Unión (teoría de conjuntos)

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Conjunto de elementos en cualquiera de algunos conjuntos

Unión de dos grupos:

~Acup B

Unión de tres juegos:

~A cup B cup C

La unión de A, B, C, D y E es todo excepto la zona blanca.

En la teoría del conjunto, sindicato (denotado por ∪) de una colección de conjuntos es el conjunto de todos los elementos de la colección. Es una de las operaciones fundamentales a través de las cuales los conjuntos pueden combinarse y relacionarse entre sí. A nullary union se refiere a una unión de cero ${displaystyle 0}$ ) establece y es por definición igual al conjunto vacío.

Para obtener una explicación de los símbolos utilizados en este artículo, consulte la tabla de símbolos matemáticos.

Unión de dos conjuntos

La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de elementos que están en A, en B, o tanto en A como en B. En notación de constructor de conjuntos,

A cup B = { x: x in A text{ or } x in B}

Por ejemplo, si A = {1, 3, 5, 7} y B = {1, 2, 4, 6, 7} entonces A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Un ejemplo más elaborado (que involucra dos conjuntos infinitos) es:

A =x es un entero más grande que 1}

B =x es un número entero extraño más grande que 1}

A cup B = {2,3,4,5,6, dots}

Como otro ejemplo, el número 9 no está contenido en la unión del conjunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11,...} y el conjunto de números pares {2, 4, 6, 8, 10,...}, porque 9 no es ni primo ni par.

Los conjuntos no pueden tener elementos duplicados, por lo que la unión de los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es {1, 2, 3, 4}. Múltiples ocurrencias de elementos idénticos no tienen efecto sobre la cardinalidad de un conjunto o su contenido.

Propiedades algebraicas

La unión binaria es una operación asociativa; es decir, para cualquier conjunto ${displaystyle A,B,{text{ and }}C,}$

{displaystyle Acup (Bcup C)=(Acup B)cup C.}

Así se pueden omitir las paréntesis sin ambigüedad: cualquiera de los anteriores puede ser escrito como ${displaystyle Acup Bcup C.}$ Además, la unión es comunicativa, por lo que los conjuntos pueden ser escritos en cualquier orden. El conjunto vacío es un elemento de identidad para el funcionamiento de la unión. Eso es, ${displaystyle Acup varnothing =A,}$ para cualquier conjunto $A.$ Además, la operación sindical es idempotente: ${displaystyle Acup A=A.}$ Todas estas propiedades siguen de hechos análogos sobre la disyunción lógica.

La intersección se distribuye sobre la unión

{displaystyle Acap (Bcup C)=(Acap B)cup (Acap C)}

{displaystyle Acup (Bcap C)=(Acup B)cap (Acup C).}

El conjunto de poder de un conjunto ${displaystyle U,}$ junto con las operaciones dadas por unión, intersección y complementación, es un álgebra boo. En este álgebra booleana, la unión se puede expresar en términos de intersección y complementación por la fórmula

{displaystyle Acup B=left(A^{text{c}}cap B^{text{c}}right)^{text{c}},}

{displaystyle {}^{text{c}}}

U.

Uniones finitas

Se puede tomar la unión de varios conjuntos simultáneamente. Por ejemplo, la unión de tres conjuntos A, B y C contiene todos los elementos de A, todos los elementos de B, y todos los elementos de C, y nada más. Por lo tanto, x es un elemento de A ∪ B ∪ C si y solo si x está en al menos uno de A, B y C.

Una unión finita es la unión de un número finito de conjuntos; la frase no implica que el conjunto unión sea un conjunto finito.

Uniones arbitrarias

La noción más general es la unión de una colección arbitraria de conjuntos, a veces llamada unión infinita. Si M es un conjunto o clase cuyos elementos son conjuntos, entonces x es un elemento de la unión de M si y solo si existe en menos un elemento A de M tal que x es un elemento de A. En símbolos:

{displaystyle xin bigcup mathbf {M} iff exists Ain mathbf {M} xin A.}

Esta idea subsume las secciones anteriores; por ejemplo, A ∪ B ∪ C es la unión de la colección {A , B, C}. Además, si M es la colección vacía, entonces la unión de M es el conjunto vacío.

Anotaciones

La notación para el concepto general puede variar considerablemente. Para una unión finita de conjuntos ${displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},dotsS_{n}}$ uno a menudo escribe $S_1 cup S_2 cup S_3 cup dots cup S_n$ o ${displaystyle bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$ . Varias notaciones comunes para sindicatos arbitrarios incluyen $bigcup mathbf{M}$ , $bigcup_{Ainmathbf{M}} A$ , y $bigcup_{iin I} A_{i}$ . La última de estas notaciones se refiere a la unión de la colección $left{A_i: i in Iright}$ , donde I es un conjunto índice y $A_{i}$ es un juego para cada $iin I$ . En caso de que el índice se fije I es el conjunto de números naturales, uno utiliza la notación $bigcup_{i=1}^{infty} A_{i}$ , que es análoga a la de las sumas infinitas en serie.