Variable (matemáticas)

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En matemáticas, una variable (del latín variabilis, "cambiable") es un símbolo que representa un objeto matemático. Una variable puede representar un número, un vector, una matriz, una función, el argumento de una función, un conjunto o un elemento de un conjunto.

Los cálculos algebraicos con variables como si fueran números explícitos resuelven una variedad de problemas en un solo cálculo. Por ejemplo, la fórmula cuadrática resuelve cualquier ecuación cuadrática sustituyendo los valores numéricos de los coeficientes de esa ecuación por las variables que los representan en la fórmula cuadrática. En lógica matemática, una variable es un símbolo que representa un término no especificado de la teoría (una metavariable) o un objeto básico de la teoría que se manipula sin hacer referencia a su posible interpretación intuitiva.

Historia

En obras antiguas como Los Elementos de Euclides, las letras individuales se refieren a puntos y formas geométricas. En el siglo VII, Brahmagupta usó diferentes colores para representar las incógnitas en las ecuaciones algebraicas del Brāhmasphuṭasiddhānta. Una sección de este libro se llama "Ecuaciones de varios colores".

A finales del siglo XVI, François Viète introdujo la idea de representar números conocidos y desconocidos mediante letras, hoy llamadas variables, y la idea de calcular con ellas como si fueran números, para obtener el resultado mediante una reemplazo sencillo. La convención de Viète era utilizar consonantes para los valores conocidos y vocales para los desconocidos.

En 1637, René Descartes "inventó la convención de representar incógnitas en ecuaciones mediante x, y y z, y conocidos por a, b y c". Contrariamente a la convención de Viète, Descartes; todavía se usa comúnmente. La historia de la letra x en matemáticas se analizó en un artículo de Scientific American de 1887.

A partir de la década de 1660, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron de forma independiente el cálculo infinitesimal, que consiste esencialmente en estudiar cómo una variación infinitesimal de una cantidad variable induce una variación correspondiente de otra cantidad que es una función de la primera variable. Casi un siglo después, Leonhard Euler fijó la terminología del cálculo infinitesimal e introdujo la notación $y = f (x)$ para una función $f$ , su variable $x$ y su valor $y$ . Hasta finales del siglo XIX, la palabra variable se refería casi exclusivamente a los argumentos y valores de funciones.

En la segunda mitad del siglo XIX, parecía que los fundamentos del cálculo infinitesimal no estaban lo suficientemente formalizados como para abordar paradojas aparentes, como una función continua que no es diferenciable en ninguna parte. Para solucionar este problema, Karl Weierstrass introdujo un nuevo formalismo consistente en sustituir la noción intuitiva de límite por una definición formal. La noción más antigua de límite era "cuando la variable $x$ varía y tiende hacia $a$ , entonces $f (x)$ tiende hacia $L$ ", sin ninguna definición precisa de "tiende". Weierstrass reemplazó esta frase por la fórmula

{\displaystyle (\forall \epsilon √0)(\exists \eta √0)(\forall x)\; pacienciax-a imperceptible \Rightarrow tenciónL-f(x)

en el que ninguna de las cinco variables se considera variable.

Esta formulación estática condujo a la noción moderna de variable, que es simplemente un símbolo que representa un objeto matemático que es desconocido o puede ser reemplazado por cualquier elemento de un conjunto dado (por ejemplo, el conjunto de números reales).

Notación

Las variables son generalmente denotadas por una sola letra, la mayoría a menudo del alfabeto latino y menos a menudo del griego, que puede ser minúscula o capitalizada. La carta puede ser seguida por un subscript: un número (como en $x 2$ ), otra variable ( $x i$ ), una palabra o abreviatura de una palabra ( $x total$ ) o una expresión matemática ( $x 2 i + 1$ ). Bajo la influencia de la ciencia informática, algunos nombres variables en matemáticas puras consisten en varias letras y dígitos. Siguiendo a René Descartes (1596-1650), letras al principio del alfabeto como a, b, c se utilizan comúnmente para valores y parámetros conocidos, y letras al final del alfabeto como (x, Sí., z) se utilizan comúnmente para desconocidos y variables de funciones. En matemáticas impresas, la norma es establecer variables y constantes en una tipografía itálica.

Por ejemplo, una función cuadrática general está escrita convencionalmente como ${\textstyle ax^{2}+bx+c\, }$ , donde a, b y c son parámetros (también llamados constantes, porque son funciones constantes), mientras x es la variable de la función. Una manera más explícita de denotar esta función es ${\textstyle x\mapsto ax^{2}+bx+c\, }$ , que aclara el estado de funcionamiento-argument x y el estado constante de a, b y c. Desde c ocurre en un término que es una función constante x, se llama el término constante.

Las ramas y aplicaciones específicas de las matemáticas tienen convenciones de nomenclatura específicas para las variables. A las variables con roles o significados similares a menudo se les asignan letras consecutivas o la misma letra con subíndices diferentes. Por ejemplo, los tres ejes en el espacio de coordenadas 3D se denominan convencionalmente x, y y z. En física, los nombres de las variables están determinados en gran medida por la cantidad física que describen, pero existen varias convenciones de nomenclatura. Una convención que se sigue a menudo en probabilidad y estadística es utilizar X, Y, Z para los nombres de variables aleatorias, manteniendo x, y, z para variables que representan valores correspondientes mejor definidos.

Tipos específicos de variables

Es común que las variables desempeñen diferentes roles en la misma fórmula matemática y se han introducido nombres o calificadores para distinguirlas. Por ejemplo, la ecuación cúbica general

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,

se interpreta como si tuviera cinco variables: cuatro, $a, b, c, d$ , que se consideran números dados y la quinta variable, $x,$ se entiende como un número desconocido. Para distinguirlas, la variable $x$ se denomina desconocida y las demás variables se denominan parámetros o coeficientes, o a veces constantes, aunque esta última terminología es incorrecta para una ecuación y debe reservarse para la función definida por el lado izquierdo de esta ecuación. .

En el contexto de las funciones, el término variable refiere comúnmente a los argumentos de las funciones. Este es típicamente el caso en frases como "función de una variable real", " $x$ es la variable de la función $f : x \mapsto f () x)$ ", " $f$ es una función de la variable $x$ " (que significa que el argumento de la función es referido por la variable $x$ ).

En el mismo contexto, las variables que son independientes de $x$ definen funciones constantes y, por lo tanto, se denominan constantes. Por ejemplo, una constante de integración es una función constante arbitraria que se suma a una antiderivada particular para obtener las otras antiderivadas. Debido a la fuerte relación entre polinomios y funciones polinómicas, el término "constante" se usa a menudo para denotar los coeficientes de un polinomio, que son funciones constantes de los indeterminados.

Este uso de "constante" como abreviatura de "función constante" debe distinguirse del significado normal de la palabra en matemáticas. Una constante o una constante matemática es un número bien definido e inequívocamente u otro objeto matemático, como, por ejemplo, los números 0, 1, $π$ y el elemento de identidad de un grupo. Dado que una variable puede representar cualquier objeto matemático, una letra que representa una constante a menudo se denomina variable. Este es, en particular, el caso de $e$ y $π$ , incluso cuando representan el número de Euler y $3.14159...$

Otros nombres específicos para variables son:

An desconocida es una variable en una ecuación que tiene que ser resuelto para.
An indeterminado es un símbolo, comúnmente llamado variable, que aparece en un polinomio o una serie de potencia formal. Hablando formalmente, un indeterminado no es una variable, sino una constante en el anillo polinomio o el anillo de la serie de potencia formal. Sin embargo, debido a la fuerte relación entre polinomios o series de poder y las funciones que definen, muchos autores consideran indeterminados como un tipo especial de variables.
A parámetro es una cantidad (generalmente un número) que es parte de la entrada de un problema, y permanece constante durante toda la solución de este problema. Por ejemplo, en la mecánica la masa y el tamaño de un cuerpo sólido son parámetros para el estudio de su movimiento. En la informática, parámetro tiene un significado diferente y denota un argumento de una función.
Variables libres y variables atadas
A variable aleatoria es una especie de variable que se utiliza en la teoría de probabilidad y sus aplicaciones.

Todas estas denominaciones de variables son de naturaleza semántica, y la forma de calcular con ellas (sintaxis) es la misma para todas.

Variables dependientes e independientes

En cálculo y su aplicación a la física y otras ciencias, es bastante común considerar una variable, digamos $y$ , cuyos valores posibles dependen de el valor de otra variable, digamos $x$ . En términos matemáticos, la variable dependiente $y$ representa el valor de una función de $< i>x$ . Para simplificar fórmulas, suele ser útil utilizar el mismo símbolo para la variable dependiente $y$ y la función de mapeo $< i>x$ en $y$ . Por ejemplo, el estado de un sistema físico depende de cantidades mensurables como la presión, la temperatura, la posición espacial,..., y todas estas cantidades varían cuando el sistema evoluciona, es decir, son función del tiempo. En las fórmulas que describen el sistema, estas cantidades están representadas por variables que dependen del tiempo y, por tanto, se consideran implícitamente como funciones del tiempo.

Por lo tanto, en una fórmula, una variable dependiente es una variable que es implícitamente una función de otra (o varias otras) variables. Una variable independiente es una variable que no es dependiente.

La propiedad de una variable de ser dependiente o independiente depende muchas veces del punto de vista y no es intrínseca. Por ejemplo, en la notación $f (x, y, z)$ , las tres variables pueden ser todas independientes y la notación representa una función de tres variables. Por otro lado, si $y$ y $z$ dependen de < abarcan class="texhtml">x (son variables dependientes), entonces la notación representa una función de la única variable independiente < abarcan clase="texhtml">x.

Ejemplos

Si uno define una función f de los números reales a los números reales por

f(x)=x^{2}+\sin(x+4)

entonces x es una variable que representa el argumento de la función que se define, que puede ser cualquier número real.

En la identidad

\sum _{i=1}{n}i={\frac {\fn}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\c}}}}}}}}}}} {\c}}}}}}}}}}}} {\c}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\c}}}}}}}}}}}}}

la variable i es una variable sumatoria que designa a su vez cada uno de los números enteros 1, 2,..., n (también se llama índice porque su variación es sobre un conjunto discreto de valores) mientras que n es un parámetro (no varía dentro de la fórmula).

En la teoría de los polinomios, un polinomio del grado 2 generalmente se denota como ax² + bx + c, donde a, b y c son llamados coeficientes (se supone que se fijan, es decir, parámetros del problema considerado) mientras x se llama variable. Al estudiar este polinomio para su función polinomio x representa el argumento de la función. Al estudiar el polinomio como objeto en sí mismo, x se considera un indeterminado, y a menudo se escribiría con una carta mayúscula para indicar esta condición.

Ejemplo: la ley de gas ideal

Considere la ecuación que describe la ley de gas ideal, $PV=Nk_{B}T.$ Esta ecuación se interpretaría generalmente para tener cuatro variables, y una constante. La constante es $K_{B$ La constante de Boltzmann. Una de las variables, $N$ , el número de partículas, es un entero positivo (y por lo tanto una variable discreta), mientras que los otros tres, $P,V$ y $T$ , para presión, volumen y temperatura, son variables continuas.

Uno podría reorganizar esta ecuación para obtener $P$ como función de las otras variables, $P(V,N,T)={\frac {Nk_{B}} {Nk_{B}}$ Entonces... $P$ , como función de las otras variables, es la variable dependiente, mientras sus argumentos, $V,N$ y $T$ Son variables independientes. Uno podría acercarse más formalmente a esta función y pensar en su dominio y rango: en la notación de funciones, aquí $P$ es una función $P:\Mathbb {R} _{ Conf0}\times \mathbb {N} \times \mathbb {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R} {R}} {R} {R}} {R}$ .

Sin embargo, en un experimento, para determinar la dependencia de la presión sobre una sola de las variables independientes, es necesario fijar todas menos una de las variables, digamos $T$ . Esto da una función $P(T)={\frac {Nk_{B}T} {Nk_{B}}}$ donde ahora $N$ y $V$ también se consideran constantes. Matemáticamente, esto constituye una aplicación parcial de la función anterior $P$ .

Esto ilustra cómo las variables y las constantes independientes dependen en gran medida del punto de vista adoptado. Uno podría incluso considerar $K_{B$ como variable para obtener una función $P(V,N,T,k_{B}={\frac {Nk_{B}} {Nk_{B}}$

Espacios de módulos

Considerando constantes y variables puede conducir al concepto de espacios moduli. Para ilustrar, considere la ecuación para una parabola, $Y=ax^{2}+bx+c,$ Donde $a,b,c,x$ y $y$ todos son considerados reales. El conjunto de puntos $(x,y)$ en el plano 2D que satisface esta ecuación rastrea el gráfico de una parabola. Aquí, $a,b$ y $c$ son considerados como constantes, que especifican la parabola, mientras $x$ y $y$ son variables.

Entonces en lugar de eso $a,b$ y $c$ como variables, observamos que cada conjunto de 3-tuples $(a,b,c)$ corresponde a una parabola diferente. Es decir, especifican coordenadas en el 'espacio de parabolas': esto se conoce como un espacio de moduli de parabolas.

Nombres variables convencionales

a, b, c, d (a veces extendido a e, f) para parámetros o coeficientes
a₀, a₁, a₂, ... para situaciones donde letras distintas son inconvenientes
a_i o u_i para el i-el término de una secuencia o i- el coeficiente de una serie
e para el número de Euler
f, g, h para funciones (como en $f(x)$ )
i para la unidad imaginaria
i, j, k (a veces l o h) para diversos índices o índices en una familia indexada, o vectores de unidad
l y w para la longitud y ancho de una figura
l también para una línea, o en la teoría de números para un número primo no igual a p
n (con m como segunda opción) para un entero fijo, como un conteo de objetos o el grado de una ecuación
p para un número primo o una probabilidad
q para un poder primario o un cociente
r para un radio, un resto o un coeficiente de correlación
t por tiempo
x, Sí., z para las tres coordenadas cartesianas de un punto en la geometría euclidiana o los ejes correspondientes
z para un número complejo, o en estadísticas una variable aleatoria normal
α, β, γ, Silencio, φ para medidas de ángulo
ε (con δ como segunda opción) para un número positivo arbitrariamente pequeño
λ para un eigenvalue
(sigma capital) por una suma, o σ (sigma inferior) en estadísticas para la desviación estándar
μ para un mal

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