Triángulo rectángulo

Un triángulo recto (inglés americano) o triángulo rectángulo (británico), o más formalmente un triángulo ortogonal, anteriormente llamado triángulo rectangular (griego antiguo: ὀρθόσγωνία, lit. 'ángulo vertical'), es un triángulo en el que un ángulo es un ángulo recto (es decir, un ángulo de 90 grados), es decir, en el que dos lados son perpendiculares. La relación entre los lados y otros ángulos del triángulo rectángulo es la base de la trigonometría.

El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa (lado c en la figura). Los lados adyacentes al ángulo recto se denominan piernas (o catheti, en singular: cathetus). El lado a puede identificarse como el lado adyacente al ángulo B y opuesto a (u opuesto) ángulo A, mientras que el lado b es el lado adyacente al ángulo A y opuesto al ángulo B.

Si las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo son números enteros, se dice que el triángulo es un triángulo pitagórico y las longitudes de sus lados se conocen colectivamente como una triple pitagórica.

Propiedades principales

Área

Como con cualquier triángulo, el área es igual a la mitad de la base multiplicada por la altura correspondiente. En un triángulo rectángulo, si se toma un cateto como base, entonces el otro es la altura, por lo que el área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de los dos catetos. Como fórmula, el área T es

${displaystyle T={tfrac {2}ab}$

donde a y b son los catetos del triángulo.

Si la circunferencia inscrita es tangente a la hipotenusa AB en el punto P, entonces denotando el semiperímetro (a + b + < i>c) / 2 como s, tenemos PA = s − a< /i> y PB = s − b, y el área está dada por

${displaystyle T={text{PA}cdot {text{PB}=(s-a)(s-b). }$

Esta fórmula solo se aplica a triángulos rectángulos.

Altitudes

Altitud de un triángulo derecho

Si se dibuja una altura desde el vértice con el ángulo recto hasta la hipotenusa, entonces el triángulo se divide en dos triángulos más pequeños que son similares al original y, por lo tanto, similares entre sí. De esto:

• La altitud a la hipotenusa es la media geométrica (media proporcional) de los dos segmentos de la hipotenusa.
• Cada pierna del triángulo es la media proporcional de la hipotenusa y el segmento de la hipotenusa que está adyacente a la pierna.

En ecuaciones,

${displaystyle displaystyle f^{2}=de,}$ (esto es conocido a veces como el teorema de altura triángulo derecho)

${displaystyle displaystyle b^{2}=ce,}$

${displaystyle displaystyle a^{2}=cd}$

donde a, b, c, d, e, < i>f son como se muestra en el diagrama. Por lo tanto

${displaystyle f={frac {ab} {c}}.}$

Además, la altura a la hipotenusa está relacionada con los catetos del triángulo rectángulo por

${displaystyle {frac}{2}}+{frac} {1}{2}={frac} {1}{f^{2}}}}$

Para soluciones de esta ecuación en valores enteros de a, b, f y c, consulte aquí.

La altitud de cualquiera de los tramos coincide con el otro tramo. Dado que estos se cruzan en el vértice del ángulo recto, el ortocentro del triángulo rectángulo, la intersección de sus tres alturas, coincide con el vértice del ángulo recto.

Teorema de Pitágoras

El diagrama para la prueba de Euclides del teorema pitagórico: cada cuadrado más pequeño tiene un área igual al rectángulo del color correspondiente.

El teorema de Pitágoras establece que:

En cualquier triángulo derecho, el área del cuadrado cuyo lado es el hipotenusa (el lado opuesto al ángulo derecho) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son las dos piernas (los dos lados que se encuentran en un ángulo recto).

Esto se puede establecer en forma de ecuación como

${displaystyle displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$

donde c es la longitud de la hipotenusa, y a y b son las longitudes de los dos lados restantes.

Las ternas pitagóricas son valores enteros de a, b, c que satisfacen esta ecuación

Inradio y circunradio

El radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c es

${displaystyle r={frac {a+b-c}{2}={frac} {ab}{a+b+c}}$

El radio de la circunferencia circunscrita es la mitad de la longitud de la hipotenusa,

${displaystyle R={frac {c}{2}}$

Así, la suma del circunradio y el inradio es la mitad de la suma de los catetos:

${displaystyle R+r={frac {a+b}{2}}$

Uno de los lados se puede expresar en términos del inradio y el otro lado como

${displaystyle displaystyle a={frac {2r(b-r)}{b-2r}}}$

Caracterizaciones

Un triángulo ABC con lados ${displaystyle aleq b$, semiperímetro s, área T, altitud h frente al lado más largo, circunradius R, inradius r, exradii r_a, r_b, r_c (tangente a a, b, c respectivamente) y medianas m_a, m_b, m_c es un triángulo correcto si y sólo si cualquiera de las declaraciones en las siguientes seis categorías es verdad. Todos ellos son, por supuesto, también propiedades de un triángulo derecho, ya que las caracterizaciones son equivalencias.

Lados y semiperímetro

• ${displaystyle displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}quad ({text{Pythagorean theorem}}}}}$
• ${displaystyle displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}$
• ${displaystyle displaystyle s=2R+r.}$
• ${displaystyle displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}$

Ángulos

• A y B son complementarios.
• ${displaystyle displaystyle cos {}cos {C}=0}$
• ${displaystyle displaystyle sin ^{2}{A}+sin ^{2}{B}+sin ^{2}{C}=2.}$
• ${displaystyle displaystyle cos ^{2}{A}+cos ^{2}{B}+cos ^{2}{C}=1.}$
• ${displaystyle displaystyle sin {2A}=sin {2B}=2sin {A}sin {B}$

Área

• ${displaystyle displaystyle T={frac {ab}{2}}$
• ${displaystyle displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}$
• ${displaystyle displaystyle T=r(2R+r)}$
• ${displaystyle displaystyle T={frac {(2s-c)}-c^{2}{4}}=s(s-c)}$
• ${displaystyle T=PAcdot PB,}$ Donde P es el punto de cursi del incircle en el lado más largo AB.

Inradio y exradio

• ${displaystyle displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2}$
• ${displaystyle displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2}$
• ${displaystyle displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2}$
• ${displaystyle displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2}$
• ${displaystyle displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}$
• ${displaystyle displaystyle ¿Qué?$
• ${displaystyle displaystyle r={frac {fnMicrosoft Sans Serif}$

Altitud y medianas

La altitud de un triángulo derecho desde su ángulo recto hasta su hipotenusa es la media geométrica de las longitudes de los segmentos en que se divide la hipotenusa. Usando el teorema de Pitágoras en los 3 triángulos de los lados ()p+q, r, s), ()r, p, h) y ()s, h, q),
${displaystyle {begin{aligned}(p+q)^{2};; r^{2};;,+quad s^{2}p^{2}!!+!2pq!+!q^{2} ¡Oh! +overbrace {h^{2}!+!q^{2} \2pqquad ;;;; âTMa=2h^{2}; {fnMicrosoft Sans}$

• ${displaystyle displaystyle h={frac {ab}{c}}$
• ${displaystyle displaystyle m_{a}=6R^{2}$
• La longitud de una mediana es igual al circumradius.
• La altitud más corta (la del vértice con el ángulo más grande) es la media geométrica de los segmentos de línea que divide el lado opuesto (más largo) en. Este es el teorema de altura triángulo derecho.

Circunferencia e incircunferencia

• El triángulo se puede inscribir en un semicírculo, con un lado coincidiendo con la totalidad del diámetro (el teorema de las ventas).
• El circumcenter es el punto medio del lado más largo.
• El lado más largo es un diámetro del círculo ${displaystyle displaystyle (c=2R). }$
• El círculo es tangente al círculo de nueve puntos.
• El ortocentro se encuentra en el círculo.
• La distancia entre el incentro y el ortocentro es igual a ${displaystyle {sqrt {2}r}$.

Razones trigonométricas

Las funciones trigonométricas para ángulos agudos se pueden definir como proporciones de los lados de un triángulo rectángulo. Para un ángulo dado, se puede construir un triángulo rectángulo con este ángulo, y los lados etiquetados como opuestos, adyacentes e hipotenusas con referencia a este ángulo de acuerdo con las definiciones anteriores. Estas proporciones de los lados no dependen del triángulo rectángulo particular elegido, sino solo del ángulo dado, ya que todos los triángulos construidos de esta manera son similares. Si, para un ángulo α dado, el lado opuesto, el lado adyacente y la hipotenusa se etiquetan como O, A y H respectivamente, entonces las funciones trigonométricas están

${displaystyle sin alpha ={frac {fnMicrosoft Sans Serif} H},cos alpha ={frac {A}{H},,tan alpha ={frac {O}{A},,ssec alpha ={frac {H} {A},,fnMicrosoft ¶ ={frac {A}{O},,cscsc alpha ={frac {H}}$

Para la expresión de las funciones hiperbólicas como proporción de los lados de un triángulo rectángulo, consulte el triángulo hiperbólico de un sector hiperbólico.

Triángulos rectángulos especiales

Los valores de las funciones trigonométricas se pueden evaluar exactamente para ciertos ángulos usando triángulos rectángulos con ángulos especiales. Estos incluyen el triángulo 30-60-90 que puede usarse para evaluar las funciones trigonométricas para cualquier múltiplo de π/6, y el triángulo 45-45-90 que puede utilizarse para evaluar las funciones trigonométricas para cualquier múltiplo de π/4.

Triángulo de Kepler

Sean H, G y A la media armónica, la media geométrica y la media aritmética de dos números positivos a y b con a > b. Si un triángulo rectángulo tiene catetos H y G e hipotenusa A, entonces

${displaystyle {frac}={frac} {fnMicroc} {fnMicroc}} {fnMicroc}} {fnMicroc}}} {f}}} {fn}} {fnMicroc}}}}}} {fnK}}} {f} {fnK}}}}} {fnKf}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}}}f}f}f}f}f}f}}}f} {f}fnf}fnf}f}f}}}fnf}f}f}f}f}fnKfnfnKf}f}f}f}f}f}}}}f {G^{2} {H^{2}}=phi ,}$

y

${displaystyle {frac {f}=fi }$

Donde ${displaystyle phi }$ es la relación de oro ${fnMicroc} {1+{sqrt {5}} {2}},}$ Dado que los lados de este triángulo derecho están en progresión geométrica, este es el triángulo Kepler.

Tales' teorema

Mediano de un ángulo recto de un triángulo

Tales' teorema establece que si A es cualquier punto del círculo con diámetro BC (excepto B o C mismos) ABC es un triángulo rectángulo donde A es el ángulo recto. El inverso establece que si un triángulo rectángulo está inscrito en un círculo, entonces la hipotenusa será un diámetro del círculo. Un corolario es que la longitud de la hipotenusa es el doble de la distancia desde el vértice del ángulo recto hasta el punto medio de la hipotenusa. Además, el centro del círculo que circunscribe un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa y su radio es la mitad de la longitud de la hipotenusa.

Medianas

Las siguientes fórmulas son válidas para las medianas de un triángulo rectángulo:

${displaystyle m_{a}{2}+m_{b}{2}=5m_{c}={2}={frac} {5} {4}c^{2}$

La mediana de la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide el triángulo en dos triángulos isósceles, porque la mediana es igual a la mitad de la hipotenusa.

Las medianas m_a y m_{b de las piernas satisfacer}

${displaystyle 4c^{4}+9a^{2}=16m_{2}m_{b}{2}}$

Línea de Euler

En un triángulo rectángulo, la línea de Euler contiene la mediana en la hipotenusa, es decir, pasa por el vértice rectángulo y el punto medio del lado opuesto a ese vértice. Esto se debe a que el ortocentro del triángulo rectángulo, la intersección de sus alturas, cae sobre el vértice del ángulo recto, mientras que su circuncentro, la intersección de las bisectrices perpendiculares de sus lados, cae sobre el punto medio de la hipotenusa.

Desigualdades

En cualquier triángulo derecho el diámetro del incircle es menos de la mitad de la hipotenusa, y más fuertemente es menos o igual a los tiempos hipotenusas ${displaystyle ({sqrt {2}-1). }$

En un triángulo rectángulo con catetos a, b e hipotenusa c,

${displaystyle cgeq {fnMicroc} {2}{2}(a+b)}$

con igualdad sólo en el caso isósceles.

Si la altura desde la hipotenusa se denota h_c, entonces

${displaystyle ¿Qué?$

con igualdad sólo en el caso isósceles.

Otras propiedades

Si los segmentos de longitud p y q que emanan del vértice C trisecan la hipotenusa en segmentos de longitud c /3, entonces

${displaystyle p^{2}+q^{2}=5left({frac {c}right)^{2}$

El triángulo rectángulo es el único triángulo que tiene dos, en lugar de uno o tres, cuadrados inscritos distintos.

Dado h > k. Sean h y k los lados de los dos cuadrados inscritos en un triángulo rectángulo con hipotenusa c. Después

${displaystyle {frac}{2}}+{frac} {1}{h^{2}={frac} {1}{k^{2}}}}$

Estos lados y el radio del círculo r están relacionados por una fórmula similar:

${displaystyle displaystyle {frac {1} {}=-{frac} {1}{c}+{frac} {1}{h}+{frac} {1}{k}.}$

El perímetro de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los radios del incírculo y los tres excírculos:

${displaystyle a+b+c=r+r_{a}+r_{b}+r_{c}$