Turbulencia

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Moción caracterizada por cambios caóticos en la velocidad de presión y flujo

En dinámica de fluidos, turbulencia o flujo turbulento es un movimiento de fluidos caracterizado por cambios caóticos en la presión y la velocidad del flujo. Está en contraste con un flujo laminar, que ocurre cuando un fluido fluye en capas paralelas, sin interrupción entre esas capas.

La turbulencia se observa comúnmente en fenómenos cotidianos como el oleaje, ríos que fluyen rápidamente, nubes de tormenta ondulantes o humo de una chimenea, y la mayoría de los flujos de fluidos que ocurren en la naturaleza o se crean en aplicaciones de ingeniería son turbulentos. La turbulencia es causada por una energía cinética excesiva en partes del flujo de un fluido, que supera el efecto amortiguador de la viscosidad del fluido. Por esta razón, la turbulencia se presenta comúnmente en fluidos de baja viscosidad. En términos generales, en el flujo turbulento aparecen vórtices inestables de muchos tamaños que interactúan entre sí, por lo que aumenta el arrastre debido a los efectos de la fricción. Esto aumenta la energía necesaria para bombear fluido a través de una tubería.

El inicio de la turbulencia se puede predecir mediante el número adimensional de Reynolds, la relación entre la energía cinética y el amortiguamiento viscoso en un flujo de fluido. Sin embargo, la turbulencia se ha resistido durante mucho tiempo al análisis físico detallado y las interacciones dentro de la turbulencia crean un fenómeno muy complejo. Richard Feynman describió la turbulencia como el problema sin resolver más importante de la física clásica.

La intensidad de la turbulencia afecta a muchos campos, por ejemplo, la ecología de los peces, la contaminación del aire, las precipitaciones y el cambio climático.

Ejemplos de turbulencia

El agua laminar y turbulenta fluye sobre el casco de un submarino. A medida que la velocidad relativa del agua aumenta la turbulencia ocurre.

Turbulencia en el vórtice de la punta de un ala de avión pasando por el humo de color

El humo se levanta de un cigarrillo. Para los primeros centímetros, el humo es laminar. La ciruela de humo se convierte en turbulenta a medida que su número de Reynolds aumenta con aumentos en velocidad de flujo y escala de longitud característica.
Sobre una pelota de golf. (Esto puede entenderse mejor considerando que la pelota de golf es estacionaria, con el aire fluyendo sobre ella.) Si la pelota de golf fuera lisa, la capa de límite fluye sobre la parte delantera de la esfera sería laminar en condiciones típicas. Sin embargo, la capa de límite se separaría temprano, ya que el gradiente de presión cambió de favorable (decreación de presión en la dirección de flujo) a desfavorable (aumento de presión en la dirección de flujo), creando una gran región de baja presión detrás de la bola que crea la arrastre de alta forma. Para evitarlo, la superficie está extensiva para perturbar la capa de límites y promover la turbulencia. Esto resulta en una mayor fricción de la piel, pero mueve el punto de separación de la capa fronteriza más adelante, lo que da lugar a una menor arrastre.
Turbulencia al aire libre experimentada durante el vuelo del avión, así como pobre visión astronómica (el borroso de las imágenes vistas a través de la atmósfera).
La mayor parte de la circulación atmosférica terrestre.
Las capas mixtas oceánicas y atmosféricas y las intensas corrientes oceánicas.
Las condiciones de flujo en muchos equipos industriales (como tuberías, conductos, precipitadores, escrubadores de gas, intercambiadores de calor de superficie desechados dinámicos, etc.) y máquinas (por ejemplo, motores de combustión interna y turbinas de gas).
El flujo externo sobre todo tipo de vehículos como automóviles, aviones, barcos y submarinos.
Los movimientos de la materia en atmósferas estelares.
Un jet escape de una boquilla en un líquido quiescente. A medida que el flujo emerge en este fluido externo, se crean capas de corte que se originan en los labios de la boquilla. Estas capas separan el chorro de movimiento rápido del fluido externo, y en cierto número crítico de Reynolds se vuelven inestables y se descomponen a la turbulencia.
La turbulencia generada biológicamente como resultado de los animales de natación afecta a la mezcla de océanos.
Las cercas de nieve funcionan induciendo turbulencias en el viento, obligándolas a caer gran parte de su carga de nieve cerca de la cerca.
El puente soporta (piers) en agua. Cuando el flujo de río es lento, el agua fluye suavemente alrededor de las piernas de apoyo. Cuando el flujo es más rápido, un número mayor de Reynolds está asociado con el flujo. El flujo puede arrancar laminar pero se separa rápidamente de la pierna y se convierte en turbulento.
En muchos flujos geofísicos (rivers, capa límite atmosférica), la turbulencia de flujo está dominada por las estructuras coherentes y los eventos turbulentos. Un evento turbulento es una serie de fluctuaciones turbulentas que contienen más energía que la turbulencia de flujo promedio. Los sucesos turbulentos están asociados con estructuras de flujo coherentes como eddies y turbulentos, y juegan un papel crítico en términos de scour sedimentario, acreción y transporte en ríos, así como mezcla y dispersión contaminantes en ríos y estuarios, y en la atmósfera.

Problema no resuelto en la física:

¿Es posible hacer un modelo teórico para describir el comportamiento de un flujo turbulento, en particular, sus estructuras internas?

(Problemas más no resueltos en física)

En el campo médico de la cardiología, se utiliza un estetoscopio para detectar sonidos cardíacos y hematomas, que se deben al flujo sanguíneo turbulento. En individuos normales, los sonidos cardíacos son un producto de flujo turbulento mientras se cierran las válvulas cardíacas. Sin embargo, en algunas condiciones el flujo turbulento puede ser audible debido a otras razones, algunas de ellas patológicas. Por ejemplo, en la aterosclerosis avanzada, los hematomas (y por lo tanto el flujo turbulento) se pueden escuchar en algunos vasos que se han estrechado por el proceso de enfermedad.
Recientemente, la turbulencia en los medios porosos se convirtió en un tema altamente discutido.
Las estrategias utilizadas por los animales para la navegación olfativa, y su éxito, están fuertemente influenciadas por la turbulencia que afecta a la ciruela del olor.

Características

Visualización lenta de un jet turbulento, hecho por fluorescencia inducida por láser. El jet exhibe una amplia gama de escalas de longitud, una característica importante de flujos turbulentos.

La turbulencia se caracteriza por las siguientes características:

Irregularidad: Los flujos turbulentos siempre son muy irregulares. Por esta razón, los problemas de turbulencia se tratan estadísticamente en lugar de deterministamente. El flujo turbulento es caótico. Sin embargo, no todos los flujos caóticos son turbulentos.

Diffusivity: El suministro de energía disponible en flujos turbulentos tiende a acelerar la homogeneización (mezcla) de mezclas de fluidos. La característica que es responsable de la mezcla mejorada y mayores tasas de transportes de masa, impulso y energía en un flujo se llama "diffusivity".

La difusión turbulenta se suele describir mediante un coeficiente de difusión turbulenta. Este coeficiente de difusión turbulenta se define en sentido fenomenológico, por analogía con las difusividades moleculares, pero no tiene un verdadero significado físico, siendo dependiente de las condiciones del flujo, y no una propiedad del fluido mismo. Además, el concepto de difusividad turbulenta asume una relación constitutiva entre un flujo turbulento y el gradiente de una variable media similar a la relación entre flujo y gradiente que existe para el transporte molecular. En el mejor de los casos, esta suposición es solo una aproximación. Sin embargo, la difusividad turbulenta es el enfoque más simple para el análisis cuantitativo de los flujos turbulentos y se han postulado muchos modelos para calcularla. Por ejemplo, en grandes masas de agua como los océanos, este coeficiente se puede encontrar utilizando la ley de potencia de cuatro tercios de Richardson y se rige por el principio de caminata aleatoria. En ríos y grandes corrientes oceánicas, el coeficiente de difusión viene dado por variaciones de la fórmula de Elder.

Rotación: Los flujos turbulentos no tienen vorticidad cero y se caracterizan por un fuerte mecanismo de generación de vórtice tridimensional conocido como estiramiento del vórtice. En la dinámica de fluidos, son esencialmente vórtices sometidos a estiramiento asociado con un aumento correspondiente del componente de vorticidad en la dirección de estiramiento, debido a la conservación del impulso angular. Por otro lado, el estiramiento del vórtice es el mecanismo central en el que la cascada de energía de turbulencia se basa en establecer y mantener la función de estructura identificable. En general, el mecanismo de estiramiento implica el adelgazamiento de los vórtices en la dirección perpendicular a la dirección de estiramiento debido a la conservación del volumen de elementos fluidos. Como resultado, la escala de longitud radial de los vórtices disminuye y las estructuras de flujo más grandes se descomponen en estructuras más pequeñas. El proceso continúa hasta que las estructuras de pequeña escala sean lo suficientemente pequeñas como para que su energía cinética pueda ser transformada por la viscosidad molecular del fluido en calor. El flujo turbulento es siempre rotacional y tridimensional. Por ejemplo, los ciclones atmosféricos son rotacionales pero sus formas substancialmente bidimensionales no permiten la generación del vórtice y no son turbulentos. Por otro lado, los flujos oceánicos son dispersivos pero esencialmente no rotativos y por lo tanto no son turbulentos.

Disipación: Para mantener el flujo turbulento, se requiere una fuente persistente de suministro de energía porque la turbulencia disipa rápidamente a medida que la energía cinética se convierte en energía interna por el estrés de la tijera viscosa. La turbulencia provoca la formación de los diferentes niveles de longitud. La mayor parte de la energía cinética del movimiento turbulento está contenida en las estructuras a gran escala. La energía "cascadas" de estas estructuras a gran escala a estructuras de menor escala por un mecanismo inercial y esencialmente invisivo. Este proceso continúa, creando estructuras más pequeñas y pequeñas que producen una jerarquía de eddies. Eventualmente este proceso crea estructuras lo suficientemente pequeñas que la difusión molecular se vuelve importante y la disipación viscosa de la energía finalmente tiene lugar. La escala en la que esto sucede es la escala de longitud de Kolmogorov.

A través de esta cascada de energía, el flujo turbulento se puede realizar como una superposición de un espectro de fluctuaciones de velocidad de flujo y remolinos sobre un flujo medio. Los remolinos se definen vagamente como patrones coherentes de velocidad de flujo, vorticidad y presión. Los flujos turbulentos pueden verse como formados por una jerarquía completa de remolinos en una amplia gama de escalas de longitud y la jerarquía puede describirse mediante el espectro de energía que mide la energía en las fluctuaciones de la velocidad del flujo para cada escala de longitud (número de onda). Las escalas en la cascada de energía son generalmente incontrolables y altamente asimétricas. Sin embargo, según estas escalas de longitud, estos remolinos se pueden dividir en tres categorías.

Escala de tiempo integral

La escala de tiempo integral para un flujo lagrangiano se puede definir como:

{displaystyle T=left({frac {1}{langle u'u'rangle }}right)int _{0}^{infty }langle u'u'(tau)rangle ,dtau }

Donde u′ es la fluctuación de velocidad, y $tau$ es el tiempo transcurrido entre las mediciones.

Escalas de longitud integrales

Las grandes razas obtienen energía del flujo medio y también del otro. Por lo tanto, estos son los artefactos de producción de energía que contienen la mayor parte de la energía. Tienen la fluctuación de velocidad de flujo grande y son bajas en frecuencia. Las escalas integrales son altamente anisotrópicas y se definen en términos de las correlaciones normalizadas de velocidad de flujo de dos puntos. La longitud máxima de estas escalas se ve limitada por la longitud característica del aparato. Por ejemplo, la mayor escala de longitud integral del flujo de tubería es igual al diámetro del tubo. En el caso de la turbulencia atmosférica, esta longitud puede alcanzar el orden de varios cientos de kilómetros: La escala de longitud integral se puede definir como

{displaystyle L=left({frac {1}{langle u'u'rangle }}right)int _{0}^{infty }langle u'u'(r)rangle ,dr}

Donde r es la distancia entre dos lugares de medición, y u′ es la fluctuación de velocidad en esa misma dirección.

Escalas de longitud de Kolmogorov

Las escalas más pequeñas del espectro que forman el rango de subcapas viscosos. En esta gama, el aporte energético de interacciones no lineales y el drenaje energético de la disipación viscosa están en equilibrio exacto. Las pequeñas escalas tienen alta frecuencia, lo que hace que la turbulencia sea localmente isotrópica y homogénea.

Microescalas de Taylor

Las escalas intermedias entre las escalas más grandes y las más pequeñas que hacen el subrango inercial. Las microescalas de Taylor no son escalas disitivas, sino que transmiten la energía de la más grande a la más pequeña sin disipación. Algunas publicaciones no consideran que las microescalas de Taylor sean una escala de longitud característica y consideran que la cascada de energía contiene sólo las escalas más grandes y más pequeñas; mientras que esta última acoge tanto el subrango inercial como el sublayer viscoso. Sin embargo, las microescalas de Taylor se utilizan a menudo para describir el término "turbulencia" más convenientemente ya que estas microescalas de Taylor juegan un papel dominante en la transferencia de energía y impulso en el espacio número de onda.

Aunque es posible encontrar algunas soluciones particulares de las ecuaciones de Navier-Stokes que gobiernan el movimiento de fluidos, todas esas soluciones son inestables ante perturbaciones finitas en números de Reynolds grandes. La dependencia sensible de las condiciones iniciales y de contorno hace que el flujo de fluido sea irregular tanto en el tiempo como en el espacio, por lo que se necesita una descripción estadística. El matemático ruso Andrey Kolmogorov propuso la primera teoría estadística de la turbulencia, basada en la mencionada noción de cascada de energía (idea introducida originalmente por Richardson) y el concepto de autosimilitud. Como resultado, las microescalas de Kolmogorov recibieron su nombre. Ahora se sabe que la autosimilitud se rompe, por lo que la descripción estadística se modifica actualmente.

Una descripción completa de la turbulencia es uno de los problemas no resueltos de la física. Según una historia apócrifa, se le preguntó a Werner Heisenberg qué le pediría a Dios si tuviera la oportunidad. Su respuesta fue: 'Cuando me encuentre con Dios, le haré dos preguntas: ¿Por qué la relatividad? ¿Y por qué turbulencia? Realmente creo que tendrá una respuesta para la primera." Se ha atribuido una ocurrencia similar a Horace Lamb en un discurso ante la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia: "Soy un anciano ahora, y cuando muera y vaya al cielo, hay dos asuntos en los que espero iluminación. Uno es la electrodinámica cuántica y el otro es el movimiento turbulento de los fluidos. Y sobre lo primero soy bastante más optimista."

Inicio de turbulencia

La ciruela de esta llama de vela va de laminar a turbulento. El número de Reynolds se puede utilizar para predecir dónde tendrá lugar esta transición

El inicio de la turbulencia se puede predecir, hasta cierto punto, mediante el número de Reynolds, que es la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas dentro de un fluido que está sujeto a un movimiento interno relativo debido a diferentes velocidades del fluido, en lo que se conoce como capa límite en el caso de una superficie límite como el interior de una tubería. Se crea un efecto similar mediante la introducción de una corriente de fluido de mayor velocidad, como los gases calientes de una llama en el aire. Este movimiento relativo genera la fricción del fluido, que es un factor en el desarrollo del flujo turbulento. Contrarrestando este efecto está la viscosidad del fluido, que a medida que aumenta, inhibe progresivamente la turbulencia, ya que un fluido más viscoso absorbe más energía cinética. El número de Reynolds cuantifica la importancia relativa de estos dos tipos de fuerzas para condiciones de flujo dadas, y es una guía de cuándo ocurrirá un flujo turbulento en una situación particular.

Esta capacidad de predecir el inicio del flujo turbulento es una herramienta de diseño importante para equipos como sistemas de tuberías o alas de aeronaves, pero el número de Reynolds también se usa para escalar problemas de dinámica de fluidos y para determinar la similitud dinámica entre dos diferentes casos de flujo de fluido, como entre un modelo de avión y su versión de tamaño completo. Dicha escala no siempre es lineal y la aplicación de los números de Reynolds a ambas situaciones permite desarrollar factores de escala. Una situación de flujo en la que la energía cinética se absorbe significativamente debido a la acción de la viscosidad molecular del fluido da lugar a un régimen de flujo laminar. Para ello se utiliza como guía la cantidad adimensional del número de Reynolds ( $Re$ ).

Con respecto a los regímenes de flujo laminar y turbulento:

flujo laminar se produce en números bajos de Reynolds, donde las fuerzas viscosas son dominantes, y se caracteriza por movimiento fluido suave y constante;
flujo turbulento ocurre en números altos de Reynolds y está dominado por fuerzas inerciales, que tienden a producir eddies caóticos, vortices y otras inestabilidades de flujo.

El número de Reynolds se define como

{displaystyle mathrm {Re} ={frac {rho vL}{mu }},,}

donde:

$***$ es la densidad del fluido (unidades I: kg/m³)
$v$ es una velocidad característica del fluido con respecto al objeto (m/s)
$L$ es una dimensión lineal característica (m)
$μ$ es la viscosidad dinámica del fluido (Pa·s o N·s/m)² o kg/(m·s)).

Si bien no existe un teorema que relacione directamente el número de Reynolds adimensional con la turbulencia, los flujos con números de Reynolds superiores a 5000 suelen ser (aunque no necesariamente) turbulentos, mientras que los que tienen números de Reynolds bajos suelen permanecer laminares. En el flujo de Poiseuille, por ejemplo, la turbulencia puede sostenerse primero si el número de Reynolds es mayor que un valor crítico de alrededor de 2040; además, la turbulencia generalmente se intercala con el flujo laminar hasta un número de Reynolds mayor de aproximadamente 4000.

La transición ocurre si el tamaño del objeto aumenta gradualmente, si la viscosidad del fluido disminuye o si aumenta la densidad del fluido.

Transferencia de calor y cantidad de movimiento

Cuando el flujo es turbulento, las partículas exhiben un movimiento transversal adicional que mejora la tasa de intercambio de energía y momento entre ellas, aumentando así la transferencia de calor y el coeficiente de fricción.

Suponga que para un flujo turbulento bidimensional se pudo ubicar un punto específico en el fluido y medir la velocidad real del flujo $v = (v x, v y)$ de cada partícula que pasó por ese punto en un momento dado. Entonces uno encontraría que la velocidad real del flujo fluctúa alrededor de un valor medio:

{displaystyle v_{x}=underbrace {{overline {v}}_{x}} _{text{mean value}}+underbrace {v'_{x}} _{text{fluctuation}}quad {text{and}}quad v_{y}={overline {v}}_{y}+v'_{y},;}

y de manera similar para la temperatura ( $T = T + T'$ ) y presión ( $P = P + P'$ ), donde las cantidades con prima denotan fluctuaciones superpuestas a la media. Esta descomposición de una variable de flujo en un valor medio y una fluctuación turbulenta fue propuesta originalmente por Osborne Reynolds en 1895 y se considera el comienzo del análisis matemático sistemático del flujo turbulento, como un subcampo de la dinámica de fluidos. Mientras que los valores medios se toman como variables predecibles determinadas por leyes dinámicas, las fluctuaciones turbulentas se consideran variables estocásticas.

El flujo de calor y la transferencia de cantidad de movimiento (representada por el esfuerzo cortante $τ$ ) en la dirección normal al flujo para un determinado tiempo son

{displaystyle {begin{aligned}q&=underbrace {v'_{y}rho c_{P}T'} _{text{experimental value}}=-k_{text{turb}}{frac {partial {overline {T}}}{partial y}},;\tau &=underbrace {-rho {overline {v'_{y}v'_{x}}}} _{text{experimental value}}=mu _{text{turb}}{frac {partial {overline {v}}_{x}}{partial y}},;end{aligned}}}

donde $c P$ es la capacidad calorífica a presión constante, $ρ$ es la densidad del fluido, $μ turb$ es el coeficiente de viscosidad turbulenta y $k turb$ es la conductividad térmica turbulenta.

Teoría de Kolmogorov de 1941

La noción de turbulencia de Richardson era que un flujo turbulento está compuesto por "remolinos" de diferentes tamaños. Los tamaños definen una escala de longitud característica para los remolinos, que también se caracterizan por escalas de velocidad de flujo y escalas de tiempo (tiempo de rotación) que dependen de la escala de longitud. Los remolinos grandes son inestables y eventualmente se rompen originando remolinos más pequeños, y la energía cinética del remolino grande inicial se divide en los remolinos más pequeños que se derivan de él. Estos remolinos más pequeños pasan por el mismo proceso, dando lugar a remolinos aún más pequeños que heredan la energía de su remolino predecesor, y así sucesivamente. De esta manera, la energía pasa de las escalas grandes del movimiento a escalas más pequeñas hasta alcanzar una escala de longitud lo suficientemente pequeña como para que la viscosidad del fluido pueda disipar efectivamente la energía cinética en energía interna.

En su teoría original de 1941, Kolmogorov postuló que para números de Reynolds muy altos, los movimientos turbulentos a pequeña escala son estadísticamente isotrópicos (es decir, no se puede discernir una dirección espacial preferencial). En general, las grandes escalas de un flujo no son isotrópicas, ya que están determinadas por las características geométricas particulares de los límites (el tamaño que caracteriza a las grandes escalas se denotará como $L$ ). La idea de Kolmogorov era que en la cascada de energía de Richardson esta información geométrica y direccional se pierde, mientras que la escala se reduce, por lo que las estadísticas de las escalas pequeñas tienen un carácter universal: son las mismas para todos. flujos turbulentos cuando el número de Reynolds es suficientemente alto.

Por lo tanto, Kolmogorov introdujo una segunda hipótesis: para números de Reynolds muy altos, las estadísticas de escalas pequeñas están universal y únicamente determinadas por la viscosidad cinemática $ν$ y la tasa de disipación de energía $ε$ . Con solo estos dos parámetros, la longitud única que se puede formar mediante el análisis dimensional es

{displaystyle eta =left({frac {nu ^{3}}{varepsilon }}right)^{1/4},.}

Esto se conoce hoy como la escala de longitud de Kolmogorov (ver microescalas de Kolmogorov).

Un flujo turbulento se caracteriza por una jerarquía de escalas a través de las cuales tiene lugar la cascada de energía. La disipación de energía cinética tiene lugar a escalas del orden de la longitud de Kolmogorov $η$ , mientras que la entrada de energía en la cascada proviene de la decaimiento de las grandes escalas, de orden $L$ . Estas dos escalas en los extremos de la cascada pueden diferir en varios órdenes de magnitud en números de Reynolds altos. En medio hay una serie de escalas (cada una con su propia longitud característica $r$ ) que se ha formado a expensas de la energía de los grandes. Estas escalas son muy grandes en comparación con la longitud de Kolmogorov, pero aún muy pequeñas en comparación con la gran escala del flujo (es decir, $η ≪ r ≪ L$ ). Dado que los remolinos en este rango son mucho más grandes que los remolinos disipativos que existen en las escalas de Kolmogorov, la energía cinética esencialmente no se disipa en este rango, y simplemente se transfiere a escalas más pequeñas hasta que los efectos viscosos se vuelven importantes a medida que se acerca el orden de la escala de Kolmogorov.. Dentro de este rango, los efectos inerciales siguen siendo mucho mayores que los efectos viscosos, y es posible suponer que la viscosidad no juega un papel en su dinámica interna (por esta razón, este rango se denomina "rango inercial").

Por lo tanto, una tercera hipótesis de Kolmogorov fue que a un número de Reynolds muy alto las estadísticas de las escalas en el rango $η ≪ r ≪ L$ están universal y únicamente determinados por la escala $r$ y la tasa de disipación de energía $ε$ .

La forma en que se distribuye la energía cinética sobre la multiplicidad de escalas es una caracterización fundamental de un flujo turbulento. Para turbulencias homogéneas (es decir, estadísticamente invariantes bajo traslaciones del marco de referencia) esto se hace generalmente por medio de la función de espectro de energía $E (k)$ , donde $k$ es el módulo del vector de onda correspondiente a algunos armónicos en una representación de Fourier del campo de velocidad de flujo $u (x)$ :

{displaystyle mathbf {u} (mathbf {x})=iiint _{mathbb {R} ^{3}}{hat {mathbf {u} }}(mathbf {k})e^{imathbf {kcdot x} },mathrm {d} ^{3}mathbf {k} ,,}

donde $û (k)$ es la transformada de Fourier del campo de velocidad de flujo. Por lo tanto, $E (k) d k$ representa la contribución a la energía cinética de todos los modos de Fourier con $k < | k | < k + d k$ , y por lo tanto,

{displaystyle {tfrac {1}{2}}leftlangle u_{i}u_{i}rightrangle =int _{0}^{infty }E(k),mathrm {d} k,,}

donde $1 / 2 ⟨ u i u i ⟩$ es la energía cinética turbulenta media del flujo. El número de onda $k$ correspondiente a la escala de longitud $r$ es $k = 2π / r$ . Por lo tanto, por análisis dimensional, la única forma posible para la función del espectro de energía de acuerdo con la tercera hipótesis de Kolmogorov es

{displaystyle E(k)=K_{0}varepsilon ^{frac {2}{3}}k^{-{frac {5}{3}}},,}

Donde ${displaystyle K_{0}approx 1.5}$ sería una constante universal. Este es uno de los resultados más famosos de la teoría de Kolmogorov 1941, y considerable evidencia experimental se ha acumulado que lo apoya.

Fuera del área de inercia, se puede encontrar la siguiente fórmula:

{displaystyle E(k)=K_{0}varepsilon ^{frac {2}{3}}k^{-{frac {5}{3}}}exp left[-{frac {3K_{0}}{2}}left({frac {nu ^{3}k^{4}}{varepsilon }}right)^{frac {1}{3}}right],,}

A pesar de este éxito, la teoría de Kolmogorov está actualmente bajo revisión. Esta teoría asume implícitamente que la turbulencia es estadísticamente similar a sí misma a diferentes escalas. Básicamente, esto significa que las estadísticas son invariantes a escala y no intermitentes en el rango de inercia. Una forma habitual de estudiar campos de velocidad de flujo turbulento es mediante incrementos de velocidad de flujo:

{displaystyle delta mathbf {u} (r)=mathbf {u} (mathbf {x} +mathbf {r})-mathbf {u} (mathbf {x}),;}

es decir, la diferencia en la velocidad del flujo entre puntos separados por un vector $r$ (dado que la turbulencia se supone isotrópica, el incremento de la velocidad del flujo depende solo en el módulo de $r$ ). Los incrementos de velocidad de flujo son útiles porque enfatizan los efectos de las escalas del orden de la separación $r$ cuando se calculan las estadísticas. La invariancia de escala estadística sin intermitencia implica que la escala de los incrementos de velocidad del flujo debe ocurrir con un exponente de escala único $β$ , de modo que cuando $r$ está escalado por un factor $λ,$

delta mathbf{u}(lambda r)

debe tener la misma distribución estadística que

{displaystyle lambda ^{beta }delta mathbf {u} (r),,}

con $β$ independiente de la escala $r$ . De este hecho y otros resultados de la teoría de Kolmogorov 1941, se deduce que los momentos estadísticos de los incrementos de velocidad del flujo (conocidos como funciones de estructura en turbulencia) deberían escalar como

{displaystyle {Big langle }{big (}delta mathbf {u} (r){big)}^{n}{Big rangle }=C_{n}langle (varepsilon r)^{frac {n}{3}}rangle ,,}

donde los corchetes indican el promedio estadístico y $C n$ serían constantes universales.

Existe considerable evidencia de que los flujos turbulentos se desvían de este comportamiento. Los exponentes de escala se desvían del $n / 3$ valor predicho por la teoría, convirtiéndose en una función no lineal de orden $n$ de la función de estructura. La universalidad de las constantes también ha sido cuestionada. Para órdenes bajos, la discrepancia con Kolmogorov $n / 3$ el valor es muy pequeño, lo que explica el éxito de la teoría de Kolmogorov con respecto a a momentos estadísticos de bajo orden. En particular, se puede demostrar que cuando el espectro de energía sigue una ley de potencia

{displaystyle E(k)propto k^{-p},,}

con $1 < p < 3$ , la función de estructura de segundo orden también tiene una ley de potencia, con la forma

{displaystyle {Big langle }{big (}delta mathbf {u} (r){big)}^{2}{Big rangle }propto r^{p-1},,}

Dado que los valores experimentales obtenidos para la función de estructura de segundo orden solo se desvían ligeramente del 2/3 valor predicho por la teoría de Kolmogorov, el valor de $p$ está muy cerca de 5/3 (las diferencias son de alrededor del 2 %). Así, el "Kolmogorov −5/ 3 espectro" se observa generalmente en turbulencia. Sin embargo, para funciones de estructura de alto orden, la diferencia con la escala de Kolmogorov es significativa y el desglose de la autosimilitud estadística es claro. Este comportamiento, y la falta de universalidad de las constantes $C n$ , están relacionados con el fenómeno de intermitencia en la turbulencia y se puede relacionar con el comportamiento de escala no trivial de la tasa de disipación promediada sobre la escala $r$ . Esta es un área importante de investigación en este campo, y un objetivo principal de la teoría moderna de la turbulencia es comprender qué es universal en el rango de inercia y cómo deducir las propiedades de intermitencia de las ecuaciones de Navier-Stokes, es decir, de los primeros principios.

Referencias y notas

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