Varianza de Allan

Un reloj es más fácil de probar comparando con un mucho más preciso reloj de referencia. Durante un intervalo de tiempo τ, medido por el reloj de referencia, el reloj bajo los anticipos de prueba por τy, donde Sí. es la frecuencia de reloj promedio (relativa) sobre ese intervalo. Si midemos dos intervalos consecutivos como se muestra, podemos obtener un valor ()Sí. − Sí.′)²—un valor menor indica un reloj más estable y preciso. Si repetimos este procedimiento muchas veces, el valor promedio de ()Sí. − Sí.′)² es igual al doble de la varianza Allan (o la desviación Allan cuadrado) para el tiempo de observación τ.

El Variación total ()AVAR), también conocido como varianza de dos muestras, es una medida de estabilidad de frecuencia en relojes, osciladores y amplificadores. Es nombrado después de David W. Allan y expresado matemáticamente como ${displaystyle sigma _{2}(tau)}$. El Allan deviation ()ADEV), también conocido como sigma-tau, es la raíz cuadrada de la varianza Allan, ${displaystyle sigma _{y}(tau)}$.

El Variación de muestreo es una medida de estabilidad de frecuencia utilizando M muestras, tiempo T entre mediciones y tiempo de observación ${displaystyle tau }$. M- La varianza muestral se expresa como

${displaystyle sigma _{2}(M,T,tau). }$

La varianza de Allan pretende estimar la estabilidad debida a los procesos de ruido y no a los errores o imperfecciones sistemáticas, como la deriva de frecuencia o los efectos de la temperatura. La varianza de Allan y la desviación de Allan describen la estabilidad de la frecuencia. Consulte también la sección Interpretación del valor a continuación.

También hay diferentes adaptaciones o alteraciones de la varianza de Allan, en particular la varianza de Allan modificada MAVAR o MVAR, la varianza total y la varianza de Hadamard. También existen variantes de estabilidad temporal como la desviación de tiempo (TDEV) o la variación de tiempo (TVAR). La varianza de Allan y sus variantes han demostrado ser útiles fuera del alcance del cronometraje y son un conjunto de herramientas estadísticas mejoradas para usar siempre que los procesos de ruido no sean incondicionalmente estables, por lo que existe una derivada.

El general M- La varianza muestral sigue siendo importante, ya que permite el tiempo muerto en las mediciones, y las funciones de sesgo permiten la conversión en valores de varianza de Allan. Sin embargo, para la mayoría de las aplicaciones el caso especial de 2 muestras, o "varia Allan" con ${displaystyle T=tau }$ es de mayor interés.

Ejemplo de la desviación de Allan de un reloj. Tiempo de observación muy corto τ, la desviación de Allan es alta debido al ruido. Más tiempo τ, disminuye porque el ruido se produce. Aún más τ, la desviación de Allan comienza a aumentar de nuevo, sugiriendo que la frecuencia del reloj se está derivando gradualmente debido a cambios de temperatura, envejecimiento de componentes u otros factores de este tipo. Las barras de error aumentan con τ simplemente porque es mucho tiempo para obtener muchos puntos de datos para grandes τ.

Antecedentes

Al investigar la estabilidad de los osciladores de cristal y los relojes atómicos, se descubrió que no tenían un ruido de fase que constaba solo de ruido blanco, sino también de ruido de frecuencia de parpadeo. Estas formas de ruido se convierten en un desafío para las herramientas estadísticas tradicionales, como la desviación estándar, ya que el estimador no convergerá. Por lo tanto, se dice que el ruido es divergente. Los primeros esfuerzos en el análisis de la estabilidad incluyeron tanto el análisis teórico como las medidas prácticas.

Una consecuencia secundaria importante de tener estos tipos de ruido fue que, dado que los diversos métodos de medición no concordaban entre sí, no se podía lograr el aspecto clave de la repetibilidad de una medición. Esto limita la posibilidad de comparar fuentes y hacer especificaciones significativas para exigir a los proveedores. Esencialmente, todas las formas de usos científicos y comerciales se limitaron entonces a mediciones dedicadas, que con suerte captarían la necesidad de esa aplicación.

Para abordar estos problemas, David Allan introdujo la varianza de muestra M e (indirectamente) la varianza de dos muestras. Si bien la varianza de dos muestras no permitió distinguir por completo todos los tipos de ruido, proporcionó un medio para separar significativamente muchas formas de ruido para series temporales de mediciones de fase o frecuencia entre dos o más osciladores. Allan proporcionó un método para convertir cualquier varianza de muestra M a cualquier varianza de muestra N a través de la varianza común de 2 muestras, haciendo así que todas las M-varianzas muestrales comparables. El mecanismo de conversión también demostró que la varianza de la muestra M no converge para grandes M, lo que los hace menos útiles. Posteriormente, IEEE identificó la varianza de 2 muestras como la medida preferida.

Una de las primeras preocupaciones estaba relacionada con los instrumentos de medición de tiempo y frecuencia que tenían un tiempo muerto entre mediciones. Tal serie de mediciones no formaba una observación continua de la señal y por lo tanto introducía un sesgo sistemático en la medición. Se puso mucho cuidado en la estimación de estos sesgos. La introducción de contadores de tiempo muerto cero eliminó la necesidad, pero las herramientas de análisis de sesgo han resultado útiles.

Otro aspecto temprano de preocupación estaba relacionado con la forma en que el ancho de banda del instrumento de medición influiría en la medición, de tal manera que era necesario señalar. Más tarde se encontró que cambiando algoritmos la observación ${displaystyle tau }$, sólo bajo ${displaystyle tau }$ los valores se verían afectados, mientras que los valores superiores no se verían afectados. El cambio de ${displaystyle tau }$ se hace por dejar que sea un número entero ${displaystyle n}$ de la base de tiempo de medición ${displaystyle tau _{0}$:

${displaystyle tau =ntau _{0}$

La física de los osciladores de cristal fue analizada por D. B. Leeson, y el resultado ahora se conoce como la ecuación de Leeson. La retroalimentación en el oscilador hará que el ruido blanco y el ruido del amplificador de retroalimentación y el cristal se conviertan en los ruidos de la garra de poder de ${displaystyle f^{-2}$ ruido de frecuencia blanca y ${displaystyle f^{-3}$ ruido de frecuencia flicker, respectivamente. Estas formas de ruido tienen el efecto de que el calculador de diferencias estándar no converge cuando se procesan muestras de tiempo-error. Este mecánico de los osciladores de retroalimentación fue desconocido cuando comenzó el trabajo sobre estabilidad osciladora, pero fue presentado por Leeson al mismo tiempo que el conjunto de herramientas estadísticas fue puesto a disposición por David W. Allan. Para una presentación más exhaustiva sobre el efecto Leeson, vea la literatura moderna de ruido de fase.

Interpretación del valor

La varianza de Allan se define como la mitad del promedio temporal de los cuadrados de las diferencias entre lecturas sucesivas de la desviación de frecuencia muestreada durante el período de muestreo. La varianza de Allan depende del período de tiempo utilizado entre las muestras, por lo tanto, es una función del período de la muestra, comúnmente denotado como τ, al igual que la distribución que se mide, y se muestra como un gráfico en lugar de un gráfico. un solo numero. Una varianza de Allan baja es una característica de un reloj con buena estabilidad durante el período medido.

La desviación de Allan se usa ampliamente para diagramas (convencionalmente en formato logarítmico) y presentación de números. Se prefiere, ya que proporciona estabilidad de amplitud relativa, lo que permite una fácil comparación con otras fuentes de errores.

Una desviación de Allan de 1,3×10⁻⁹ en el tiempo de observación 1 s (es decir, τ = 1 s) debe interpretarse como una inestabilidad en la frecuencia entre dos observaciones separadas por 1 segundo con un valor relativo de raíz cuadrática media (RMS) de 1,3×10⁻⁹. Para un reloj de 10 MHz, esto equivaldría a un movimiento RMS de 13 mHz. Si se necesita la estabilidad de fase de un oscilador, se deben consultar y utilizar las variantes de desviación de tiempo.

Se puede convertir la varianza de Allan y otras varianzas en el dominio del tiempo en medidas del dominio de la frecuencia del tiempo (fase) y la estabilidad de la frecuencia.

Definiciones

Varianza de muestra M

El ${displaystyle M}$- la varianza del muestreo se define (aquí en forma de notación modernizada) como

${displaystyle sigma _{2}(M,T,tau)={frac {1}{M-1}left{sum ¿Por qué? ¿Por qué?$

Donde ${displaystyle x(t)}$ es la lectura del reloj (en segundos) medida a tiempo ${displaystyle t}$, o con serie de tiempo de frecuencia fraccional promedio

${displaystyle sigma _{2}(M,T,tau)={frac {1}{M-1}left{sum ¿Qué? {y}_{i} {2}-{frac} {1}{M}left[sum] ¿Qué?$

Donde ${displaystyle M}$ es el número de muestras de frecuencia utilizadas en varianza, ${displaystyle T}$ es el tiempo entre cada muestra de frecuencia, y ${displaystyle tau }$ es la longitud del tiempo de cada estimación de frecuencia.

Un aspecto importante es que ${displaystyle M}$- Modelo de varianza muestral puede incluir tiempo muerto al dejar tiempo ${displaystyle T}$ ser diferente de la de ${displaystyle tau }$.

Se obtiene una manera alternativa (y equivalente) de ver esta fórmula que hace más explícita la conexión con la fórmula de varianza de muestra típica multiplicando ${displaystyle {frac}{M-1}}$ por ${displaystyle M}$ y dividir los 2 términos dentro de los frenos rizado por ${displaystyle M}$:

${displaystyle {begin{aligned}sigma ¿Por qué? {M} {M-1}left{frac} {1}{M}sum ¿Por qué? {1} {fn}fnK}}left[sum] - ¿Por qué? {M} {M-1}left{frac} {1}{M}sum - ¿Por qué? {1}{M}sum ¿Por qué?$

Ahora, el ${displaystyle {frac {}{M-1}}$ coeficiente se puede interpretar como corrección de Bessel a la varianza de muestra parcial que es lo que aparece dentro de los frenos rizado en la forma ${displaystyle operatorname [E] [X^{2] {E} [X]^{2}$.

Varianza de Allan

La varianza de Allan se define como

${displaystyle sigma _{y}{2}(tau)=leftlangle sigma _{y}^{2}(2,tautau)rightrangle}$

Donde ${displaystyle langle dotsm rangle }$ denota al operador de expectativas. Esto se puede expresar convenientemente como

${displaystyle sigma _{2}(tau)={frac {1}{2}}leftlangle left({bar) {y}_{n+1}-{bar {y}_{n}right)}leftlangleleft(x_{n+2}-2x_{n+1}+x_{n}right)}{2}rangle}rangle {n+2}{n+1}n}n}right)}{2}derecharangle}$

Donde ${displaystyle tau }$ es el período de observación, ${displaystyle {bar {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}}} {fn}} {fn}}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}}}}}} {fn}}}}}}}}} {fn}}}}}}$ es npromedio de frecuencia fraccional a lo largo del tiempo de observación ${displaystyle tau }$.

Las muestras se toman sin tiempo muerto entre ellas, lo que se consigue dejando

${displaystyle T=tau.}$

Desviación de Allan

Al igual que con la desviación estándar y la varianza, la desviación de Allan se define como la raíz cuadrada de la varianza de Allan:

${displaystyle sigma _{y}(tau)={sqrt {sigma _{y}^{2} {tau)}}}$

Definiciones de apoyo

Modelo de oscilador

Se supone que el oscilador que se analiza sigue el modelo básico de

${displaystyle V(t)=V_{0}sin(Phi (t)). }$

Se supone que el oscilador tiene una frecuencia nominal ${displaystyle nu _{n}}$, dado en ciclos por segundo (unidad I: hertz). La frecuencia angular nominal ${displaystyle omega _{n}}$ (en radiales por segundo) se da por

${displaystyle omega _{text{n}=2pi nu _{n}}$

La fase total se puede separar en un componente perfectamente cíclico ${displaystyle omega _{n}t}$, junto con un componente fluctuante ${displaystyle varphi (t)}$:

${displaystyle Phi (t)=omega _{n}t+varphi (t)=2pi nu _{n}t+varphi (t).}$

Error de tiempo

La función de error de tiempo x(t) es la diferencia entre el tiempo nominal esperado y el tiempo normal real:

${displaystyle x(t)={frac {varphi (t)}{2pi nu _{text{n}}}}={frac {Phi (t)}{2pi nu _{text{n}}}-t== T(t)-t.}$

Para valores medidos, se define una serie de error de tiempo TE(t) a partir de la función de tiempo de referencia T_ref(t ) como

${displaystyle TE(t)=T(t)-T_{text{ref}(t).}$

Función de frecuencia

La función de frecuencia ${displaystyle nu (t)}$ es la frecuencia con el tiempo, definida como

${displaystyle nu (t)={1}{2pi } {frac {dPhi (t)} {dt}}$

Frecuencia fraccionaria

La frecuencia fraccional Sí.()t) es la diferencia normalizada entre la frecuencia ${displaystyle nu (t)}$ y la frecuencia nominal ${displaystyle nu _{n}}$:

${displaystyle y(t)={frac {nu (t)-nu _{text{n}{nu _{text{n}}}}={frac {nu (t)}{nu _{text{n}}}-1.}}$

Frecuencia fraccionaria media

La frecuencia fraccionaria promedio se define como

${displaystyle {bar {y}(t,tau)={frac {1}{tau }int _{0} {tau }y(t+t_{v}),dt_{v}}$

donde el promedio se toma durante el tiempo de observación τ, y(t) es el error de frecuencia fraccionaria en el tiempo t, y τ es el tiempo de observación.

Dado que y(t) es la derivada de x(t), podemos sin pérdida de generalidad reescribirlo como

${displaystyle {bar {y}(t,tau)={frac {x(t+tau)-x(t)}{tau }}}$

Estimadores

Esta definición se basa en el valor esperado estadístico, integrándose en un tiempo infinito. La situación del mundo real no permite tales series de tiempo, en cuyo caso se necesita usar un estimador estadístico en su lugar. Se presentarán y discutirán varios estimadores diferentes.

Convenios

Estimadores τ fijos

Un primer estimador simple sería traducir directamente la definición a

${displaystyle sigma _{2}(tauM)=operatorname {AVAR} (tauM)={frac {1}{2(M-1)}sum {fnMicrosoft Sans Serif} {y}_{i+1}-{bar {y}_{i}} {2}}$

o para la serie temporal:

${displaystyle sigma _{2}(tauN)=operatorname {AVAR} (tauN)={frac {1}{2tau ^{2}(N-2)}sum ¿Por qué?$

Estas fórmulas, sin embargo, solo proporcionan el cálculo para el caso τ = τ₀. Para calcular un valor diferente de τ, se debe proporcionar una nueva serie temporal.

Estimadores τ de variables no superpuestas

Tomando la serie temporal y omitiendo n − 1 muestras, se produciría una nueva serie temporal (más corta) con τ₀ como el tiempo entre las muestras adyacentes, para el cual la varianza de Allan podría calcularse con los estimadores simples. Estos podrían modificarse para introducir la nueva variable n de modo que no se tendría que generar una nueva serie de tiempo, sino que la serie de tiempo original podría reutilizarse para varios valores de n. Los estimadores se convierten

${displaystyle sigma _{2}(ntau _{0},M)=operatorname {AVAR} (ntau _{0},M)={frac {1}{2{fracfrac {M-1} {n}}}sum} ¿Por qué? {M-1} {fn}}left({bar {y}_{ni+n}-{bar {y}_{ni}right)} {2}$

con ${displaystyle nleq M-1}$,

y para la serie temporal:

${displaystyle sigma _{2}(ntau) ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? ¿Por qué? {N-1}{n}-2}left(x_{ni+2n}-2x_{ni+n}+x_{ni}right)^{2}}$

con ${displaystyle nleq {fnMicroc {N-1}{2}}$.

Estos estimadores tienen un inconveniente significativo en el sentido de que eliminarán una cantidad significativa de datos de muestra, ya que solo se utiliza 1/n de las muestras disponibles.

Estimadores τ de variables superpuestas

Una técnica presentada por J. J. Snyder proporcionó una herramienta mejorada, ya que las medidas se superpusieron en n series superpuestas de la serie original. El estimador de varianza de Allan superpuesto fue introducido por Howe, Allan y Barnes. Se puede demostrar que esto es equivalente a promediar el tiempo o las muestras de frecuencia normalizadas en bloques de n muestras antes del procesamiento. El predictor resultante se convierte en

${displaystyle {begin{aligned}sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? {y}_{j+n}-{y} {j}right)}end{aligned}}$

o para la serie temporal:

${displaystyle sigma _{2}(ntau) ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Por qué?$

Los estimadores superpuestos tienen un rendimiento muy superior a los estimadores no superpuestos, ya que n aumenta y la serie temporal tiene una longitud moderada. Los estimadores superpuestos han sido aceptados como los estimadores de varianza de Allan preferidos en los estándares IEEE, ITU-T y ETSI para mediciones comparables, como las necesarias para la calificación de telecomunicaciones.

Varianza de Allan modificada

Para abordar la incapacidad de separar la modulación de fase blanca de la modulación de fase de parpadeo utilizando los estimadores de varianza tradicionales de Allan, un filtrado algorítmico reduce el ancho de banda en n. Este filtrado proporciona una modificación a la definición y los estimadores y ahora se identifica como una clase separada de varianza denominada varianza de Allan modificada. La medida de la varianza de Allan modificada es una medida de estabilidad de frecuencia, al igual que la varianza de Allan.

Estimadores de estabilidad temporal

Una medida estadística de estabilidad temporal (σ_x), que a menudo se denomina desviación temporal (TDEV), se puede calcular a partir de la desviación de Allan modificada (MDEV). El TDEV se basa en el MDEV en lugar de la desviación de Allan original, porque el MDEV puede discriminar entre modulación de fase (PM) blanca y parpadeante. La siguiente es la estimación de la varianza de tiempo basada en la varianza de Allan modificada:

${displaystyle sigma _{x}{2}(tau)={frac {tau ^{2}}{3}}}{bmod {sigma }_{y} {2}(tau),}$

y de manera similar para la desviación de Allan modificada a la desviación de tiempo:

${displaystyle sigma _{x}(tau)={frac {tau }{sqrt {3}}}{bmod {sigma {fnMicrosoft Sans Serif}$

El TDEV se normaliza para que sea igual a la desviación clásica para PM blanco para la constante de tiempo τ = τ₀. Para entender el factor de escala de normalización entre las medidas estadísticas, la siguiente es la regla estadística relevante: Para las variables aleatorias independientes X y Y, la varianza (σ_z²) de una suma o diferencia (z = x − y) es la suma al cuadrado de sus varianzas (σ_z² = σ_x² + σ_y²). La varianza de la suma o diferencia (y = x_2τ − x _τ) de dos muestras independientes de una variable aleatoria es el doble de la varianza de la variable aleatoria (σ_y< sup>2 = 2σ_x²). El MDEV es la segunda diferencia de medidas de fase independientes (x) que tienen una varianza (σ_x²). Dado que el cálculo es la doble diferencia, que requiere tres medidas de fase independientes (x_2τ − 2x< sub>τ + x), la varianza de Allan modificada (MVAR) es tres veces las varianzas de las mediciones de fase.

Otros estimadores

Desarrollos posteriores han producido métodos de estimación mejorados para la misma medida de estabilidad, la varianza/desviación de frecuencia, pero estos se conocen por nombres separados como la varianza de Hadamard, la varianza de Hadamard modificada, la varianza total, la varianza total modificada y Theo diferencia. Estos se distinguen por un mejor uso de las estadísticas para mejorar los límites de confianza o la capacidad de manejar la deriva de frecuencia lineal.

Intervalos de confianza y grados de libertad equivalentes

Los estimadores estadísticos calcularán un valor estimado en la serie de muestra utilizada. Las estimaciones pueden desviarse del valor verdadero y el rango de valores que con alguna probabilidad contendrá el valor verdadero se denomina intervalo de confianza. El intervalo de confianza depende del número de observaciones en la serie de muestras, el tipo de ruido dominante y el estimador que se utiliza. El ancho también depende de la certeza estadística para la cual los valores del intervalo de confianza forman un rango acotado, por lo tanto, la certeza estadística de que el valor verdadero está dentro de ese rango de valores. Para estimadores τ variables, el múltiplo τ₀ n también es una variable.

Intervalo de confianza

El intervalo de confianza se puede establecer mediante la distribución de chi-cuadrado utilizando la distribución de la varianza de la muestra:

${displaystyle chi ^{2}={frac {text{df},s^{2}{sigma ^{2}}}}}$

donde s² es la varianza muestral de nuestra estimación, σ² es el verdadero valor de la varianza, df son los grados de libertad del estimador y χ² son los grados de libertad para una cierta probabilidad. Para una probabilidad del 90%, que cubre el rango del 5% al 95% en la curva de probabilidad, los límites superior e inferior se pueden encontrar usando la desigualdad

${displaystyle chi ^{2}(0.05)leq {frac {text{df},s^{2}{sigma ^{2}}}leq chi ^{2}(0.95),} {fnunció]$

que después del reordenamiento de la varianza verdadera se convierte en

${displaystyle {frac {text{df},s^{2}{chi ^{2}(0.95}}leq sigma ^{2}leq {frac {text{df},s^{2}{2} {f}}} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans {fnK}}} {fnMicroc {f} {fnMicroc}} {f}f}}}}}}}}f}}}}}}}}}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}$

Grados de libertad efectivos

Los grados de libertad representan el número de variables libres capaces de contribuir a la estimación. Dependiendo del estimador y del tipo de ruido, los grados de libertad efectivos varían. Se han encontrado empíricamente fórmulas de estimador que dependen de N y n:

Diferencia de la libertad

Tipo de ruido	grados de libertad
modulación de fase blanca (WPM)	${displaystyle {text{df}cong {frac {(N+1)}{2(N-n)}}}}$
modulación de fase flicker (FPM)	${displaystyle {text{df}cong exp left[left(ln {frac} {N-1}{2n}ln {fn2n+1)}{4}right)}{-1/2}right]}$
modulación de frecuencia blanca (WFM)	${displaystyle {text{df}cong left[{frac {3(N-1)}{2n}}-{frac {2(N-2)}{N}}right]{frac {4n^{2}{4n^{2}+5}}}}}}}}}}}}}}} {$
modulación de frecuencia flicker (FFM)	${displaystyle {text{df}cong {begin{cases}{frac {2(N-2)}{2.3N-4.9} {fnc {5N^{2}{4n(N+3n)}} {nngq 2end{cases}}}}}}}}$
modulación de frecuencia aleatoria (RWFM)	${displaystyle {text{df}cong {fnK} {fn0} {fn1}}}}} {fn1}}}}} {fn1}}}} {fn1}}}}}} {fn9}}}}}}}}}} {fn}}}}} {f}}} {fn0}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$

Ruido de ley de potencia

La varianza de Allan tratará varios tipos de ruido de ley de potencia de manera diferente, lo que permitirá identificarlos convenientemente y estimar su intensidad. Como convención, el ancho del sistema de medición (frecuencia de esquina alta) se denota f_H.

Respuesta de la varianza de Allan power-law

Tipo de ruido de garra eléctrica	Pendiente de ruido de fase	Pendiente de ruido de frecuencia	Coeficiente de energía	Ruido de fase ${displaystyle S_{x}(f)}$	Variación total ${displaystyle sigma _{2}(tau)}$	Allan deviation ${displaystyle sigma _{y}(tau)}$
modulación de fase blanca (WPM)	${displaystyle f^{0}=1}$	${displaystyle f^{2}$	${displaystyle h_{2}$	${displaystyle {frac}{2pi)}h_{2}} {fnK} {fnK} {fn0}} {fn0}}} {fnK} {fnK}} {fnK}}}}}} {fnK}}}}}} {fnKf}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}$	${displaystyle {frac {3f_{H}{4pi }tau ^{2}h_{2}}}}} {c}}} {c}}} {c}} {c}}}} {c}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}} {$	${displaystyle {frac {sqrt {3f_{H}}{2pitau}{sqrt {}}$
modulación de fase flicker (FPM)	${displaystyle f^{-1}$	${displaystyle f^{1}=f}$	${displaystyle h_{1}$	${displaystyle {frac {1}{2}f}h_{1}} {f}} {f}}}$	${displaystyle {frac {3[gamma +ln(2pi f_{H}tau)]-ln 2}{4pi ^{2}tau$	${displaystyle {frac {sqrt {3[gamma +ln(2pi f_{H}tau)]-ln 2}{2pitau}{sqrt {h_{1}}}$
modulación de frecuencia blanca (WFM)	${displaystyle f^{-2}$	${displaystyle f^{0}=1}$	${displaystyle H_{0}$	${displaystyle {frac {1}{2}f}h_{0}}$	${displaystyle {frac}{2tau - Sí.$	${displaystyle {frac}{sqrt {2tau - Sí. {}}$
modulación de frecuencia flicker (FFM)	${displaystyle f^{-3}$	${displaystyle f^{-1}$	${displaystyle H_{-1}$	${displaystyle {frac {1}{2}f}h_{-1}}$	${displaystyle 2ln(2)h_{-1}$	${fn} {fn} {fn}} {fn}}}} {fn}}}} {fn}}}} {fn}}} {fn}}}}}}}}} {fn}}}}$
modulación de frecuencia de caminar al azar (RWFM)	${displaystyle f^{-4}$	${displaystyle f^{-2}$	${displaystyle H_{-2}$	${displaystyle {frac {1}{2}f}h_{-2}}$	${displaystyle {frac {2pi}tau }h_{-2}$	${fnMicroc {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMin {fnMicrosoft {2fnh} - Sí. {}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}} {fn}}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}} {$

Como se encuentra en y en formas modernas.

La varianza de Allan no puede distinguir entre WPM y FPM, pero puede resolver los otros tipos de ruido de ley de potencia. Para distinguir WPM y FPM, se debe emplear la varianza de Allan modificada.

Las fórmulas anteriores asumen que

${displaystyle tau gg {frac {1}{2pi.$

y por lo tanto que el ancho de banda del tiempo de observación es mucho menor que el ancho de banda de los instrumentos. Cuando no se cumple esta condición, todas las formas de ruido dependen del ancho de banda del instrumento.

Mapeo Α–μ

El mapeo detallado de una modulación de fase de la forma

${displaystyle S_{x}(f)={frac {1}{4pi ¿Qué? ¿Qué?$

dónde

${displaystyle beta equiv alpha -2.$

o modulación de frecuencia de la forma

${displaystyle S_{y}(f)=h_{alpha. }$

en la varianza de Allan de la forma

${displaystyle sigma _{2}(tau)=K_{alpha }h_{alpha }tau ^{mu }$

se puede simplificar significativamente proporcionando un mapeo entre α y μ. También se presenta un mapeo entre α y K_α por conveniencia:

Variación total α–μ Cartografía

α	β	μ	Kα
−2	−4	1	${displaystyle {frac {2pi}{2}{3}}} {f}} {fnK}}}$
−1	−3	0	${displaystyle 2ln 2}$
0	−2	−1	${fnMicroc} {1}{2}}}$
1	−1	−2	${displaystyle {frac {3[gamma +ln(2pi f_{H}tau)]-ln 2}{4pi ^{2}}}$
2	0	−2	${displaystyle {frac {3f_{H}{4pi}}} {f}} {f}} {f}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}} {f}}}$

Conversión general de ruido de fase

Una señal con ruido de fase espectral ${displaystyle S_{varphi }$ con unidades rad²/Hz se puede convertir a Allan Variance por

${displaystyle sigma _{2}(tau)={frac {2}{nu} ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {sin ^{4}(pitau f)}{pitau)}}}}}},df.}$

Respuesta lineal

Si bien la varianza de Allan está diseñada para distinguir formas de ruido, dependerá de algunas, pero no de todas, las respuestas lineales al tiempo. Se dan en la tabla:

Respuesta lineal de la varianza

Efecto lineal	respuesta del tiempo	frecuencia de respuesta	Variación total	Allan deviation
Reducción de la fase	${displaystyle x_{0}$	${displaystyle 0}$	${displaystyle 0}$	${displaystyle 0}$
offset de frecuencia	${displaystyle Y...$	${displaystyle Y...$	${displaystyle 0}$	${displaystyle 0}$
deriva lineal	${displaystyle {frac {f}{2}}} {fn}} {fn}} {fn}}}} {fn}}}}}} {fnK}}}}}} {fnK}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}$	${displaystyle Dt.$	${displaystyle {frac {fnK}} {f}} {fn}}} {fn}} {fn}}}}}$	${displaystyle {frac {tau}{sqrt {2}}}$

Por lo tanto, la deriva lineal contribuirá al resultado de salida. Al medir un sistema real, es posible que sea necesario estimar y eliminar la deriva lineal u otro mecanismo de deriva de la serie temporal antes de calcular la varianza de Allan.

Propiedades de filtro de tiempo y frecuencia

Al analizar las propiedades de la varianza de Allan y sus amigos, ha resultado útil considerar las propiedades del filtro en la frecuencia de normalización. Comenzando con la definición de la varianza de Allan para

${displaystyle sigma _{2}(tau)={frac {1}{2}}leftlangle left({bar) {y}_{i+1}-{bar Está bien.$

dónde

${fnMicrosoft} {fnMicroc} {fnMicroc} ¿Qué?$

Reemplazando la serie de tiempo ${displaystyle Y...$ con la variante Fourier-transformed ${displaystyle S_{y}(f)}$ la varianza Allan se puede expresar en el dominio de frecuencia como

${displaystyle sigma _{2}(tau)=int ¿Por qué?$

Por lo tanto, la función de transferencia para la varianza de Allan es

${displaystyle leftvert H_{A}(f)rightvert ^{2}={frac {2sin ^{4}pitau f}{(pitau f)}}}}}}$

Funciones de sesgo

La varianza de la muestra M y el caso especial definido de la varianza de Allan experimentarán un sesgo sistemático dependiendo del número diferente de muestras M y la relación diferente entre T y τ. Para abordar estos sesgos, se han definido las funciones de sesgo B₁ y B₂ y permiten la conversión entre diferentes valores M y T.

Estas funciones de sesgo no son suficientes para manejar el sesgo resultante de concatenar M muestras al tiempo de observación Mτ₀ durante el MT₀ con el tiempo muerto distribuido entre los bloques de medición M en lugar de al final de la medición. Esto generó la necesidad del sesgo B₃.

Las funciones de sesgo se evalúan para un valor µ particular, por lo que es necesario realizar el mapeo α–µ para la forma de ruido dominante tal como se encuentra mediante la identificación de ruido. Alternativamente, el valor µ de la forma de ruido dominante puede deducirse de las mediciones utilizando las funciones de polarización.

Función de sesgo B1

La función de sesgo B₁ relaciona la varianza de la muestra M con la varianza de 2 muestras (varianza de Allan), manteniendo el tiempo entre mediciones T y tiempo para cada medición τ constante. se define como

${displaystyle B_{1}(N,r,mu)={frac {leftlangle sigma _{y}^{2}(N,T,tau)rightrangle } {leftlangle sigma _{y} {2}(2,T,tau)rightrangle }}}}}$

dónde

${displaystyle r={frac {T} {tau }}}$

La función de sesgo se convierte después del análisis

${displaystyle B_{1}(N,r,mu)={frac {1+sum _{n=1}^{N-1}{frac {N-n}{N-1)}}left[2(rn)^{mu +2}-(rn+1)^{mu +2}-Principen-1 perpetua^{mu +2}right]}{1+{frac {1}{2}}}}m} {m} {m} {c}}}} {m} {c}}} {c}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}cccccccccccccccccccccccccccccc$

Función de sesgo B2

La función de sesgo B₂ relaciona la varianza de 2 muestras para el tiempo de muestra T con la varianza de 2 muestras (varianza de Allan), manteniendo el número de muestras N = 2 y el tiempo de observación τ constante. se define como

${displaystyle B_{2}(r,mu)={frac {leftlangle sigma _{y}^{2}(2,T,tau)rightrangle } {leftlangle sigma _{y} {2}(2,tautau)rightrangle }}}}}$

dónde

${displaystyle r={frac {T} {tau }}}$

La función de sesgo se convierte después del análisis

${displaystyle B_{2}(r,mu)={frac {1+{frac {1}{2}left[2r^{mu +2}-(r+1)^{mu +2}- perpetuar-1^{mu +2}right]}{2left(1-2^{mu }right)}}}}} {displaystyle B_{2}}}}}}} {c} {c}} {c}}}} {c} {c}} {c}}}}} {ccccc}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}} {ccccccccccccccccccccccccccccccccccccc$

Función de sesgo B3

La función de sesgo B₃ relaciona la varianza de 2 muestras para el tiempo de muestra MT₀ y el tiempo de observación Mτ₀ con la varianza de 2 muestras (varianza de Allan) y se define como

${displaystyle B_{3}(N,M,r,mu)={frac {leftlangle sigma ¿Qué? } {leftlangle sigma _{y} {2}(N,T,tau)rightrangle }}}}}$

dónde

${displaystyle T=MT_{0},}$

${displaystyle tau =Mtau _{0}$

La función de sesgo B₃ es útil para ajustar los valores del estimador τ de la variable superpuesta y no superpuesta en función de las mediciones de tiempo muerto de la observación. tiempo τ₀ y tiempo entre observaciones T₀ a estimaciones de tiempo muerto normales.

La función de sesgo se convierte después del análisis (para el caso N = 2)

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}[n=1} {fn]} {fn]} {fn}fn}fn} {f}gn}f}} {f}}}gn} {f}}cH00}}}}}}}f} {f}}}}}}}}}}}}}}} {g} {f} {g}f}}}} {f} {f}}}}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {$

dónde

${displaystyle F(A)=2A^{mu +2}-(A+1)^{mu +2}-SobrevivirA-1 +2}$

T función de sesgo

Si bien no está formulado formalmente, se ha inferido indirectamente como consecuencia del mapeo α–µ. Al comparar dos medidas de varianza de Allan para diferentes τ, suponiendo el mismo ruido dominante en forma de mismo coeficiente µ, un sesgo se puede definir como

${displaystyle B_{tau }(tau _{1},tau _{2},mu)={frac {leftlangle sigma _{y}{2}(2,tau _{2},tau _{2},tau _{2})rightrangle {leftlangle sigma _{y}{2}(2,tau _{1},tau _{1})rightrangle }}$

La función de sesgo se convierte después del análisis

${displaystyle B_{tau }(tau _{1},tau _{2},mu)=left({frac {tau _{2}{tau _{1}}}right)}{mu }}}}}}}} {m}}} {m}}}} {m}}}}}}} {m}}}}} {m}}}}}}} {m}}}}}}}}} {m}}}}}}}}} {m}}}}}} {m}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}} {m} {m}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Conversión entre valores

Para convertir de un conjunto de medidas a otro, B₁, B₂ y τ Se pueden ensamblar funciones de sesgo. Primero, la función B₁ convierte (N₁,T ₁,τ₁) valor en (2,T₁,τ< /i>₁), de donde la función B₂ se convierte en (2,τ ₁,τ₁), por lo tanto, la varianza de Allan en τ₁. La medida de la varianza de Allan se puede convertir usando la función de sesgo τ de τ₁ a τ₂, de donde luego el (2,T₂,τ₂) usando B ₂ y finalmente usando B₁ en (N₂,T< /i>₂,τ₂) varianza. La conversión completa se convierte en

${displaystyle leftlangle sigma ¿Por qué? {fnMicrosoft Sans Serif}$

dónde

${displaystyle ¿Qué? {T_{1} {} {}}}} {cH00}}} {cH00}}} {cH00}}}}} {cH00}}}}}}} {cH00}}}}}}$

${displaystyle r_{2}={frac {T_{2} {r_{2}}}}$

Del mismo modo, para mediciones concatenadas usando secciones M, la extensión lógica se convierte en

${displaystyle leftlangle sigma ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################$

Problemas de medición

Al realizar mediciones para calcular la varianza de Allan o la desviación de Allan, una serie de problemas pueden hacer que las mediciones degeneren. Aquí se tratan los efectos específicos de la varianza de Allan, donde los resultados estarían sesgados.

Límites de ancho de banda de medición

Se espera que un sistema de medición tenga un ancho de banda o inferior al de la tasa Nyquist, como se describe en el teorema Shannon-Hartley. Como se puede ver en las fórmulas de ruido de la ley de poder, las modulaciones de ruido blancas y flicker dependen de la frecuencia superior de la esquina ${displaystyle F_{H}$ (estos sistemas se supone que son filtrados de baja velocidad solamente). Considerando la propiedad del filtro de frecuencia, se puede ver claramente que el ruido de baja frecuencia tiene mayor impacto en el resultado. Para los tipos de ruido de fase relativamente plana (p. ej. WPM y FPM), el filtrado tiene relevancia, mientras que para los tipos de ruido con mayor pendiente el límite de frecuencia superior se vuelve de menor importancia, asumiendo que el ancho de banda del sistema de medición es ancho relativo el ${displaystyle tau }$ por el Secretario General

${displaystyle tau gg {frac {1}{2pi.$

Cuando esta suposición no se cumple, el ancho de banda eficaz ${displaystyle F_{H}$ necesita ser notado junto con la medición. El interesado debe consultar NBS TN394.

Si, sin embargo, se ajusta el ancho de banda del calculador utilizando múltiples enteros del tiempo de la muestra ${displaystyle ntau _{0}$, entonces el impacto de ancho de banda del sistema se puede reducir a niveles insignificantes. En lo que respecta a las necesidades de telecomunicaciones, se han requerido esos métodos para garantizar la comparabilidad de las mediciones y permitir que algunos proveedores tengan libertad para realizar diferentes implementaciones. The ITU-T Rec. G.813 for the TDEV measurement.

Se puede recomendar que el primero ${displaystyle tau _{0}$ se ignoran los múltiples, de tal manera que la mayoría del ruido detectado está bien dentro de la banda ancha de los sistemas de medición.

Se realizaron más desarrollos en la variación de Allan para permitir que el ancho de banda del hardware se reduzca por medio del software. Este desarrollo de un ancho de banda de software permitió abordar el ruido restante, y el método ahora se conoce como varianza de Allan modificada. Esta técnica de reducción del ancho de banda no debe confundirse con la variante mejorada de la varianza de Allan modificada, que también cambia el ancho de banda del filtro de suavizado.

Tiempo muerto en mediciones

Muchos instrumentos de medición del tiempo y la frecuencia tienen las etapas del tiempo de armadura, tiempo-base, tiempo de procesamiento y luego puede re-trigger la armadura. El tiempo de armadura es desde el momento en que se activa la armadura cuando el evento de inicio ocurre en el canal de inicio. El tiempo-base asegura entonces que la cantidad mínima de tiempo va antes de aceptar un evento en el canal de parada como el evento de parada. El número de eventos y el tiempo transcurrido entre el evento inicial y el evento de parada se registra y presenta durante el tiempo de procesamiento. Cuando el procesamiento ocurre (también conocido como el tiempo de residencia), el instrumento generalmente no puede hacer otra medición. Después de que se haya producido el procesamiento, un instrumento en modo continuo activa el circuito del brazo de nuevo. El tiempo entre el evento de parada y el siguiente evento de inicio se convierte en tiempo muerto, durante el cual no se observa la señal. Tal tiempo muerto introduce sesgos sistemáticos de medición, que debe ser compensado para obtener resultados adecuados. Para tales sistemas de medición será el momento T denota el tiempo entre los eventos de inicio adyacente (y por lo tanto las mediciones), mientras ${displaystyle tau }$ denota la longitud de la base de tiempo, es decir, la longitud nominal entre el inicio y el evento de parada de cualquier medida.

Los efectos de tiempo muerto en las mediciones tienen tal impacto en el resultado producido que se han realizado muchos estudios del campo para cuantificar sus propiedades correctamente. La introducción de contadores de tiempo muerto cero eliminó la necesidad de este análisis. Un contador de tiempo muerto cero tiene la propiedad de que el evento de parada de una medición también se utiliza como evento de inicio del siguiente evento. Dichos contadores crean una serie de pares de eventos y marcas de tiempo, uno para cada canal espaciado por la base de tiempo. Estas medidas también han resultado útiles en formas de orden de análisis de series de tiempo.

Las mediciones que se realizan con tiempo muerto se pueden corregir utilizando la función de polarización B₁, B₂ y B₃. Así, el tiempo muerto como tal no está prohibiendo el acceso a la varianza de Allan, pero lo hace más problemático. Se debe conocer el tiempo muerto, de manera que se pueda establecer el tiempo entre muestras T.

Longitud de medición y uso efectivo de muestras

Estudiar el efecto sobre los intervalos de confianza que tiene la longitud N de la serie muestral, y el efecto de la variable τ parámetro n los intervalos de confianza pueden volverse muy grandes, ya que el grado de libertad efectivo puede volverse pequeño para alguna combinación de N y n para la forma de ruido dominante (para eso τ ).

El efecto puede ser que el valor estimado sea mucho menor o mucho mayor que el valor real, lo que puede conducir a conclusiones falsas del resultado.

Se recomienda que el intervalo de confianza se represente junto con los datos, de modo que el lector del gráfico pueda conocer la incertidumbre estadística de los valores.

Se recomienda que la longitud de la secuencia de muestras, es decir, el número de muestras N se mantenga alto para garantizar que el intervalo de confianza sea pequeño en el rango de interés τ.

Se recomienda que el rango τ barrido por el multiplicador τ₀ n esté limitado en el N relativo del extremo superior, de modo que la lectura del gráfico no se confunda con valores de estimador altamente inestables.

Se recomienda que los estimadores que proporcionen mejores valores de grados de libertad se utilicen en reemplazo de los estimadores de varianza de Allan o como complemento cuando superen a los estimadores de varianza de Allan. Entre ellos se deben considerar los estimadores de varianza total y Theo varianza.

Tipo de ruido dominante

Una gran cantidad de constantes de conversión, correcciones de sesgo e intervalos de confianza dependen del tipo de ruido dominante. Para una interpretación adecuada, el tipo de ruido dominante para el τ particular de interés debe identificarse a través de la identificación del ruido. Si no se identifica el tipo de ruido dominante, se producirán valores sesgados. Algunos de estos sesgos pueden ser de varios órdenes de magnitud, por lo que pueden ser de gran importancia.

Deriva lineal

Los efectos sistemáticos en la señal solo se cancelan parcialmente. La compensación de fase y frecuencia se cancela, pero la deriva lineal u otras formas de alto grado de curvas de fase polinómicas no se cancelarán y, por lo tanto, constituirán una limitación de medición. Podría emplearse el ajuste de curvas y la eliminación del desplazamiento sistemático. A menudo, la eliminación de la deriva lineal puede ser suficiente. También podría emplearse el uso de estimadores de deriva lineal como la varianza de Hadamard. Se podría emplear una eliminación de deriva lineal utilizando un estimador basado en momentos.

Sesgo del estimador del instrumento de medida

Los instrumentos tradicionales solo proporcionaban la medición de eventos únicos o pares de eventos. La introducción de la herramienta estadística mejorada de mediciones superpuestas por parte de J. J. Snyder permitió una resolución mucho mejor en las lecturas de frecuencia, rompiendo el equilibrio tradicional de dígitos/base de tiempo. Si bien estos métodos son útiles para su propósito previsto, el uso de mediciones suavizadas para los cálculos de la varianza de Allan daría una falsa impresión de alta resolución, pero durante más tiempo τ el efecto se elimina gradualmente y la menor τ de la medición tiene valores sesgados. Este sesgo está proporcionando valores más bajos de lo que debería, por lo que es un sesgo demasiado optimista (suponiendo que lo que uno desea son números bajos), lo que reduce la usabilidad de la medición en lugar de mejorarla. Dichos algoritmos inteligentes generalmente se pueden desactivar o eludir de otra manera mediante el uso del modo de marca de tiempo, que es mucho más preferible si está disponible.

Medidas prácticas

Si bien se pueden diseñar varios enfoques para la medición de la varianza de Allan, un ejemplo simple puede ilustrar cómo se pueden realizar las mediciones.

Medición

Todas las medidas de la varianza de Allan serán en efecto la comparación de dos relojes diferentes. Considere un reloj de referencia y un dispositivo bajo prueba (DUT), y ambos tienen una frecuencia nominal común de 10 MHz. Se utiliza un contador de intervalos de tiempo para medir el tiempo entre el flanco ascendente de la referencia (canal A) y el flanco ascendente del dispositivo bajo prueba.

Para proporcionar mediciones espaciadas uniformemente, el reloj de referencia se dividirá para formar la tasa de medición, activando el contador de intervalos de tiempo (entrada ARM). Esta tasa puede ser de 1 Hz (usando la salida de 1 PPS de un reloj de referencia), pero también se pueden usar otras tasas como 10 Hz y 100 Hz. La velocidad a la que el contador de intervalos de tiempo puede completar la medición, generar el resultado y prepararse para el próximo armado limitará la frecuencia de activación.

Entonces, una computadora es útil para registrar la serie de diferencias de tiempo que se observan.

Posprocesamiento

La serie de tiempo registrada requiere un procesamiento posterior para desenvolver la fase envuelta, de modo que se proporciona un error de fase continuo. Si es necesario, también se deben corregir los errores de registro y medición. Se debe realizar la estimación y la eliminación de la deriva, el mecanismo de deriva debe identificarse y comprenderse para las fuentes. Las limitaciones de deriva en las mediciones pueden ser severas, por lo que es necesario dejar que los osciladores se estabilicen durante el tiempo suficiente para estar encendidos.

La varianza de Allan se puede calcular usando los estimadores proporcionados y, para fines prácticos, se debe usar el estimador superpuesto debido a su uso superior de datos sobre el estimador no superpuesto. También podrían usarse otros estimadores, como los estimadores de varianza total o Theo, si se aplican correcciones de sesgo de modo que proporcionen resultados compatibles con la varianza de Allan.

Para formar los gráficos clásicos, la desviación de Allan (raíz cuadrada de la varianza de Allan) se representa en formato logarítmico frente al intervalo de observación τ.

Equipo y software

El contador de intervalos de tiempo suele ser un contador estándar disponible comercialmente. Los factores limitantes incluyen la resolución de un solo disparo, la inestabilidad del disparador, la velocidad de las mediciones y la estabilidad del reloj de referencia. La recopilación y el procesamiento posterior de la computadora se pueden realizar utilizando software comercial o de dominio público existente. Existen soluciones altamente avanzadas, que proporcionarán medición y cálculo en una sola caja.

Historia de la investigación

El campo de la estabilidad de frecuencia se ha estudiado durante mucho tiempo. Sin embargo, durante la década de 1960 se encontró que faltaban definiciones coherentes. Un simposio NASA-IEEE sobre estabilidad a corto plazo en noviembre de 1964 dio como resultado la edición especial de febrero de 1966 de IEEE Proceedings on Frequency Stability.

El simposio NASA-IEEE reunió muchos campos y usos de la estabilidad a corto y largo plazo, con documentos de muchos colaboradores diferentes. Los artículos y los paneles de discusión coinciden en la existencia del ruido de parpadeo de frecuencia y el deseo de lograr una definición común para la estabilidad a corto y largo plazo.

Artículos importantes, incluidos los de David Allan, James A. Barnes, L. S. Cutler y C. L. Searle y D. B. Leeson, aparecieron en IEEE Proceedings on Frequency Stability y ayudaron a dar forma al campo.

El artículo de David Allan analiza la varianza de frecuencia clásica de la muestra M y aborda el tema del tiempo muerto entre mediciones junto con una función de sesgo inicial. Aunque la función de polarización inicial de Allan no asume ningún tiempo muerto, sus fórmulas sí incluyen cálculos de tiempo muerto. Su artículo analiza el caso de M muestras de frecuencia (llamadas N en el artículo) y estimadores de varianza. Proporciona el mapeo α–µ ahora estándar, claramente basado en James Barnes' trabajar en el mismo tema.

El caso de varianza de 2 muestras es un caso especial de la varianza de muestra M, que produce un promedio de la derivada de frecuencia. Allan usa implícitamente la varianza de 2 muestras como caso base, ya que para M elegidos arbitrariamente, los valores pueden transferirse a través de la varianza de 2 muestras a la varianza de muestra M. No se indicó claramente ninguna preferencia por la varianza de 2 muestras, incluso si se proporcionaron las herramientas. Sin embargo, este artículo sentó las bases para usar la varianza de 2 muestras como una forma de comparar otras varianzas de muestras M.

James Barnes amplió significativamente el trabajo sobre las funciones de sesgo, introduciendo el sesgo moderno B₁ y B₂ funciones Curiosamente, se refiere a la varianza de la muestra M como "varianza de Allan", mientras que se refiere al artículo de Allan "Statistics of Atomic Frequency Standards". Con estas modernas funciones de sesgo, conversión completa entre medidas de varianza de muestra M de varios valores M, T y τ podría realizarse, por conversión a través de la varianza de 2 muestras.

James Barnes y David Allan ampliaron aún más las funciones de sesgo con la función B₃ para manejar el sesgo del estimador de muestras concatenadas. Esto fue necesario para manejar el nuevo uso de observaciones de muestras concatenadas con tiempo muerto en el medio.

En 1970, el Comité Técnico de IEEE sobre Frecuencia y Tiempo, dentro del Grupo IEEE sobre Instrumentación & Las mediciones proporcionaron un resumen del campo, publicado como NBS Technical Notice 394. Este documento fue el primero de una línea de documentos más educativos y prácticos que ayudaron a los compañeros ingenieros a comprender el campo. Este documento recomendó la varianza de 2 muestras con T = τ, refiriéndose a ella como varianza de Allan (ahora sin las comillas). La elección de dicha parametrización permite un buen manejo de algunas formas de ruido y obtener mediciones comparables; es esencialmente el mínimo común denominador con la ayuda de las funciones de sesgo B₁ y B₂.

J. J. Snyder propuso un método mejorado para la estimación de frecuencia o varianza, utilizando estadísticas de muestra para contadores de frecuencia. Para obtener grados de libertad más efectivos del conjunto de datos disponible, el truco consiste en utilizar períodos de observación superpuestos. Esto proporciona una mejora de √n, y se incorporó en el estimador de varianza de Allan superpuesto. También se incorporó el procesamiento de software de τ variable. Este desarrollo mejoró los estimadores de varianza de Allan clásicos, proporcionando asimismo una inspiración directa para el trabajo sobre la varianza de Allan modificada.

Howe, Allan y Barnes presentaron el análisis de los intervalos de confianza, los grados de libertad y los estimadores establecidos.

Recursos educativos y prácticos

El campo del tiempo y la frecuencia y su uso de la varianza de Allan, la desviación de Allan y sus amigos es un campo que involucra muchos aspectos, para los cuales tanto la comprensión de los conceptos y las medidas prácticas como el posprocesamiento requieren cuidado y comprensión. Por lo tanto, hay un reino de material educativo disponible que se extiende por unos 40 años. Dado que estos reflejan los desarrollos en la investigación de su tiempo, se enfocan en enseñar diferentes aspectos a lo largo del tiempo, en cuyo caso una encuesta de los recursos disponibles puede ser una forma adecuada de encontrar el recurso adecuado.

El primer resumen significativo es la Nota técnica NBS 394 "Caracterización de la estabilidad de frecuencia". Este es el producto del Comité Técnico sobre Frecuencia y Tiempo del Grupo IEEE sobre Instrumentación & Medición. Brinda la primera descripción general del campo, establece los problemas, define las definiciones básicas de apoyo y se adentra en la varianza de Allan, las funciones de sesgo B₁ y B₂, la conversión de medidas en el dominio del tiempo. Esto es útil, ya que se encuentra entre las primeras referencias para tabular la varianza de Allan para los cinco tipos básicos de ruido.

Una referencia clásica es la Monografía NBS 140 de 1974, que en el capítulo 8 tiene "Estadísticas de análisis de datos de tiempo y frecuencia". Esta es la variante extendida de NBS Technical Note 394 y agrega esencialmente técnicas de medición y procesamiento práctico de valores.

Una adición importante serán las Propiedades de las fuentes de señal y los métodos de medición. Abarca el uso efectivo de los datos, los intervalos de confianza, el grado de libertad efectivo, así como la introducción del estimador de varianza de Allan superpuesto. Es una lectura muy recomendable para esos temas.

El estándar IEEE 1139 Definiciones estándar de cantidades físicas para frecuencia fundamental y metrología temporal es más que un estándar, una referencia integral y un recurso educativo.

Un libro moderno dirigido a las telecomunicaciones es Stefano Bregni "Sincronización de redes de telecomunicaciones digitales". Esto resume no solo el campo, sino también gran parte de su investigación en el campo hasta ese momento. Su objetivo es incluir medidas clásicas y medidas específicas de telecomunicaciones, como MTIE. Es un compañero útil cuando se buscan medidas relacionadas con los estándares de telecomunicaciones.

La Publicación especial 1065 del NIST "Manual de análisis de estabilidad de frecuencia" de W. J. Riley es una lectura recomendada para cualquiera que quiera dedicarse al campo. Es rico en referencias y también cubre una amplia gama de medidas, sesgos y funciones relacionadas que un analista moderno debería tener disponible. Además, describe el procesamiento general necesario para una herramienta moderna.

Usos

La varianza de Allan se utiliza como medida de estabilidad de frecuencia en una variedad de osciladores de precisión, como osciladores de cristal, relojes atómicos y láseres de frecuencia estabilizada durante un período de un segundo o más. La estabilidad a corto plazo (menos de un segundo) normalmente se expresa como ruido de fase. La varianza de Allan también se utiliza para caracterizar la estabilidad de polarización de los giroscopios, incluidos los giroscopios de fibra óptica, los giroscopios de resonador hemisférico y los giroscopios y acelerómetros MEMS.

50 Aniversario

En 2016, IEEE-UFFC publicará un "número especial para celebrar el 50.º aniversario de Allan Variance (1966–2016)". Un editor invitado para ese número será el ex colega de David en NIST, Judah Levine, quien es el ganador más reciente del Premio I. I. Rabi.