Triángulo de Sierpiński

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Fractal compuesto de triángulos

triángulo Sierpiński

Generado usando un algoritmo aleatorio

Sierpiński triángulo en lógica: Las primeras 16 conjunciones de argumentos ordenados léxicográficamente. Las columnas interpretadas como números binarios dan 1, 3, 5, 15, 17, 51... (secuencia) A001317 en el OEIS)

El triángulo de Sierpiński (a veces escrito Sierpinski), también llamado junta de Sierpiński o tamiz de Sierpiński, es un conjunto fijo atractivo fractal con la forma general de un triángulo equilátero, subdividido recursivamente en triángulos equiláteros más pequeños. Construido originalmente como una curva, este es uno de los ejemplos básicos de conjuntos autosimilares, es decir, es un patrón generado matemáticamente que es reproducible con cualquier aumento o reducción. Lleva el nombre del matemático polaco Wacław Sierpiński, pero apareció como un patrón decorativo muchos siglos antes del trabajo de Sierpiński.

Construcciones

Hay muchas formas diferentes de construir el triángulo de Sierpinski.

Quitar triángulos

La evolución del triángulo Sierpinski

El triángulo de Sierpinski se puede construir a partir de un triángulo equilátero mediante la eliminación repetida de subconjuntos triangulares:

Comience con un triángulo equilátero.
Subdividelo en cuatro triángulos equiláteros congruentes más pequeños y elimina el triángulo central.
Repita el paso 2 con cada uno de los triángulos más pequeños restantes infinitamente.

Cada triángulo eliminado (un trema) es topológicamente un conjunto abierto. Este proceso de eliminar triángulos recursivamente es un ejemplo de una regla de subdivisión finita.

Reducción y duplicación

La misma secuencia de formas, que convergen en el triángulo de Sierpiński, se puede generar alternativamente mediante los siguientes pasos:

Comience con cualquier triángulo en un plano (cualquier región cerrada y atada en el plano realmente funcionará). El triángulo canónico Sierpiński utiliza un triángulo equilátero con una base paralela al eje horizontal (primera imagen).
Arrugar el triángulo a 1/2 altura y 1/2 ancho, hacer tres copias, y colocar los tres triángulos rotos para que cada triángulo toque los otros dos triángulos en una esquina (imagen 2). Tenga en cuenta el surgimiento del agujero central, porque los tres triángulos rotos pueden entre ellos cubrir sólo 3/4 de la zona del original. (Los holes son una característica importante del triángulo de Sierpinski.)
Repita el paso 2 con cada uno de los triángulos más pequeños (imagen 3 y así sucesivamente).

Tenga en cuenta que este proceso infinito no depende de que la forma inicial sea un triángulo, simplemente es más claro de esa manera. Los primeros pasos que parten, por ejemplo, de un cuadrado también tienden hacia un triángulo de Sierpinski. Michael Barnsley usó una imagen de un pez para ilustrar esto en su artículo "Fractales y superfractales de variable V."

Iterating de un cuadrado

El fractal real es lo que se obtendría después de un número infinito de iteraciones. Más formalmente, uno lo describe en términos de funciones en conjuntos cerrados de puntos. Si dejamos que d_A denote la dilatación por un factor de 1/2 sobre un punto A, luego el triángulo de Sierpiński con esquinas A, B, y C es el conjunto fijo de la transformación d_A ∪ d_B ∪ d_C.

Este es un conjunto fijo atractivo, de modo que cuando la operación se aplica repetidamente a cualquier otro conjunto, las imágenes convergen en el triángulo de Sierpiński. Esto es lo que está pasando con el triángulo de arriba, pero cualquier otro conjunto sería suficiente.

Juego del caos

Creación animada de un triángulo Sierpinski usando el caos juego

Si uno toma un punto y aplica cada una de las transformaciones d_A, d_B, y d_C aleatoriamente, los puntos resultantes serán densos en el triángulo de Sierpiński, por lo que el siguiente algoritmo volverá a generar aproximaciones arbitrarias:

Comience por etiquetar p₁, p₂ y p₃ como los vértices del triángulo de Sierpinski y un punto aleatorio v₁. Establecer v_n+1 = 1/2(v_n + p_{r_n}), donde r_n es un número aleatorio 1, 2 o 3. Dibujar los puntos v₁ a v_∞. Si el primer punto v₁ era un punto en el triángulo de Sierpiński, entonces todos los puntos v_n se encuentran en el triángulo de Sierpiński. Si el primer punto v₁ que se encuentra dentro del perímetro del triángulo no es un punto en el triángulo de Sierpiński, ninguno de los puntos v_n estarán en el triángulo de Sierpiński, sin embargo, convergerán en el triángulo. Si v₁ está fuera del triángulo, la única forma en que aterrizará v_n en el triángulo real, es si v_n está en lo que sería parte del triángulo, si el triángulo fuera infinitamente grande.

Construcción animada de un triángulo Sierpinski

A Sierpinski Triángulo es delineado por un árbol fractal con tres ramas que forman un ángulo de 120° y se separan en los puntos intermedios. Si el ángulo se reduce, el triángulo se puede transformar continuamente en un parecido fractal a un árbol.

Cada subtriángulo del nla iteración del triángulo Sierpinski determinista tiene una dirección en un árbol con n niveles (si n= Entonces el árbol es también un fractal); T=top/center, L=left, R=right, y estas secuencias pueden representar tanto la forma determinista como, "una serie de movimientos en el juego del caos"

O más simplemente:

Tome tres puntos en un plano para formar un triángulo.
Aleatoriamente seleccione cualquier punto dentro del triángulo y considere que su posición actual.
Aleatoriamente seleccione cualquiera de los tres puntos de vértice.
Mueva la mitad de la distancia de su posición actual al vértice seleccionado.
Parcela la posición actual.
Repita el paso 3.

Este método también se denomina juego del caos y es un ejemplo de un sistema de funciones iteradas. Puede comenzar desde cualquier punto fuera o dentro del triángulo, y eventualmente formaría la Junta de Sierpiński con algunos puntos sobrantes (si el punto de partida se encuentra en el contorno del triángulo, no hay puntos sobrantes). Con lápiz y papel, se forma un breve contorno después de colocar aproximadamente cien puntos, y los detalles comienzan a aparecer después de unos pocos cientos.

triángulo Sierpinski usando un sistema de función iterado

Construcción en punta de flecha de la junta de Sierpiński

Construcción de punta de flecha animada de Sierpinski

Construcción de punta de flecha del gaseoso Sierpinski

Otra construcción de la junta de Sierpinski muestra que se puede construir como una curva en el plano. Está formado por un proceso de modificación repetida de curvas más simples, análoga a la construcción del copo de nieve de Koch:

Comience con un segmento de línea en el plano
Repetidamente reemplaza cada segmento de línea de la curva con tres segmentos más cortos, formando ángulos de 120° en cada unión entre dos segmentos consecutivos, con los segmentos primero y último de la curva paralela al segmento de línea original o formando un ángulo de 60° con él.

En cada iteración, esta construcción da una curva continua. En el límite, estos se acercan a una curva que traza el triángulo de Sierpinski por un solo camino continuo dirigido (infinitamente ondulado), que se llama punta de flecha de Sierpinski. De hecho, el objetivo del artículo original de Sierpinski de 1915, era mostrar un ejemplo de una curva (una curva cantoriana), como lo declara el propio título del artículo.

Autómatas celulares

El triángulo de Sierpinski también aparece en ciertos autómatas celulares (como la Regla 90), incluidos los relacionados con el Juego de la vida de Conway. Por ejemplo, el autómata celular Life-like B1/S12 cuando se aplica a una sola celda generará cuatro aproximaciones del triángulo de Sierpinski. Una línea muy larga y gruesa de una celda en la vida estándar creará dos triángulos de Sierpiński reflejados. El diagrama espacio-temporal de un patrón de replicación en un autómata celular también se asemeja a menudo a un triángulo de Sierpiński, como el del replicador común en HighLife. El triángulo de Sierpinski también se puede encontrar en el autómata Ulam-Warburton y en el autómata Hex-Ulam-Warburton.

Triángulo de Pascal

Una aproximación de nivel-5 a un triángulo Sierpinski obtenido por la sombra del primer 2⁵ (32) niveles del triángulo de Pascal blanco si el coeficiente binomial es uniforme y negro de otra manera

Si uno toma el triángulo de Pascal con $2^{n}$ filas y colores los números incluso blancos, y los números extraños negro, el resultado es una aproximación al triángulo Sierpiński. Más precisamente, el límite como $n$ enfoques infinity of this parity-colored $2^{n}$ -row Pascal triángulo es el triángulo Sierpinski.

Torres de Hanoi

Las Torres del rompecabezas de Hanoi implica discos móviles de diferentes tamaños entre tres pernos, manteniendo la propiedad que ningún disco se coloca en la parte superior de un disco más pequeño. Los estados de un $n$ -Disk puzzle, y los movimientos permitidos de un estado a otro, forman un gráfico no dirigido, el gráfico Hanoi, que puede ser representado geométricamente como el gráfico de intersección del conjunto de triángulos que quedan después del $n$ th paso en la construcción del triángulo Sierpinski. Así, en el límite como $n$ va al infinito, esta secuencia de gráficos se puede interpretar como un análogo discreto del triángulo Sierpinski.

Propiedades

Para número entero de dimensiones $d$ , cuando duplicar un lado de un objeto, $2^{d}$ copias de ella se crean, es decir, 2 copias para objeto 1-dimensional, 4 copias para objeto 2-dimensional y 8 copias para objeto 3-dimensional. Para el triángulo Sierpiński, duplicar su lado crea 3 copias de sí mismo. Así el triángulo Sierpiński tiene dimensión Hausdorff ${displaystyle {tfrac {log 3}{log 2}}approx 1.585}$ , que se deriva de la solución ${displaystyle 2^{d}=3}$ para $d$ .

El área de un triángulo Sierpiński es cero (en la medida Lebesgue). El área restante después de cada iteración es ${tfrac 34}$ de la zona de la iteración anterior, y un número infinito de iteraciones resulta en un área que se aproxima a cero.

Los puntos de un triángulo Sierpinski tienen una simple caracterización en coordenadas baríntricas. Si un punto tiene coordenadas barícéntricos ${displaystyle (0.u_{1}u_{2}u_{3}dots0.v_{1}v_{2}v_{3}dots0.w_{1}w_{2}w_{3}dots)}$ , expresado como números binarios, entonces el punto es en el triángulo de Sierpiński si y sólo si ${displaystyle u_{i}+v_{i}+w_{i}=1}$ para Todos $i$ .

Generalización a otros módulos

Una generalización del triángulo Sierpiński también se puede generar utilizando el triángulo de Pascal si un módulo diferente $P$ se utiliza. Iteración $n$ se puede generar tomando un triángulo de Pascal con $P^{n}$ filas y números de color por su modulo de valor $P$ . As $n$ se acerca al infinito, se genera un fractal.

El mismo fractal se puede lograr dividiendo un triángulo en una tessellación de $P^{2}$ triángulos similares y la eliminación de los triángulos que están al revés del original, luego iterando este paso con cada triángulo más pequeño.

Por el contrario, el fractal también se puede generar al principio con un triángulo y duplicarlo y arreglarlo ${displaystyle {tfrac {n(n+1)}{2}}}$ de las nuevas figuras en la misma orientación en un triángulo similar más grande con los vértices de las figuras anteriores tocando, luego iterando ese paso.

Análogos en dimensiones superiores

Progresión de recursión pirámide Sierpinski (7 pasos)

Una pirámide basada en triángulo Sierpiński como se ve desde arriba (4 secciones principales resaltadas). Tenga en cuenta la auto-similaridad en esta vista proyectada de 2 dimensiones, de modo que el triángulo resultante podría ser un fractal 2D en sí mismo.

El tetraedro de Sierpinski o tetrix es el análogo tridimensional del triángulo de Sierpiński, formado por la reducción repetida de un tetraedro regular a la mitad de su altura original, juntando cuatro copias de este tetraedro con esquinas tocándose, y luego repitiendo el proceso.

Un tetrix construido a partir de un tetraedro inicial de longitud lateral $L$ tiene la propiedad que la superficie total permanece constante con cada iteración. La superficie inicial del tetraedro (iteración-0) de longitud lateral $L$ es ${displaystyle L^{2}{sqrt {3}}}$ . La próxima iteración consta de cuatro copias con longitud lateral ${displaystyle {tfrac {L}{2}}}$ , por lo que el área total es ${textstyle 4{bigl (}{tfrac {L}{2}}{bigr)}^{2}{sqrt {3}}=L^{2}{sqrt {3}}}$ otra vez. Las posteriores iteraciones vuelven a cuadruplicar el número de copias y reducir la longitud lateral, preservando el área general. Mientras tanto, el volumen de la construcción se reduce a la mitad a cada paso y por lo tanto se acerca a cero. El límite de este proceso no tiene volumen ni superficie, pero, al igual que el gaseoso Sierpinski, es una curva intrincadamente conectada. Su dimensión Hausdorff es ${textstyle {tfrac {log 4}{log 2}}=2}$ ; aquí "log" denota el logaritmo natural, el numerador es el logaritmo del número de copias de la forma forma formada de cada copia de la iteración anterior, y el denominador es el logaritmo del factor por el cual estas copias se escalan desde la iteración anterior. Si todos los puntos se proyectan en un plano que es paralelo a dos de los bordes exteriores, rellenan exactamente un cuadrado de longitud lateral ${displaystyle {tfrac {L}{sqrt {2}}}}$ sin solapamiento.

Animación de un tetrix de nivel giratorio-4 que muestra cómo algunas proyecciones ortográficas de un tetrix pueden llenar un plano – en este SVG interactivo, mueva a la izquierda y derecha sobre el tetrix para girar el modelo 3D

Historia

Wacław Sierpiński describió el triángulo de Sierpiński en 1915. Sin embargo, patrones similares ya aparecen como un motivo común de la mampostería con incrustaciones cosmatescas del siglo XIII.

La junta apolínea fue descrita por primera vez por Apolonio de Perga (siglo III a. C.) y analizada más a fondo por Gottfried Leibniz (siglo XVII), y es un precursor curvo del triángulo de Sierpiński del siglo XX.

Etimología

El uso de la palabra "junta" referirse al triángulo de Sierpiński se refiere a juntas como las que se encuentran en los motores, y que a veces presentan una serie de orificios de tamaño decreciente, similar al fractal; este uso fue acuñado por Benoit Mandelbrot, quien pensó que el fractal se parecía a 'la parte que evita las fugas en los motores'.

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