Universo (matemáticas)
En matemáticas, y particularmente en teoría de conjuntos, teoría de categorías, teoría de tipos y los fundamentos de las matemáticas, un universo es una colección que contiene todas las entidades que uno desea considerar en una situación dada.
En la teoría de conjuntos, los universos suelen ser clases que contienen (como elementos) todos los conjuntos para los que se espera probar un teorema particular. Estas clases pueden servir como modelos internos para varios sistemas axiomáticos como ZFC o la teoría de conjuntos de Morse-Kelley. Los universos son de importancia crítica para formalizar conceptos en la teoría de categorías dentro de los fundamentos de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, el ejemplo motivador canónico de una categoría es Conjunto, la categoría de todos los conjuntos, que no puede formalizarse en una teoría de conjuntos sin alguna noción de universo.
En la teoría de tipos, un universo es un tipo cuyos elementos son tipos.
En un contexto específico
Quizás la versión más simple es que cualquier conjunto puede ser un universo, siempre que el objeto de estudio se limite a ese conjunto en particular. Si el objeto de estudio está formado por los números reales, entonces la línea real R, que es el conjunto de números reales, podría ser el universo bajo consideración. Implícitamente, este es el universo que Georg Cantor estaba usando cuando desarrolló por primera vez la cardinalidad y la teoría de conjuntos ingenua moderna en las décadas de 1870 y 1880 en aplicaciones al análisis real. Los únicos conjuntos en los que Cantor estaba originalmente interesado eran los subconjuntos de R.
Este concepto de universo se refleja en el uso de diagramas de Venn. En un diagrama de Venn, la acción tradicionalmente tiene lugar dentro de un gran rectángulo que representa el universo U. Generalmente se dice que los conjuntos están representados por círculos; pero estos conjuntos solo pueden ser subconjuntos de U. El complemento de un conjunto A viene dado por la porción del rectángulo fuera del círculo de A'. Estrictamente hablando, este es el complemento relativo U A de A relativo a U; pero en un contexto donde U es el universo, puede considerarse como el complemento absoluto AC de A. De manera similar, existe una noción de intersección nula, que es la intersección de conjuntos cero (es decir, sin conjuntos, sin conjuntos nulos).
Sin un universo, la intersección nula sería el conjunto de absolutamente todo, lo que generalmente se considera imposible; pero teniendo en cuenta el universo, la intersección nula puede tratarse como el conjunto de todo lo que se está considerando, que es simplemente U. Estas convenciones son bastante útiles en el enfoque algebraico de la teoría básica de conjuntos, basada en redes booleanas. Excepto en algunas formas no estándar de teoría axiomática de conjuntos (como New Foundations), la clase de todos los conjuntos no es una red booleana (es solo una red relativamente complementada).
Por el contrario, la clase de todos los subconjuntos de U, denominada conjunto potencia de U, es una red booleana. El complemento absoluto descrito anteriormente es la operación de complemento en la red booleana; y U, como intersección nula, sirve como el elemento superior (o encuentro nula) en la red booleana. Entonces se aplican las leyes de De Morgan, que se ocupan de los complementos de reuniones y uniones (que son uniones en la teoría de conjuntos), y se aplican incluso a la reunión nula y la unión nula (que es el conjunto vacío).
En matemáticas ordinarias
Sin embargo, una vez que se consideran los subconjuntos de un conjunto dado X (en el caso de Cantor, X = R), el universo puede necesitar ser un conjunto de subconjuntos de X. (Por ejemplo, una topología en X es un conjunto de subconjuntos de X.) Los diversos conjuntos de subconjuntos de X no serán en sí mismos subconjuntos de X, sino que serán subconjuntos de PX, el conjunto potencia de X. Esto puede continuar; el objeto de estudio puede consistir luego en tales conjuntos de subconjuntos de X, y así sucesivamente, en cuyo caso el universo será P(P X). En otra dirección, las relaciones binarias sobre X (subconjuntos del producto cartesiano X × X), o funciones de X a sí mismo, lo que requiere universos como P(X × X) o XX.
Por lo tanto, incluso si el interés principal es X, es posible que el universo deba ser considerablemente más grande que X. Siguiendo las ideas anteriores, uno puede querer la superestructura sobre X como el universo. Esto se puede definir por recursividad estructural de la siguiente manera:
- Vamos S0X Ser X en sí mismo.
- Vamos S1X ser la unión de X y PX.
- Vamos S2X ser la unión de S1X y P()S1X).
- En general, dejemos Sn+ 1X ser la unión de SnX y P()SnX).
Entonces la superestructura sobre X, escrita SX, es la unión de S0 X, S1X, S2 X, y así sucesivamente; o
- SX:=⋃ ⋃ i=0JUEGO JUEGO SiX.{displaystyle mathbf [S] X:= - No. ¡No!
No importa qué conjunto X sea el punto de partida, el conjunto vacío {} pertenecerá a S1X. El conjunto vacío es el ordinal de von Neumann [0]. Entonces {[0]}, el conjunto cuyo único elemento es el conjunto vacío, pertenecerá a S2X; este es el ordinal de von Neumann [1]. De manera similar, {[1]} pertenecerá a S3X, y por lo tanto {[0],[1]}, como la unión de {[0]} y {[1]}; este es el ordinal de von Neumann [2]. Siguiendo este proceso, todo número natural se representa en la superestructura por su ordinal de von Neumann. A continuación, si x y y pertenecen a la superestructura, también {{x},{x, y}}, que representa el par ordenado (x,y). Así, la superestructura contendrá los diversos productos cartesianos deseados. Entonces la superestructura también contiene funciones y relaciones, ya que éstas pueden representarse como subconjuntos de productos cartesianos. El proceso también da tuplas n ordenadas, representadas como funciones cuyo dominio es el ordinal de von Neumann [n], y así sucesivamente.
Entonces, si el punto de partida es solo X = {}, una gran cantidad de los conjuntos necesarios para las matemáticas aparecen como elementos de la superestructura sobre {}. Pero cada uno de los elementos de S{} será un conjunto finito. Cada uno de los números naturales le pertenece, pero el conjunto N de todos los números naturales no (aunque es un subconjunto de S{}). De hecho, la superestructura sobre {} consta de todos los conjuntos hereditariamente finitos. Como tal, puede considerarse el universo de las matemáticas finitistas. Hablando anacrónicamente, se podría sugerir que el finitista del siglo XIX Leopold Kronecker estaba trabajando en este universo; él creía que cada número natural existía pero que el conjunto N (un "infinito completo") no.
Sin embargo, S{} no es satisfactorio para los matemáticos ordinarios (que no son finitistas), porque aunque N puede estar disponible como un subconjunto de S{}, aún así el conjunto de potencia de N no lo es. En particular, no se dispone de conjuntos arbitrarios de números reales. Por lo que puede ser necesario comenzar el proceso de nuevo y formar S(S{}). Sin embargo, para mantener las cosas simples, uno puede tomar el conjunto N de números naturales como dado y formar SN, la superestructura sobre N. Esto a menudo se considera el universo de las matemáticas ordinarias. La idea es que todas las matemáticas que se estudian ordinariamente se refieren a elementos de este universo. Por ejemplo, cualquiera de las construcciones habituales de los números reales (digamos por cortes de Dedekind) pertenece a SN. Incluso se puede realizar un análisis no estándar en la superestructura sobre un modelo no estándar de los números naturales.
Hay un ligero cambio en la filosofía de la sección anterior, donde el universo era cualquier conjunto U de interés. Allí, los conjuntos que se estudiaban eran subconjuntos del universo; ahora, son miembros del universo. Así, aunque P(SX) es una red booleana, lo relevante es que SX en sí mismo no lo es. En consecuencia, es raro aplicar las nociones de redes booleanas y diagramas de Venn directamente al universo de la superestructura como lo fueron con los universos de conjuntos de potencia de la sección anterior. En su lugar, se puede trabajar con las redes booleanas individuales PA, donde A es cualquier conjunto relevante perteneciente a S X; entonces PA es un subconjunto de SX (y de hecho pertenece a SX). En el caso de Cantor X = R en particular, los conjuntos arbitrarios de números reales no están disponibles, por lo que puede ser necesario comenzar el proceso de nuevo..
En teoría de conjuntos
Es posible dar un significado preciso a la afirmación de que SN es el universo de las matemáticas ordinarias; es un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo, la teoría de conjuntos axiomática desarrollada originalmente por Ernst Zermelo en 1908. La teoría de conjuntos de Zermelo tuvo éxito precisamente porque era capaz de axiomatizar "ordinario" matemáticas, cumpliendo el programa iniciado por Cantor más de 30 años antes. Pero la teoría de conjuntos de Zermelo resultó insuficiente para el desarrollo posterior de la teoría axiomática de conjuntos y otros trabajos sobre los fundamentos de las matemáticas, especialmente la teoría de modelos.
Para un ejemplo dramático, la descripción del proceso de superestructura anterior no puede llevarse a cabo en la teoría de conjuntos de Zermelo. El paso final, formar S como una unión infinita, requiere el axioma de reemplazo, que se agregó a la teoría de conjuntos de Zermelo en 1922 para formar la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, el conjunto de axiomas más ampliamente aceptado en la actualidad. Entonces, mientras que las matemáticas ordinarias se pueden hacer en SN, la discusión de SN va más allá del "ordinario&# 34;, en metamatemáticas.
Pero si se introduce la teoría de conjuntos de alta potencia, el proceso de superestructura anterior se revela como simplemente el comienzo de una recursión transfinita. Volviendo a X = {}, el conjunto vacío, e introduciendo la notación (estándar) Vi para Si{}, V0 = {}, V 1 = P{}, y así sucesivamente. Pero lo que solía llamarse "superestructura" ahora es solo el siguiente elemento de la lista: Vω, donde ω es el primer número ordinal infinito. Esto se puede extender a números ordinales arbitrarios:
- <math alttext="{displaystyle V_{i}:=bigcup _{jVi:=⋃ ⋃ j.iPVj{displaystyle ¿Qué? ¡V!<img alt=" V_{i}:= bigcup_{j
defines Vi for am ordinal number i. The union of all of the Vi is the von Neumann universe V:
- V:=⋃ ⋃ iVi{displaystyle V:=bigcup ¡V!.
Todo individuo Vi es un conjunto, pero su unión V es una clase propia. El axioma de fundamento, que se agregó a la teoría de conjuntos ZF aproximadamente al mismo tiempo que el axioma de reemplazo, dice que todos conjuntos pertenecen a V.
- El universo constructible de Kurt Gödel L y el axioma de la constructibilidad
- Los cardenales inaccesibles producen modelos de ZF y a veces axiomas adicionales, y son equivalentes a la existencia del conjunto del universo Grothendieck
En cálculo de predicados
En una interpretación de la lógica de primer orden, el universo (o dominio del discurso) es el conjunto de individuos (constantes individuales) sobre el cual se extienden los cuantificadores. Una proposición como ∀x (x2 ≠ 2) es ambigua, si no Se ha identificado el dominio del discurso. En una interpretación, el dominio del discurso podría ser el conjunto de números reales; en otra interpretación, podría ser el conjunto de los números naturales. Si el dominio del discurso es el conjunto de los números reales, la proposición es falsa, con x = √2 como contraejemplo; si el dominio es el conjunto de los naturales, la proposición es verdadera, ya que 2 no es el cuadrado de ningún número natural.
En teoría de categorías
Hay otro enfoque de los universos que históricamente está relacionado con la teoría de categorías. Esta es la idea de un universo de Grothendieck. En términos generales, un universo de Grothendieck es un conjunto dentro del cual se pueden realizar todas las operaciones habituales de la teoría de conjuntos. Esta versión de un universo se define como cualquier conjunto para el cual se cumplen los siguientes axiomas:
- x▪ ▪ u▪ ▪ U{displaystyle xin uin U} implicación x▪ ▪ U{displaystyle xin U}
- u▪ ▪ U{displaystyle uin U} y v▪ ▪ U{displaystyle vin U} implicaciónu,v}, (u,v), y u× × v▪ ▪ U{displaystyle utimes vin U}.
- x▪ ▪ U{displaystyle xin U} implicación Px▪ ▪ U{displaystyle {mathcal {}xin U} y ∪ ∪ x▪ ▪ U{displaystyle cup xin U}
- ⋅ ⋅ ▪ ▪ U{displaystyle omega in U} (Aquí) ⋅ ⋅ ={}0,1,2,...}{displaystyle omega = {0,1,2,...} es el conjunto de todos los ordinales finitos.)
- si f:a→ → b{displaystyle f:ato b} es una función subjetiva con a▪ ▪ U{displaystyle ain U} y b⊂ ⊂ U{displaystyle bsubset U}, entonces b▪ ▪ U{displaystyle bin U}.
La ventaja de un universo de Grothendieck es que en realidad es un conjunto, y nunca una clase propiamente dicha. La desventaja es que si uno se esfuerza lo suficiente, puede abandonar un universo de Grothendieck.
El uso más común de un universo de Grothendieck U es tomar U como reemplazo de la categoría de todos los conjuntos. Se dice que un conjunto S es U-pequeño si S ∈U y U-grande en caso contrario. La categoría U-Conjunto de todos los conjuntos pequeños U tiene como objetos todos los conjuntos pequeños U y como morfismos todas las funciones entre estos conjuntos. Tanto el conjunto de objetos como el conjunto de morfismos son conjuntos, por lo que es posible discutir la categoría de "todos" conjuntos sin invocar las clases adecuadas. Entonces se vuelve posible definir otras categorías en términos de esta nueva categoría. Por ejemplo, la categoría de todas las categorías pequeñas U es la categoría de todas las categorías cuyo conjunto de objetos y cuyo conjunto de morfismos están en U. Entonces, los argumentos habituales de la teoría de conjuntos son aplicables a la categoría de todas las categorías, y uno no tiene que preocuparse por hablar accidentalmente de clases adecuadas. Debido a que los universos de Grothendieck son extremadamente grandes, esto es suficiente en casi todas las aplicaciones.
A menudo, cuando se trabaja con universos de Grothendieck, los matemáticos asumen el Axioma de los Universos: "Para cualquier conjunto x, existe un universo U tal que x ∈U." El punto de este axioma es que cualquier conjunto que uno encuentre es entonces U-pequeño para algún U, por lo que se puede aplicar cualquier argumento hecho en un universo general de Grothendieck. Este axioma está estrechamente relacionado con la existencia de cardenales fuertemente inaccesibles.
En teoría de tipos
En algunas teorías de tipo, especialmente en sistemas con tipos dependientes, los tipos mismos pueden considerarse términos. Hay un tipo llamado el universo (a menudo denotado) U{displaystyle {fnMithcal}}) que tiene tipos como sus elementos. Para evitar paradojas como la paradoja de Girard (una analogía de la paradoja de Russell para la teoría del tipo), las teorías del tipo a menudo están equipadas con una jerarquía contablemente infinita de tales universos, siendo cada universo un término del siguiente.
Hay al menos dos tipos de universos que uno puede considerar en la teoría de tipos: universos de estilo Russell (llamados así por Bertrand Russell) y universos de estilo Tarski (llamados después de Alfred Tarski). Un universo de estilo Russell es un tipo cuyos términos son tipos. Un universo al estilo de Tarski es un tipo junto con una operación de interpretación que nos permite considerar sus términos como tipos.
Por ejemplo:
La apertura de la teoría tipo Martin-Löf se manifiesta particularmente en la introducción de los llamados universos. Los universos tipo encapsulan la noción informal de reflexión cuyo papel puede explicarse como sigue. Durante el desarrollo de una formalización particular de la teoría del tipo, el tipo teorista puede revisar las reglas para los tipos, dicen C, que se han introducido hasta ahora y realizar el paso de reconocer que son válidas según la semántica informal de Martin-Löf de explicación de significado. Este acto de “introspección” es un intento de tomar conciencia de las concepciones que han gobernado nuestras construcciones en el pasado. Da lugar a un “principio de reflexión que dice aproximadamente lo que estamos acostumbrados a hacer con tipos puede hacerse dentro de un universo” (Martin-Löf 1975, 83). En el plano formal, esto conduce a una extensión de la formalización existente de la teoría del tipo en que el tipo de formación de capacidades de C se consagran en un universo tipo UC espejo C.
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