Triángulo isósceles

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Triángulo con al menos dos lados congruentes

En geometría, un triángulo isósceles () es un triángulo que tiene dos lados de igual longitud. A veces se especifica que tiene exactamente dos lados de igual longitud y, a veces, que tiene al menos dos lados de igual longitud; la última versión incluye así el triángulo equilátero como un triángulo especial. caso. Los ejemplos de triángulos isósceles incluyen el triángulo rectángulo isósceles, el triángulo áureo y las caras de bipirámides y ciertos sólidos catalanes.

El estudio matemático de los triángulos isósceles se remonta a las matemáticas del antiguo Egipto y las matemáticas babilónicas. Los triángulos isósceles se han utilizado como decoración incluso desde épocas anteriores y aparecen con frecuencia en la arquitectura y el diseño, por ejemplo, en los frontones y frontones de los edificios.

Los dos lados iguales se llaman catetos y el tercer lado se llama base del triángulo. Las otras dimensiones del triángulo, como su altura, área y perímetro, se pueden calcular mediante fórmulas simples a partir de las longitudes de los catetos y la base. Todo triángulo isósceles tiene un eje de simetría a lo largo de la mediatriz de su base. Los dos ángulos opuestos a los catetos son iguales y siempre agudos, por lo que la clasificación del triángulo como agudo, recto u obtuso depende únicamente del ángulo entre sus dos catetos.

Terminología, clasificación y ejemplos

Euclides definió un triángulo isósceles como un triángulo con exactamente dos lados iguales, pero los tratamientos modernos prefieren definir los triángulos isósceles como si tuvieran al menos dos lados iguales. La diferencia entre estas dos definiciones es que la versión moderna hace que los triángulos equiláteros (con tres lados iguales) sean un caso especial de triángulos isósceles. Un triángulo que no es isósceles (que tiene tres lados desiguales) se llama escaleno. "Isósceles" está hecho de las raíces griegas "isos" (igual) y "skelos" (pierna). La misma palabra se usa, por ejemplo, para trapecios isósceles, trapecios con dos lados iguales, y para conjuntos isósceles, conjuntos de puntos cada tres de los cuales forman un triángulo isósceles.

En un triángulo isósceles que tiene exactamente dos lados iguales, los lados iguales se llaman catetos y el tercer lado se llama base. El ángulo comprendido por los catetos se denomina ángulo de vértice y los ángulos que tienen la base como uno de sus lados se denominan ángulos base. El vértice opuesto a la base se llama vértice. En el caso del triángulo equilátero, dado que todos los lados son iguales, cualquier lado puede llamarse base.

triángulos isosceles especiales

triángulo derecho Isosceles

Tres cuadrados congruentes inscritos en el triángulo de Calabi

Un triángulo dorado subdividido en un triángulo dorado más pequeño y gnomon dorado

Los triakis azulejos triangulares

sólidos catalanes con caras triángulo isosceles

Triakis tetrahedron

Triakis octahedron

Tetrakis hexahedron

Pentakis dodecahedron

Triakis icosahedron

El hecho de que un triángulo isósceles sea agudo, recto u obtuso depende únicamente del ángulo en su vértice. En geometría euclidiana, los ángulos base no pueden ser obtusos (mayores de 90°) ni rectos (iguales a 90°) porque sus medidas sumarían al menos 180°, la suma de todos los ángulos en cualquier triángulo euclidiano. Dado que un triángulo es obtuso o rectángulo si y solo si uno de sus ángulos es obtuso o recto, respectivamente, un triángulo isósceles es obtuso, rectángulo o agudo si y solo si su ángulo de vértice es respectivamente obtuso, recto o agudo. En el libro Flatland de Edwin Abbott, esta clasificación de formas se usó como una sátira de la jerarquía social: los triángulos isósceles representaban a la clase trabajadora, con los triángulos isósceles agudos más altos en la jerarquía que los isósceles rectos u obtusos. triangulos.

Además del triángulo rectángulo isósceles, se han estudiado otras formas específicas de triángulos isósceles. Estos incluyen el triángulo de Calabi (un triángulo con tres cuadrados inscritos congruentes), el triángulo dorado y el gnomon dorado (dos triángulos isósceles cuyos lados y base están en la proporción áurea), el triángulo 80-80-20 que aparece en el Langley' s rompecabezas de ángulos adventicios, y el triángulo 30-30-120 del teselado triangular triakis. Cinco sólidos catalanes, el triakis tetraedro, triakis octaedro, tetrakis hexaedro, pentakis dodecaedro y triakis icosaedro, cada uno tiene caras de triángulos isósceles, al igual que infinitas pirámides y bipirámides.

Fórmulas

Altura

Did you mean:

For an isosceles triangle, the following six line segments coincide:

la altitud, un segmento de línea del ápice perpendicular a la base,
el bisector del ángulo desde el ápice hasta la base,
la mediana desde el ápice hasta el punto medio de la base,
el bisector perpendicular de la base dentro del triángulo,
el segmento dentro del triángulo del eje único de la simetría del triángulo, y
el segmento dentro del triángulo de la línea Euler del triángulo, excepto cuando el triángulo es equilátero.

Su longitud común es la altura $h$ del triángulo. Si el triángulo tiene lados iguales de la longitud $a$ y base de longitud $b$ , las fórmulas del triángulo general para las longitudes de estos segmentos simplifican

{displaystyle h={sqrt {a^{2}-{frac {b^{2}}{4}}}}.}

Esta fórmula también se puede derivar del teorema de Pitágoras usando el hecho de que la altura biseca la base y divide el triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos congruentes.

La recta de Euler de cualquier triángulo pasa por el ortocentro del triángulo (la intersección de sus tres alturas), su baricentro (la intersección de sus tres medianas) y su circuncentro (la intersección de las bisectrices perpendiculares de sus tres lados, que es también el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices). En un triángulo isósceles con exactamente dos lados iguales, estos tres puntos son distintos y (por simetría) todos se encuentran en el eje de simetría del triángulo, de lo que se sigue que la línea de Euler coincide con el eje de simetría. El incentro del triángulo también se encuentra en la línea de Euler, algo que no es cierto para otros triángulos. Si dos cualesquiera de la bisectriz de un ángulo, la mediana o la altura coinciden en un triángulo dado, ese triángulo debe ser isósceles.

Área

La zona $T$ de un triángulo isosceles puede derivarse de la fórmula para su altura, y de la fórmula general para el área de un triángulo como la mitad del producto de base y altura:

T={frac {b}{4}}{sqrt {4a^{2}-b^{2}}}.

La misma fórmula del área también se puede derivar de la fórmula de Heron para el área de un triángulo a partir de sus tres lados. Sin embargo, aplicar la fórmula de Heron directamente puede ser numéricamente inestable para triángulos isósceles con ángulos muy agudos, debido a la casi cancelación entre el semiperímetro y la longitud de los lados en esos triángulos.

Si el ángulo del ápice $(theta)$ y longitudes de la pierna $(a)$ de un triángulo isosceles son conocidos, entonces el área de ese triángulo es:

{displaystyle T={frac {1}{2}}a^{2}sin theta.}

Este es un caso especial de la fórmula general para el área de un triángulo como la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo incluido.

Perímetro

El perímetro $p$ de un triángulo isosceles con lados iguales $a$ y base $b$ es sólo

{displaystyle p=2a+b.}

Como en cualquier triángulo, el área $T$ y perímetro $p$ están relacionados por la desigualdad isoperimétrica

12{sqrt {3}}T.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p2■123T.{displaystyle p^{2} {sqrt {3}T.}12{sqrt {3}}T." aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0263c0f421b0fa0675fb48fb009f71e21cfe555f" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:13.118ex; height:3.009ex;"/>

Esta es una desigualdad estricta para triángulos isósceles con lados diferentes a la base, y se convierte en una igualdad para el triángulo equilátero. El área, el perímetro y la base también se pueden relacionar entre sí mediante la ecuación

2pb^{3}-p^{2}b^{2}+16T^{2}=0.

Si la base y el perímetro se fijan, esta fórmula determina el área del triángulo isosceles resultante, que es el máximo posible entre todos los triángulos con la misma base y perímetro. Por otro lado, si el área y el perímetro están fijos, esta fórmula se puede utilizar para recuperar la longitud base, pero no de manera única: hay en general dos triángulos isosceles distintos con área dada $T$ y perímetro $p$ . Cuando la desigualdad isoperimétrica se convierte en igualdad, sólo hay un triángulo tal, que es equilátero.

Longitud de la bisectriz del ángulo

Si los dos lados iguales tienen longitud $a$ y el otro lado tiene longitud $b$ , entonces el bisector del ángulo interno $t$ de uno de los dos vértices iguales satisfies

t>{frac {ab{sqrt {2}}}{a+b}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">2aba+b■t■ab2a+b{displaystyle {frac {2ab}{a+b} {frac {ab{sqrt {2}}{a+b}} {}} {}} {c}}} {c}} {c}} {c}}}}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}} {c}}} {c}}}}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}}}}}} {c}} {c}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}} {c}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}t>{frac {ab{sqrt {2}}}{a+b}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ad3df445f897c180bc48fe8884c9a77e97cd66" style="vertical-align: -2.171ex; width:19.102ex; height:6.176ex;"/>

así como

<math alttext="{displaystyle tt.4a3;{displaystyle t made{frac {4a}{3}}}<img alt="{displaystyle t

y a la inversa, si la última condición sostiene, un triángulo isosceles parametrizado por $a$ y $t$ existe.

El teorema de Steiner-Lehmus establece que todo triángulo con dos bisectrices de ángulo de igual longitud es isósceles. Fue formulado en 1840 por C. L. Lehmus. Su otro homónimo, Jakob Steiner, fue uno de los primeros en ofrecer una solución. Aunque originalmente se formuló solo para bisectrices de ángulos internos, funciona para muchos (pero no todos) casos cuando, en cambio, dos bisectrices de ángulos externos son iguales. El triángulo isósceles 30-30-120 constituye un caso límite para esta variación del teorema, ya que tiene cuatro bisectrices de ángulos iguales (dos internas, dos externas).

Radios

triángulo Isosceles mostrando su circuncentro (azul), centroide (rojo), incentro (verde), y eje de simetría (purple)

Las fórmulas inradius y circunradius para un triángulo isosceles pueden derivarse de sus fórmulas para triángulos arbitrarios. El radio del círculo inscrito de un triángulo isosceles con longitud lateral $a$ , base $b$ , y altura $h$ es:

{displaystyle {frac {2ab-b^{2}}{4h}}.}

El centro del círculo se encuentra en el eje de simetría del triángulo, esta distancia por encima de la base. Un triángulo isósceles tiene el círculo inscrito más grande posible entre los triángulos con la misma base y ángulo en el vértice, además de tener el área y el perímetro más grandes entre la misma clase de triángulos.

El radio del círculo circunscrito es:

{displaystyle {frac {a^{2}}{2h}}.}

El centro del círculo se encuentra en el eje de simetría del triángulo, esta distancia por debajo del vértice.

Cuadrado inscrito

Para cualquier triángulo isosceles, hay un cuadrado único con un lado collinear con la base del triángulo y los dos ángulos opuestos en sus lados. El triángulo Calabi es un triángulo isosceles especial con la propiedad que los otros dos cuadrados inscritos, con los lados collinear con los lados del triángulo, son del mismo tamaño que el cuadrado base. Un teorema mucho mayor, conservado en las obras de Hero de Alejandría, afirma que, para un triángulo isosceles con base $b$ y altura $h$ , la longitud lateral de la plaza inscrita en la base del triángulo es

{displaystyle {frac {bh}{b+h}}.}

Subdivisión isósceles de otras formas

Para cualquier entero ${displaystyle ngeq 4}$ , cualquier triángulo se puede dividir en $n$ triángulos isosceles. En un triángulo derecho, la mediana de la hipotenusa (es decir, el segmento de línea desde el punto medio de la hipotenusa hasta el vértice angular derecho) divide el triángulo derecho en dos triángulos isosceles. Esto se debe a que el punto medio de la hipotenusa es el centro del círculo del triángulo derecho, y cada uno de los dos triángulos creados por la partición tiene dos radios iguales como dos de sus lados. Análogamente, un triángulo agudo se puede dividir en tres triángulos isosceles por segmentos de su circumcenter, pero este método no funciona para triángulos obtusos, porque el circumcenter se encuentra fuera del triángulo.

Generalizando la partición de un triángulo acutángulo, cualquier polígono cíclico que contenga el centro de su círculo circunscrito puede dividirse en triángulos isósceles por los radios de este círculo a través de sus vértices. El hecho de que todos los radios de un círculo tengan la misma longitud implica que todos estos triángulos son isósceles. Esta partición se puede usar para derivar una fórmula para el área del polígono en función de las longitudes de sus lados, incluso para polígonos cíclicos que no contienen sus circuncentros. Esta fórmula generaliza la fórmula de Heron para triángulos y la fórmula de Brahmagupta para cuadriláteros cíclicos.

Cualquiera de las diagonales de un rombo lo divide en dos triángulos isósceles congruentes. Del mismo modo, una de las dos diagonales de una cometa lo divide en dos triángulos isósceles, que no son congruentes excepto cuando la cometa es un rombo.

Aplicaciones

En arquitectura y diseño

Obtuse isosceles pediment del Panteón, Roma

Agudo isosceles gable sobre el portal Saint-Etienne, Notre-Dame de Paris

Los triángulos isósceles suelen aparecer en la arquitectura como formas de gabletes y frontones. En la arquitectura griega antigua y sus imitaciones posteriores, se utilizó el triángulo isósceles obtuso; en la arquitectura gótica esto fue reemplazado por el triángulo isósceles agudo.

En la arquitectura de la Edad Media, se hizo popular otra forma de triángulo isósceles: el triángulo isósceles egipcio. Este es un triángulo isósceles que es agudo, pero menos que el triángulo equilátero; su altura es proporcional a 5/8 de su base. El triángulo isósceles egipcio volvió a ser utilizado en la arquitectura moderna por el arquitecto holandés Hendrik Petrus Berlage.

Las estructuras de celosía Warren, como los puentes, se organizan comúnmente en triángulos isósceles, aunque a veces también se incluyen vigas verticales para mayor resistencia. Las superficies teseladas por triángulos isósceles obtusos se pueden usar para formar estructuras desplegables que tienen dos estados estables: un estado desplegado en el que la superficie se expande a una columna cilíndrica y un estado plegado en el que se pliega en una forma de prisma más compacta que puede ser más fácilmente transportado. El mismo patrón de mosaico forma la base del pandeo de Yoshimura, un patrón que se forma cuando las superficies cilíndricas se comprimen axialmente, y de la linterna de Schwarz, un ejemplo utilizado en matemáticas para mostrar que el área de una superficie lisa no siempre se puede aproximar con precisión mediante poliedros que convergen en la superficie.

Bandera de Guyana

Bandera de Santa Lucía

En el diseño gráfico y las artes decorativas, los triángulos isósceles han sido un elemento de diseño frecuente en culturas de todo el mundo desde al menos el Neolítico temprano hasta los tiempos modernos. Son un elemento de diseño común en banderas y heráldica, apareciendo prominentemente con una base vertical, por ejemplo, en la bandera de Guyana, o con una base horizontal en la bandera de Santa Lucía, donde forman una imagen estilizada de una isla montañosa.

También se han utilizado en diseños con significado religioso o místico, por ejemplo, en el Sri Yantra de la práctica de meditación hindú.

En otras áreas de las matemáticas

Si una ecuación cúbica con coeficientes reales tiene tres raíces que no son todos números reales, entonces, cuando estas raíces se representan en el plano complejo como un diagrama de Argand, forman los vértices de un triángulo isósceles cuyo eje de simetría coincide con la horizontal (real) eje. Esto se debe a que las raíces complejas son conjugadas complejas y, por lo tanto, son simétricas con respecto al eje real.

En mecánica celeste, el problema de los tres cuerpos se ha estudiado en el caso especial de que los tres cuerpos formen un triángulo isósceles, porque asumir que los cuerpos están dispuestos de esta forma reduce el número de grados de libertad del sistema sin reducir al caso resuelto del punto lagrangiano cuando los cuerpos forman un triángulo equilátero. Las primeras instancias del problema de los tres cuerpos que mostraron oscilaciones ilimitadas fueron en el problema de los tres cuerpos isósceles.

Historia y falacias

Mucho antes de que los matemáticos griegos antiguos estudiaran los triángulos isósceles, los practicantes de las matemáticas del Antiguo Egipto y las matemáticas babilónicas sabían cómo calcular su área. Problemas de este tipo están incluidos en el Papiro Matemático de Moscú y el Papiro Matemático de Rhind.

El teorema de que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales aparece en la Proposición I.5 de Euclides. Este resultado se ha denominado pons asinorum (el puente de los culos) o teorema del triángulo isósceles. Las explicaciones rivales para este nombre incluyen la teoría de que se debe a que el diagrama utilizado por Euclides en su demostración del resultado se asemeja a un puente, o porque este es el primer resultado difícil en Euclides, y actúa para separar a aquellos que pueden entender a Euclides. s geometría de aquellos que no pueden.

Una falacia muy conocida es la prueba falsa de la afirmación de que todos los triángulos son isósceles. Robin Wilson atribuye este argumento a Lewis Carroll, quien lo publicó en 1899, pero W. W. Rouse Ball lo publicó en 1892 y luego escribió que Carroll obtuvo el argumento de él. La falacia tiene sus raíces en la falta de reconocimiento de Euclides del concepto de intermediación y la ambigüedad resultante de interior frente a exterior de las figuras.

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