Triángulo de Bézier

Un triángulo de Bézier es un tipo especial de superficie de Bézier que se crea mediante la interpolación (lineal, cuadrática, cúbica o de mayor grado) de puntos de control.

Triángulo de Bézier de enésimo orden

Un triángulo de Bézier de nésimo orden general tiene (n +1)(n + 2)/2 puntos de control αⁱβ^jγ^k donde i, j, k son enteros no negativos tales que i + j + k = n. Entonces la superficie se define como

()α α s+β β t+γ γ u)n=.. i+j+k=ni,j,k≥ ≥ 0()nijk)sitjukα α iβ β jγ γ k=.. i+j+k=ni,j,k≥ ≥ 0n!i!j!k!sitjukα α iβ β jγ γ k{fn} {fn} {fnfn}=fnfnfnfnfn}i+j+k,=,ni,j,k,,gn,0end{smatrix}{nk} {f} {f}f}tf}tf}t} {f}t}tf}t}t}tf}tf}tf}tf}tf}tf}tf}tf}tf}tf}tf}tf}tf}tf}tf}tf}tf}f}t}tf}f}tf}t}t}tf} {f}tf}f}tf}tf}tf}tf}tf}tf}tf}f}tf}f}f}t} ^{j}gamma ^{k}=sum _{begin{smallmatrix}i+j+k,=,n\i,j,k,geq,0end{smallmatrix}{frac {n}{i} {i} {i} {i} {y}u}alpha}.

para todos los números reales no negativos s + t + u = 1.

Con orden linealn=1{textstyle n=1}), el triángulo Bézier resultante es en realidad un triángulo plano regular, con los vértices triángulo igualando los tres puntos de control. Un cuadráticon=2{textstyle n=2}) El triángulo Bézier cuenta con 6 puntos de control que están ubicados en los bordes. El cúbicon=3{textstyle n=3}) El triángulo Bézier se define por 10 puntos de control y es el triángulo Bézier de orden más bajo que tiene un punto de control interno, no situado en los bordes. En todos los casos, los bordes del triángulo serán curvas Bézier del mismo grado.

Triángulo cúbico de Bézier

Un ejemplo de triángulo Bézier con puntos de control marcados

Un triángulo de Bézier cúbico es una superficie con la ecuación

p()s,t,u)=()α α s+β β t+γ γ u)3=β β 3t3+3α α β β 2st2+3β β 2γ γ t2u+3α α 2β β s2t+6α α β β γ γ stu+3β β γ γ 2tu2+α α 3s3+3α α 2γ γ s2u+3α α γ γ 2su2+γ γ 3u3################################################################################################################################################################################################################################################################ gamma ^{2},tu^{2},+\\c\c\c,s^{3}+3,alpha ^{2}gamma ,s^{2}u+3,alpha gamma ^{2},su^{2}+gamma ^{3},u^{3}end{aligned}}}

donde α³, β³, γ³, α²β, αβ² , β²γ, βγ², αγ², α²γ y αβγ son los puntos de control del triángulo y s, t, u (con 0 ≤ s, t, u ≤ 1 y s + t + u = 1) son las coordenadas baricéntricas dentro del triángulo.

Alternativamente, un triángulo de Bézier cúbico se puede expresar como una formulación más generalizada como

p()s,t,u)=.. i+j+k=3i,j,k≥ ≥ 0()3ijk)sitjukα α iβ β jγ γ k=.. i+j+k=3i,j,k≥ ≥ 06i!j!k!sitjukα α iβ β jγ γ k{begin{aligned}p(s,t,u) limit=sum _{begin{smallmatrix}i+j+k,=,3i,j,k,gq,0end{smallmatrix}{3 choose i k}s^i}t} {ju} ^{j}gamma ^{k}=sum {begin{smallmatrix}i+j+k,=,3i,j,k,gq,0end{smallmatrix}{frac {6}{i} {i} {i} {i} {y}u}alpha ^{i}beta ^{j}gamma ^{k}end{aligned}

de acuerdo con la formulación del triángulo de Bézier de § enésimo orden.

Los vértices del triángulo son los puntos α³, β³ y γ³. Los bordes del triángulo son en sí mismos curvas de Bézier, con los mismos puntos de control que el triángulo de Bézier.

Al eliminar el término γu, se obtiene una curva de Bézier regular. Además, aunque no es muy útil para mostrar en una pantalla de computadora física, al agregar términos adicionales, se obtiene un tetraedro de Bézier o un politopo de Bézier.

Debido a la naturaleza de la ecuación, todo el triángulo estará contenido dentro del volumen rodeado por los puntos de control, y las transformaciones afines de los puntos de control transformarán correctamente todo el triángulo de la misma manera.

Reducir a la mitad un triángulo de Bézier cúbico

Una ventaja de los triángulos de Bézier en gráficos por computadora es que dividir el triángulo de Bézier en dos triángulos de Bézier separados requiere solo la suma y la división por dos, en lugar de la aritmética de coma flotante. Esto significa que, si bien los triángulos de Bézier son suaves, se pueden aproximar fácilmente usando triángulos regulares dividiendo recursivamente el triángulo en dos hasta que los triángulos resultantes se consideren lo suficientemente pequeños.

Lo siguiente calcula los nuevos puntos de control para la mitad del triángulo de Bézier completo con la esquina α³, una esquina a la mitad de la curva de Bézier entre α³ y β ³, y la tercera esquina γ³.

()α α 3.α α 2β β .α α β β 2.β β 3.α α 2γ γ .α α β β γ γ .β β 2γ γ .α α γ γ 2.β β γ γ 2.γ γ 3.)=()10000000001212000000001424140000000183838180000000000100000000012120000000014241400000000001000000000121200000000001)⋅ ⋅ ()α α 3α α 2β β α α β β 2β β 3α α 2γ γ α α β β γ γ β β 2γ γ α α γ γ 2β β γ γ 2γ γ 3){displaystyle {begin{pmatrix}{boldsymbol {fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans}} {fnK}}} {\fnK}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnK\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnK\\\\\\\\\\\\\\\\ {alpha ^{2}beta {fnK}\\\\fnK}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\]}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {alpha ^{2}gamma } {\\\\\fnKbeta gamma } {\\\\fnMicrosoft Sans Serif} {0}{0} {0} {0} {0} {0} {0}} {0} {0}} {0}} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0}{0} {0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0} {0} {0} {0} {0} {0} 8} unos pocos,0 unos pocos,0 unos pocos,0 unos cuantos 0, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres. 2} unos pocos,0 unos pocos,0 unos pocos,0 unos pocos, 1 0, 4, 3, 2 0, 2 0, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 0, 3, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4} unos pocos 0 segundos0 unos cuanto0 unos pocos0 unos pocos0 segundos0 unos pocos0 segundos0 unos pocos0 unos cuantos0, menos, menos 2 años, más o menos. 2} {0}}cdot {begin{pmatrix}{boldsymbol {Alpha ^{3}\\\fnh00}\\fnK}beta {\fnK}\\fnK}\\\fnK}\\\m}}\m\cH0}}\\\cH0}\cH0}\cH0}\cH0}\cH0}\cH0}\\cH0}\\\\\cH0}\\\\cH3\\\cH0}\\cH0}\\cH3\\\\\c\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH0}\cH0}\cH0}\cH0}\cH0}\\\\\cH0}\\\\\\ }\{boldsymbol {alpha beta gamma }\\\\boldsymbol {beta ^{2}gamma {\fnK}\\fnK}}}\\\\\m} {beta gamma }}}\\\\m}}}}\m}}\m}}}\m}}}}\m}}}}}\m}}}}\\\\\\\\\\\\\ppppppppppppppppp\ppppp\\\\pp\\pnK}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

equivalentemente, utilizando adición y división sólo por dos,

β β 3:=()α α β β 2+β β 3)/2α α β β 2:=()α α 2β β +α α β β 2)/2β β 3:=()α α β β 2+β β 3)/2α α 2β β :=()α α 3+α α 2β β )/2α α β β 2:=()α α 2β β +α α β β 2)/2β β 3:=()α α β β 2+β β 3)/2{displaystyle {begin{matrix} limitándosebeta ^{3}:=(alpha beta ^{2}+beta ¿Por qué? +alpha beta ^{2})/2 ventajabeta ^{3}:=(alpha beta ^{2}+beta ¿Qué? ^{2}beta)/2 ventajaalpha beta ^{2}:=(alpha ^{2}beta +alpha beta ^{2})/2 ventajabeta ^{3}:=(alpha beta ^{2}+beta ¿Qué?

β β 2γ γ :=()α α β β γ γ +β β 2γ γ )/2α α β β γ γ :=()α α 2γ γ +α α β β γ γ )/2β β 2γ γ :=()α α β β γ γ +β β 2γ γ )/2{displaystyle {begin{matrix}beta ^{2}gamma:=(alpha beta gamma +beta ^{2}gamma)/2alpha beta gamma:=(alpha ^{2}gamma +betagamma)/2 ^{2}gamma)/2\end{matrix}}

β β γ γ 2:=()α α γ γ 2+β β γ γ 2)/2{displaystyle beta gamma ^{2}:=(alpha gamma ^{2}+beta gamma ^{2})/2}

donde:= significa reemplazar el vector a la izquierda por el vector a la derecha.

Tenga en cuenta que el halving un triángulo Bézier es similar a las curvas de halving Bézier de todos los pedidos hasta el orden del triángulo Bézier.