Trocoide

En geometría, una trocoide (del griego trochos 'rueda') es una curva de ruleta formada por un círculo que rueda a lo largo de una línea. Es la curva trazada por un punto fijado a un círculo (donde el punto puede estar dentro, dentro o fuera del círculo) mientras rueda a lo largo de una línea recta. Si el punto está en el círculo, la trocoide se llama común (también conocida como cicloide); si el punto está dentro del círculo, la trocoide está cortada; y si el punto está fuera del círculo, la trocoide está prolada. La palabra "trocoide" Fue acuñado por Gilles de Roberval, refiriéndose al caso especial de una cicloide.

Descripción básica

Como un círculo de radio a rueda sin deslizarse a lo largo de una línea L, el centro C se mueve paralelo a L, y cualquier otro punto P en el plano de rotación rígidamente unido al círculo traza la curva llamada trocoide. Sea CP = b. Ecuaciones paramétricas de la trocoide para las cuales L es el x-eje son

${\displaystyle {\begin{aligned} -b\sin \theta \\;$

donde θ es el ángulo variable a través del cual rueda el círculo.

Cortado, común, alargado

Si P se encuentra dentro del círculo (b < ; a), en su circunferencia (b = a), o fuera (b > a), la trocoide se describe como corta ("contraída" ;), común o prolato ("extendido"), respectivamente. Una trocoide corta se traza mediante un pedal (en relación con el suelo) cuando una bicicleta con marcha normal se pedalea en línea recta. Una trocoide alargada se traza con la punta de un remo (en relación con la superficie del agua) cuando un bote es impulsado con velocidad constante mediante ruedas de paletas; esta curva contiene bucles. Una trocoide común, también llamada cicloide, tiene cúspides en los puntos donde P toca la línea L.

Descripción general

Un enfoque más general definiría un trochoide como el locus de un punto ${\displaystyle (x,y)}$ orbitando a una velocidad constante alrededor de un eje situado a ${\displaystyle (x',y')}$,

${\displaystyle x=x'+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ y=y'+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ r_{1} {0}}}}$

qué eje se traslada en el plano x-y a una velocidad constante en cualquier línea recta,

${\displaystyle {\begin{rray}{lcl}x'=x_{0}+v_{2x}t,\ Y... x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2x}t,\ Y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega) - ¿Qué?$

o un camino circular (otro órbita) alrededor ${\displaystyle (x_{0},y_{0}$ (el caso hipotrocoide/epitrocoide),

${\displaystyle {\begin{rray}{lcl}x'=x_{0}+r_{2}\cos(\omega) ### {2}t+\phi _{2}),\ y'=y_{0}+r_{2}\sin(\omega) ¿Por qué? x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ Y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega) _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\\\end{array}}$

La relación de las tasas de movimiento y si el eje móvil se traduce en un camino recto o circular determina la forma del trochoide. En el caso de un camino recto, una rotación completa coincide con un período de un lacus periódico (repetitivo). En el caso de un camino circular para el eje en movimiento, el locus es periódico sólo si la relación de estos movimientos angulares, ${\displaystyle \omega _{1}/\omega ¿Qué?$, es un número racional, digamos ${\displaystyle p/q}$, donde ${\displaystyle p}$ " ${\displaystyle q}$ son coprime, en cuyo caso, un período consta de ${\displaystyle p}$ órbitas alrededor del eje en movimiento y ${\displaystyle q}$ órbitas del eje en movimiento alrededor del punto ${\displaystyle (x_{0},y_{0}$. Los casos especiales de epicicloide e hipocicloide, generados por rastrear el locus de un punto en el perímetro de un círculo de radio ${\displaystyle R_{1}$ mientras se roda en el perímetro de un círculo estacionario de radio ${\displaystyle R.$, tienen las siguientes propiedades:

${\displaystyle {\begin{lcl}{\text{epicycloid: } {\begin{array}{lcl}{\text{epicycloid] _{1}/\omega - ¿Por qué? - ¿Qué? _{1}/\omega ¿Por qué?$

Donde ${\displaystyle R_{2}$ es el radio de la órbita del eje en movimiento. El número de cusps dados arriba también se mantiene fiel para cualquier epitrocoides e hipotrocoides, con "cusps" reemplazados por "máxima radical" o " minima radical".