Unidad de disco

Un disco electrónico abierto

En matemáticas, el disco unitario abierto (o disco) alrededor de P (donde P es un punto en el plano), es el conjunto de puntos cuya distancia a P es menor que 1:

<math alttext="{displaystyle D_{1}(P)={Q:vert P-Qvert D1()P)={}Q:SilencioP− − QSilencio.1}.{displaystyle D_{1}(P)={Q:vert P-Qvert<img alt="D_{1}(P)={Q:vert P-Qvert

El disco unitario cerrado alrededor de P es el conjunto de puntos cuya distancia a P es menor o igual a uno:

D̄ ̄ 1()P)={}Q:SilencioP− − QSilencio≤ ≤ 1}.{displaystyle {bar {}_{1}(P)={Q: privacyP-Q habitleq 1}.,}

Los discos unitarios son casos especiales de discos y bolas unitarias; como tales, contienen el interior del círculo unitario y, en el caso del disco unitario cerrado, el círculo unitario mismo.

Sin más especificaciones, el término unidad disco se utiliza para el disco de unidad abierta sobre el origen, D1()0){displaystyle D_{1}(0)}, con respecto a la métrica Euclideana estándar. Es el interior de un círculo de radio 1, centrado en el origen. Este conjunto se puede identificar con el conjunto de todos los números complejos de valor absoluto menos de uno. Cuando se ve como un subconjunto del plano complejo (C), el disco de unidad es a menudo denotado D{displaystyle mathbb {}.

El disco unitario abierto, el plano y el semiplano superior

La función

f()z)=z1− − SilenciozSilencio2{fnMicrosoft Sans Serif}}}

es un ejemplo de una función real analítica y biyectiva desde el disco unitario abierto hasta el plano; su función inversa también es analítica. Considerado como una variedad analítica bidimensional real, el disco unitario abierto es, por lo tanto, isomorfo a todo el plano. En particular, el disco unitario abierto es homeomorfo a todo el plano.

Sin embargo, no existe un mapa biyectivo conforme entre el disco unitario abierto y el plano. Considerado como una superficie de Riemann, el disco unitario abierto es, por lo tanto, diferente del plano complejo.

Hay aplicaciones biyectivas conformes entre el disco unitario abierto y el semiplano superior abierto. Entonces, considerado como una superficie de Riemann, el disco unitario abierto es isomorfo ("biholomórfico" o "conformemente equivalente") al semiplano superior, y los dos a menudo se usan indistintamente.

De manera mucho más general, el teorema de aplicación de Riemann establece que todo subconjunto abierto del plano complejo simplemente conectado que sea diferente del propio plano complejo admite una aplicación conforme y biyectiva al disco unitario abierto.

Un mapa conforme biyectivo del disco unitario abierto al semiplano superior abierto es la transformación de Möbius

g()z)=i1+z1− − z{displaystyle g(z)=i{frac {1+z}{1-z}} que es el inverso de la transformación de Cayley.

Geométricamente, uno puede imaginar que el eje real se dobla y se encoge de modo que el semiplano superior se convierte en el interior del disco y el eje real forma la circunferencia del disco, excepto por un punto en la parte superior., el "punto en el infinito". También se puede construir un mapa conforme biyectivo desde el disco unitario abierto hasta el semiplano superior abierto como la composición de dos proyecciones estereográficas: primero, el disco unitario se proyecta estereográficamente hacia arriba sobre la semiesfera superior unitaria, tomando el " polo sur" de la esfera unitaria como centro de proyección, y luego esta semiesfera se proyecta lateralmente sobre un semiplano vertical que toca la esfera, tomando como centro de proyección el punto de la semiesfera opuesto al punto de contacto.

El disco unitario y el semiplano superior no son intercambiables como dominios para los espacios de Hardy. Contribuye a esta diferencia el hecho de que el círculo unitario tiene una medida de Lebesgue finita (unidimensional), mientras que la línea real no.

Plano hiperbólico

El disco unitario abierto forma el conjunto de puntos para el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico. Los arcos circulares perpendiculares al círculo unitario forman las "líneas" en este modelo El círculo unitario es el absoluto de Cayley que determina una métrica en el disco mediante el uso de una relación cruzada al estilo de la métrica de Cayley-Klein. En el lenguaje de la geometría diferencial, los arcos circulares perpendiculares al círculo unitario son geodésicas que muestran la distancia más corta entre los puntos del modelo. El modelo incluye movimientos que se expresan mediante el grupo unitario especial SU(1,1). El modelo de disco se puede transformar en el modelo de semiplano de Poincaré mediante el mapeo g dado anteriormente.

Tanto el disco de Poincaré como el semiplano de Poincaré son modelos conformes del plano hiperbólico, lo que quiere decir que los ángulos entre las curvas que se intersecan se conservan por los movimientos de sus grupos de isometría.

Otro modelo de espacio hiperbólico también se construye sobre el disco unitario abierto: el modelo de Beltrami-Klein. No es conforme, pero tiene la propiedad de que las geodésicas son líneas rectas.

Discos unitarios con respecto a otras métricas

De arriba a abajo: disco de unidad abierto en la métrica Euclideana, métrica de taxi y métrica Chebyshev.

Uno también considera los discos unitarios con respecto a otras métricas. Por ejemplo, con la métrica de taxi y la métrica de Chebyshev, los discos parecen cuadrados (aunque las topologías subyacentes son las mismas que la euclidiana).

El área del disco unitario euclidiano es π y su perímetro es 2π. Por el contrario, el perímetro (relativo a la métrica del taxi) del disco unitario en la geometría del taxi es 8. En 1932, Stanisław Gołąb demostró que en las métricas derivadas de una norma, el perímetro del disco unitario puede tomar cualquier valor entre 6 y 8, y que estos valores extremos se obtienen si y sólo si el disco unitario es un hexágono regular o un paralelogramo, respectivamente.