Unificando teorías en matemáticas.

Ha habido varios intentos en la historia para llegar a una teoría unificada de las matemáticas. Algunos de los matemáticos más respetados en la academia han expresado puntos de vista de que todo el tema debería encajar en una teoría.

Perspectiva histórica

Se podría considerar que el proceso de unificación ayuda a definir lo que constituye a las matemáticas como disciplina.

Por ejemplo, la mecánica y el análisis matemático se combinaron comúnmente en un solo tema durante el siglo XVIII, unidos por el concepto de ecuación diferencial; mientras que el álgebra y la geometría se consideraban en gran medida distintas. Ahora consideramos el análisis, el álgebra y la geometría, pero no la mecánica, como partes de las matemáticas porque son principalmente ciencias formales deductivas, mientras que la mecánica, como la física, debe proceder de la observación. No hay una gran pérdida de contenido, con la mecánica analítica en el antiguo sentido ahora expresada en términos de topología simpléctica, basada en la nueva teoría de las variedades.

Teorías matemáticas

El término teoría se usa de manera informal dentro de las matemáticas para referirse a un cuerpo coherente de definiciones, axiomas, teoremas, ejemplos, etc. (Los ejemplos incluyen la teoría de grupos, la teoría de Galois, la teoría de control y la teoría K). En particular, no hay ninguna connotación de hipotético. Así, el término teoría unificadora se parece más a un término sociológico utilizado para estudiar las acciones de los matemáticos. No puede suponer nada conjetural que sea análogo a un vínculo científico no descubierto. Realmente no existe un cognado dentro de las matemáticas para conceptos tales como Proto-Mundo en lingüística o la hipótesis de Gaia.

Sin embargo, ha habido varios episodios dentro de la historia de las matemáticas en los que los conjuntos de teoremas individuales se encontraron como casos especiales de un solo resultado unificador, o en los que una perspectiva única sobre cómo proceder al desarrollar un área de las matemáticas podría ser aplicado fructíferamente a múltiples ramas del tema.

Teorías geométricas

Un ejemplo bien conocido fue el desarrollo de la geometría analítica, que en manos de matemáticos como Descartes y Fermat demostró que muchos teoremas sobre curvas y superficies de tipos especiales podían enunciarse en lenguaje algebraico (entonces nuevo), cada uno de ellos que luego podría probarse utilizando las mismas técnicas. Es decir, los teoremas eran algebraicamente muy similares, incluso si las interpretaciones geométricas eran distintas.

En 1859, Arthur Cayley inició una unificación de geometrías métricas mediante el uso de la métrica Cayley-Klein. Más tarde, Felix Klein usó tales métricas para proporcionar una base para la geometría no euclidiana.

En 1872, Felix Klein señaló que las muchas ramas de la geometría que se habían desarrollado durante el siglo XIX (geometría afín, geometría proyectiva, geometría hiperbólica, etc.) podían tratarse de manera uniforme. Lo hizo considerando los grupos bajo los cuales los objetos geométricos eran invariantes. Esta unificación de la geometría se conoce con el nombre de programa Erlangen.

La teoría general del ángulo se puede unificar con la medida invariable del área. El ángulo hiperbólico se define en términos de área, muy cerca del área asociada con el logaritmo natural. El ángulo circular también tiene interpretación de área cuando se refiere a un círculo con radio igual a la raíz cuadrada de dos. Estas áreas son invariantes con respecto a la rotación hiperbólica y la rotación circular respectivamente. Estas transformaciones afines son realizadas por elementos del grupo lineal especial SL(2,R). La inspección de ese grupo revela mapeos de corte que aumentan o disminuyen las pendientes, pero las diferencias de pendiente no cambian. Un tercer tipo de ángulo, también interpretado como un área que depende de las diferencias de pendiente, es invariable debido a la conservación del área de un mapeo de corte.

A través de la axiomatización

A principios del siglo XX, muchas partes de las matemáticas comenzaron a tratarse delineando conjuntos útiles de axiomas y luego estudiando sus consecuencias. Así, por ejemplo, los estudios de "números hipercomplejos", como los considerados por la Quaternion Society, se pusieron sobre una base axiomática como ramas de la teoría de anillos (en este caso, con el significado específico de álgebras asociativas sobre el campo de los números complejos). En este contexto, el concepto de anillo cociente es uno de los unificadores más poderosos.

Este fue un cambio general de metodología, ya que las necesidades de las aplicaciones hasta ese momento habían hecho que gran parte de las matemáticas se enseñaran mediante algoritmos (o procesos cercanos a ser algorítmicos). La aritmética todavía se enseña de esa manera. Fue un paralelo al desarrollo de la lógica matemática como una rama independiente de las matemáticas. En la década de 1930, la propia lógica simbólica se incluyó adecuadamente dentro de las matemáticas.

En la mayoría de los casos, los objetos matemáticos que se estudian se pueden definir (aunque de forma no canónica) como conjuntos o, de manera más informal, como conjuntos con una estructura adicional, como una operación de suma. La teoría de conjuntos ahora sirve como una lingua franca para el desarrollo de temas matemáticos.

Bourbaki

La causa del desarrollo axiomático fue tomada en serio por el grupo de matemáticos de Bourbaki. Llevada al extremo, se pensaba que esta actitud exigía que las matemáticas se desarrollaran en su mayor generalidad. Se partía de los axiomas más generales y luego se especializaba, por ejemplo, introduciendo módulos sobre anillos conmutativos, y limitando a espacios vectoriales sobre los números reales solo cuando era absolutamente necesario. La historia procedió de esta manera, incluso cuando las especializaciones eran los teoremas de interés primario.

En particular, esta perspectiva daba poco valor a los campos de las matemáticas (como la combinatoria) cuyos objetos de estudio a menudo son especiales o se encuentran en situaciones que solo pueden relacionarse superficialmente con ramas más axiomáticas del tema.

Teoría de categorías como rival

La teoría de categorías es una teoría unificadora de las matemáticas que se desarrolló inicialmente en la segunda mitad del siglo XX. En este sentido es una alternativa y complemento a la teoría de conjuntos. Un tema clave de la "categórica" El punto de vista es que las matemáticas requieren no solo ciertos tipos de objetos (grupos de Lie, espacios de Banach, etc.) sino también mapeos entre ellos que preservan su estructura.

En particular, esto aclara exactamente lo que significa que los objetos matemáticos se consideren lo mismo. (Por ejemplo, ¿son todos los triángulos equiláteros iguales, o el tamaño importa?) Saunders Mac Lane propuso que cualquier concepto con suficiente 'ubicuidad' (que ocurre en varias ramas de las matemáticas) merecía aislarse y estudiarse por derecho propio. Podría decirse que la teoría de categorías se adapta mejor a ese fin que cualquier otro enfoque actual. Las desventajas de confiar en las llamadas tonterías abstractas son cierta insipidez y abstracción en el sentido de romper con las raíces en problemas concretos. Sin embargo, los métodos de la teoría de categorías han avanzado constantemente en aceptación, en numerosas áreas (desde módulos D hasta lógica categórica).

Uniendo teorías

En una escala menor, las similitudes entre conjuntos de resultados en dos ramas diferentes de las matemáticas plantean la cuestión de si existe un marco unificador que pueda explicar los paralelos. Ya hemos señalado el ejemplo de la geometría analítica, y más generalmente el campo de la geometría algebraica desarrolla a fondo las conexiones entre los objetos geométricos (variedades algebraicas, o más generalmente esquemas) y los algebraicos (ideales); el resultado fundamental aquí es la Nullstellensatz de Hilbert, que en términos generales muestra que existe una correspondencia natural uno a uno entre los dos tipos de objetos.

Uno puede ver otros teoremas bajo la misma luz. Por ejemplo, el teorema fundamental de la teoría de Galois afirma que existe una correspondencia uno a uno entre las extensiones de un campo y los subgrupos del grupo de Galois del campo. La conjetura de Taniyama-Shimura para curvas elípticas (ahora demostrada) establece una correspondencia biunívoca entre curvas definidas como formas modulares y curvas elípticas definidas sobre los números racionales. Un área de investigación a veces apodada Monstrous Moonshine desarrolló conexiones entre las formas modulares y el grupo simple finito conocido como el Monstruo, comenzando únicamente con la sorprendente observación de que en cada uno de ellos el número bastante inusual 196884 surgiría de manera muy natural. Otro campo, conocido como el programa de Langlands, parte igualmente de similitudes aparentemente fortuitas (en este caso, entre resultados teóricos de números y representaciones de ciertos grupos) y busca construcciones de las que ambos conjuntos de resultados serían corolarios.

Lista de referencia de los principales conceptos unificadores

Una breve lista de estas teorías podría incluir:

Desarrollos recientes en relación con la teoría modular

Un ejemplo bien conocido es la conjetura de Taniyama-Shimura, ahora el teorema de modularidad, que propuso que cada curva elíptica sobre los números racionales se puede traducir a una forma modular (de tal manera que se preserve la función L asociada). Hay dificultades para identificar esto con un isomorfismo, en cualquier sentido estricto de la palabra. Se sabía que ciertas curvas eran tanto curvas elípticas (del género 1) como curvas modulares, antes de que se formulara la conjetura (alrededor de 1955). La parte sorprendente de la conjetura fue la extensión a factores de jacobianos de curvas modulares de género > 1. Probablemente no había parecido plausible que hubiera 'suficiente' tales factores racionales, antes de que se enunciara la conjetura; y de hecho la evidencia numérica fue escasa hasta alrededor de 1970, cuando las tablas comenzaron a confirmarlo. Shimura demostró el caso de las curvas elípticas con multiplicación compleja en 1964. Esta conjetura se mantuvo durante décadas antes de demostrarse en general.

De hecho, el programa (o filosofía) de Langlands es mucho más como una red de conjeturas unificadoras; realmente postula que la teoría general de las formas automórficas está regulada por los grupos L introducidos por Robert Langlands. Su principio de funcionalidad con respecto al grupo L tiene un valor explicativo muy grande con respecto a los tipos conocidos de levantamiento de formas automórficas (ahora más ampliamente estudiadas como representaciones automórficas). Si bien esta teoría está en un sentido estrechamente relacionada con la conjetura de Taniyama-Shimura, debe entenderse que la conjetura en realidad opera en la dirección opuesta. Requiere la existencia de una forma automórfica, a partir de un objeto que (muy abstractamente) se encuentra en una categoría de motivos.

Otro punto relacionado importante es que el enfoque de Langlands se distingue de todo el desarrollo desencadenado por la luz de la luna monstruosa (conexiones entre funciones modulares elípticas como series de Fourier y las representaciones grupales del grupo Monster y otros grupos esporádicos). La filosofía de Langlands no anticipó ni pudo incluir esta línea de investigación.

Conjeturas de isomorfismo en la teoría K

Otro caso, que hasta ahora está menos desarrollado pero cubre una amplia gama de matemáticas, es la base conjetural de algunas partes de la teoría K. A la conjetura de Baum-Connes, ahora un problema de larga data, se le han unido otros en un grupo conocido como conjeturas de isomorfismo en la teoría K. Estos incluyen la conjetura de Farrell-Jones y la conjetura de Bost.