Universo von Neumann

En la teoría de conjuntos y ramas relacionadas de las matemáticas, el universo de von Neumann, o la jerarquía de conjuntos de von Neumann, denotado por V>i>, es la clase de conjuntos hereditarios bien fundados. Esta colección, formalizada por la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), se utiliza a menudo para proporcionar una interpretación o motivación de los axiomas de ZFC. El concepto lleva el nombre de John von Neumann, aunque fue publicado por primera vez por Ernst Zermelo en 1930.

El rango de un conjunto bien fundado se define inductivamente como el número ordinal más pequeño mayor que los rangos de todos los miembros del conjunto. En particular, el rango del conjunto vacío es cero y cada ordinal tiene un rango igual a sí mismo. Los conjuntos en V se dividen en la jerarquía transfinita V_α , llamada la jerarquía acumulativa, según su rango.

Definición

La jerarquía acumulativa es una colección de conjuntos V_α indexado por la clase de números ordinales; en particular, V_α es el conjunto de todos los conjuntos que tienen rangos menores que α. Por tanto, hay un conjunto V_α para cada número ordinal α. V_α puede definirse mediante recursividad transfinita de la siguiente manera:

• Vamos V₀ ser el conjunto vacío:

  V0:=∅ ∅ .{displaystyle Nada.

• Para cualquier número ordinal β, dejar V_β+1 ser el conjunto de poder V_β:

  Vβ β +1:=P()Vβ β ).{displaystyle V_{beta +1}:={mathcal {P}(V_{beta }).}

• Para cualquier límite ordinal λ, permita V_λ ser la unión de todos los V- escenarios hasta ahora:

  <math alttext="{displaystyle V_{lambda }:=bigcup _{beta Vλ λ :=⋃ ⋃ β β .λ λ Vβ β .{displaystyle V_{lambda #=bigcup _{beta - No. }<img alt="V_{lambda }:=bigcup _{beta

Un hecho crucial acerca de esta definición es que existe una única fórmula φ(α,x) en el lenguaje de ZFC que establece "el conjunto x está en V_α".

Los conjuntos V_α se llaman etapas o rangos.

La clase V se define como la unión de todas las etapas V:

V:=⋃ ⋃ α α Vα α .{displaystyle V:=bigcup - ¿Por qué? }

Una definición equivalente establece

<math alttext="{displaystyle V_{alpha }:=bigcup _{beta Vα α :=⋃ ⋃ β β .α α P()Vβ β ){displaystyle V_{alpha #=bigcup _{beta - No.<img alt="V_{alpha }:=bigcup _{beta

para cada ordinal α, donde P()X){displaystyle {mathcal {}(X)!} es la potencia de X{displaystyle X}.

El rango de un conjunto S es el más pequeño α tal que S⊆ ⊆ Vα α .{displaystyle Ssubseteq V_{alpha },} Otra manera de calcular el rango es:

rango⁡ ⁡ ()S)=⋃ ⋃ {}rango⁡ ⁡ ()z)+1▪ ▪ z▪ ▪ S}{displaystyle operatorname {rank} (S)=bigcup {operatorname {rank} (z)+1mid zin S}}.

Etapas finitas y de baja cardinalidad de la jerarquía

Las primeras cinco etapas de von Neumann V₀ a V₄ se pueden visualizar de la siguiente manera. (Un cuadro vacío representa el conjunto vacío. Un cuadro que contiene sólo un cuadro vacío representa el conjunto que contiene sólo el conjunto vacío, y así sucesivamente.)

Esta secuencia exhibe crecimiento tetracional. El conjunto V₅ contiene 2¹⁶ = 65536 elementos; el conjunto V₆ contiene 2⁶⁵⁵³⁶ elementos, lo que excede sustancialmente el número de átomos en el universo conocido; y para cualquier n natural, el conjunto V_n+1 contiene 2 ↑ ↑ n elementos que utilizan la notación de flecha hacia arriba de Knuth. Por tanto, las etapas finitas de la jerarquía acumulativa no se pueden escribir explícitamente después de la etapa 5. El conjunto V_ω tiene la misma cardinalidad que ω. El conjunto V_ω+1 tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los números reales.

Aplicaciones e interpretaciones

Aplicaciones de V como modelos para teorías de conjuntos

Si ω es el conjunto de números naturales, entonces V_ω es el conjunto de conjuntos hereditariamente finitos, que es un modelo de teoría de conjuntos sin el axioma del infinito.

V_ω+ω es el universo de las "matemáticas ordinarias" y es un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo (pero no un modelo de ZF). Un argumento simple a favor de la adecuación de V_ω+ω es la observación de que V_ω+1 es adecuado para los números enteros, mientras que V_ω+2 es adecuado para los números reales, y la mayoría de las otras matemáticas normales se pueden construir como relaciones de varios tipos a partir de estos conjuntos sin necesidad de la axioma de reemplazo para salir de V_ω+ω.

Si κ es un cardinal inaccesible, entonces V_κ es un modelo de la propia teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), y V _κ+1 es un modelo de la teoría de conjuntos de Morse-Kelley. (Tenga en cuenta que cada modelo ZFC también es un modelo ZF y cada modelo ZF también es un modelo Z).

Interpretación de V como el "conjunto de todos los conjuntos"

V no es "el conjunto de todos los conjuntos (ingenuos)" por dos razones. Primero, no es un conjunto; aunque cada etapa individual V_α es un conjunto, su unión V es una clase propia. En segundo lugar, los conjuntos en V son sólo los conjuntos bien fundados. El axioma de fundación (o regularidad) exige que todo conjunto esté bien fundado y, por lo tanto, en V, y por lo tanto en ZFC cada conjunto está en V. Pero otros sistemas de axiomas pueden omitir el axioma de fundamento o reemplazarlo por una negación fuerte (un ejemplo es el axioma anti-fundamento de Aczel). Estas teorías de conjuntos no bien fundamentadas no se emplean comúnmente, pero aún así son posibles de estudiar.

Una tercera objeción al "conjunto de todos los conjuntos" La interpretación es que no todos los conjuntos son necesariamente "conjuntos puros", que se construyen a partir del conjunto vacío utilizando conjuntos potenciados y uniones. Zermelo propuso en 1908 la inclusión de urelementos, a partir de los cuales construyó una jerarquía recursiva transfinita en 1930. Dichos urelementos se utilizan ampliamente en la teoría de modelos, particularmente en los modelos de Fraenkel-Mostowski.