Valor de verdad

En lógica y matemáticas, un valor de verdad, a veces llamado valor lógico, es un valor que indica la relación de una proposición con la verdad, que en la lógica clásica solo tiene dos valores posibles (verdadero o falso).

Informática

En algunos lenguajes de programación, cualquier expresión se puede evaluar en un contexto que espera un tipo de datos booleano. Por lo general (aunque esto varía según el lenguaje de programación), las expresiones como el número cero, la cadena vacía, las listas vacías y nulo se evalúan como falso y las cadenas con contenido (como "abc"), otros números y objetos evalúan a la verdad A veces, estas clases de expresiones se denominan "veracidad" y "falso" / "falso".

Lógica clásica

En la lógica clásica, con su semántica prevista, los valores de verdad son verdadero (indicado por 1 o el verum ⊤), y falso o falso (indicado por 0 o el falso ⊥); es decir, la lógica clásica es una lógica de dos valores. Este conjunto de dos valores también se denomina dominio booleano. La semántica correspondiente de los conectivos lógicos son funciones de verdad, cuyos valores se expresan en forma de tablas de verdad. La bicondicional lógica se convierte en la relación binaria de igualdad, y la negación se convierte en una biyección que permuta verdadero y falso. La conjunción y la disyunción son duales con respecto a la negación, lo cual se expresa mediante las leyes de De Morgan:

¬p ∧ q) ¬p∨q

¬p Alternativa q) ¬p∧ ¬q

Las variables proposicionales se convierten en variables en el dominio booleano. La asignación de valores para las variables proposicionales se conoce como valoración.

Lógica intuicionista y constructiva

En la lógica intuicionista y, de manera más general, en las matemáticas constructivas, a las declaraciones se les asigna un valor de verdad solo si se les puede dar una prueba constructiva. Comienza con un conjunto de axiomas, y un enunciado es verdadero si uno puede construir una prueba del enunciado a partir de esos axiomas. Un enunciado es falso si de él se puede deducir una contradicción. Esto deja abierta la posibilidad de afirmaciones a las que aún no se les ha asignado un valor de verdad. Las declaraciones no probadas en la lógica intuicionista no reciben un valor de verdad intermedio (como a veces se afirma erróneamente). De hecho, se puede probar que no tienen un tercer valor de verdad, un resultado que se remonta a Glivenko en 1928.

En cambio, las declaraciones simplemente permanecen con un valor de verdad desconocido, hasta que se prueban o refutan.

Hay varias formas de interpretar la lógica intuicionista, incluida la interpretación Brouwer-Heyting-Kolmogorov. Ver también Lógica intuicionista § Semántica.

Lógica multivalor

Las lógicas de valores múltiples (como la lógica difusa y la lógica de relevancia) permiten más de dos valores de verdad, que posiblemente contengan alguna estructura interna. Por ejemplo, en el intervalo unitario [0,1] tal estructura es una orden total; esto puede expresarse como la existencia de varios grados de verdad.

Semántica algebraica

No todos los sistemas lógicos son valorativos de verdad en el sentido de que los conectores lógicos pueden interpretarse como funciones de verdad. Por ejemplo, la lógica intuicionista carece de un conjunto completo de valores de verdad porque su semántica, la interpretación de Brouwer-Heyting-Kolmogorov, se especifica en términos de condiciones de demostrabilidad, y no directamente en términos de la verdad necesaria de las fórmulas.

Pero incluso las lógicas valorativas no verídicas pueden asociar valores con fórmulas lógicas, como se hace en la semántica algebraica. La semántica algebraica de la lógica intuicionista se da en términos de álgebras de Heyting, en comparación con la semántica del álgebra booleana del cálculo proposicional clásico.

En otras teorías

La teoría intuicionista de tipos utiliza tipos en lugar de valores de verdad.

La teoría de topos utiliza valores de verdad en un sentido especial: los valores de verdad de un topos son los elementos globales del clasificador de subobjetos. Tener valores de verdad en este sentido no hace que una verdad lógica sea valorativa.