Unión disjunta

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En matemáticas, operación en conjuntos

En matemáticas, a unión (o discriminación sindical) de una familia de conjuntos ${displaystyle (A_{i}:iin I)}$ es un juego $A,$ a menudo denotado por ${textstyle bigsqcup _{iin I}A_{i},}$ con una inyección de cada uno $A_{i}$ en $A,$ tal que las imágenes de estas inyecciones forman una partición de $A$ (es decir, cada elemento de $A$ pertenece exactamente a una de estas imágenes). Una unión descomunal de una familia de conjuntos descomunales pares es su unión.

En la teoría de la categoría, la unión disjoint es el coproducto de la categoría de conjuntos, y así definido hasta una bijección. En este contexto, la notación ${textstyle coprod _{iin I}A_{i}}$ a menudo se utiliza.

La unión descomunal de dos conjuntos $A$ y $B$ está escrito con notación de infijo como $Asqcup B$ . Algunos autores utilizan la notación alternativa ${displaystyle Auplus B}$ o ${displaystyle Aoperatorname {{cup }!!!{cdot },} B}$ (junto con el correspondiente ${textstyle biguplus _{iin I}A_{i}}$ o ${textstyle operatorname {{bigcup }!!!{cdot },} _{iin I}A_{i}}$ ).

Una forma estándar para construir la unión descomunal es definir $A$ como el conjunto de pares ordenados ${displaystyle (x,i)}$ tales que ${displaystyle xin A_{i},}$ y la inyección $A_i to A$ como ${displaystyle xmapsto (x,i).}$

Ejemplo

Considerar los conjuntos ${displaystyle A_{0}={5,6,7}}$ y ${displaystyle A_{1}={5,6}.}$ Es posible indexar los elementos establecidos según el origen establecido formando los conjuntos asociados ${displaystyle {begin{aligned}A_{0}^{*}&={(5,0),(6,0),(7,0)}\A_{1}^{*}&={(5,1),(6,1)},\end{aligned}}}$

donde el segundo elemento en cada par coincide con el subscript del conjunto de origen (por ejemplo, el ${displaystyle 0}$ dentro ${displaystyle (5,0)}$ coincide con el subscript en $A_{0},$ etc.). La unión disyuntiva ${displaystyle A_{0}sqcup A_{1}}$ se puede calcular de la siguiente manera:

{displaystyle A_{0}sqcup A_{1}=A_{0}^{*}cup A_{1}^{*}={(5,0),(6,0),(7,0),(5,1),(6,1)}.}

Definición de teoría de conjuntos

Formally, déjalo $left{A_i: i in Iright}$ ser una familia de conjuntos indexados por ${displaystyle I.}$ El unión de esta familia es el conjunto

{displaystyle bigsqcup _{iin I}A_{i}=bigcup _{iin I}left{(x,i):xin A_{i}right}.}

{displaystyle (x,i).}

i

A_{i}

x

Cada uno de los conjuntos $A_{i}$ es canónicamente isomorfo al conjunto

{displaystyle A_{i}^{*}=left{(x,i):xin A_{i}right}.}

A_{i}

{displaystyle ineq j,}

A_{i}^{*}

{displaystyle A_{j}^{*}}

A_{i}

A_{j}

En el caso extremo donde cada uno de los $A_{i}$ es igual a un conjunto fijo $A$ para cada uno ${displaystyle iin I,}$ la unión disyuntiva es el producto cartesiano $A$ y $I$ :

{displaystyle bigsqcup _{iin I}A_{i}=Atimes I.}

Ocasionalmente, la notación

{displaystyle sum _{iin I}A_{i}}

A + B

En el lenguaje de la teoría de categorías, la unión disjunta es el coproducto en la categoría de conjuntos. Por lo tanto, satisface la propiedad universal asociada. Esto también significa que la unión disjunta es el dual categórico de la construcción del producto cartesiano. Ver coproducto para más detalles.

Para muchos propósitos, la elección particular del índice auxiliar no es importante, y en un abuso simplificado de la notación, la familia indexada puede ser tratada simplemente como una colección de conjuntos. En este caso $A_{i}^{*}$ se denomina a Copia de $A_{i}$ y la notación ${underset {Ain C}{,,bigcup nolimits ^{{*}}!}}A$ a veces se utiliza.

Punto de vista de la teoría de categorías

En la teoría de categorías, la unión disjunta se define como un coproducto en la categoría de conjuntos.

Como tal, la unión disjunta se define hasta un isomorfismo, y la definición anterior es solo una realización del coproducto, entre otras. Cuando los conjuntos son disjuntos por pares, la unión habitual es otra realización del coproducto. Esto justifica la segunda definición a la cabeza.

Este aspecto categórico de la unión disyuntiva explica por qué $coprod$ se utiliza con frecuencia, en lugar de ${displaystyle bigsqcup}$ to denote coproduct.

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