Unidades atómicas Hartree

Las unidades atómicas de Hartree son un sistema de unidades naturales de medida que es especialmente conveniente para los cálculos en física atómica y campos científicos relacionados, como la química computacional y la espectroscopia atómica. Llevan el nombre del físico Douglas Hartree. Las unidades atómicas a menudo se abrevian "a.u." o "au", que no debe confundirse con la misma abreviatura utilizada también para unidades astronómicas, unidades arbitrarias y unidades de absorbancia en otros contextos.

Definición de constantes

Por definición, cada una de las siguientes cuatro constantes físicas fundamentales se expresa como el valor numérico 1 multiplicado por una unidad coherente de este sistema:

Definir constantes

Nombre	Signatura	Valor en unidades SI
Reducción Planck constante	▪ ▪ {displaystyle hbar }	1.054571817...×10−34−J⋅s
Cargo elemental	e{displaystyle e}	1.602176634×10−19C
masa de reposo electrones	me{displaystyle m_{mathrm {}}}	9.1093837015(28)×10−31 -kg
Colombi constante	ke{displaystyle k_{e}	8.9875517923(14)×109kg⋅m3⋅s−4⋅A−2

unidades

Cada unidad en este sistema se puede expresar como un producto de potencias de estas cuatro constantes físicas sin un multiplicador numérico. Esto lo convierte en un sistema coherente de unidades, además de hacer que los valores numéricos de las constantes definitorias en unidades atómicas sean iguales a la unidad.

Tres de los contantes definidos (continuidad de Planck reducida, carga elemental y masa de reposo de electrones) son unidades atómicas básicas en sí mismas: de acción, carga eléctrica y masa, respectivamente. Las dos unidades derivadas más importantes son las de longitud (Bohr radious a0↑ ↑ 4π π ε ε 0▪ ▪ 2/()mee2){displaystyle a_{0}equiv 4pi epsilon _{0}hbar ^{2}/(m_{text{e}e^{2})}) y energía (hartree Eh↑ ↑ ▪ ▪ 2/()mea02){displaystyle E_{text{h}equiv hbar ^{2}/(m_{text{e}a_{0}^{2}) }). En el cuadro que figura a continuación se enumeran estas y muchas otras unidades que pueden derivarse en el sistema.

Unidades atómicas básicas y derivadas

Unidad atómica	Nombre	Expresión	Valor en unidades SI	Otros equivalentes
1a hiperpolarizabilidad		e3a03/Eh2{displaystyle ¿Qué?	3.2063613061(15)×10.53 -C3⋅m3⋅J−2
2a hiperpolarizabilidad		e4a04/Eh3{displaystyle ¿Qué?	6.2353799905(38)×10,65 - 65C4⋅m4⋅J−3
acción		▪ ▪ {displaystyle hbar }	1.054571817...×10−34−J⋅s
cargo		e{displaystyle e}	1.602176634×10−19C
densidad de carga		e/a03{displaystyle e/a_{0} {3}	1.08120238457(49)×1012C⋅m−3
corriente		eEh/▪ ▪ {displaystyle eE_{text{h}/hbar}	6.623618237510(13)×10−3A
Electric dipole moment		ea0{displaystyle Ea_{0}	8.4783536255(13)×10−30C⋅m	≘ 2.541746473D
Campo eléctrico		Eh/ea0{displaystyle E_{text{h}/ea_{0}	5.14220674763(78)×1011V⋅m−1	5.14220674763(78) GV⋅cm−1, 51.4220674763(78) V⋅Å−1
gradiente de campo eléctrico		Eh/ea02{displaystyle ¿Qué?	9.7173624292(29)×1021V⋅m−2
polarización eléctrica		e2a02/Eh{displaystyle ¿Qué?	1.64877727436(50)×10−41C2⋅m2⋅J−1
potencial eléctrico		Eh/e{displaystyle E_{text{h}/e}	27.211386245988(53) V
momento de cuádrupo eléctrico		ea02{displaystyle Ea_{0} {2}	4.4865515246(14)×10−40C⋅m2
energía	Hartree	Eh{displaystyle E_{text{h}}	4.3597447222071(85)×10−18J	2RJUEGO JUEGO hc{displaystyle 2R_{infty}hc}, α α 2mec2{displaystyle alpha ^{2}m_{e}c^{2}}, 27.211386245988(53) eV
fuerza		Eh/a0{displaystyle E_{text{h}/a_{0}	8.2387234983(12)×10−8N	82.387 nN, 51.421 eV·Å−1
longitud	Bohr radius	a0{displaystyle A_{0}	5.29177210903(80)×10−11 -m	▪ ▪ /mecα α {displaystyle hbar /m_{e}calpha }, 0,5929177210903(80) Å
momento de dipolo magnético		▪ ▪ e/me{displaystyle hbar e/m_{e}}	1.85480201566(56)×10,23 a 23J⋅T−1	2μ μ B{displaystyle 2mu _{B}}
densidad de flujo magnético		▪ ▪ /ea02{displaystyle hbar /ea_{0}{2}	2.35051756758(71)×105T	≘ 2.35051756758(71)×109G
magnetizabilidad		e2a02/me{displaystyle ¿Qué?	7.8910366008(48)×10−29−J⋅T−2
masa		me{displaystyle m_{mathrm {}}}	9.1093837015(28)×10−31 -kg
impulso		▪ ▪ /a0{displaystyle hbar /a_{0}	1.99285191410(30)×10−24−kg·m·s−1
permisos		e2/a0Eh{displaystyle ¿Qué?	1.11265005545(17)×10−10F⋅m−1	4π π ε ε 0{displaystyle 4piepsilon ¿Qué?
presión		Eh/a03{displaystyle ¿Qué?	2.9421015697(13)×1013Pa
irradiación		Eh2/▪ ▪ a02{displaystyle ¿Qué? {a_{0}} {2}}	6.4364099007(19)×1019W⋅m−2
tiempo		▪ ▪ /Eh{displaystyle hbar /E_{h}}	2.4188843265857(47)×10−17s
velocidad		a0Eh/▪ ▪ {displaystyle A_{0}E_{h}/hbar }	2.18769126364(33)×106m⋅s−1	α α c{displaystyle alpha c}

Aquí,

• c{displaystyle c} es la velocidad de la luz
• ε ε 0{displaystyle epsilon _{0} es el permiso de vacío
• RJUEGO JUEGO {displaystyle R_{infty} es la constante de Rydberg
• h{displaystyle h} es la constante del Planck
• α α {displaystyle alpha } es la constante de estructura fina
• μ μ B{displaystyle mu _{B}} es el imán Bohr
• ≘ denotaciones correspondencia entre cantidades ya que la igualdad no se aplica.

Uso y notación

Las unidades atómicas, como las unidades SI, tienen una unidad de masa, una unidad de longitud, etc. Sin embargo, el uso y la notación son algo diferentes del SI.

Supongamos que una partícula con una masa de m tiene 3,4 veces la masa del electrón. El valor de m se puede escribir de tres formas:

• "m=3.4me{displaystyle m=3.4~m_{e}}". Esta es la notación más clara (pero menos común), donde la unidad atómica se incluye explícitamente como símbolo.
• "m=3.4a.u.{displaystyle m=3.4~{a.u}}}" ("a.u." significa "expresado en unidades atómicas"). Esta notación es ambigua: Aquí, significa que la masa m es 3.4 veces la unidad atómica de masa. Pero si una longitud L fueron 3.4 veces la unidad atómica de longitud, la ecuación se vería igual, "L=3.4a.u.{displaystyle L=3.4~{a.u}}" La dimensión debe inferirse del contexto.
• "m=3.4{displaystyle m=3.4}". Esta notación es similar a la anterior, y tiene la misma ambigüedad dimensional. Viene de establecer formalmente las unidades atómicas a 1, en este caso me=1{displaystyle m_{text{e}=1}Así que 3.4me=3.4{displaystyle 3.4~m_{text{e}=3.4}.

Constantes físicas

Las constantes físicas sin dimensiones conservan sus valores en cualquier sistema de unidades. La constante de la estructura fina α α =e2()4π π ε ε 0)▪ ▪ c.. 1/137{displaystyle alpha ={2}{4pi epsilon _{0}hbar c}approx 1/137}, que aparece en expresiones como consecuencia de la elección de unidades. Por ejemplo, el valor numérico de la velocidad de la luz, expresado en unidades atómicas, tiene un valor relacionado con la constante de la estructura fina.

Algunas constantes físicas expresadas en unidades atómicas

Nombre	Signatura/Definición	Valor en unidades atómicas
velocidad de luz	c{displaystyle c}	()1/α α )a0Eh/▪ ▪ .. 137a0Eh/▪ ▪ {fnMicrosoft Sans Serif}/hbar approx 137,a_{0}E_{h}/hbar }
radio de electrones clásicos	re=14π π ε ε 0e2mec2{displaystyle r_{mathrm}={frac {1}{4pi} epsilon ¿Qué? {fn} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}}}} {c}}}}} {c}}} {}}}}}}}}}} {m} {m}}} {m}}}}}}} {m}}}}}} {}}}}} {}} {m} {m}}}}} {m} {m}}}}}} {m}}}} {m}}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m} {m}} {m} {m} {m}}}}} {m} {m}}}}}}}}}}}}}}} {m}} {m} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}	α α 2a0.. 0,0000532a0{displaystyle alpha ^{2},a_{0}approx 0,0000532,a_{0}
reducción de longitud de onda Compton del electrón	ƛe =▪ ▪ mec{displaystyle ={frac {hbar } {m_{e}c}}	α α a0.. 0,007297a0{displaystyle alpha ,a_{0}approx 0,007297,a_{0}
masa protona	mp{displaystyle #	.. 1836me{displaystyle approx 1836,m_{text{e}}

Modelo de Bohr en unidades atómicas

Las unidades atómicas se eligen para reflejar las propiedades de los electrones en los átomos, lo cual es particularmente claro en el modelo clásico de Bohr del átomo de hidrógeno para el electrón ligado en su estado fundamental:

• Masa = 1 a.u. de masa
• radio orbital = 1 a.u. de longitud
• Velocidad orbital = 1 a.u. de velocidad
• Período orbital = 2π a.u. of time
• Velocidad angular orbital = 1 radio por a.u. de tiempo
• Momento angular orbital = 1 a.u. de impulso
• Energía de ionización = 1/2 a.u. of energy
• Campo eléctrico (debido a núcleo) = 1 a.u. de campo eléctrico
• Fuerza eléctrica atractiva (debido a núcleo) = 1 a.u. de fuerza

Mecánica cuántica no relativista en unidades atómicas

En el contexto de la física atómica, la nodimensionalización utilizando las constantes definitorias del sistema atómico de Hartree puede ser un atajo conveniente, ya que se puede considerar como eliminar estas constantes dondequiera que ocurran. La nondimesionalización implica una sustitución de variables que resulta en ecuaciones en las cuales estas constantes (me{displaystyle m_{text{e}}, e{displaystyle e}, ▪ ▪ {displaystyle hbar } y 4π π ε ε 0{displaystyle 4piepsilon ¿Qué?"Se ha fijado a 1". Aunque las variables ya no son las variables originales, normalmente se utilizan los mismos símbolos y nombres.

Por ejemplo, la ecuación de Schrödinger para un electrón con cantidades que usan unidades SI es

− − ▪ ▪ 22meSilencio Silencio 2↑ ↑ ()r,t)+V()r)↑ ↑ ()r,t)=i▪ ▪ ∂ ∂ ↑ ↑ ∂ ∂ t()r,t).{displaystyle - ¿Qué? ^{2}{2m_{text{e}}}nabla ^{2}psi (mathbf {r}t)+V(mathbf {r})psi (mathbf {r}t)=ihbar {frac {partial psi }{partial t}} {mathbf}t}} {t}}} {f} {f}t]}} {f} {f}t}} {f} {f} {f} {f} {f}t] {f} {f}t]}f}f}f}f}f}f}}f} {f} {f} {f}}}}}}f}}}}}f}f}f} {f}f}f}f}}}f}f}}f}f}f}f}}}}}f}}

La misma ecuación con las correspondientes definiciones de cantidades no dimensionales es

− − 12Silencio Silencio 2↑ ↑ ()r,t)+V()r)↑ ↑ ()r,t)=i∂ ∂ ↑ ↑ ∂ ∂ t()r,t).{displaystyle -{frac {1}{2}nabla ^{2}psi (mathbf {r}t)+V(mathbf {r})psi (mathbf {r}t)=i{frac {partial psi }{partial t}} {mathbf {r}t}}}} {

Para el caso especial del electrón alrededor de un átomo de hidrógeno, el hamiltoniano con cantidades SI es:

H^ ^ =− − ▪ ▪ 22meSilencio Silencio 2− − 14π π ε ε 0e2r,{displaystyle {hat {h}=-{{hbar ^{2}over {2m_{text{e}}}nabla ^{2}}-{1over {4piepsilon}}}}nabla ^{2}}-{2}}-{1over {4epsilon} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}} {fn}}}} {f}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}} {\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

mientras que la ecuación no dimensional correspondiente es

H^ ^ =− − 12Silencio Silencio 2− − 1r.{displaystyle {hat {}=-{1} over {2}nabla ^{2}}-{1} {} {}} {}} {cH}}

Comparación con unidades de Planck

Tanto las unidades Planck como las unidades atómicas se derivan de ciertas propiedades fundamentales del mundo físico, y tienen poca arbitrariedad antropocéntrica, pero todavía implican algunas opciones arbitrarias en términos de las constantes definidas. Las unidades atómicas fueron diseñadas para cálculos a escala atómica en el universo actual, mientras que las unidades Planck son más adecuadas para la gravedad cuántica y la cosmología precoz-universal. Tanto las unidades atómicas como las unidades Planck utilizan la constante reducida Planck. Más allá de esto, las unidades Planck utilizan las dos constantes fundamentales de relatividad general y cosmología: la constante gravitacional G{displaystyle G. y la velocidad de la luz en vacío, c{displaystyle c}. Unidades atómicas, por contraste, utilizan la masa y carga del electrón, y, como resultado, la velocidad de la luz en unidades atómicas es c=1/α α a.u... 137a.u.{displaystyle c=1/alpha ,{text{a.u}approx 137,{text{a.u}}} La velocidad orbital de un electrón alrededor de un átomo pequeño es del orden de 1 unidad atómica, por lo que la discrepancia entre las unidades de velocidad en los dos sistemas refleja el hecho de que los electrones orbitan átomos pequeños alrededor de 2 órdenes de magnitud más lentamente que la velocidad de la luz.

Hay diferencias mucho mayores para otras unidades. Por ejemplo, la unidad de masa en unidades atómicas es la masa de un electrón, mientras que la unidad de masa en las unidades Planck es la masa Planck, que es 22 órdenes de magnitud más grande que la unidad atómica de masa. Del mismo modo, hay muchos órdenes de magnitud que separan las unidades de energía y la longitud Planck de las unidades atómicas correspondientes.

notas y referencias