Triángulo de pedales

Un triángulo ABC en negro, los perpendiculares desde un punto P en azul, y el triángulo del pedal obtenido LMN en rojo.

En geometría, un triángulo de pedales se obtiene proyectando un punto sobre los lados de un triángulo.

Más específicamente, considere un triángulo ABC y un punto P que no es uno de los vértices A, B, C. Coloque perpendiculares desde P a los tres lados del triángulo (es posible que sea necesario producirlos, es decir, extenderlos). Etiqueta L, M, N las intersecciones de las rectas desde P con los lados BC, AC, AB. El triángulo pedal es entonces LMN.

Si ABC no es un triángulo obtuso, P es el ortocentro, entonces los ángulos de LMN son 180°−2A, 180°−2B y 180°−2C.

La ubicación del punto elegido P en relación con el triángulo elegido ABC da lugar a algunos casos especiales:

• Si P = orthocenter, entonces LMN = triángulo ortico.
• Si P = incentro, entonces LMN = triángulo intouch.
• Si P = circuncentro, entonces LMN = triángulo medio.

El caso cuando P está en el círculo, y el triángulo del pedal se degenera en una línea (rojo).

Si P está en el circuncírculo del triángulo, LMN colapsa en una línea. Esto entonces se llama la línea de pedales, oa veces la línea de Simson después de Robert Simson.

Los vértices del triángulo pedal de un punto interior P, como se muestra en el diagrama superior, dividen los lados del triángulo original de tal manera que se satisface el teorema de Carnot:

AN2+BL2+CM2=NB2+LC2+MA2.{displaystyle AN^{2}+BL^{2}+CM^{2}=NB^{2}+LC^{2}+MA^{2}

Coordenadas trilineales

Si P tiene coordenadas trilineales p: q: r, entonces los vértices L, M,N del triángulo pedal de P vienen dados por

• L = 0: q + p Porque C: r + p # B
• M = p + q # C: 0: r + q # A
• N = p + r # B: q + r # A: 0

Triángulo antipedal

Un vértice, L', del triángulo antípedal de P es el punto de intersección de la perpendicular a BP por B y la perpendicular a CP por C. Sus otros vértices, M ' y N ', se construyen de manera análoga. Las coordenadas trilineales están dadas por

• L ' (q + p) # C)(r + p # B): (r + p # B)(p + q # C): (q + p # C)(p + r # B)
• M ' = (r + q # A)(q + p # C): − (r + q # A)(p + q # C): (p + q # C)(q + r # A)
• N ' (q + r) # A)(r + p # B): (p + r # B)(r + q # A): − (p + r) # B)(q + r # A)

Por ejemplo, el triángulo excentral es el triángulo antípedal del incentro.

Suponga que P no se encuentra en ninguno de los lados extendidos BC, CA, AB, y sea P⁻¹ denota el conjugado isogonal de P. El triángulo pedal de P es homotético al triángulo antipedal de P⁻¹. El centro homotético (que es un centro triangular si y solo si P es un centro triangular) es el punto dado en coordenadas trilineales por

ap(p + q # C)(p + r # B): bq(q + r # A)(q + p # C): cr(r + p # B)(r + q # A).

El producto de las áreas del triángulo pedal de P y el triángulo antipedal de P⁻¹ es igual al cuadrado del área de triángulo ABC.

Círculo de pedales

El círculo del pedal del punto P{displaystyle P} y su conjugado isogonal P.{displaystyle P'} son iguales.

El círculo de los pedales se define como el circuncírculo del triángulo de los pedales. Tenga en cuenta que el círculo de pedales no está definido para los puntos que se encuentran en el circuncírculo del triángulo.

Círculo de pedales de conjugados isogonales

Para cualquier punto P{displaystyle P} no tumbado en el círculo del triángulo, se sabe que P{displaystyle P} y su conjugado isogonal P⋆ ⋆ {displaystyle P^{star } tienen un círculo de pedal común, cuyo centro es el punto medio de estos dos puntos.