Triángulo equilátero

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Forma con tres partes iguales

En geometría, un triángulo equilátero es un triángulo en el que los tres lados tienen la misma longitud. En la geometría euclidiana familiar, un triángulo equilátero también es equiángulo; es decir, los tres ángulos internos también son congruentes entre sí y miden 60° cada uno. También es un polígono regular, por lo que también se le conoce como triángulo regular.

Propiedades principales

Un triángulo equilátero. Tiene partes iguales (

a=b=c

), ángulos iguales (

alpha = beta =gamma

), e igual altura (

{displaystyle h_{a}=h_{b}=h_{c}}

Denotar la longitud común de los lados del triángulo equilátero como $a$ , podemos determinar usando el teorema pitagórico que:

La zona es ${displaystyle A={frac {sqrt {3}}{4}}a^{2},}$
El perímetro es $p=3a,!$
El radio del círculo circunscrito es $R = frac{a}{sqrt{3}}$
El radio del círculo inscrito es $r=frac{sqrt{3}}{6} a$ o $r=frac{R}{2}$
El centro geométrico del triángulo es el centro de los círculos circunscritos e inscritos
La altitud (altura) de cualquier lado es $h=frac{sqrt{3}}{2} a$

Denotando el radio del círculo circunscrito como R, podemos determinar usando trigonometría que:

El área del triángulo es ${displaystyle mathrm {A} ={frac {3{sqrt {3}}}{4}}R^{2}}$

Muchas de estas cantidades tienen relaciones simples con la altitud ("h") de cada vértice desde el lado opuesto:

La zona es $A=frac{h^2}{sqrt{3}}$
La altura del centro de cada lado, o apothem, es $frac{h}{3}$
El radio del círculo circunscribiendo los tres vértices es $R=frac{2h}{3}$
El radio del círculo inscrito es $r=frac{h}{3}$

En un triángulo equilátero, las alturas, las bisectrices de los ángulos, las bisectrices perpendiculares y las medianas de cada lado coinciden.

Caracterizaciones

Un triángulo $ABC$ que tiene los lados $a$ , $b$ , $c$ , semiperímetro $s$ , área $T$ , exradii $r_{a}$ , ${displaystyle r_{b}}$ , ${displaystyle r_{c}}$ (tangente a $a$ , $b$ , $c$ respectivamente) y dónde $R$ y $r$ son los radios del círculo circunscrito e incircle respectivamente, es equilátero si y sólo si alguna de las declaraciones en las nueve categorías siguientes es verdadera. Por lo tanto, estas propiedades son únicas a los triángulos equiláteros, y saber que cualquiera de ellos es verdadero directamente implica que tenemos un triángulo equilátero.

Lados

${displaystyle a=b=c}$
${displaystyle {frac {1}{a}}+{frac {1}{b}}+{frac {1}{c}}={frac {sqrt {25Rr-2r^{2}}}{4Rr}}}$

Semiperímetro

${displaystyle s=2R+left(3{sqrt {3}}-4right)r}$ (Blundon)
${displaystyle s^{2}=3r^{2}+12Rr}$
${displaystyle s^{2}=3{sqrt {3}}T}$
${displaystyle s=3{sqrt {3}}r}$
${displaystyle s={frac {3{sqrt {3}}}{2}}R}$

Ángulos

${displaystyle A=B=C=60^{circ }}$
${displaystyle cos {A}+cos {B}+cos {C}={frac {3}{2}}}$
${displaystyle sin {frac {A}{2}}sin {frac {B}{2}}sin {frac {C}{2}}={frac {1}{8}}}$

Área

${displaystyle T={frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{sqrt {3}}}}quad }$ (Weitzenböck)
${displaystyle T={frac {sqrt {3}}{4}}(abc)^{frac {2}{3}}}$

Circumradius, inradius y exradii

${displaystyle R=2r}$ (Chapple-Euler)
${displaystyle 9R^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
${displaystyle r={frac {r_{a}+r_{b}+r_{c}}{9}}}$
${displaystyle r_{a}=r_{b}=r_{c}}$

Cevianos iguales

Tres tipos de cevianos coinciden, y son iguales, para (y solo para) triángulos equiláteros:

Las tres alturas tienen igual longitud.
Las tres medianas tienen igual longitud.
Los tres bisectores de ángulo tienen igual longitud.

Centros de triángulos coincidentes

Cada triángulo centro de un triángulo equilátero coincide con su centroide, lo que implica que el triángulo equilátero es el único triángulo sin línea de Euler que conecta algunos de los centros. Para algunos pares de centros de triángulos, el hecho de que coincidan es suficiente para asegurar que el triángulo es equilátero. En particular:

Un triángulo es equilátero si coinciden dos del circumcenter, incenter, centroide o orthocenter.
También es equilátero si su circuncentro coincide con el punto Nagel, o si su incentro coincide con su centro de nueve puntos.

Seis triángulos formados por partición por las medianas

Para cualquier triángulo, las tres medianas dividen el triángulo en seis triángulos más pequeños.

Un triángulo es equilátero si y sólo si cualquier tres de los triángulos más pequeños tienen el mismo perímetro o el mismo inradius.
Un triángulo es equilátero si y sólo si los circuncentros de cualquiera de los tres de los triángulos más pequeños tienen la misma distancia del centroide.

Puntos en el plano

Un triángulo es equilátero si y sólo si, para cada uno punto $P$ en el avión, con distancias $p$ , $q$ , y $r$ a los lados y distancias del triángulo $x$ , $y$ , y $z$ a sus vértices, ${displaystyle 4left(p^{2}+q^{2}+r^{2}right)geq x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$

Teoremas destacados

Prueba visual del teorema de Viviani

Distancias más cercanas desde el punto P a los lados del triángulo equilátero $ABC$ se muestran.
Líneas $DE$ , $FG$ , y ${displaystyle HI}$ paralelo a $AB$ , $BC$ y $CA$ , respectivamente, definir triángulos más pequeños ${displaystyle PHE}$ , ${displaystyle PFI}$ y ${displaystyle PDG}$ .
Como estos triángulos son equiláteros, sus altitudes se pueden girar para ser verticales.
As ${displaystyle PGCH}$ es un paralelograma, triángulo ${displaystyle PHE}$ se puede deslizar para mostrar que las alturas suma a la del triángulo $ABC$ .

El teorema de la trisectriz de Morley establece que, en cualquier triángulo, los tres puntos de intersección de las trisectrices de los ángulos adyacentes forman un triángulo equilátero.

El teorema de Napoleón establece que, si se construyen triángulos equiláteros en los lados de cualquier triángulo, ya sea todos hacia afuera o hacia adentro, los centros de esos triángulos equiláteros mismos forman un triángulo equilátero.

Una versión de la desigualdad isoperimétrica para triángulos establece que el triángulo de mayor área entre todos los que tienen un perímetro dado es equilátero.

El teorema de Viviani dice que, para cualquier punto interior $P$ en un triángulo equilátero con distancias $d$ , $e$ , y $f$ de las partes y la altitud $h$ ,

{displaystyle d+e+f=h,}

P

El teorema de Pompeya dice que, si $P$ es un punto arbitrario en el plano de un triángulo equilátero $ABC$ pero no en su círculo, entonces existe un triángulo con los lados de longitudes $PA$ , $PB$ , y $PC$ . Eso es, $PA$ , $PB$ , y $PC$ satisfacer la desigualdad triángulo que la suma de cada dos de ellos es mayor que el tercero. Si $P$ está en el círculo entonces la suma de los dos más pequeños es igual al más largo y el triángulo ha degenerado en una línea, este caso se conoce como teorema de Van Schooten.

Construcción geométrica

Construcción de triángulo equilátero con brújula y hendidura

Un triángulo equilátero se construye fácilmente usando regla y compás, porque 3 es un número primo de Fermat. Dibuja una línea recta, coloca la punta de la brújula en un extremo de la línea y traza un arco desde ese punto hasta el otro punto del segmento de línea. Repita con el otro lado de la línea. Finalmente, conecte el punto donde los dos arcos se cruzan con cada extremo del segmento de línea

Un método alternativo es dibujar un círculo con radio $r$ , colocar el punto de la brújula en el círculo y dibujar otro círculo con el mismo radio. Los dos círculos se intersectan en dos puntos. Un triángulo equilátero se puede construir tomando los dos centros de los círculos y cualquiera de los puntos de intersección.

En ambos métodos, un subproducto es la formación de vesica piscis.

La prueba de que la figura resultante es un triángulo equilátero es la primera proposición del Libro I de los Elementos de Euclides.

Equilateral Triangle Inscribed in a Circle.gif

Derivación de la fórmula del área

La fórmula de área $A = frac{sqrt{3}}{4}a^2$ en términos de longitud lateral $a$ se puede derivar directamente utilizando el teorema pitagórico o utilizando trigonometría.

Usando el teorema de Pitágoras

El área de un triángulo es la mitad de un lado $a$ veces la altura $h$ de ese lado:

{displaystyle A={frac {1}{2}}ah.}

Un triángulo equilátero con un lado de 2 tiene una altura de

\sqrt3

, como el seno de 60° es

\sqrt 3 /2

Las piernas del triángulo derecho formado por una altitud del triángulo equilátero son la mitad de la base $a$ , y la hipotenusa es el lado $a$ del triángulo equilátero. La altura de un triángulo equilátero se puede encontrar utilizando el teorema pitagórico

{displaystyle left({frac {a}{2}}right)^{2}+h^{2}=a^{2}}

{displaystyle h={frac {sqrt {3}}{2}}a.}

Sustitución $h$ en la fórmula de área ${displaystyle {frac {1}{2}}ah}$ da la fórmula de área para el triángulo equilátero:

{displaystyle A={frac {sqrt {3}}{4}}a^{2}.}

Usando trigonometría

Usando trigonometría, el área de un triángulo con cualquiera de dos lados $a$ y $b$ , y un ángulo $C$ entre ellos

{displaystyle A={frac {1}{2}}absin C.}

Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60°, entonces

{displaystyle A={frac {1}{2}}absin 60^{circ }.}

El pecado de 60° es ${tfrac {sqrt {3}}{2}}$ . Así

{displaystyle A={frac {1}{2}}abtimes {frac {sqrt {3}}{2}}={frac {sqrt {3}}{4}}ab={frac {sqrt {3}}{4}}a^{2}}

Otras propiedades

Un triángulo equilátero es el triángulo más simétrico, con 3 líneas de reflexión y simetría rotacional del orden 3 sobre su centro, cuyo grupo simétrico es el grupo dihedral del orden 6, ${displaystyle mathrm {D} _{3}}$ . El triángulo equilátero lado entero es el único triángulo con los lados enteros, y tres ángulos racionales medidos en grados. Es el único triángulo agudo que es similar a su triángulo ortónico (con vértices a los pies de las alturas), y el único triángulo cuya inellipsa Steiner es un círculo (específicamente, el incircle). El triángulo de la zona más grande de todos los inscritos en un círculo dado es equilátero, y el triángulo de la zona más pequeña de todos los circunscritos alrededor de un círculo dado es también equilátero. Es el único polígono regular aparte de la plaza que puede ser inscrito dentro de cualquier otro polígono regular.

Por la desigualdad de Euler, el triángulo equilátero tiene la relación más pequeña del circunradius $R$ al Inradius $r$ de cualquier triángulo, con

{displaystyle {frac {R}{r}}=2.}

Dado un punto $P$ en el interior de un triángulo equilátero, la relación de la suma de sus distancias de los vértices a la suma de sus distancias de los lados es mayor o igual a 2, la retención de la igualdad cuando $P$ es el centroide. En ningún otro triángulo hay un punto para el cual esta relación es tan pequeña como 2. Esta es la desigualdad Erdős–Mordell; una variante más fuerte de ella es la desigualdad de Barrow, que reemplaza las distancias perpendiculares a los lados con las distancias de $P$ a los puntos donde los bisectores de ángulo ${displaystyle angle APB}$ , ${displaystyle angle BPC}$ , y ${displaystyle angle CPA}$ cruzar los lados ( $A$ , $B$ , y $C$ ser los vértices). Hay muchas otras desigualdades triangulares que mantienen con la igualdad si y sólo si el triángulo es equilátero.

Para cualquier punto $P$ en el avión, con distancias $p$ , $q$ , y $t$ de los vértices $A$ , $B$ , y $C$ respectivamente

{displaystyle 3left(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4}right)=left(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2}right)^{2}.}

Para cualquier punto $P$ en el avión, con distancias $p$ , $q$ , y $t$ de los vértices,

{displaystyle p^{2}+q^{2}+t^{2}=3left(R^{2}+L^{2}right),}

{displaystyle p^{4}+q^{4}+t^{4}=3left[left(R^{2}+L^{2}right)^{2}+2R^{2}L^{2}right],}

R

L

P

Para cualquier punto $P$ en el círculo inscrito de un triángulo equilátero, con distancias $p$ , $q$ , y $t$ de los vértices,

{displaystyle 4left(p^{2}+q^{2}+t^{2}right)=5a^{2},}

{displaystyle 16left(p^{4}+q^{4}+t^{4}right)=11a^{4}.}

Para cualquier punto $P$ sobre el arco menor $BC$ del círculo, con distancias $p$ , $q$ , y $t$ desde $A$ , $B$ , y $C$ , respectivamente

{displaystyle p=q+t,}

{displaystyle q^{2}+qt+t^{2}=a^{2}.}

Además, si se trata de un punto $D$ de lado $BC$ divideciones $PA$ en segmentos $PD$ y ${displaystyle DA}$ con ${displaystyle DA}$ de longitud $z$ y $PD$ de longitud $y$ , entonces

{displaystyle z={frac {t^{2}+tq+q^{2}}{t+q}},}

{textstyle {tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}}

{displaystyle tneq q}

{displaystyle {frac {1}{q}}+{frac {1}{t}}={frac {1}{y}},}

Para un triángulo equilátero:

La relación de su área con la zona del incircle, ${frac {pi }{3{sqrt {3}}}}$ , es el más grande de cualquier triángulo.

La relación de su área a la plaza de su perímetro, $frac{1}{12sqrt{3}},$ es más grande que el de cualquier triángulo no equilateral.

Si un segmento divide un triángulo equilátero en dos regiones con perímetros iguales y con áreas $A_{1}$ y $A_{2}$ , entonces

{displaystyle {frac {7}{9}}leq {frac {A_{1}}{A_{2}}}leq {frac {9}{7}}.}

Si se coloca un triángulo en el plano complejo con vértices complejos ${displaystyle z_{1}}$ , ${displaystyle z_{2}}$ , y ${displaystyle z_{3}}$ , entonces para la raíz del cubo no real $omega$ de 1 el triángulo es equilátero si y sólo si

{displaystyle z_{1}+omega z_{2}+omega ^{2}z_{3}=0.}

El azulejo triángulo equilátero llena el plano.

Notablemente, el triángulo equilátero tesela un espacio bidimensional con seis triángulos que se unen en un vértice, cuyo teselado dual es el teselado hexagonal. 3.122, 3.4.6.4, (3.6)2, 32.4.3.4 y 34.6 son todas teselaciones semirregulares construidas con triángulos equiláteros.

Un tetraedro regular está hecho de cuatro triángulos equiláteros.

En tres dimensiones, los triángulos equiláteros forman caras de polihedra regular y uniforme. Tres de los cinco sólidos platónicos están compuestos de triángulos equiláteros: el tetraedro, octaedro y icosahedro. En particular, el tetraedro, que tiene cuatro triángulos equiláteros para caras, se puede considerar el análogo tridimensional del triángulo. Todos los sólidos platónicos pueden inscribir tetrahedra, así como ser inscritos dentro de tetrahedra. Los triángulos equiláteros también forman antiprismos uniformes, así como antiprismos de estrellas uniformes en el espacio tridimensional. Para los antiprismos, dos copias paralelas (no especiadas) de polígonos regulares están conectadas por bandas alternadas de $2n$ triángulos equiláteros. Específicamente para los antiprismos estrella, hay soluciones progradas y retrogradas (cruzadas) que se unen a los polígonos paralelos de estrellas espejo y no esmerados. El octaedro platónico también es un antiprisma triangular, que es el primer verdadero miembro de la familia infinita de antiprismos (el tetraedro, como antiprismo digonal, a veces se considera el primero).

Como generalización, el triángulo equilátero pertenece a la familia infinita de $n$ -simplexes, con $n=2$ .

En cultura y sociedad

Los triángulos equiláteros han aparecido con frecuencia en construcciones hechas por el hombre:

La forma ocurre en la arquitectura moderna como la sección transversal del arco de la puerta.
Sus aplicaciones en banderas y heraldo incluyen la bandera de Nicaragua y la bandera de Filipinas.
Es una forma de una variedad de señales de carretera, incluyendo el signo de rendimiento.

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