia

V. A. Abrashkin y Jean-Marc Fontaine demostraron de forma independiente que no hay variedades abelianas distintas de cero sobre Q con buena reducción en todos los números primos. De manera equivalente, no hay esquemas abelianos distintos de cero sobre Spec Z. La prueba consiste en mostrar que las coordenadas de los puntos de torsión pⁿ generan campos numéricos con muy poca ramificación y por lo tanto de pequeño discriminante, mientras que, en por otro lado, hay límites inferiores en los discriminantes de los campos numéricos.

Variedad semibeliana

Una variedad semibeliana es una variedad de grupo conmutativo que es una extensión de una variedad abeliana por un toro.

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