Trivialidad (matemáticas)

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Matemáticamente obvio

En matemáticas, el adjetivo trivial se usa a menudo para referirse a una afirmación o un caso que se puede obtener fácilmente del contexto, o un objeto que posee una estructura simple (p. ej., grupos, espacios topológicos). El sustantivo trivialidad generalmente se refiere a un aspecto técnico simple de alguna prueba o definición. El origen del término en el lenguaje matemático proviene del currículo trivium medieval, que se distingue del currículo quadrivium más difícil. Lo opuesto a trivial es no trivial, que se usa comúnmente para indicar que un ejemplo o una solución no es simple, o que un enunciado o teorema no es fácil de probar.

El juicio de si una situación bajo consideración es trivial o no depende de quién la considere, ya que la situación es obviamente cierta para alguien que tiene suficiente conocimiento o experiencia sobre ella, mientras que para alguien que nunca ha visto esto, puede ser incluso difícil. para ser entendido por lo que no es trivial en absoluto. Y puede haber una discusión acerca de qué tan rápido y fácil debe reconocerse un problema para que el problema sea tratado como trivial. Entonces, la trivialidad no es una propiedad universalmente acordada en matemáticas y lógica.

Soluciones triviales y no triviales

En matemáticas, el término "trivial" se usa a menudo para referirse a objetos (por ejemplo, grupos, espacios topológicos) con una estructura muy simple. Estos incluyen, entre otros:

Set vacío: el conjunto que contiene no o null miembros
Grupo Trivial: el grupo matemático que contiene sólo el elemento de identidad
Anillo trivial: un anillo definido en un conjunto de un solotón

"Trivial" también se puede usar para describir soluciones a una ecuación que tiene una estructura muy simple, pero por el bien de la integridad no puede ser omitido. Estas soluciones se denominan soluciones triviales. Por ejemplo, considere la ecuación diferencial

{displaystyle y'=y}

Donde ${displaystyle y=y(x)}$ es una función cuyo derivado es $y'$ . La solución trivial es la función cero

{displaystyle y(x)=0}

mientras que una solución no trivial es la función exponencial

{displaystyle y(x)=e^{x}.}

La ecuación diferencial ${displaystyle f''(x)=-lambda f(x)}$ con condiciones de límites $f(0)=f(L)=0$ es importante en matemáticas y física, ya que podría utilizarse para describir una partícula en una caja en mecánica cuántica, o una onda de pie en una cadena. Siempre incluye la solución $f(x) = 0$ , que se considera obvio y por lo tanto se llama la solución "trivial". En algunos casos, puede haber otras soluciones (sinusoids), que se llaman soluciones "notriviales".

Del mismo modo, los matemáticos a menudo describen el último teorema de Fermat como afirmando que no hay nontrivial soluciones enteros a la ecuación $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ , donde n es mayor que 2. Claramente, hay algunas soluciones a la ecuación. Por ejemplo, ${displaystyle a=b=c=0}$ es una solución para cualquier n, pero tales soluciones son obvias y alcanzables con poco esfuerzo, y por lo tanto "trivial".

En el razonamiento matemático

Trivial también puede referirse a cualquier caso fácil de una prueba, que en aras de la integridad no se puede ignorar. Por ejemplo, las demostraciones por inducción matemática tienen dos partes: el "caso base" que muestra que el teorema es verdadero para un valor inicial particular (como n = 0 o n = 1), y el paso inductivo que muestra que si el teorema es verdadero para un determinado valor de n, entonces también es cierto para el valor n + 1. El caso base suele ser trivial y se identifica como tal, aunque hay situaciones en las que el caso base es difícil pero el paso inductivo es trivial. De manera similar, uno podría querer demostrar que todos los miembros de un determinado conjunto poseen alguna propiedad. La parte principal de la prueba considerará el caso de un conjunto no vacío y examinará los miembros en detalle; en el caso de que el conjunto esté vacío, la propiedad es trivialmente poseída por todos los miembros del conjunto vacío, ya que no hay ninguno (ver verdad vacía para más información).

El juicio de si una situación bajo consideración es trivial o no depende de quién la considere, ya que la situación es obviamente cierta para alguien que tiene suficiente conocimiento o experiencia sobre ella, mientras que para alguien que nunca ha visto esto, puede ser incluso difícil. para ser entendido por lo que no es trivial en absoluto. Y puede haber una discusión acerca de qué tan rápido y fácil debe reconocerse un problema para que el problema sea tratado como trivial. Los siguientes ejemplos muestran la subjetividad y ambigüedad del juicio de trivialidad.

La trivialidad también depende del contexto. Una prueba en análisis funcional probablemente, dado un número, asumiría trivialmente la existencia de un número mayor. Sin embargo, cuando se prueban los resultados básicos sobre los números naturales en la teoría de números elemental, la prueba puede muy bien depender de la observación de que cualquier número natural tiene un sucesor, una declaración que debe probarse o tomarse como un axioma, por lo que no es trivial (para más información, consulte los axiomas de Peano).

Pruebas triviales

En algunos textos, una prueba trivial se refiere a una declaración que involucra una implicación material P→Q, donde el consecuente Q , siempre es cierto. Aquí, la prueba se sigue inmediatamente en virtud de la definición de implicación material en la que la implicación es verdadera independientemente del valor de verdad del antecedente P si el consecuente se fija como verdadero.

Un concepto relacionado es una verdad vacía, donde el antecedente P en una implicación material P→Q es falso. En este caso, la implicación siempre es verdadera independientemente del valor de verdad del consecuente Q, de nuevo en virtud de la definición de implicación material.

Crítica

Una broma común en la comunidad matemática es decir que "trivial" es sinónimo de "probado" — es decir, cualquier teorema puede ser considerado "trivial" una vez que se sabe que es probado como verdadero.
Dos matemáticos que están discutiendo un teorema: el primer matemático dice que el teorema es "trivial". En respuesta a la solicitud de explicación del otro, procede con veinte minutos de exposición. Al final de la explicación, el segundo matemático está de acuerdo en que el teorema es trivial. Pero ¿podemos decir que este teorema es trivial incluso si se necesita mucho tiempo y esfuerzo para probarlo?
Cuando un matemático dice que un teorema es trivial, pero no puede probarlo por sí mismo en el momento en que lo dice como trivial. ¿Entonces el teorema es trivial?
A menudo, como una broma, un problema se conoce como "intuitivamente obvio". Por ejemplo, alguien experimentado en cálculo consideraría la siguiente declaración trivial: ${displaystyle int _{0}^{1}x^{2},dx={frac {1}{3}}}$ Sin embargo, para alguien sin conocimiento de cálculo integral, esto no es obvio en absoluto, así que no es trivial.

Ejemplos

En la teoría de números, a menudo es importante encontrar factores de un número entero N. Cualquier número N tiene cuatro factores obvios: ±1 y ±N. Estos se llaman "factores reales". Cualquier otro factor, si existe, sería llamado "notrivial".
La ecuación de matriz homogénea ${displaystyle Amathbf {x} =mathbf {0} }$ , donde $A$ es una matriz fija, $mathbf {x}$ es un vector desconocido, y $mathbf {0}$ es el vector cero, tiene una solución obvia $mathbf {x} =mathbf {0}$ . Esto se llama la "solución trivial". Cualquier otra solución, con ${displaystyle mathbf {x} neq mathbf {0} }$ , se llaman "notrivial".
En la teoría de grupos, hay un grupo muy simple con un solo elemento en él; esto a menudo se llama el "grupo trivial". Todos los otros grupos, que son más complicados, se llaman "notrivial".
En la teoría del gráfico, el gráfico trivial es un gráfico que tiene sólo 1 vértice y ningún borde.
La teoría de bases de datos tiene un concepto llamado dependencia funcional, escrito $Xto Y$ . La dependencia $Xto Y$ es verdad Y es un subconjunto de X, por lo que este tipo de dependencia se llama "trivial". Todas las demás dependencias, menos obvias, se llaman "notriviales".
Se puede demostrar que la función zeta de Riemann tiene ceros en los números negativos incluso −2, −4,... Aunque la prueba es comparativamente fácil, este resultado no sería normalmente llamado trivial; sin embargo, es en este caso, por su otros Los ceros son generalmente desconocidos y tienen aplicaciones importantes e implican preguntas abiertas (como la hipótesis Riemann). En consecuencia, los números negativos incluso se llaman los ceros triviales de la función, mientras que cualquier otro cero se considera no-trivial.

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