Trisectriz de Maclaurin

En geometría algebraica, la trisectriz de Maclaurin es una curva plana cúbica notable por su propiedad trisectriz, lo que significa que se puede utilizar para trisectar un ángulo. Se puede definir como el lugar geométrico del punto de intersección de dos líneas, cada una de las cuales gira a una velocidad uniforme alrededor de puntos separados, de modo que la relación de las velocidades de rotación es 1:3 y las líneas coinciden inicialmente con la línea entre los dos puntos. . Una generalización de esta construcción se llama sectrix de Maclaurin. La curva lleva el nombre de Colin Maclaurin, quien la investigó en 1742.

Ecuaciones

Dejar dos líneas girar sobre los puntos ${\displaystyle P=(0,0)}$ y ${\displaystyle P_{1}=a,0}$ así que cuando la línea gira alrededor ${\displaystyle P}$ tiene ángulo ${\displaystyle \theta }$ con el x axis, el giro alrededor ${\displaystyle P_{1}$ tiene ángulo ${\displaystyle 3\theta}$. Vamos. ${\displaystyle Q}$ ser el punto de intersección, entonces el ángulo formado por las líneas en ${\displaystyle Q}$ es ${\displaystyle 2\theta}$. Por la ley de los pecados,

${\displaystyle {r \over \sin 3\theta }={a \over \sin 2\theta ¡Oh!$

entonces la ecuación en coordenadas polares es (hasta traslación y rotación)

${\displaystyle r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta }={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta).\!}$

La curva es, por tanto, miembro de la concoide de la familia de Sluze.

En coordenadas cartesianas la ecuación de esta curva es

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}).\!}$

Si el origen se mueve a (a, 0), entonces una derivación similar a la dada anteriormente muestra que la ecuación de la curva en coordenadas polares se convierte en

${\displaystyle r=2a\cos {\theta \over 3},\!}$

haciendo de él un ejemplo de limacon con un bucle.

La propiedad de trisección

Dado un ángulo ${\displaystyle \phi }$, dibujar un rayo de ${\displaystyle (a,0)}$ cuyo ángulo ${\displaystyle x}$- El eje es ${\displaystyle \phi }$. Dibuja un rayo desde el origen hasta el punto donde el primer rayo interseca la curva. Luego, por la construcción de la curva, el ángulo entre el segundo rayo y el ${\displaystyle x}$- El eje es ${\displaystyle \phi /3}$.

Puntos y características notables

La curva tiene un x-intercepto en ${\displaystyle 3a \over 2}$ y un punto doble en el origen. La línea vertical ${\displaystyle x={-{a \over 2}}$ es un asintoto. La curva intersecte la línea x = a, o el punto correspondiente a la trisección de un ángulo recto, en ${\displaystyle (a,{\pm {1\sqrt {3}a}}a}}$. Como cúbico nodal, es del género cero.

Relación con otras curvas

La trisectrix de Maclaurin se puede definir de secciones cónicas de tres maneras. Específicamente:

• Es el inverso con respecto al círculo de la unidad de la hiperbola

${\displaystyle 2x=a(3x^{2}-y^{2}). }$

• Es cissoide del círculo

${\displaystyle (x+a)}{2}+y^{2}=a^{2}$

y la línea ${\displaystyle x={a \over 2}$ relativo al origen.

• Es el pedal con respecto al origen de la parabola

${\displaystyle Y^{2}=2a(x-{\tfrac {3}a).}$

Además:

• El inverso con respecto al punto ${\displaystyle (a,0)}$ es el trisectrix Limaçon.
• La trisectrix de Maclaurin está relacionada con el follum de Descartes por la transformación affine.