Ultrafiltro

Diagrama de Hasse de los divisores de 210, ordenado por la relación es divisor de, con el set superior ↑14 color verde oscuro. Es una filtro principal, pero no un ultrafiltro, ya que se puede extender al filtro notrivial más grande ↑2, incluyendo también los elementos verdes claros. Puesto que ↑2 no se puede ampliar más, es un ultrafiltro.

En el campo matemático de la teoría del orden, un ultrafiltro en un determinado conjunto parcialmente ordenado (o "poset") ${displaystyle P}$ es un subconjunto determinado ${displaystyle P,}$ a saber, un filtro maximal ${displaystyle P;}$ es decir, un filtro adecuado en ${displaystyle P}$ que no se puede ampliar a un filtro adecuado más grande en ${displaystyle P.}$

Si ${displaystyle X}$ es un conjunto arbitrario, su sistema de poder ${displaystyle wp (X),}$ ordenado por la inclusión de conjunto, es siempre un álgebra booleana y por lo tanto una pose, y ultrafiltros en ${displaystyle wp (X)}$ generalmente se llama ultrafiltro en el set ${displaystyle X}$. Un ultrafiltro en un set ${displaystyle X}$ puede considerarse como una medida aditiva finita ${displaystyle X}$. A este respecto, cada subconjunto de ${displaystyle X}$ es considerado "casi todo" (tiene medida 1) o "casi nada" (tiene medida 0), dependiendo de si pertenece al ultrafiltro dado o no.

Los ultrafiltros tienen muchas aplicaciones en teoría de conjuntos, teoría de modelos, topología y combinatoria.

Ultrafiltros en pedidos parciales

En la teoría del orden, un ultrafiltro es un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado que es máximo entre todos los filtros propios. Esto implica que cualquier filtro que contenga propiamente un ultrafiltro tiene que ser igual a todo el conjunto.

Formalmente, si ${displaystyle P}$ es un conjunto, parcialmente ordenado por ${displaystyle ,leq ,}$ entonces

• a subconjunto ${displaystyle Fsubseteq P}$ se llama filtro on ${displaystyle P}$ si
  • ${displaystyle F}$ no está vacía,
  • para todos ${displaystyle x,yin F,}$ existe algún elemento ${displaystyle zin F}$ tales que ${displaystyle zleq x}$ y ${displaystyle zleq y,}$ y
  • para todos ${displaystyle xin F}$ y ${displaystyle yin P,}$ ${displaystyle xleq y}$ implica que ${displaystyle y}$ está dentro ${displaystyle F}$ también;
• un subconjunto apropiado ${displaystyle U}$ de ${displaystyle P}$ se llama ultrafiltro on ${displaystyle P}$ si
  • ${displaystyle U}$ es un filtro en ${displaystyle P,}$ y
  • no hay filtro adecuado ${displaystyle F}$ on ${displaystyle P}$ que se extiende correctamente ${displaystyle U}$ (es decir, tal que ${displaystyle U}$ es un subconjunto adecuado ${displaystyle F}$).

Tipos y existencia de ultrafiltros

Cada ultrafiltro cae en exactamente una de dos categorías: principal o libre. A principal (o fijo, o trivial) ultrafiltro es un filtro que contiene un elemento menos. En consecuencia, los ultrafiltros principales son de la forma ${displaystyle F_{a}={x:aleq x}$ para algunos (pero no todos) elementos ${displaystyle a}$ de la posada dada. En este caso ${displaystyle a}$ se llama elemento principal del ultrafiltro. Cualquier ultrafiltro que no sea principal se llama gratis (o no principal) ultrafiltro.

Para ultrafiltros en una fuente de alimentación ${displaystyle wp (X),}$ un ultrafiltro principal consta de todos los subconjuntos de ${displaystyle X}$ que contienen un elemento dado ${displaystyle xin X.}$ Cada ultrafiltro en ${displaystyle wp (X)}$ que es también un filtro principal es de esta forma. Por lo tanto, un ultrafiltro ${displaystyle U}$ on ${displaystyle wp (X)}$ es principal si y sólo si contiene un conjunto finito. Si ${displaystyle X}$ es infinito, un ultrafiltro ${displaystyle U}$ on ${displaystyle wp (X)}$ es por lo tanto no-principal si y sólo si contiene el filtro Fréchet de subconjuntos cofinitos de ${displaystyle X.}$ Si ${displaystyle X}$ es finito, cada ultrafiltro es principal. Si ${displaystyle X}$ es infinito entonces el filtro Fréchet no es un ultrafiltro en el conjunto de potencia ${displaystyle X}$ pero es un ultrafiltro en el álgebra finita-cofinita ${displaystyle X.}$

Cada filtro en un álgebra booleana (o más generalmente, cualquier subconjunto con la propiedad de intersección finita) está contenido en un ultrafiltro (ver lema de ultrafiltro) y, por lo tanto, existen ultrafiltros libres, pero las pruebas involucran el axioma de elección (AC) en forma de lema de Zorn. Por otro lado, la afirmación de que cada filtro está contenido en un ultrafiltro no implica AC. De hecho, es equivalente al teorema del ideal primo booleano (BPIT), un conocido punto intermedio entre los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) y el < Teoría b>ZF aumentada por el axioma de elección (ZFC). En general, las pruebas que involucran el axioma de elección no producen ejemplos explícitos de ultrafiltros libres, aunque es posible encontrar ejemplos explícitos en algunos modelos de ZFC; por ejemplo, Gödel demostró que esto se puede hacer en el universo construible donde uno puede escribir una función de elección global explícita. En ZF sin el axioma de elección, es posible que todo ultrafiltro sea principal.

Ultrafiltro en un álgebra booleana

Un caso especial importante del concepto ocurre si la pose considerada es un álgebra booleana. En este caso, los ultrafiltros se caracterizan por contener, para cada elemento ${displaystyle a}$ del álgebra booleana, exactamente uno de los elementos ${displaystyle a}$ y ${displaystyle lnot a}$ (este último es el complemento booleano de ${displaystyle a}$):

Si ${displaystyle P}$ es un álgebra booleana y ${displaystyle F}$ es un filtro adecuado en ${displaystyle P,}$ entonces las siguientes declaraciones son equivalentes:

1. ${displaystyle F}$ es un ultrafiltro en ${displaystyle P,}$
2. ${displaystyle F}$ es un filtro primo en ${displaystyle P,}$
3. para cada uno ${displaystyle ain P,}$ o ${displaystyle ain F}$ o${displaystyle lnot a}$) ${displaystyle in F.}$

También se proporciona una prueba de que 1. y 2. son equivalentes en (Burris, Sankappanavar, 2012, Corolario 3.13, p.133).

Además, los ultrafiltros en un álgebra booleana se pueden relacionar con los ideales maximales y los homomorfismos con el álgebra booleana de 2 elementos {verdadero, falso} (también conocidos como morfismos de 2 valores) de la siguiente manera:

• Dado un homomorfismo de un álgebra booleana sobre {true, false}, la imagen inversa de "true" es un ultrafiltro, y la imagen inversa de "false" es un ideal maximal.
• Dado un ideal máximo de un álgebra booleana, su complemento es un ultrafiltro, y hay un homomorfismo único sobre {true, false} tomando el ideal máximo para "false".
• Dado un ultrafiltro en un álgebra booleana, su complemento es un ideal maximal, y hay un homomorfismo único sobre {true, false} tomando el ultrafiltro para "true".

Ultrafiltro en el conjunto de potencia de un conjunto

Dado un conjunto arbitrario ${displaystyle X.$ su poder establecido ${displaystyle wp (X),}$ ordenado por la inclusión de conjunto, es siempre un álgebra booleana; por lo tanto los resultados de la sección anterior Caso especial: álgebra booleana aplicar. An (ultra)filter on ${displaystyle wp (X)}$ a menudo se llama sólo un "(ultra)filter en ${displaystyle X}$". Las definiciones formales anteriores se pueden particularizar en el caso de la central eléctrica de la manera siguiente:

Dado un conjunto arbitrario ${displaystyle X.$ un ultrafiltro en ${displaystyle wp (X)}$ es un juego ${displaystyle U}$ consistente en subconjuntos ${displaystyle X}$ tal que:

1. El conjunto vacío no es un elemento ${displaystyle U.}$
2. Si ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$ son subconjuntos de ${displaystyle X.$ el conjunto ${displaystyle A}$ es un subconjunto de ${displaystyle B,}$ y ${displaystyle A}$ es un elemento ${displaystyle U,}$ entonces ${displaystyle B}$ es también un elemento ${displaystyle U.}$
3. Si ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$ son elementos de ${displaystyle U,}$ entonces así es la intersección ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B.}$
4. Si ${displaystyle A}$ es un subconjunto de ${displaystyle X.$ entonces ${displaystyle A}$ o su complemento relativo ${displaystyle Xsetminus A}$ es un elemento ${displaystyle U.}$

Otra manera de mirar los ultrafiltros en un set de energía ${displaystyle wp (X)}$ es como sigue: para un ultrafiltro dado ${displaystyle U}$ definir una función ${displaystyle m}$ on ${displaystyle wp (X)}$ por configuración ${displaystyle m(A)=1}$ si ${displaystyle A}$ es un elemento ${displaystyle U}$ y ${displaystyle m(A)=0}$ De lo contrario. Tal función se llama morfismo de 2 valores. Entonces... ${displaystyle m}$ es finitamente aditivo, y por lo tanto a contenido on ${displaystyle wp (X),}$ y todos los bienes de elementos ${displaystyle X}$ es cierto casi en todas partes o falso casi por todas partes. Sin embargo, ${displaystyle m}$ generalmente no contablemente aditivo, y por lo tanto no define una medida en el sentido habitual.

Para un filtro ${displaystyle F}$ que no es un ultrafiltro, uno diría ${displaystyle m(A)=1}$ si ${displaystyle Ain F}$ y ${displaystyle m(A)=0}$ si ${displaystyle Xsetminus Ain F,}$ salir ${displaystyle m}$ indefinido en otro lugar.

Aplicaciones

Los ultrafiltros en conjuntos de potencias son útiles en topología, especialmente en relación con los espacios compactos de Hausdorff, y en la teoría de modelos en la construcción de ultraproductos y ultrapotencias. Cada ultrafiltro en un espacio compacto de Hausdorff converge exactamente en un punto. Asimismo, los ultrafiltros en álgebras booleanas juegan un papel central en el teorema de representación de Stone. En la teoría de conjuntos, los ultrafiltros se utilizan para mostrar que el axioma de constructibilidad es incompatible con la existencia de un cardinal medible κ. Esto se demuestra tomando la ultrapotencia del universo teórico conjunto módulo un κ-ultrafiltro completo, no principal.

El set ${displaystyle G.$ de todos los ultrafiltros de una pose ${displaystyle P}$ puede ser topologizado de una manera natural, que está de hecho estrechamente relacionado con el teorema de representación mencionado anteriormente. Para cualquier elemento ${displaystyle a}$ de ${displaystyle P}$, vamos ${displaystyle D_{a}=leftin G:ain Uright.}$ Esto es más útil cuando ${displaystyle P}$ es otra vez un álgebra booleana, ya que en esta situación el conjunto de todos ${displaystyle D_{a}$ es una base para una topología Hausdorff compacta en ${displaystyle G.$. Especialmente, al considerar los ultrafiltros en una potencia ${displaystyle wp (S),}$ el espacio topológico resultante es la compactación Stone-Čech de un espacio discreto de la cardenalidad ${displaystyle Silencioso.}$

La construcción de ultraproductos en la teoría del modelo utiliza ultrafiltros para producir un nuevo modelo a partir de una secuencia de ${displaystyle X}$-Modelos indexados; por ejemplo, el teorema de compactación se puede probar de esta manera. En el caso especial de ultrapoderes, se obtienen extensiones elementales de estructuras. Por ejemplo, en análisis no estándar, los números hiperreal se pueden construir como un ultraproducto de los números reales, extendiendo el dominio del discurso de números reales a secuencias de números reales. Este espacio de secuencia es considerado como un superset de los reales identificando cada real con la secuencia constante correspondiente. Para ampliar las funciones y relaciones familiares (p. ej., + y) de los bienes reales a los hiperreales, la idea natural es definirlas con sentido de punto. Pero esto perdería importantes propiedades lógicas de los reales; por ejemplo, apuntando hacia el punto no es un orden total. Así que en cambio las funciones y relaciones se definen "modulo puntero" ${displaystyle U}$, donde ${displaystyle U}$ es un ultrafiltro en el conjunto índice de las secuencias; por el teorema de Łoś, esto preserva todas las propiedades de los bienes que pueden ser declarados en la lógica de primera orden. Si ${displaystyle U}$ no es principal, entonces la extensión obtenida es notrivial.

En la teoría de grupos geométricos, los ultrafiltros no principales se utilizan para definir el cono asintótico de un grupo. Esta construcción produce una forma rigurosa de considerar mirar el grupo desde el infinito, que es la geometría a gran escala del grupo. Los conos asintóticos son ejemplos particulares de ultralímites de espacios métricos.

La prueba ontológica de la existencia de Dios de Gödel usa como axioma que el conjunto de todas las "propiedades positivas" es un ultrafiltro.

En la teoría de la elección social, los ultrafiltros no principales se utilizan para definir una regla (llamada función de bienestar social) para agregar las preferencias de infinitamente muchos individuos. Contrariamente al teorema de imposibilidad de Arrow para un número finito de individuos, tal regla satisface las condiciones (propiedades) que propone Arrow (por ejemplo, Kirman y Sondermann, 1972). Sin embargo, Mihara (1997, 1999) muestra que tales reglas tienen un interés prácticamente limitado para los científicos sociales, ya que no son algorítmicas ni computables.